【文档说明】湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.317 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题命制单位：新高考试题研究中心考试时间：2024年5月29日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将

准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2230,ln(25)AxxxBxyx=−−==−∣∣，则

AB=（）A.215xx−B.215xx−C.235xxD.235xx【答案】B【解析】【分析】解二次不等式与求对数型函数的定义域化简集合,AB，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】22230=1,

3,ln(25),5AxxxBxyx=−−−==−=−∣，故21,5AB=−.故选：B.2.在复平面内，复数z满足(12i)34iz+=−，则复数z的虚部为（）A.1−B.i−C.2−D.2i−【答案】C【解析】【分析】利用复数的

除法运算法则，求得复数z的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.【详解】因为(12i)34iz+=−，所以()()()()2234i12i34i310i8i510i12i12i12i12i14i5z−−−−+−−=====−−++−−，所以复数z的虚部为2−,故选：C.3.已知3

2a−=，2log3b=，4log6c=，则（）A.abcB.acbC.cbaD.c<a<b【答案】B【解析】【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性可得cb，再与1比较即可得到答案.【详解】

因为24222log61log6log6log6log42c====，且36，所以根据对数函数的单调性可知1cb，又因为321a−=，所以acb，故选：B4.对于两条不同直线m，n和两个不同平面,，以下结论中正确是（）A.若/

/,⊥mn，则mn⊥B.若//,//m，则//mC.若,//m⊥，则m⊥D.若,⊥⊥mnn，则//m【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可.【详解】对于A，若//,⊥mn，则mn⊥，故A正确；对于B，若//,//m，

则//m或m，故B错误；对于C，若,//m⊥，则m或//m或,m相交，故C错误；对于D，若,⊥⊥mnn，则//m或m，故D错误.故选：A.5.一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为（）A.14πB.21πC

.28πD.35π的【答案】C【解析】【分析】先求出圆台的高，然后利用圆台体积公式即可得解.【详解】令圆台的高为h，由图可知22534h=−=，所以()()222211ππ4141428π33VhrRrR=++=++=，故选：C.6.若1sincos,(

0,π)5+=，则tan2=（）A247−B.724−C.724D.247【答案】D【解析】【分析】对1sincos,(0,π)5+=两边同时平方求出2sincos，再求出7sincos5−=，解方程结合同角三角函数的商数关系求出tan，再由二倍角的正切

公式求解即可.【详解】因为1sincos,(0,π)5+=，所以()21sincos12sincos25+=+=，解得：242sincos25=−，则()22449sincos12sincos12525−=−

=+=，因为242sincos025=−，所以π(,π)2，所以sin0,cos0所以7sincos5−=，再由1sincos5+=，可得43sin,cos55==−，所以sintans43co==−，.所以224822tan2433tan271

tan74193−−====−−−−.故选：D.7.已知向量,,abc满足||||2,||22abc===，且0abc++=，则cos,acbc−−=（）A.45−B.34−C.34D.45【答案】D【解析】【分析】根据已知条件分别求出4ac=−，4bc

=−，4bc=−，在求出()()acbc−−，ac−，bc−即可求解.【详解】因为0abc++=，所以abc+=-rrr，所以()()22abc+=−，即2222ababc++=，所以4428ab++=，即0ab=，acb+=

−，()()22acb+=−，2222acacb++=，即4ac=−；bca+=−，()()22bca+=−，2222bcbca++=，即4bc=−；()()2044816acbcabacbcc−−=−−+=+++=，22224

8825acacacac−=−=+−=++=，222248825bcbcbcbc−=−=+−=++=，所以()()164cos,52525acbcacbcacbc−−−−===−−.故选：D8.已知函数()fx对xR都有()(6)(3)fxfxf=++，若(2)yfx=+的图象关于

直线2x=−对称，且对12,[0,3]xx，当12xx时，都有()()()21210xxfxfx−−，则下列结论正确的是（）A.(2)0f=B.()fx是奇函数C.()fx是周期为4的周期函数D.(2023)(2024)ff−【答案】D【解析】【分析

】由图象的平移可得()fx是偶函数，从而判断B；对xR都有()(6)(3)fxfxf=++，取3x=−，可求得()30f=，进而得到()()6fxfx=+成立，从而判断C；再由已知可得()fx在0,3上单调递减，结合偶

函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A.【详解】对于B，因为函数()2yfx=+的图象关于直线2x=−对称，所以函数()yfx=的图象关于直线0x=对称，且定义域为R，故()fx是偶函数，故B错误；对于C，因为函数

()fx对xR都有()(6)(3)fxfxf=++，所以取3x=−，可得()()()333fff=−+，又()fx是偶函数，所以()()33ff−=，从而可得()30f=，则()(6)(3)(6)fxfxffx=++=+，故()fx是周

期为6的周期函数，故C错误；对于D，因为()fx是偶函数，且是周期为6的周期函数，所以()()()6337120231fff+==，()()()()20242024633722ffff−==+=，又对12,[0,3]xx，当12xx时，都有()()()21210x

xfxfx−−，所以()fx在0,3上单调递减，则()()12ff，即()()20232024ff−，故D正确；对于A，由()fx在0,3上单调递减，()30f=，可得(2)0f，故A错误.故选：D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数1i1iz+=−，则20241z=B.若复数12,zz满足12zz，则2212z

zC.若复数z满足||1z=，则1z=或iz=D.若复数z满足|1||1|zz−=+，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD【解析】【分析】对于A选项，用复数除法运算法则，得到复数z的代数形式，利用复数高次幂的周

期性，可以求解；对于B选项，复数不可以比较大小；对于C选项，举反例可得解；对于D选项，令复数的代数形式izxy=+，根据题意，求得关于xy，的方程，从而得轨迹.【详解】对于A选项，()()()221i1i2ii1

i1i1i1iz++====−−+−，21z=−，3i=−z，41z=，5iz=，所以202441zz==，故A正确；对于B选项，若12,zz为非纯虚数，则1222,zz也是虚数，虚数之间不能比较大小，故B错误；对于C选项，当13i22z=+时，满足||

1z=，故C错误；对于D选项，令izxy=+，()2211i1zxyxy−=−+=−+，()2211i1zxyxy+=++=++，所以()()222211xyxy−+=++，化简得：0x=，所以z在复

平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确；故选：AD.10.对于任意的R,[]xx表示不超过x的最大整数.十八世纪，[]yx=被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（）A.函数,[]yx=R的图象关于原点对

称B.函数[],Ryxxx=−的值域为[0,1)C.对于任意的,Rxy，不等式[][][]xyxy++恒成立D.不等式22[][]10xx+−的解集为{01}xx∣【答案】BCD【解析】【分析】结合取

整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到1xxx+，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项.【详解】对于A：当01x时，0yx==，当10x−时，1yx==−，所以yx=，xR不是奇函数，即函数,[

]yx=R的图象不是关于原点对称，故A错误；对于B：由取整函数的定义知，1xxx+，所以1xxx−，01xx−，函数()Ryxxx=−的值域为)01，，故B正确；对于C

：由取整函数的定义知，,R,xyxx，yy，所以+=++xyxyxy，故C正确；对于D：由22[][]10xx+−得()()2[]1[]10xx−+，解得11[]2x−，结合取整函数的定义可得

01xx，故D正确.故选：BCD.11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体也称为“阿基米德多面体”，如图所示的半正多面体由正方体截去八个一样的四面体得到的，其棱长为1，也称为二十四等边体.关于如图所示的二十四等边体，下列说法正确的是（）A.AE和BC的夹角为π3

B.该几何体的体积为523C.平面ELI与平面DCG的距离为263D.二十四等边体表面上任意两点间距离最大为2【答案】BCD【解析】【分析】补全该半正多面体得到一个正方体，对于A，连接ED，ND，AE和BC的夹

角等价于DAE，计算出ED的长，由余弦定理可得DAE，对于B，由该几何体的体积8MDCGVVV−=−正方体，计算可得结果；对于C，可证明平面//ELI平面DCE，平面ELI与平面DCG的距离等价于E到平面DCE的距离，建立空间直角坐标系，利用点到平面

的向量公式计算可得；对于D，由图可得二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为EG，利用空间中两点距离公式可得.【详解】补全该半正多面体得到一个正方体，则正方体的边长为2QM=，对于A，连接ED，ND，AE和BC的夹角等价于DAE，因为22210222DN=+=，在RtD

NE△中，90DNE=，则22210322ED=+=，所以2221cos22AEADEDDAEAEAD+−==−，即2π3DAE=，则AE和BC的夹角为2π3，故A错误；对于B，由图可得该几何体的体积8MDCGVVV−=−

正方体，由于22222V==正方体，1212223222224MDCGV−==，所以2528228243MDCGVVV−=−=−=正方体，故B正确；对于C，因为//LIDC，//EIDG，LIEII=，DCDGD=，LI，EI平面ELI，DC，DE平面DCE，根据线面平

行及面面平行判定易证：平面//ELI平面DCE，则平面ELI与平面DCG的距离等价于E到平面DCG的距离，以P为坐标原点，PL为x轴，PK为y轴，PH为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系的则2(2,0,)2E，2(0,,2)2D，2(,2,2)2C，2(0,2,)2G，则222,,2

2ED=−，22,,022DC=，220,,22DG=−，设平面DCG的法向量为(,,)mxyz=，则2202222022mDCxymDGyz=+==−=，令=1x−，则(1,1,1)m=

−，所以E到平面DCE的距离222633EDmdm===，故C正确；对于D，由图可得二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为EG，由C选项可得(2,2,0)EG=−，所以2EG=，故D正确；故选：BCD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，已知O的半径为2

，弦AB的长度为3，则AOAB=____________.【答案】92【解析】【分析】根据题意先求出cosOAM，再求根据定义求出数量积即可.【详解】过根据题意，过O作OM垂直于AB，垂足为M，根据圆的性质有M为AB中点，因为2OA=，即2AO=，因为3AB

=，所以32AM=，在RtAOM△中，332cos24AMOAMAO===，所以39cos2342AOABAOABOAM===.故答案为：9213.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥PABCD−为阳马，侧棱PA⊥底面,2

,1,ABCDPAADABE===为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为____________.【答案】33##133【解析】【分析】首先证明BC⊥平面PAB，再根据线面角的定义，即可作出线面角的平面角，再计算这

个平面角的大小.【详解】因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，故可得BCPA⊥，又BCAB⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，故BC⊥平面PAB，连接EB，故CEB即为所求直线CE与平面PAB所成角.由2,1,PAADAB===，故在直角三角形CBE中2BC=，22211BEA

EAB=++==，故22246CEBEBC=+=+=，则3cos326BECEBCE===，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为33，故答案为：33.14.如图，在ABC中，6,4,27,ABACBCDE===,分别是边AB，AC上的点，2AE=，且2ADA

E=，点P是线段DE的中点，且PAxPByPC=+，则xy=____________.【答案】23【解析】【分析】先用余弦定理可得π3BAC=，然后由向量的数量积计算可得AD，进而由平面向量的线性运算可得2377PAPBPC

=−−，从而由平面向量的基本定理可得,xy的值，进而可得结论.【详解】由ABC中，6,4,27ABACBC===，得2223616281cos22642ABACBCBACABAC+−+−===，则π3BAC=.由2AE=，

且2ADAE=得πcos23ADAE=，则2AD=，即2AD=.由P是DE的中点，所以()12APADAE=+,所以()111111223264PAADAEABACABAC=−+=−+=−−，又,ABPBPAACPCPA=−

=−，所以()()1164PAPBPAPCPA=−−−−，化简可得2377PAPBPC=−−，又PAxPByPC=+，所以23,77xy=−=−，则23xy=.故答案为：23.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(1,2),(2,2

),(3,1)abc==−=+，向量a与向量b的夹角为.（1）求cos的值.（2）若(2)cab⊥+，求实数的值.（3）在（2）的条件下，求向量a在向量c方向上的投影向量的坐标.【答案】（1）1010−（2）72−（3）36,55−【

解析】【分析】（1）根据向量夹角公式直接求解即可；（2）根据向量垂直的坐标表示直接求解即可；（3）根据投影向量定义直接求解即可.【小问1详解】由题意得：2222||125,||2(2)22ab=+==+−=，122(2)2,ab=+

−=−.210cos10||||522abab−===−.【小问2详解】2(4,2)ab+=，且(2),cab⊥+(2)0cab+=，即4(3)20++=，解得:72=−.【小问3详解】在（2）的条件下，71,,1

22c=−=−，则与向量c同向的单位向量221,15252,55112cec−===−−+，向量a在向量c方向上的投影为:22123525112acc−==−+，向量a在向量c方向上的投影向量为:36,

55acec=−.16.已知函数2()23cossin23(0)fxxx=+−的最小正周期为π.（1）求()fx的解析式;（2）求()fx在[0,π]上的单调增区间.【答案】（1）π()2sin23fxx=+（2）π7π0,,,π1212

【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简()fx，再由正弦函数的最小正周期公式即可得出答案；（2）令222,232kxkk−+++Z，即可求出()fx的单调增区间，令0k=和1

k=，即可求出()fx在[0,π]上的单调增区间.【小问1详解】2π()23cos3sin23cos2sin22sin23fxxxxxx=−+=+=+，因为2ππ,ω>02T==，所

以1=，所以π()2sin23fxx=+.【小问2详解】令222,232kxkk−+++Z，得5ππππ,Z1212kxkk−++，又[0,π]x，所以()fx在[0,]上的单调增区间为π7π0,,,π1212.17.

如图，在正三棱柱111ABCABC-中，12,,,BCCCMNP==分别是11,,CCABBB的中点.（1）若点E为矩形11ABBA内动点，使得//ME面CPN，求线段ME的最小值;（2）求证:1AB⊥面1AMB.【答案】（1）3（2）证明见解

析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定有1//MB面CPN，1//AB面CPN，又结合面面平行的判定可证面1//AMB面CPN，由题意可知1MEAB⊥时，ME最小，在1AMB△中，即可求；（2）根据线面垂直判定定理即可证明.【小问1详解】连接11,,MBM

AAB，在正方形11BCCB中，,MP分别为1CC，1BB的中点，的所以1//MCBP且1=MCBP，所以四边形1CMBP为平行四边形，所以1//MBCP，因1MB面,CPNCP面CPN，所以1//MB面CPN，在1ABB中，因为,NP分别为AB，1BB的中点，所以1//ABPN，因为1A

B面CPN，PN面CPN，所以1//AB面CPN.因为111ABMBB=，1AB面1AMB，1MB面1AMB，所以面1//AMB面CPN.所以当1EAB，ME面1AMB，此时//ME面CPN，所以当1MEAB⊥时，ME最小，在1AMB△中，115,22AMBMAB===

所以ME的最小值为523−=；【小问2详解】在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，设11ABABD=，则D为1AB中点，连接MD、DN，为因为,ND分别为AB，1AB的中点，所以1//DNBB且11=2DNBB

，又因为M为1CC中点，11//BBCC且11=BBCC，所以//MCDN且=MCDN，又因为1CC⊥面ABC，所以四边形MCND为矩形，所以//,CNMDCNDN⊥，又CNAB⊥，DNABN=，AB面11ABBA，DN面11ABB

A，所以CN⊥面11ABBA，所以MD⊥面11ABBA，又1AB面11ABBA，所以1MDAB⊥，又1MDABD=，1AB面1AMB，MD面1AMB，所以1AB⊥面1AMB.18.已知,,abc分别为锐角三角形ABC三个内角,,ABC的对边，且cos

3sinbcBBa++=.（1）求A;（2）若3a=，D为BC的中点，求中线AD的取值范围.【答案】（1）π3A=（2）73,22【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可；（2）由向量数量积的运算律可得()

22214ADcbbc=++，再利用余弦定理和正弦定理化简232sinsin4ADBC=+，结合锐角三角形条件即可求解.【小问1详解】因为,,ABC是锐角三角形ABC的三个内角，所以()πCAB=−+，sin0B，根据正弦定理可得sins

incos3sinsinBCBBA++=，即sincos3sinsinsinsinABABBC+=+，所以()sincos3sinsinsinsinABABBAB+=++，则sincos3sinsinsinsinc

oscossinABABBABAB+=++，整理得3sincos1AA−=，即π1sin62A−=，又π0,2A，所以ππ66A−=，即π3A=.【小问2详解】因为D为BC的中点，所以()12ADABAC=+

，两边平方得()()()2222221112444ADABACABACABACcbbc=+=++=++，在ABC中，由余弦定理得222abcbc=+−，即223bcbc+=+，所以()213132442ADbcbc=+=+，在ABC中，由正弦定理得32si

nsinsin32bcaBCA====，所以2sinbB=，2sincC=所以22ππ4sinsin4sinsin23sincos2sin2sin2136bcBCBBBBBB==−=+=−+，因为ABC为锐角三角形，所以π02B且2ππ032B−

，解得ππ62B，所以ππ5π2666B−，所以1πsin2126B−，所以27944AD，所以中线AD的取值范围是73,22.19.已知集合R0Mxx=且1x，()()*Nnfxx是定义在M上的一系列函数，满足()()()*111,Ni

ixfxxfxfix+−==.（1）求()()34,fxfx的解析式.（2）若()gx为定义在M上的函数，且()()411xgxgfxx−+=+.①求()gx的解析式;②若关于x的方程()()()222121318420xmxxgxxxxx−−−

++++++=有且仅有一个实根，求实数m的取值范围.【答案】（1）()311fxx=−−，()4fxx=（2）①()()()3210,121xxgxxxxx−−=−；②543m=−或92m【解析】【分析】（1）根据()()()*111,Niix

fxxfxfix+−==计算即可；（2）①根据()()411xgxgfxx−+=+，分别令11,1xxxxx−−==−，利用方程组法即可得解；②由①得()()222118420xmxxxx−−++++=，分离参数可得224

3223211322342382383211222xxxxxxxxxxxxmxxxxxxx++++++++++++===++++++，令1txx=+，()(),22,t−−+，则转化为()2234322522ttmttt++==++−++

在()(),22,t−−+上仅有一个实根，再结合函数图象即可得解.【小问1详解】因为()()()*111,Niixfxxfxfix+−==，所以()2111xxfxfxx−−==，()32111

111xxxfxfxxxx−−−===−−−，()431111xfxfxxxx−==−=−−；【小问2详解】①由（1）得()11xgxgxx−+=+①，又11111xxxxx−−−=

−−，则1112111xxxggxxxx−−−−+=+=−②，()1121111xggxxxx−−−+=+=−−−③，由−②③得()12121xxxggxxxx−−−−

=−−④，由−①④得()()3221212111xxxxgxxxxxx−−−−=+−+=−−，所以()()()3210,121xxgxxxxx−−=−；②由①得()()()222121318420xmxxgxxxxx−−−++

++++=，即()()()32221212131842021xxxmxxxxxxxx−−−−−++++++=−，即()()3222128420xmxxxxx−−+++++=，即()()222118420xmxx

xx−−++++=，当=1x−时，60=不成立，所以1x−，故2243223211322342382383211222xxxxxxxxxxxxmxxxxxxx++++++++++++===++++++，令1txx=+，因为0,1tt，故(

)(),22,t−−+，所以()2234322522ttmttt++==++−++在()(),22,t−−+上仅有一个实根，令()()2,,04,t=+−+，则325m=+−，即532m+=+在()(),04,−+上仅有一

个实根，如图所示，画出函数()()3,,04,y=+−+的图象，由图可知，5232m+=−或51924m+，所以543m=−或92m.【点睛】关键点点睛：令11,1xxxxx−−==−，利用方程组法是求解函数()gx得解析式得关键.