【文档说明】湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.621 MB，由小赞的店铺上传

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华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测高二数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：严贤灿刘晓华审题人：张丹曹宗庆一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1.在长方

体1111ABCDABCD−中，1()AAADCD+−运算的结果为（）A.ACB.BDC.1ACuuurD.1ADuuur【答案】C【解析】【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果.

【详解】如下图示，1111()AAADCDADDCADABAC+−=+=+=.故选：C2.已知圆22:(2)(4)4Cxy−+−=，若圆C关于直线:2(0,0)laxbyab+=对称，则21ab+的最小值为（）A.8B.1C.16D.42【答案】A【解析】

【分析】根据题意直线:2laxby+=过圆心(2,4)C，进而有21ab+=，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.【详解】由题意，直线:2laxby+=过圆心(2,4)C，则24221abab+=+=，且0,0ab，所以2121()(2)448442baaab

abababbba+=++=+++=，当且仅当11,24ab==时取等号，故21ab+的最小值为8.故选：A3.已知椭圆22194yx+=与直线l交于,AB两点，若点(1,1)P−为线段AB的中点，则直线l的方程是（）A.94130xy+−=B.9

4130xy−+=C.49130xy−+=D.4930xy−+=【答案】B【解析】【分析】设点1122()AxyBxy,,(,)，利用题设条件得出12122,2,xxyy+=−+=利用点差法得到121212124()()9()()0yyyyxxxx

+−++−=，代入结论整理得直线l的斜率，即可求出直线l的方程.【详解】设点1122()AxyBxy,,(,)，因点(1,1)P−为线段AB的中点，则12122,2,xxyy+=−+=（*）又1122()AxyBxy,,(,)在椭圆22

4936yx+=上，则22114936yx+=①，22224936yx+=②，由−①②，可得121212124()()9()()0yyyyxxxx+−++−=，将（*）代入，化简得12124()9()yyxx−=−，即121294y

yxx−=−，可知直线l的斜率为94，故直线l的方程为：91(1)4yx−=+，即94130xy−+=.故选：B.4.如图所示，在正三棱柱111ABCABC−中，12AAAB==，则异面直线1AC与1AB所成角的余弦值为（）A.12B.22C.14D.24【答案】C【解析】【分析】由1111AC

ACAA=+，1111AABAAB=−，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求11cos,ACAB，即可得答案.【详解】由1111ACACAA=+，1111AABAAB=−，而111111,ACAAABAA⊥⊥且11160BAC=，则21111111111

111111111()()ACABACAAABAAACABACAAAAABAA=+−=−+−20042=−+−=−，显然11||||22ACAB==，则1111111cos,4||||ACABACABACAB==−，所以异面直

线1AC与1AB所成角的余弦值为14.故选：C5.已知圆2221:104tCxytx+−+−=与圆222:230Cxyy+−−=，若圆1C与圆2C恰有三条公切线，则实数t的值为（）A.22B.42C.46D.0【答案】B【解析】【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由1212||CCr

r=+即可求得t的值.【详解】由圆1C与圆2C恰有三条公切线，可知圆1C与圆2C外切.由2221:104tCxytx+−+−=配方得：221:()12tCxy−+=，知圆心1(,0),2tC半径11r=；由222:230Cxyy+−−=配方得：222:(1)4Cxy+−=，知圆心2(

0,1),C半径22r=.由1212||CCrr=+，可得2()132t+=，解得42t=.故选：B.6.已知椭圆22:154xyC+=，M为椭圆C上的一点，则点M到直线:40lxy−+=距离最小值为（）A.0B.12C.22

D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，与:40lxy−+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可.【详解】由题意，与:40lxy−+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线

l的距离最小，令切线为0xyt−+=，联立椭圆方程有22()154xxt++=，整理得229105020xtxt++=−，所以2210036(520)0tt=−−=，则3t=，对于30xy−+=，其切点到l距离为22，对于30xy−−=，其切点到l的距离为722，显然点M到直线

:40lxy−+=距离最小值为22.故选：C7.已知12,,FFB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点和上顶点，连接1BF并延长交椭圆C于点P，若2PFB为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（）A.12B.13C.22D.33【答案】D

【解析】【分析】若1||PFm=，根据椭圆的定义有||PBam=+、2||2PFam=−，应用余弦定理及1212coscos0PFFBFF+=得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】由2PFB为等腰三角形，则有2||||PBPF=，而1212||||||||2PFPF

BFBFa+=+=，又12||||BFBFa==，11||||||PBPFBF=+，若1||PFm=，则||PBam=+，2||2PFam=−，所以22aamamm+=−=，的在12BFF△中222112212112||||||cos2||||BFFFBFcBFFBFFFa+−

==，在12PFF中22222112212112||||||2cos2||||PFFFPFcaPFFPFFFac+−−==，1212coscos0PFFBFF+=，即222cacaac−=，整理

得223ca=，则33cea==.故选：D8.设a为实数，若直线1:10laxy++=，2:10lxy++=，23:(5)330laaxay+−+−=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l，2l，3l有（）A.2组B.3组C.4组D.5组【答案】B【解析】【分析】写出对

应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案.【详解】由题设，123,,lll的方向向量分别为1(1,)ma=−，2(1,1)m=−，23(3,5)maaa=−−+，若12ll⊥，则12(1,)(1,1)101mma

aa=−−=+==−，此时1:10lxy−++=，2:10lxy++=，3:5330lxy−−−=，它们交于一点(0,1)−，不符；若13ll⊥，则2213(1,)(3,5)(2)0mmaaaaaaa=−−−+=+−=2a=−或0a=或1a

=，当2a=−时，1:210lxy−++=，2:10lxy++=，3:210lxy++=，满足题设；当0a=时，1:10ly+=，2:10lxy++=，3:530lx−−=，满足题设；当1a=时，1:10lxy++=，2:10lxy++=重合，不符；若2

3ll⊥，则2223(1,1)(3,5)450mmaaaaa=−−−+=+−=5a=−或1a=，当5a=−时，1:510lxy−++=，2:10lxy++=，3:5510lxy−−=，满足题设；当1a=时，同上分析，不符.综上，5a=−、2a=−、0a=时满足要求

，故有3组.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆22:4Oxy+=，

直线:lyxb=+，下列说法正确的是（）A.当22b−或22b时，圆O上没有点到直线l的距离等于1B.当1b=时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1C.当2b=时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1D.当1b=时，圆

O上恰有四个点到直线l的距离等于1【答案】CD【解析】【分析】先求出圆心O到到直线l的距离d，根据选项中参数b的范围求得d的范围，结合图形，即可一一判断.【详解】由题设条件，圆的半径为2，圆心O到直线:0lxyb−+=的距离为||

2bd=.对于A，当22b−或22b时||22b，则2d，当32b=时，由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误；对于B，D，当1b=时，212d=，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确；对于C

，当2b=时，1d=，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确.故选：CD.10.将圆2216xy+=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为12,FF，长轴两端点分别为A，B，则（）A.椭圆的标

准方程为221168xy+=B.若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在1FM的延长线上，MN是2PMF的角平分线，过2F作2FQ垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4,C.椭圆上恰有四个点M，使得12π2FMF=D.

若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则12MFF△内切圆半径的最大值为436−【答案】BCD【解析】【分析】A若椭圆上点为(,)mn，则(,2)mn在2216xy+=上代入即可得椭圆方程，B假设P

是直线1FM与2FQ交点，易得Q为线段2PF的中点，且2||||MFMP=，结合椭圆定义及中位线性质求||OQ；C由M为椭圆上下顶点时12FMF最大，应用余弦定理求其最大值判断；D利用等面积法列方程求半径.【详解】若椭圆上点为(,)mn，则(,2)mn在2216xy+

=上，故22416mn+=，所以椭圆22:1164xyC+=，A错；假设P是直线1FM与2FQ交点，因为MN是2PMF的角平分线，过2F作2FQ垂直MN于点Q，所以Q为线段2PF的中点，且2||||MFMP=，而O是12FF的中点，故12PFF中

OQ为中位线，故1112111||||(||||)(||||)4222OQPFMFPMMFMFa==+=+==为定值，B对；当M为椭圆上下顶点时12FMF最大，此时2222212224216241cos2162aacacFMFaa+−−

−====−，又12(0,π)FMF，故122π3FMF=，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得12π2FMF=，C对；若12MFF△内切圆半径为r，则12121211(||||||)||||()||22MMrMFMFFFyFFacrcy++=+=，所以|

|3||23MMcyyrac==++，要使r最大，只需||My最大，为2b=，所以最大2343623r==−+，D对.故选：BCD11.如图，正方体透明容器1111ABCDABCD−的棱长为8，E，F，G，M分别为1111,,,AAADCCAB的中点，点N是棱11CD上任

意一点，则下列说法正确的是（）A.1BCBN⊥B.向量EM在向量FG上的投影向量为13FGC.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为483D

.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解析】【分析】A根据正方体易知11111,BCBCBCDC⊥⊥，利用线面垂直的判断、性质定理即可判断；B若O是11,BCBC交点，连接OG，则,EMFG所成角，

即为1,ABAO所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量EM在向量FG上的投影向量；C令放在桌面上的顶点为A，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；D通过直观想象，有第一层小球为8864=个，第二层小

球为7749=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数.【详解】A：由正方体性质知：11111,BCBCBCDC⊥⊥且1111BCDCC=都在面11ABCD内，所以1BC⊥面11ABCD，BN面11ABC

D，则1BCBN⊥，对；B：由题意1//EMAB且112EMAB=，若O是11,BCBC交点，连接OG，所以1////,2OGBCAFOGBCAF==，故AFGO为平行四边形，则//AOFG且AOFG=，所以,EMFG所成角，即为1,AB

AO所成角，由题设，易知1182,46,42ABAOOB===，在1AOB中22211113|cos|||22AOABOBOABAOAB+−==，即1,ABAO夹角为π6，所以,EMFG夹角为π6，故向量EM在向量FG上的投影向量为|π|

6311|cos4222|46FGEMFGFGFG==，错；C：令放在桌面上的顶点为A，若1AC⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面

截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过111111,,,,,ABBBBCCDDDAD中点时截面积最大，此时，截面是边长为42的正六边形，故最大面积为216(42)sin604832=，对；D：由题意，第一层小球为8864=个，

第二层小球为7749=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为22，假设共有n层小球，则总高度为()2112n−+，且n为正整数，

令()21182n−+，则721n+，而1072111+，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放1135565=个小球，错.故选：AC【点睛】关键点点睛：D选项，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两

层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.对于任意实数,,xyz，222222(1)(2)(3)(3)(2)(1)xyzxyz−

+−+−+−+−+−的最小值为______．【答案】22【解析】【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点(,,)Axyz到定点(1,2,3),(3,2,1)BC距离的和，判断距离和最小A的位置，即可得答案.【详解】由目标式的几何意

义为空间任意点(,,)Axyz到定点(1,2,3),(3,2,1)BC距离的和，要使它们的距离和最小，只需A在线段BC上，此时最小值为222||(31)(22)(13)22BC=−+−+−=.故答案为：2213.已知正方形ABCD中心的坐标为(2,3)，若直线AB的方程为3420xy++=，则

与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________．【答案】43210xy−+=和43190xy−−=【解析】【分析】依题意，设出与AB边垂直的两条边所在的直线的方程1:4330lxyb−+=，利用正方形的性质，建立等式3120

55b−=，求解即得.【详解】由:3420ABlxy++=,可得34ABk=−，则与AB边垂直的两条边所在的直线的斜率为43，其方程可设为：14:3lyxb=+，即1:4330lxyb−+=.由正方形的性质，可知点(2,3)M到直线:3420ABlxy++=的距离等于

它到直线1:4330lxyb−+=的距离，故有312055b−=，解得7b=或193b=−，故与AB边垂直的两条边所在的直线方程为43210xy−+=和43190xy−−=.故答案为：43210xy−+=和43190xy−−=.14.已知点P是椭圆22:143xyC+=上一动点，

过点P作221:(1)4Gxy++=的切线PA、PB，切点分别为A、B，当PGAB最小时，线段AB的长度为________________．【答案】32【解析】【分析】根据题意结合四边形PAGB的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，P

G取到最小值1ac−=，进而可得线段AB的长度.【详解】由椭圆方程可知：222,3,1abcab===−=，圆221:(1)4Gxy++=的圆心为()1,0G−（也为椭圆的左焦点），半径12r=，因为PGAB⊥，可知

四边形PAGB的面积12PAGBSPGAB=，当PGAB最小时，即为四边形PAGB的面积PAGBS最小，又因为2221111222224PAGBPAGSSrPAPGrPG===−=−△，可知当PG取到最小

值时，四边形PAGB的面积PAGBS最小，即PGAB最小，且点P是椭圆C上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，PG取到最小值1ac−=，此时3π,26PAAPG==，由对称性可知：3π,26PBBPG==，即π3APB=，PAB为等边三角形，则32AB=.故答

案为：32.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知△ABC的顶点(2,1)A，边AB的中线CM所在直线方程为10xy−+=，边AC的高BH所在直线方程为220xy−+=．（1）求点B的坐标；（2）若入射光线经过点(2

,1)A，被直线CM反射，反射光线过点(4,2)N，求反射光线所在的直线方程．【答案】（1）()4,1B−−（2）4120xy+−=【解析】【分析】（1）设()22,Baa−，分析可知AB的中点1,2aa+

在直线10xy−+=上，运算即可；（2）求(2,1)A关于直线10xy−+=的对称点为A，进而可求反射光线所在的直线方程.【小问1详解】由题意可设点()22,Baa−，因为(2,1)A，则AB的中点1,2aa+在直线

10xy−+=上，可得1102aa+−+=，解得1a=−，所以点B的坐标为()4,1B−−.【小问2详解】设(2,1)A关于直线10xy−+=对称点为(),Amn，则112211022nmmn−=−−++−

+=，解得03nm==，即()0,3A所以反射光线所在直线方程为243204yx−−=−−，可得4120xy+−=.16.已知圆22:64120Mxyxy+−−+=和(1,0)A−，(1,1)B，(2,4)C．（1）求过

点(2,4)C且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线AC上是否存在点P，使得314PAPB=？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x=或34220xy+−=（2）存在,点P有两个【解析】【分析】（1）结合图形，将过点(2,4)C且与圆M相切的直线分成斜率不存在和存在两

类情况，在斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径即可求得直线斜率，即得切线方程.（2）法一：先求出直线AC的方程，设出点44(,)3tPt+，利用向量数量积的坐标公式计算即得关于t的方程，通过判断方程根的个数即可判断点P的个数；法二：先求出直线AC的方程，设点(,)Px

y，根据314PAPB=求出点P的轨迹方程为：221:()92Mxy+−=，从而将问题转化为直线AC与圆M的位置关系，由圆心到直线的距离与半径比较即得.【小问1详解】由2264120xyxy+−−+=，可得22(3)(2)1xy−+

−=，的的如图1，因过点(2,4)C且斜率不存在的直线2x=恰与圆M相切，故有一条切线方程为2x=；设另一条切线方程为：4(2)ykx−=−，即240kxyk−−+=，由圆心(3,2)M到直线240kxyk−−+=的距离2|2|11kdk+==+，解得3

4k=−，故另一条切线方程为：34220xy+−=.综上，过点(2,4)C且与圆M相切的直线方程为2x=或34220xy+−=；【小问2详解】解法一：如图2，因(1,0)A−，(1,1)B，(2,4)C，故43ACk=,则直线AC的方程为：4340xy−+=，设在直线AC

上存在点44(,)3tPt+，满足314PAPB=，则有444131(1,)(1,)334tttt++−−−−−=，即2100802990tt+−=，因2804100(299)0=−−，方程有两个不等根，即在直线AC上存在两个点P，满足314PAPB=.故符合题意的点P有两

个.解法二：设在直线AC上存在点P，其坐标为(,)Pxy，因(1,0)A−，(1,1)B，(2,4)C，故43ACk=,则直线AC的方程为：4340xy−+=.由314PAPB=，可得31(1,)(1,1)4xyxy−−−

−−=，化简得：22354xyy+−=，即221()92xy+−=，故点P的轨迹是以1(0,)2M为圆心，半径为3r=的圆（如图3），故要判断点P的个数，只需判断直线AC与圆M的位置关系即可.因圆心1(0,)2M到直线4340xy−+=距离为3|4|12352dr−===，可

知直线AC与圆M相交，即满足题意的点P有两个.的17.如图，直三棱柱111ABCABC−的体积为1，1ABC的面积为52．（1）求点A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，12AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的正弦值．【答案】（

1）255（2）265【解析】【分析】（1）可得三棱锥1AABC−的体积为13，由等体积法运算即可得解；（2）由垂直关系可得⊥BC平面11ABBA，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解

.【小问1详解】因为直三棱柱111ABCABC−的体积为1，则三棱锥1AABC−的体积为13，设点A到平面1ABC的距离为d，则11113AABCAABCABCVVdS−−==△，即115332d=，解得255d=，所以点A到平面1ABC的距离为255.【小问2详解】过A作1AEA

B⊥，垂足为E，又平面1ABC⊥平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB=，且AE平面11ABBA，所以AE⊥平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC，可得AEBC⊥，1BBBC⊥，又因为1,AEBB平面11

ABBA且相交，所以⊥BC平面11ABBA，所以1,,BCBABB两两垂直，设122AAABa==，则15ABa=，由1AAB的面积可得111122AAABdAB=，即112525225aaa=，解得1a=，即12

2AAAB==，15AB=，又因为1ABC的面积为11155222ABBCBC==，解得1BC=，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,1,0,0,1,2,0,0,0,1,0,0,,,122AABCD

，则11,,122BD=，()()0,1,0,1,0,0BABC==，设平面ABD的一个法向量𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则110220mBDxyzmBAy=++===，令2x=，则0

,1yz==−，可得()2,0,1m=−，设平面BDC的一个法向量𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则110220nBDabcnBCa=++===，令2y=，则0,1xz==−可得()0,2

,1n=−，则11cos,555mnmnmn===，设二面角ABDC−−为()0,π，则1cos5=，可得226sin1cos5=−=所以二面角ABDC−−的正弦值为265.18.“工艺折

纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；步骤3：把纸片展开，并留下一

道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为43，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，FE的方向为x轴的正方

向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线ykxm=+交圆22:16Oxy+=于不同的两点M，N．（ⅰ）试探求点Q到点40,Dm−的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若

不为定值，请说明理由；（ⅱ）求OMN面积的最大值．【答案】（1）2211612xy+=（2）（ⅰ）不为定值，理由见详解；（ⅱ）43【解析】【分析】（1）根据题意分析可知8PFPEEF+=，结合椭圆定义即可得方程；（2）①联立方程，结合相切关系可得221612mk=+和点Q的坐标，

进而可得DQ，进而可得结果；②根据垂径定理求OMN面积，结合221612mk=+分析最值即可.【小问1详解】由题意可知：()()23,0,23,0EF−，则843PFPEPAPEAEEF+=+===，可知动点P的轨迹

是以,EF为焦点的椭圆，且2224,23,4acbac===−=，所以曲线C的方程为2211612xy+=.【小问2详解】①联立方程2211612ykxmxy=++=，消去y可得()2224384480kxkmxm+++−=，因为直线ykxm

=+与曲线C相切，则()()2222Δ644434480kmkm=−+−=，整理可得221612mk=+，则原方程为222322560mxkmxk++=，解得16kxm=−，将16kxm=−代入直线ykx

m=+，可得222161612kmkymmmm−=−+==，可知1612,kQmm−，且40,Dm−，则22222222161611116168161243kkkkDQmmmkk+++=−+===++，不为定值；②由题意可知：圆22:

16Oxy+=的圆心为𝑂(0,0)，半径4r=，因为𝑂(0,0)到直线0kxym−+=的距离21mdk=+，可得2222221612416111mkdkkk+===−+++，因为20k，则22411401kk+−−+，

可得)2241612,161dk=−+，则OMN面积()222211286422OMNSdMNdrdd==−=−−+，可知当212d=，即0k=时，OMNS△取到最大值43.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用

平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=的离心率为32，且

点31,2−在椭圆上．（1）求椭圆M的方程；（2）过x轴上的一定点(1,0)P作两条直线1l，2l，其中1l与椭圆M交于A、B两点，2l与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q，直线QA斜率为1k，直线QC斜率为

2k，且121kk=，求证：直线AC过定点；（ⅱ）若直线1l，2l相互垂直，试求ACBD的取值范围．【答案】（1）22:14xMy+=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1512,45ACBD−−.【解析】【

分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程；（2）（ⅰ）令:ACykxm=+，1122(,),(,)AxyCxy，且12,0yy，12xx且均不为2，联立椭圆方程，应用韦达定理得122814kmxxk+=−+，21224(1)14mxxk−=+，结合

12121222yykkxx=−−得到关于,km的方程，可得,km的关系，即可证；（ⅱ）利用向量数量积的运算律得ACBDAPBPPCPD=+，令11223344(,),(,),(,),(,)AxyCxyBxyD

xy，:1ABxty=+，则:1yCDxt=−+，且0t，联立椭圆方程并结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到ACBD关于参数t的方程，即可求范围.【小问1详解】由题设22222321314caababc=+==+，可得2241ab==，故椭圆方程为2

2:14xMy+=；【小问2详解】（ⅰ）由题意，令:ACykxm=+，1122(,),(,)AxyCxy，且12,0yy，12xx且均不为2，联立2214ykxmxy=++=，则222(14)8440kxk

mxm+++−=，且22226416(1)(14)0kmmk=−−+，所以2214km+，则122814kmxxk+=−+，21224(1)14mxxk−=+，由22121212121212121212()()()1

22(2)(2)2()4yykxmkxmkxxkmxxmkkxxxxxxxx+++++====−−−−−++，所以2222222222222241(1)8414144(1)164161614144mkmmkkmkmm

kmkkkmkk−−+++−++++−+==++，则2222416164kmkmkm++=−，所以2231620(310)(2)0mkmkmkmk++=++=，故103mk=−或23mk=−，当103mk=−时，10:()3ACykx=−，此

时过定点10(,0)3；当23mk=−时，2:()3ACykx=−，此时过定点2(,0)3，而该点在椭圆内，与,AC在同侧矛盾；综上，直线AC过定点10(,0)3，得证.（ⅱ）由ACAPPC=+，BDBPPD=+，又直线1l，2l相互垂直，即,APPDPCBP⊥⊥，所以()()ACBDAPPCB

PPDAPBPPCBPAPPDPCPD=++=+++APBPPCPD=+，若11223344(,),(,),(,),(,)AxyCxyBxyDxy，则11332244(1,),(1,),(1,),(1,)APxyBPxyPCxyPDxy=−−=−−

=−=−，所以131313242424()()2ACBDxxxxyyxxxxyy=−+++−+++，令:1ABxty=+，则:1yCDxt=−+，且0t，联立22114xtyxy=++=，可得22(4)230t

yty++−=，显然0，则13224tyyt+=−+，13234yyt=−+，同理242241tyyt+=+，2242341tyyt=−+，所以2222131313222324(1)()11444tttxxtyytyyt

tt−=+++=−−+=+++，131328()24xxtyyt+=++=+，2242424222211324(1)()11414141txxyyyyttttt−=−++=−−+=+++，22424218()241txxyytt+=−++=+，所

以222222222222224(1)834(1)83477422444414141441ttttttACBDtttttttt−−++=−−+−−+=−−++++++++422242222236423(1)21541744(1)9(1)9ttttttt+++=−=−+++++−，令2

11mt=+，则1(0,1)m，所以()()()22222222211141,994992541125419194924tmmmttmmm+==−=−+−+++−−−−−，综上，1512,45ACBD

−−【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到ACBDAPBPPCPD=+，设:1ABxty=+，则:1yCDxt=−+，且0t，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到ACBD

关于参数t的方程是关键.