【文档说明】海南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.721 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-04e439c7fa82f5ffaf5387a32973c09c.html

以下为本文档部分文字说明：

海南省2023—2024学年高一年级学业水平诊断（二）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目

的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()1,3a=与()4,bmm=−共线，则实数m=（）A.8B.6C.2D.12.若复数z满足()i2i0z+−=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.

已知3sin4=，且π0,2，则()cosπ−=（）A.14B.134C.14−D.134−4.习近平总书记提出的总体国家安全观强调“大安全”理念，在总体国家安全观提出十周年之际，某校为调查学生对总体国家安全

观的了解情况，从高一､高二､高三的学生中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生，若从高一､高二､高三抽取的学生人数分别为,40,mm，已知该校高中生共有1600人，高一学生有600人，则m=（）A60B.50C.40D.305.海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年

的文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球O被一个平面截得的一部分，若AB是截面圆O的直径，.2π3AOB=，圆O的面积为227πcm，则球O的体积为（）A.38643πcmB.3432πcmC.3288πcmD.314

4πcm6.从分别写有2,1,1,2−−的4张卡片中随机一次取出2张，设事件E为“写有1−的卡片被取出”，F为“写有2−的卡片被取出”，M为“取出的卡片上的数都大于0”，N为“取出的卡片上的数之和小于0”，则（）A.E与F是互斥事件B.M与N是对立事件CFN=D.MEF=

7.已知函数()()sin(0)fxx=+在区间π3π,44−上单调，且3ππ244ff−−=，则tan=（）A.3−B.1−C.1D.38.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，点O为其中心

，点P在边AB和BC（包含端点）上运动，则()OPOAOCOE−−的取值范围是（）A1,2−B.3,2−C.1,1−D.1,3−二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18

分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分...9.已知一组数据1,3,,2,0,0a，其中12a，则该组数据的（）A.极差为3B.平均数小于1C.中位数大于32D.70%分位数为210.已知,

zw为复数，则下列说法中正确的是（）A.若1z=，则21z=B.若zw=，则Rzw+C.若40zz+=，则2iz=D.zwzw+=+11.在长方体1111ABCDABCD−中，11,2,ABBCAAP===为棱1BB上的动点（与点B不重合），则下列说法中正确的是（）A.若P为棱1BB

的中点，则四面体PABC的外接球的表面积为3πB.四面体PABC不可能是正三棱锥C.若点P沿向量1BB的方向运动，则点P到平面1ACD的距离逐渐增大D.若点P在平面11ACCA上的射影为线段11AC的

中点，则异面直线AP与1AD所成角的余弦值为45三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.小李在网上买了一本书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为23，衣服按时送达

的概率为12，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为__________.13.如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度CD（D为塔顶，C为D在地面上的射影），甲在地面上的点A处测得点D的仰角为45，乙

在点B处测得点D的仰角为22.5,3302AB=米，且点,,ABC在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高CD=__________米.14.已知四面体ABCD的体积为,VABC和ABD△的面积分别为1S和2S，棱AB的长为c，若二面角CABD−−的大小为π3，且123SS=，则

cV=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在圆柱1OO中，CD是一条母线，AB是圆O的一条直径.（1）证明：ACBD⊥；（2）若1,3,ACBCDB==与平面ABC所成的角为π3，求圆柱1OO的表面积.16.第七届全国

青少年人工智能创新挑战赛于2024年4月至8月举行，赛程分为选拔赛和全国决赛两个阶段，其中一个项目的选拔赛需要选手操控智能机器人完成规则限定的任务.随机抽取参加该选拔赛的200名学生，统计其完成任务的时长（单位：min），将时长分为((((((0,5,5,10,10,15

,15,20,20,25,25,30六组，并画出频率分布直方图如图所示.（1）求图中a的值；（2）若规定选拔赛中完成任务的时长从小到大排名前35%的学生可以晋级全国决赛，试估计晋级全国决赛的学生在选拔赛中完成任务的最大时长；（3）已知同班甲､乙､丙､丁､戊参加了该选

拔赛，最终只有甲､乙晋级全国决赛，若从这5人中任意抽取2人，求抽取的2人中至少有1人晋级全国决赛的概率.17.如图，在四棱锥PABCD−中，AB⊥平面,PADAB//CD，且2,,,,ABCDEFGH

=分别是棱,,,PAPBPCPD的中点.的（1）求证：CF//平面PAD；（2）若PAD为等边三角形，2CDAD==，判断几何体EFGHABCD−是什么几何体，并求其体积.18.记ABC内角,,ABC的对边分别为,,abc，如图，已知sin

sin,2sinsinbcAABCaaCABC+−==−，点D在边AC上，7BD=.（1）求sinBDC；（2）若sin2sinADBA=，求线段AD的长.19.已知函数()21cos3sincos(0)2fxxxx=−−的最小正周期为π.（1

）求()fx在区间0,π上的单调递减区间；（2）将()fx的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()gx的图象，若关于x的方程()()22[sin]2sin510agxxg

xxa++−−+=在区间π0,4上有解，求实数a的取值范围.的海南省2023—2024学年高一年级学业水平诊断（二）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅

笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()1,3a=与()4,bmm=−共线，则实数m=（）A.8B.6C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.【详解】由题意得()34mm=−，解得6m=.故选：B.2.若复数z满足()i2i

0z+−=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】CC【解析】【分析】计算得到12iz=−−，再根据定义判断即可.【详解】由()i2i0z+−=知()()i2iii212iz=−−=−=−−，故z在复平面内对应()1,2−−

，在第三象限.故选：C.3.已知3sin4=，且π0,2，则()cosπ−=（）A.14B.134C.14−D.134−【答案】D【解析】【分析】由的范围及3sin4=，利用同角三角函数间的基本关系求出13cos4=，再用诱导公式得出()cosπcos−=−即可求值

．详解】解：3sin4=，π0,222313cos1sin144=−=−=，()13cosπcos4−=−=−，故选：D．4.习近平总书记提出的总体国家安全观强调“大安全”理念，在总体国家安全观提出十周年之际，某校为调查学生对总体国家安全观的了解

情况，从高一､高二､高三的学生中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生，若从高一､高二､高三抽取的学生人数分别为,40,mm，已知该校高中生共有1600人，高一学生有600人，则m=（）A.60B.50C.40D.30【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样列式计

算即得.【详解】依题意，2401600600mm+=，解得60m=.故选：A5.海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球O被一个平面截得的一部

分，若AB是截面圆O的直径，2π3AOB=，圆O的面积为227πcm，则球O的体积为（）【A.38643πcmB.3432πcmC.3288πcmD.3144πcm【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出圆O的半径，进而求出球半径即可得解.【详解】由圆O的面

积为227πcm，得圆O的半径33cmr=，又等腰AOB的顶角2π3AOB=，则球半径6πcos6rROA===（cm），所以球O的体积334π4π6288π33VR===（3cm）故选：C6.从分别写有2,1,1,2−−的4张卡片中随机一次取出2张，设事件

E为“写有1−的卡片被取出”，F为“写有2−的卡片被取出”，M为“取出的卡片上的数都大于0”，N为“取出的卡片上的数之和小于0”，则（）A.E与F是互斥事件B.M与N是对立事件C.FN=D.MEF=【答案

】D【解析】【分析】对于A，给出2,1−−即可作为反例；对于B，给出2,2−即可作为反例；对于C，给出2,2−即可作为反例；对于D，论证M发生等价于EF发生即可.【详解】对于A，由于当同时取出2,1−−时，E与F同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误；对于B，由于当同时取出2,2−时，

M与N都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误；对于C，由于当同时取出2,2−时，F发生，N不发生，所以它们不相等，故C错误；对于D，由于M发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即,EF至少有一个

发生，故MEF=，故D正确.故选：D.7.已知函数()()sin(0)fxx=+在区间π3π,44−上单调，且3ππ244ff−−=，则tan=（）A.3−B.1−C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性及3ππ244ff−

−=，得出3ππ1,144ff=−=−，建立,的等式进行求解即可．【详解】解：()()sin(0)fxx=+在区间π3π,44−上单调，且3ππ244ff−−=，3ππ1,144ff=−=−

，3π3πππsin1,sin14444ff=+=−=−+=−，不妨取：3ππ42ππ42+=−+=−，解得：π1,4==−符合题意，故πtantan14=−=−

，故选：B．8.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，点O为其中心，点P在边AB和BC（包含端点）上运动，则()OPOAOCOE−−的取值范围是（）A.1,2−B.3,2−C.1,1−D.1,3−【答案】A【解析】【分析】根据向量加减

法的平行四边形和三角形法则，得()OPOAOCOEOPDA−−=，再由数量积的定义可知，OPDA的最值.【详解】因为()OAOCOEOAOCOEOAODDA=−=−−−+=，所以()OPOAOCOEOPDA−−=，由题意得

，2DA=，设OP与DA的夹角为，则cos2cosOPDAOPDAOP==，当点P在点C处时，OPDA取得最小值为1−，当点P在点A处时，OPDA取得最大值为2，所以()OPOAOCOE−−的取值范围是1,2

−.故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1,3,,2,0,0a，其中12a，则该组数据的（）A.极差为3B.平均数小于1C.中位数大

于32D.70%分位数为2【答案】AD【解析】【分析】利用极差，平均数，中位数，百分位数的求解方法结合12a依次求解出来，即可判断．【详解】解：12a，极差为：303−=，故A正确，符合题意；13200655aa++++++=，6855715a+，

故平均数大于1，故B错误，不符合题意；将1,3,,2,0,0a从小到大排列好的：0,0,1,,2,3a，中位数为：13122a+，故C错误，不符合题意；670%4.2=，故70%分位数2，故D正确，符合题意；故选：AD．10.已知,zw为复

数，则下列说法中正确的是（）A.若1z=，则21z=B.若zw=，则Rzw+C.若40zz+=，则2iz=D.zwzw+=+【答案】BD【解析】【分析】对于A，举例判断，对于B，令i(,R)wcdcd=+，则表示出z，再计算zw+判断，对于C，由40zz+=求出z判断即可，对于D，令i(,R

)zabab=+，i(,R)wcccd=+，分别计算左右两边进行判断.【详解】对于A，若iz=，则1z=，而21z=−，所以A错误，对于B，令i(,R)wcdcd=+，则izwcd==−，所以ii2Rzwcdcdc+=−+

+=，所以B正确，对于C，由40zz+=，得24z=−，所以2iz=或2iz=−，所以C错误，对于D，令i(,R)zabab=+，()i,Rwcdcd=+，则ii()()izwabcdacbd+=+++=+++，

所以()()izwacbd+=+−+，因为ii()()izwabcdacbd+=−+−=+−+，所以zwzw+=+，所以D正确，故选：BD11.在长方体1111ABCDABCD−中，11,2,ABBCAAP===为棱1BB上的动点（与点B不重合），则下列说法中正确的是

（）A.若P为棱1BB的中点，则四面体PABC的外接球的表面积为3πB.四面体PABC不可能是正三棱锥C.若点P沿向量1BB的方向运动，则点P到平面1ACD的距离逐渐增大D.若点P在平面11ACCA上的射影为线段11AC的中点，则异

面直线AP与1AD所成角的余弦值为45【答案】ACD【解析】【分析】分别取111AACCDD、、的中点ENM、、可得正方体−EPNMABCD与四面体PABC有相同的外接球，求出正方体的体对角线可判断A

；根据==BABCBP，、、BABCBP互相垂直，==APCPAC可判断B；根据平面1//ACD平面11ABC，1BB平面11ABCB=可判断C；由1B与P重合，则1ABC或其补角即为异面直线AP与1AD所成的角，由余弦定理可判断D.【详解】对于

A，分别取111AACCDD、、的中点ENM、、，连接、、、PEPNMNME，可得−EPNMABCD为正方体，所以正方体−EPNMABCD与四面体PABC有相同的外接球，且外接球的半径为1311122++=，则四面体PABC的外接球的表面积为234π3π2=，故A正确；

对于B，若P为棱1BB的中点，则1===BABCBP，连接,,APBPAC，且、、BABCBP互相垂直，222=+=APABBP，222=+=CPPBBC，222ACABBC=+=，所以==APCPAC，则四面体PABC是正三棱锥，故B错误；对于C，连接1111,,ABBCAC，可得11//A

CAC，11//ABDC，因为11AC平面1ACD，AC平面1ACD，所以11//AC平面1ACD，1AB平面1ACD，1DC平面1ACD，所以1//AB平面1ACD，又1111=ACABA，11

1、ACAB平面11ABC，所以平面1//ACD平面11ABC，因为1BB平面11ABCB=，则点P到平面11ABC的距离逐渐增大，则点P到平面1ACD的距离逐渐增大，故C正确；对于D，因为1BB⊥平面

1111DCBA，11AC平面1111DCBA，所以111BBAC⊥，若点P在平面11ACCA上的射影为线段11AC的中点，则1B与P重合，连接1，BCAC，可得11//ADBC，则1ABC或其补角即为异面直线AP与1AD所成的角，因为11145==+=ABBC，2AC=，由余弦定理得2

22111115524cos2105+−+−===ABBCACABCABBC，则异面直线AP与1AD所成角的余弦值为45，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方

法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心

一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.小李在网上买了一本

书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为23，衣服按时送达的概率为12，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式即可得到答案.【详解】

根据独立事件的乘法公式知小明买的书和衣服都能按时送达的概率为211323=.故答案为：13.13.如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度CD（D为塔顶，C为D在地面上的射影），甲在地面上的点A处测得点D的仰角为45，乙在点B处测得点D的仰角为22.5,3302

AB=米，且点,,ABC在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高CD=__________米.【答案】330【解析】【分析】由题意可知3302ABAD==，然后在RtACD△中利用锐角三角函数的定义可求得结果.【详解】由题意得45,22.5DACDB

A==,所以22.5ADBDACDBA=−=，所以DBAADB=，所以3302ABAD==，在RtACD△中，sinCDDACAD=，所以2sin33023302CDADDAC===（米）故答案为：33014.已知四面体ABCD的体积为,VABC和A

BD△的面积分别为1S和2S，棱AB的长为c，若二面角CABD−−的大小为π3，且123SS=，则cV=__________.【答案】3【解析】【分析】设三棱锥DABC−的高为h，由棱锥的体积公式求出13VhS=，再12π3sin32cVSS=结合123SS=，即可求出答案.【详解】

设三棱锥DABC−的高为h，则113ShV=，所以13VhS=，设ABD△的边AB上的高为1h，则1212hcS=，所以212Shc=，二面角CABD−−的大小为π3，.所以112π3sin32hcVhSS==，又123SS=，所以3,322cVcV==．故答案为：3.

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在圆柱1OO中，CD是一条母线，AB是圆O的一条直径.（1）证明：ACBD⊥；（2）若1,3,ACBCDB==与平面ABC所成的角为π3，求圆柱1OO的表面积.【答案】（1）证明见解析（

2）8π【解析】【分析】（1）通过母线的概念，直径对应的圆周角为角得出线线垂直，进一步证明线面垂直，再得到线线垂直；（2）先利用勾股定理求出圆的直径，再根据线面角的定义得出π3CBD=，再利用三角函数求出3CD=，最后直接利用圆柱的表面积公式求解即可.【小问1详解

】CD是一条母线，AB是圆O的一条直径，,90CDACACB⊥=，ACBC⊥，又,,CDCBCCBCD=平面BCD，AC⊥平面BCD，BDQ平面BCD，ACBD⊥；【小问2详解】1,3ACBC==，设圆O的半径为r，2211122rABA

CBC==+=，DB与平面ABC所成的角为π3，π3CBD=，tan333CDBCCBD===，圆柱1OO的表面积为：22π2π2π2π38πrrCD+=+=.16.第七届全国青少年人工智能创新挑战赛于2024年4月至8月举行，赛程分为选拔赛和全国决赛两

个阶段，其中一个项目的选拔赛需要选手操控智能机器人完成规则限定的任务.随机抽取参加该选拔赛的200名学生，统计其完成任务的时长（单位：min），将时长分为((((((0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30六组，并画出频率分布直方图如图所示.（1）求图中a

的值；（2）若规定选拔赛中完成任务的时长从小到大排名前35%的学生可以晋级全国决赛，试估计晋级全国决赛的学生在选拔赛中完成任务的最大时长；（3）已知同班的甲､乙､丙､丁､戊参加了该选拔赛，最终只有甲､乙晋级全国决赛，若从这5人中任意抽取2人，求抽取的

2人中至少有1人晋级全国决赛的概率.【答案】（1）0.046a=（2）7min（3）710【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出a；（2）先判断35%分位数的位置，然后列方程求解即可；（3）列出从这5人中任意抽取2人，再找出至少有一人晋级全

国决赛的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.【小问1详解】由图可知(0.060.0240.030.020.02)51a+++++=，解得0.046a=；【小问2详解】由频率分布直方图可知(0,5]的频率为0.04650.230.35=，

(0,10]的频率为(0.0460.06)50.530.35+=，所以样本数据的35%分位数在(5,10]内，设为x，则0.230.06(5)0.35x+−=，解得7x=，所以估计晋级全国决赛的学生在选拔赛中完成任务的最大时长为7min；

【小问3详解】从这5人中任意抽取2人，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共有10种情况，其中抽取的2中至少有1人晋级全国决赛有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，有7种情况，所以所求概率为710.17.如图，在四棱

锥PABCD−中，AB⊥平面,PADAB//CD，且2,,,,ABCDEFGH=分别是棱,,,PAPBPCPD的中点.（1）求证：CF//平面PAD；（2）若PAD为等边三角形，2CDAD==，判断几何体EFGHABCD−是什么几何体，并求其体积.【答案】（1）证明见解析（

2）几何体EFGHABCD−是棱台，其体积为1339【解析】【分析】（1）只需通过证明四边形EFCD是平行四边形，得出//CFDE，再结合线面平行判定定理即可得证；（2）只需通过线面平行、面面平行的判定定理证明平面//EHGF平面ADCB，即可得出几何体EFGHABCD−是棱台，只需算出两

个底面边长的相似比，以及其中一个底面的面积即可得出两个底面的面积，再计算出棱台的高即可求解.【小问1详解】如图，连接DE，因为,EF分别为,PAPB的中点，所以1//,2EFABEFAB=，又因为//,2ABCDAB

CD=，所以//,EFCDEFCD=，即四边形EFCD是平行四边形，所以//CFDE，又因为CF平面PAD，DE平面PAD，所以CF//平面PAD；【小问2详解】因为,,,EFGH分别是棱,,,PAPBPCPD的中

点.所以11//,,//,22EHADEHADHGCDHGCD==，因为EH平面ABCD，AD平面ABCD，所以//EH平面ABCD，同理可得//HG平面ABCD，又因为EHHGH=，EH平面EHGF，HG平面

EHGF，所以平面//EHGF平面ADCB，的所以几何体EFGHABCD−是棱台，过点P作PQAD⊥于点Q，因为AB⊥平面PAD，PQ平面PAD，所以PQAB⊥，又因为PQAD⊥，ABADA=，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，由以上分析

可知四边形EHGF与四边形ADCB相似，且相似比12EHPEADPA==，而PAD为等边三角形，2CDAD==，设棱台EFGHABCD−的高、体积分别为,hV，棱台的下底面ADCB、上底面EHGF的面积分别为12,SS，

所以113322222hPQ===，棱台的下底面ADCB是分别以2,24CDABCD===为底，以2AD=为高的直角梯形，所以()21211132426,222SSS=+===，所以()12121122313366333329VSSSSh=++=++=，

即棱台EFGHABCD−的体积为1339.18.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，如图，已知sinsin,2sinsinbcAABCaaCABC+−==−，点D在边AC上，7BD=.（1）求sinBDC；（2）若sin2sinADBA=，求线段AD的长.【答案

】（1）217（2）3【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得222abcab+−=，再利用余弦定理得π3C=，最后再利用正弦定理解三角形即可；（2）根据正弦定理得27c=，再求出27cos7ADB

=−，最后余弦定理即可得到答案.【小问1详解】因为sinsinsinsinbcAABCaCABC+−=−，由正弦定理可得bcabacb+−=−，即222abcab+−=.由余弦定理可得2221cos222ab

cabCabab+−===，又(0,π)C，所以π3C=.在BCD△中，由正弦定理可得sinsinaBDBDCC=，所以32sin212sin77aCBDCBD===.【小问2详解】在ADB中，由正弦定理可得sinsincBDADBA=，又sin2sinADBA=，所以227cBD==

.因为BDa，所以BDC为锐角，则ADB为钝角，所以2222127cos1sin1sin177ADBADBBDC=−−=−−=−−=−.在ADB中，由余弦定理可得2222coscADBDADBDADB=+−

，即227287277ADAD=+−−，即24210ADAD+−=，解得3AD=(负值舍去).故线段AD的长为3.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是先利用正弦定理得27c=，再求出27cos7ADB=−，最后利用余弦定理得到关于AD的方程，解出即可

.19.已知函数()21cos3sincos(0)2fxxxx=−−的最小正周期为π.（1）求()fx在区间0,π上的单调递减区间；（2）将()fx的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐

标伸长为原来的2倍，得到()gx的图象，若关于x的方程()()22[sin]2sin510agxxgxxa++−−+=在区间π0,4上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）π0,3和5π,π6（2）311,2+【解析】【分析

】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形结合周期可求出π()cos23fxx=+，再由π2π2π2π,Z3kxkk++结合0,πx可求得结果；（2）利用三角函数图象变换规律求出()cosgxx=，则方程转化为22[cossin]2cossin510axxxa+

+−−+=，令cossintxx=−，则22121tat+=+，再变形后，利用换元法可求出答案.【小问1详解】()21cos3sincos(0)2fxxxx=−−1cos231sin2222xx+=−−13cos2sin222xx=−πcos23x=+

，因为()fx最小正周期为π，所以2ππ2T==，得1=，所以π()cos23fxx=+，由π2π2π2π,Z3kxkk++，得ππππ,Z63kxkk−+，因为0,πx，所以当0k=时，π03x

，当1k=时，5ππ6x，所以()fx在区间0,π上的单调递减区间为π0,3和5π,π6；【小问2详解】将()fx图象先向右平移π6个单位长度，得到ππcos2()cos263yxx=−+=

，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得cosyx=，所以()cosgxx=，方程()()22[sin]2sin510agxxgxxa++−−+=，即为方程22[cossin]2cossin510axxxa++−−+=，令πcossin2cos4t

xxx=−=+，因为π0,4x，所以πππ,442x+，所以[0,1]t，因为22(cossin)(cossin)2xxxx++−=，所以22(cossin)2xxt+=−，所以原方程化为22(2)2510atta−+−+=，的所以22211

21221211132224tttatttt+++===+++−++，令12st=+，则13,22s，2133144sassss==−++−，因为34pss=+在13,22上递减，在33,22上递

增，所以当32s=时，min3p=，则max312a+=，因为当12s=时，2p=，当32s=时，2p=，所以min1a=，所以实数a的取值范围为311,2+.【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公

式应用，考查三角函数图象变换规律，考查求余弦函数的值域，第（2）问解题的关键是复利用多次换元将问题转化为求对勾函数在闭区间上的值域，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.的