【文档说明】北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，896.653 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-051124eef3480a827bda1773357923a5.html

以下为本文档部分文字说明：

怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测数学2024.7注意事项：1．考生要认真填写姓名和考号．2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟．3．试题所有答案必须填涂或书写在答题

卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．）1.集合20Axx=+，31Bxx=−，则AB=（）A.21xx−B.3xx−C.2,1,0−−D.2,1,0,1−−【答案】A【解析】【分析】根据题

意求集合A，再结合交集运算求解.【详解】由题意可知：20|2Axxxx=+=−，所以AB=21xx−.故选：A.2.等比数列12，1−，2，4−，……，则数列的第七项为（）A.32B.32−C.64D.64−【答案】A【解析】【分析】观察等比数列

的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项.【详解】设该等比数列为na，数列na的公比为q，由已知，112a=，21a=−，所以2q=−，所以数列na的通项公式为()1122−=−nna，所以()6712322a=−=.故

选：A.3.在二项式62xx−的展开式中，常数项为（）A.20B.40−C.80D.160−【答案】D【解析】【分析】利用二项式62xx−的通项6216(2)CkkkkTx−+=−解决问

题.【详解】二项式62xx−的通项为666216662C()C(2)(2)CkkkkkkkkkkkTxxxxx−−−−+=−=−=−，要使其常数，则620k−=，即3k=，故常数项为3346(2)C160T=−=−.故选：D4.已知函数()sin1fxx=+，

则π()3f的值为（）A.12−B.12C.32D.32【答案】B【解析】【分析】对函数求导后，将π3x=代入导函数中计算即可.【详解】由()sin1fxx=+，得()cosfxx=，所以ππ1cos33

2f==.故选：B为5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为14，则四道题中恰好做对2道的概率是（）A.9256B.27256C.27128D.81256【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公

式列式计算即得.【详解】依题意，四道题中恰好做对2道概率22241127C()(1)44128p=−=.故选：C6.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生

男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（）A.18B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典

概型求解即可.【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为12P=.故选：D7.已知函数()yfx

=的图象如图所示，则下列各式中正确的是（）A.(1)(3)(2)(3)ffff−B.(3)(1)(3)(2)ffff−C.(3)(3)(2)(1)ffff−D.(1)(3)(3)(2)ffff−【答案】

C【解析】【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.的【详解】设()()1,1Af，()()3,3Bf，()()2,2Cf，则()1f表示函数在点()()1,1Af处的切线3l的斜率，则()3f表示函数在点()()3,3Bf处的切线1l的斜率，()()()()323

232ffff−−=−表示()()3,3Bf，()()2,2Cf两点连线2l的斜率，又()fx在1,3上单调递增，且增长趋势越来越快，则函数在点()()1,1Af、()()3,3Bf的切线与过B、C的直线的草

图如下所示：由图可知123lllkkk，所以(3)(3)(2)(1)ffff−.故选：C8.若na是公比为q的等比数列，其前n项和为nS，10a，则“01q”是“nS单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列性质判断“01q”和“nS单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】由题意可知na是公比为q的等比数列，当10a，01q时，则1(1)1−=−nnaqSq，由于10q−，01nq

，且nq随n的增大而减小，故nS单调递增，当10a，1q=时，1nSna=也单调递增，推不出01q，故“01q”是“nS单调递增”充分而不必要条件，故选：A的9.设函数2()eaxfxxxb−=+，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为2ey=，则,ab值分别为（）A

.e,1ab==B.2,eab==C.1,1ab==D.1,eab==【答案】B【解析】【分析】对函数求导后，由题意可得()01f=，得到关于,ab的方程，再由(1)2ef=得到关于,ab的方程，解方程组可得结果.【详解】由2()eaxfxxxb−=+，得22()2ee

axaxfxxxbx−−−=−+，因为曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为2ey=，所以111(1)2e0eeaaafbb−−−−=−+−+==，1(1)e2eafb−==+，解得2,eab==.故选：B1

0.若函数()exfxxax=−，则根据下列说法选出正确答案是（）①当(2-,ea−−时，()fx在xR上单调递增；②当2(e,0)a−−时，()fx有两个极值点；③当(2-,ea−−时，

()fx没有最小值．A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】D【解析】【分析】求出导函数()fx，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.【详解】()(1)exfxxa=+−，设()

(1)exgxxa=+−，()(2)exgxx=+，当<2x−时，()0gx，()gx单调递减，2x−时，()0gx，()gx单调递增，所以2min21()(2)eegxgaa−=−=−−=−−，当-2ea−时，()0gx，即()0fx

，所以函数()fx在xR上单调递增，则没有最小值，①③正确；当2e0a−−时，()(1)e0xgxxa=+−=，即(1)exxa+=，设()(1)exhxx=+，由上面的研究可知，当<2x−时，()0hx，()hx单调递减，2x−时，()0hx，()hx单调递增，

所以2min21()(2)eehxh−=−=−=−，且当<2x−时，()0hx，且21(),0ehx−，2x−时，(1)0h−=，所以此时方程(1)exxa+=有两个解，即()(1)exgxxa=+−有两个零点，所以()fx有两个极值点，②正确，所以正确答案是①②

③.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．第二部分非选择题（共110分）

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11.已知等差数列na的前n项和nS，若157,1aa==−，则na=________；前n项和nS的最大值为______．【答案】①.29n−+

②.16【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，利用514aad=+即可求得d，从而求得,nnaS，从二次函数的角度思考，可求出nS的最大值.【详解】设等差数列na的公差为d，则151147,aaad=+==−，解得2d

=−，所以29nan=−+，()()12729822nnnaannSnn+−+===−+，当4n=时，nS的最大值为2448416S=−+=,故答案为：29n−+，16.12.若随机变量X的分布列为（如表），X123P16a13则=a______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望

E(Y)=__________．（用数字作答）【答案】①.12##0.5②.163##153【解析】【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.【详解】11163a++=12a=()111131236236EX=++=Y=2X+1()13162163EY=+=.故

答案为：12；163.13.若()62345601234561xaaxaxaxaxaxax+=++++++，则0246aaaa+++=______.【答案】32【解析】【分析】利用赋值法求解.【详解】根据题意，()62345601234561xaaxax

axaxaxax+=++++++，令1x=，得012345662aaaaaaa=++++++，令1x=−，得01234560aaaaaaa=−+−+−+，两式相加得：()6024622aaaa=+++，所以

50246232aaaa+++==.故答案为：32.14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向

外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第n个图形的周长________．【答案】①.48②.1433n−【解析】【分析】根据已知，结合图形

，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的13，边数是上一个图形4倍，因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.设第n个图形的周长为nb，则周

长之间的关系为()11423nnbbn−=，所以数列nb是首先为3，公比为43的等比数列，所以1433nnb−=.故答案为：48；1433n−.15.已知数列na的通项公式22nanan=−，则下列各项说法正确的是________．(

填写所有正确选项的序号)①当1a=−时，数列1na的前n项和1111(1)2212nTnn=+−−++；②若数列na是单调递增数列，则(,1a−；③Ra，数列na的前n项积既有最大值又有最小值；④若*N,4nn

a−恒成立，则(,2]a−．【答案】①④【解析】【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由1nnaa+求解a的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得22nan+，利用基本不等式求出22n

n+的最小值即可.【详解】对于①，当1a=−时，22nann=+，所以21111112(2)22nannnnnn===−+++，所以1111111111111112322423521122nTnnnn=−+−+−++−+−

−++111112212nn=+−−++，所以①正确，对于②，若数列na是单调递增数列，则1nnaa+，即22(1)2(1)2nannan+−+−，所以212na

+，所以12an+，因为*Nn，所以13122a+=，所以②错误，对于③，当0a=时，2nan=，则数列na的前n项积没有最大值，所以③错误，对于④，由4na−，得224nan−−，得24222nnann+=+，因为222222nnnn+=，当且仅当2n=时取等号

，所以22nn+的最小值为2，所以2a，所以④正确.故答案为：①④三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16.某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：满意度性别满意不满意弃权男生803010女生502010

（1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；（2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．【答案】（1）1320.（2）分布列见解析；期望为45

.【解析】【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【小问1详解】设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满

意的有130人，13()20PA=.【小问2详解】分层抽取比例515010==男生抽取人130310=，女生抽取120210=人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2-203225CC3(0)C10PX===-113225CC63(1)C105PX==

==-023225CC1(2)C10PX===X012P31035110随机变量X的数学期望3314()012105105EX=++=.17.已知等差数列na的前n项和为nS，且4310,18a

S==.（1）求等差数列na的通项公式；（2）若各项均为正数的数列nb其前n项和为nT，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设nnncab=+，求数列nb的通项公式和数列

nc的前n项和nM.条件①：31=−nnT；条件②：112,3nnbbb+==；条件③：2n且Zn都有211nnnbbb−+=成立，1332,bbS==.【答案】（1）22nan=+（2）12

3nnb−=，(3)31nnMnn=++−【解析】【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.（2）条件①利用数列前n项和和通项公式的关系求出123nnb−=，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出123nnb−=，再利用分组求和

法求和即可，条件③设出首项和公比，求出123nnb−=，再利用分组求和法求和即可.【小问1详解】已知等差数列na中，满足4310,18aS==.设首项为1a，公差为d，得到41313103318aadSad=+==+=，解得1

42ad==，22nan=+【小问2详解】选条件①31nnT=−.当1n=时，1312b=−=，当2n时，11n1(31)(31)23nnnnnbTT−−−=−=−−−=，当1n=时，01232b==，

123nnb−=1123323nnnnbb+−==，nb是以2为首项，3为公比的等比数列，设1(22)23nnnncabn−=+=++的前n项和为nM，021423623823(22)23nnMn−=++++++++

+0231(46822)2(33333)nn−=+++++++++++4(22)132(3)31213nnnnnn++−=+=++−−.选条件②112,3nnbbb+==，nb是以2为首项，3为公比的等比数列，123nnb−=，设1(22)23nnnnc

abn−=+=++的前n项和为nM，021423623823(22)23nnMn−=+++++++++0231(46822)2(33333)nn−=+++++++++++4(22)132(3)31213nnnnnn++−=+

=++−−.选条件③2n且Zn都有211nnnbbb−+=成立，nb是等比数列，且设公比为q，1332,bbS==，12331218bbSbq====，29,3qq==(负根舍去)，

nb是以2为首项，3为公比的等比数列，123nnb−=，设1(22)23nnnncabn−=+=++的前n项和为nM，021423623823(22)23nnMn−=+++++++++023

1(46822)2(33333)nn−=+++++++++++4(22)132(3)31213nnnnnn++−=+=++−−.18.设函数321()313fxxxx=+−+，（1）求曲线y=()fx在点（0，(0)f）处的切线方程；（2）求函数()fx在区间4,3−

上的最大值与最小值；（3）若方程()fxb=在xR有三个不同的根，求b的取值范围．【答案】（1）31yx=−+（2）最大值为10；最小值为23−（3）2(,10)3b−【解析】【分析】（1）利用导

数的几何意义及直线的点斜式方程求解.（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.（3）利用导数确定函数321()313fxxxx=+−+的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为

两个函数的交点个数问题.【小问1详解】0x=代入得到(0)1f=，即切点坐标（0，1）由321()313fxxxx=+−+，得2()23fxxx=+−．()03f=−-所以曲线y=()fx在点（0，()fx）处的切线方程为31yx=−+.【小问2详解】由

321()313fxxxx=+−+，[4,3]x−得2()23fxxx=+−．令()0fx=，得2230xx+−=，解得3x=−或1x=()fx与()fx在区间[4,3]−上的情况如下：x-4()4,3−−-

3()3,1−1（1，3）3()fx+0−0+()fx233↗10↘23−↗10所以()fx在区间[4,3]−上，当x=-3或x=3时，()fx最大值为10；当x=1时，()fx最小值为23−．【小问3详解】若方程(

)fxb=在xR上有三个不同的根，可得y=()fx的图象与直线y=b有3个交点由（2）可知：x(),3−−-3（-3，1）1()1,+()fx+0−0+()fx↗10↘23−↗又当()xfx→+

→+时，；当-()-xfx→→时，所以2(,10)3b−时，方程()fxb=有三个不同根．-19.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：男生组：5，5

.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；女生组：5.5，6，6，6，6.5，7，7，8．用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；（

2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求X的分布列和数学期望()EX；（3）原女生组睡眠时间的样本方差为20s，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间

的样本方差为21s，写出20s与21s的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）417（2）分布列见解析；期望为1124（3）2201ss【解析】【分析】（1）直接计算该校高三学生睡眠时间在最佳范围的频率；的（2

）X的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；（3）直接判断写出20s与21s的大小关系．【小问1详解】设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，所以4()17PA=；【

小问2详解】由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，则31()93PB==，“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，1()8PC=，由条件可知，X的所有可能取值为0，1，2，117(0)(1)(1)3812P

X==−−=，111193(1)(1)(1)3838248PX==−+−==，111(2)3824PX===，所以X的分布列为：X012P71238124149111()01224242424EX=++=；【小问3详解】2201ss．

20.已知函数2()lnfxaxx=+，其中Ra（1）求函数()fx的单调区间；（2）当曲线()yfx=在点()1,1f（）处切线与直线yx=−垂直时，若函数()yfx=的图象总在函数()gxbx=图象的上方，则b的取值范围．【答案】（1）答案见解析的（2）(,1)−【解

析】【分析】（1）由题意，对函数()fx进行求导，分别讨论当0a和a<0这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；（2）对函数()fx进行求导，利用导数的几何性质求出1a=−，设出切点坐标，构造函数()2ln1hxxx=+−，得到切点坐标，进而可得b的取值范围．【小问1详解】因为2

()lnfxaxx=+，所以函数()fx的定义域为,()0x+22()2axafxxxx+=+=当0a时，22()20axafxxxx+=+=对任意的,()0x+恒成立，所以函数()fx的增区间为0,+（），无减区间；-当0a时，令22(

)20axafxxxx=+=+=，得22ax−=舍负，x20,2a−22a−2,2a−+()fx—0+()fx极小值所以()fx的减区间为20,2a−

，增区间为2,2a−+．综上所述，当0a时，函数()fx的增区间为0,+（），无减区间；当0a时，()fx的单调减区间为20,2a−，单调增区间为2,2a−+．【小问2详解】()2afxxx=+，

又曲线()yfx=在点1,(1)f（）的切线与直线yx=−垂直，(1)211faa==+=−，ybx=是一条过原点的直线，假设直线ybx=与曲线()yfx=相切，设切点坐标00,xy（），则200000ln12xxbxxbx−=−=所以200ln10xx+−

=，令2()ln1kxxx=+−则()'120kxxx=+恒成立，2()ln1kxxx=+−在,()0x+单调递增，(1)0k=，所以200ln10xx+−=有且仅有一解01x=，即切点坐标()1,1，当直线ybx=与曲线(

)yfx=相切时，切点()1,1，-此时直线ybx=的斜率为1，即1b=，所以当函数()yfx=的图象总在()gxbx=图象的上方时，1(,1)bb−【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；

2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性.21.已知数集12,,,nAaaa=（121,2naaan），若对任意的,ij（1ijn），ijaa与jiaa两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（1）分别判断数集B=1,2,

4与数集C=1,3,5,7是否具有性质P，并说明理由；（2）若数集A具有性质P．①当3n=时，证明11a=，且123,,aaa成等比数列；②证明：1212111()nnnaaaaaaa+++=++．【答案】（1）数集1,2,4具有性质P，1,3,5,7不具有性质P，理由见解析

（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可；（2）①根据题意分析可得21aa=322aaa=，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.【小问1详解】数集1,2,4具有性质P，

1,3,5,7不具有性质P，理由如下：因为11，12，14，22，42，44都属于数集1,2,4，所以1,2,4具有性质P；因为35，53都不属于数集1,3,5,7，所以1,3,5,7不具有性质P．【小问2

详解】①当3n=时，123,,Aaaa=，1231aaa．因为231aa，所以233aaa，333aaa，所以23aa与33aa都不属于A，因此32aAa，331aAa=，所以11a=．因为3321aaa，且32aAa

，所以322aaa=，且221aaa=，所以21aa=322aaa=，所以123,,aaa成等比数列．②因为12,,,nAaaa=具有性质P，所以nnaa，nnaa至少有一个属于A，因为121naaa，所以nnnaaa，nnaaA，因此1nnaAa=，1

1a=．因为121naaa=，所以knnaaa（2,3,4,kn=），故当2k时，knaaA，nkaAa，（2,3,4,kn=），又因为1231nnnnnnnaaaaaaaaaa−，则1nnaaa=，12nnaaa−=，L，21nnaaa−=，1nn

aaa=，可得121121nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa−−++++=++++，所以1212111()nnnaaaaaaa+++=++.【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定

义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.