【文档说明】安徽省皖江名校联盟2025届高三上学期第一次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.822 MB，由小赞的店铺上传

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数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水

签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合22,(1)4AxxBxx==−，则AB=（）A.2xxB.

12xx−C.3xxD.13xx−【答案】C【解析】【分析】先解出集合B，再进行集合的并集运算.【详解】因为2,13AxxBxx==−，所以3ABxx=.故选：C2.已知复数

z满足()()22i1iz−=+，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算法则可求z，进而可得共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由()()22i1iz−=+，可得

()22i12ii2iz−=++=，所以()()()2i2i2i24i24i2i2i2i555z+−+====−+−−+，所以2455iz=−−.所以复数z的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为24(,)55−−，位于第三象限.故选：C.3.已知平面向量a、b满足(1

,3)a=，||4ab−=，则b的取值范围是（）A.[2,6]B.2,23C.23,6D.1,23【答案】A【解析】【分析】设(,)bxy=，由题意可得22||(1)(3)4abx

y−=−+−=，进而可求b的取值范围.【详解】设(,)bxy=，又(1,3)a=，(1,3)abxy−=−−，因为||4ab−=，所以22||(1)(3)4abxy−=−+−=，所以(,)xy在以(1

,3)C为圆心，4为半径的圆上，又||2OC=，则22[42,42]bxy=+−+，即[2,6]b.故选：A.4.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）

A.20种B.40种C.60种D.80种【答案】C【解析】【分析】利用分组分配问题分类讨论一一计算即可.【详解】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组；2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组

，余下一组；所以分配方法()1123425555CCCCC60+++=.故选：C5.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车

床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（）A.0.054B.0.0535C.0.0515D.0.0525【答案】B【解析】【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、

B、C，该零件为次品为事件D，根据全概率公式求解.为【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，则()0.25PA=，()0.3PB=，()0.45PC=，(

)|0.06PDA=，()()||0.05PDBPDC==，任取一个零件是次品的概率()()()()()()()|||PDPAPDAPBPDBPCPDC=++0.060.250.050.30.050.450.0525=

++=，故选：B6.已知直线()00xykk+−=与圆224xy+=交于不同的两点,AB，O是坐标原点，且有3OAOBAB+，则实数k的取值范围是（）A.()3,6B.)2,6C.)6,22D.)6,23【答案】C【解析】【分析】设AB中

点为C，由条件得出AB与OC的关系结合点到直线的距离解不等式即可.【详解】设AB中点为C，则OCAB⊥，∵3OAOBAB+，∴23OCAB，∴233ABOC，∵222144443OCABOC+=，即23OC，又∵直线()00xykk+−=与圆224xy+=交于不同的两点

AB、，∴24OC，故243OC，则2432k−，0,622kk.故选：C．7.已知函数24,0()log,0xxfxxxx+=，2()gxxaxb=++，若方程()0gfx=

有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28−B.28C.14−D.14【答案】A【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()fx的大致图象，如下令()fxt=，则(

)20gttatb=++=，根据()fx的图象可知：要满足题意必须()0gt=有两个不等根()1212,tttt，且()1fxt=有两个整数根，()2fxt=有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,yt

yxx==+相切时符合题意，因为4424xxxx+=，当且仅当2x=时取得等号，又()()22loglog0yxxx==−，易知其定义域内单调递减，即()14fxt==，此时有两个整数根2x=或16x=−，而要满足()2fxt=有三个整数根，结合()fx图象知必有一根小

于2，显然只有1x=符合题意，当1x=时有()15f=，则25t=，解方程45xx+=得25t=的另一个正根为4x=，又()2log5x−=32x=−，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x=−−，显然最大的根和最小的根和为()43228+−=−.故选：A8.“三角换元思想”是三角函数中基

本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知()2220xyrr+=，求xy+的最大值.我们令cosxr=，sinyr=，则(cossin)xyr+=+.这样我们就把原问题转化为三角函

数最值问题.已知(,)Axy是曲线()33600,0xyxyxy+−=上的点，则22xy+的最大值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】D【解析】分析】设πcos,sin,(0,)2xryr==，可得33s6

cossincosinr=+，令cossint=+，进而可得2236(1)612(3)3trttttt−==−+−−，令33ytt=−，利用导数可得其单调性，进而可求最大值.【详解】设πcos,sin,(0,)2xryr==，由()33600,0xyxyxy+−=

，可得23333cossincossn6irrr=+，则33cossin(cossin)(1sincos)6cossin6cossinr==+−+，设πcossin2sin()(1,2]4t=+=+，则21cossin

2t−=，所以2236(1)612(3)3trttttt−==−+−−，令33ytt=−，则2330yt=−，所以33ytt=−在(1,2]上单调递减，的【所以36123rttt=−+−在(1,2]上单调递增，所以当2t=时取最

大值，最大值为max32r=，所以22xy+的最大值为18.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图

，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A.直线BC与平面11ABCD所成的角等于π4B.四棱锥11−CABCD的体积为13C.两条异面直线1DC和1BC所成的角为π3D.二面角1CBCD−−的平面角的余弦值为33−【

答案】ABC【解析】【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由CH⊥平面11ABCD即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D．【详解】如图，取1BC的中点H，连接CH，则1CHBC⊥，而AB⊥平面1

1BCCB，CH平面11BCCB，得CHAB⊥，11,,ABBCBABBC=平面11ABCD则CH⊥平面11ABCD，所以1CBC是直线BC与平面11ABCD所成的角为π4，故A正确；点C到平面11ABCD的距离为CH的长度为22，则

1111121123323−===CABCDVABBCCH，故B正确；易证11//BCAD，所以异面直线1DC和1BC所成的角为1ADC或其补角，因为1ACD△为等边三角形，所以两条异面直线1DC和1BC所成的角为π3，故C正确；连接

DH，由1BDDC=，所以1DHBC⊥，又1CHBC⊥，所以CHD为二面角1CBCD−−的平面角，易求得62DH=，又1CD=，22CH=，由余弦定理可得2223cos23DHCHCDCHDDHCH+−==，故D错误．故选：ABC．10.已知

数列na满足112222nnnaaan−+++=，则（）A.1nan=+B.na的前n项和为(2)2nn+C.()1nna−的前100项和为100D.5na−的前30项和为357【答案】AD【解析】【分析】当2n时，

()211212212nnnaaan−−−+++=−，两式相减可求出na，检验1a满足na，可判断A；由等差数列的前n项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.【详解】当1n=时，12a=，当2n时，()211212212nnnaaan−−−+++=−，两式相减可得：

()()111221212nnnnnannn−−−=−−=+，所以1nan=+，显然当1n=时，1a满足na，故1nan=+，故A正确；由等差数列求和公式知na的前n项和为()221322nnnn+++=，故B错误；令()()()111nnnnban=−=−+，nb的前

100项和为：234510010115050−+−++−+==，故C错误；令54nncan=−=−，所以5na−的前30项和为：123032101226ccc++=++++++++()2702663572+=+=，故D正确.故选：AD.11.中国

结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点(,0)Ma−，(,0)Na距离之积等于()20aa的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当2a=时的双纽

线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.点P的横坐标的取值范围是[2,2]−B.|𝑂𝑃|的最大值是22C.PMN面积的最大值为2D.PMPN+的取值范围是4,42【答案】BCD【解析】【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可.【详解】设

(,)Pxy是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：22222()()xayxaya++−+=，当2a=时，曲线的方程为22222(2)(2)2xyxy++−+=，对于A：整理可得：22241616xyx++=+，则222161640yxx=+−−，可得4280xx−，解得2222−x

，故A错误；对于B，222||16164OPxyx=+=+−，因为2222−x，所以288x−，所以2216161616814412x++==，所以||12422OP=−=，即曲线上任意一点到坐标原

点O的距离的最大值为22，故B正确；对于C：222161640yxx=+−−，令21616[4,12]tx=+，则221116xt=−，所以22221113(16)3(8)1161616yttttt=−−=−−−=−−+，所以当8t=时，2max()1y=，所以PMN面积的最大值为141

22=，故C正确；对于D：222222222(2)(2)2(2)(2)224xyxyxyxy+++−+++−+==，当且仅当2222(2)(2)xyxy++=−+，即0,0xy==时取等号，2222222222222((2)(2))(2)(

2)2(2)(2)xyxyxyxyxyxy+++−+=+++−++++−+222222()8222(22)82232xy=+++++=，所以22222((2)(2))42xyxy+++−+，所以PMPN+

的取值范围是4,42，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用双纽线的定义求得曲线方程是关键，进而利用不等式求得最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知10coscos10

+=，310sinsin10+=，则cos()−=______.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】把所给式子两边平方相加可求得结果.【详解】由10coscos10+=，可得22cos2coscoscos101++=①，由310sinsin10+=

，可得22sin2sinsinsin109++=②，所以①+②，可得12coscos2sinsin11+++=,所以2cos()1−=−，所以1cos()2−=−.故答案为：12−.13.

椭圆C：2214xy+=的左右焦点分别为1F、2F，点M为其上的动点.当12FMF为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________【答案】2626,33−【解析】【分析】设点(,)Mxy，由余弦定理得12cos0

FMF，再结合22x−即可求解.【详解】设(,)Mxy，焦点1(3,0)F−，2(3,0)F.因为12FMF为钝角，所以22212121212cos02MFMFFFFMFMFMF+−=，即()()222222212123312MFMFFFxyx

y++++−+.整理得：223xy+.因为点𝑀(𝑥,𝑦)在椭圆2214xy+=上，2214xy=−代入得283x解得262633x−又因为22x−，所以点M纵坐标x的取值范围262633x−.故答案为：2626,33−.14.“算24”游戏是以除去大小王

的52张扑克牌为载体，任意抽取4张，把扑克牌对应的4个整数（A=1，J11=，Q12=，K13=）通过加减乘除（没有乘方开方）以及括号运算，使最后的运算结果是24的一个数学游戏.因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在

集合*|13,N1,2,3,,13Mnnn==中每次任选1个数，选4次得到4个整数，记为数组(,,,)abcd，因为算24和选取4个数的顺序无关，可以假设abcd.比如)3,4,6,11(.显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那

么所有不同的数组一共有______个.如果数组为)1,6,6,8(，写出一个结果为24的算式______.【答案】①.1820②.()6168−【解析】【分析】分类讨论abcd,,,中相等的个数，结合组合数运算求解；若数组为)1,6,6,8(，直接运算即可.【详解】因为数组(,,,

)abcd，且abcd，若abcd,,,中四个数相等，所有不同的数组一共有113C13=个；若abcd,,,中三个数相等，所有不同的数组一共有12213CC156=个；若abcd,,,有且仅有2个数相等，所有不同的数组一共有13313CC858=个；若abcd,,,中有2组2个数相等，所有

不同的数组一共有213C78=个；若abcd,,,中没有数相等，所有不同的数组一共有413C715=个；所以所有不同的数组一共有13156858787151820++++=个；如果数组为)1,6,6,8(，则()616824−=.故答案：1820

；()6168−.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角、、ABC的对边分别为abc、、，面积为S，且()22243Sbac=−−.（1）求B；（2）若2a=，27b=，D为AC边的中点，求BD的长.【答案】（1）2

π3（2）3【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；（2）利用余弦定理先求c，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可.【小问1详解】由三角形面积公式及条件可知：()222432sinSbacacB=−

−=，由余弦定理知2222cosbacacB−−=−，所以3cossintan3BBB−==−，为因为()0,πB，所以2π3B=；【小问2详解】结合（1）的结论，根据余弦定理有22222cos2240ac

bacBcc+−=−−=，所以4c=，易知2BDBABC=+uuuruuruuur，所以222142164224122BDBABCBABC=++=++−=，即3BD=.16.如图，四棱锥SABCD−中，底面ABCD是矩形，2SAAD==，22AB=，4SC=，M是SB的中点，

MCBD⊥.（1）证明：SA⊥平面ABCD；（2）若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为3010，求SPSC的值.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）取AB的中点N，

连接,MNCN，推导出BD⊥平面CMN，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设SPSC=，其中01≤≤，求出平面AMC的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，

解出的值，即可得解.【小问1详解】取AB的中点N，连接,MNCN，BD与CN交于Q点，在底面矩形ABCD中，易知tan2tanDCBCDBCBNCBCBN====，所以BNCDBCBDCN=⊥，因为,,MCBDMCNCCMCNC⊥=、平面CMN，

所以BD⊥平面CMN，因为MN平面CMN，所以BDMN⊥，易知//MNSA，所以BDSA⊥，由题意可知2222212ACADABSCSA=+==−,所以SAAC⊥，而,ACBD相交，且,ACBD平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD；【小问2详解】由上可知SAAD⊥，SAAB⊥，AB

AD⊥，以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则𝐴(0,0,0)、()0,0,2S、()2,22,0C、()0,22,0B、()0,2,1M，设平面AMC的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则()2,22,0AC=，()0,2,1AM=，则222020

mACxymAEyz=+==+=，取2x=，则()2,1,2m=−，设()()2,22,22,22,2SPSC==−=−，其中01≤≤，则()()()0,0,22,22,22,22,22APASSP=

+=+−=−，因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为3010，则()222130cos,1051684mAPAPmmAP−===−+，解得14=，即14SPSC=.17.高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选

项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为

()01pp，有3个选项正确的概率为1p−.在一次模拟考试中：（1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；（2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案

：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若13p=，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？【答案】（1）12（2）②【解析】【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公

式计算即可，（2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解.【小问1详解】根据题意可知，0,4,6X=，若该题有2个选项正确，则()()210,633PXpPXp====，若该题有3个选项正确，则()()34113PXpp==−=−，则分布列如下：X046P23p1p−13p

所以()()21041642333EXpppp=+−+=−=，解之得12p=；【小问2详解】不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件1A，“有3个选项正确”为事件2A，若小明选择方案①，记小明该题得分为X，则X的可能取值为2，3，对应概率为：()()()()2

1212,333PXPAPXPA======，故()21723333EX=+=；若小明选择方案②，记小明该题得分为Y，则Y的可能取值为0,4,6，对应概率为：()()()1121121133CC1221

40CC33339PYPAPA==+=+=，()()12213C2244C339PYPA====()()11113C1116C339PYPA====，故()441220469999EY=++=，若小明选择方案③，记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为0,6，对应概率为：

()()()211312122233CCC12270CC3339PZPAPA==+=+=，()()22223C2126C339PZPA====.故()72124069993EZ=+==，()()()EZEXEY，故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.18.已知

双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为2.且经过点()2,3.（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且0OAOB=（点O为坐标原点），求AB的取值范围.【答案】（1）2213yx−=（2）)6,+

【解析】【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得22332km+=，根据弦长公式，结合不等式即可求解，【小问1详解】由题意可得222224912ababa−=

+=，解得221,3ab==，故双曲线方程为22:13yCx−=.【小问2详解】当直线l斜率不存在时，可设()(),,,AAAAAxyBxy−，则()(),,,AAAAOAxyOBxy==−，将其代入双曲线方程2213AAyx−=，又2

20AAOAOBxy=−=，解得62Ay=，此时26AABy==，当直线l斜率存在时，设其方程为ykxm=+，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立()22222323013ykxmkxkmxmyx=+−−−−=−=，故()()()212

22122222222302333Δ412131230kkmxxkmxxkkmmkmk−+=−−−=−=++−=−+，则()()12121212OAOBxxyyxxkxmkxm=+=+++()()()22222121222

3211033mkmkxxkmxxmkkmmkk−−=++++=+++=−−，化简得22332km+=，此时()2Δ690k=+，所以()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−2

2222231433kmmkkk−−=+−−−()()2222212313mkkk−+=+−4224242109166616969kkkkkkk++==+−+−+，当0k=时，此时6AB=，当0k

时，此时22166196ABkk=++−，222229930,26kkkkk−+=，故2216096kk+−，因此221661696ABkk=++−，综上可得)6,AB+.19.给出以下三个材料：①若函数()fx可导，我们通常把导函数()fx的导数叫

做()fx的二阶导数，记作()fx.类似的，函数()fx的二阶导数的导数叫做函数()fx的三阶导数，记作()fx，函数()fx的三阶导数的导数叫做函数()fx的四阶导数……，一般地，函数()fx的1n−阶导数的导数叫做函数

()fx的n阶导数，记作()()()'1nnfxfx−=，4n；②若*Nn，定义!(1)(2)321nnnn=−−；③若函数()fx在包含0x某个开区间(,)ab上具有任意阶的导数，那么对于任

意(),xab有()()()()()()()()20000000()1!2!!nnfxfxfxgxfxxxxxxxn=+−+−++−+，我们将()gx称为函数()fx在点0xx=处的泰勒展开式.例如1()exfx=在点0x=处的泰勒展开式为2

111()12!ngxxxxn=+++++根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出()cosfxx=在点0x=处的泰勒展开式()gx；（2）用()cosfxx=在点0x=处的泰勒展开式前三项计算cos0.3的值，精确到小

数点后4位；（3）现已知sin111111ππ2π2πππxxxxxxxxnn=−+−+−+，试求211nn=的值.【答案】（1）2462(1)cos162!4!(2)!!nnnxxxxx−=

−+−+++（2）0.9553（3）2π6【解析】的【分析】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，可求()gx，（2）由（1）可求cos0.3；（3）由（1）可得3521(1)sin511!3!(2)!!nnxxxxnx−−−=−+−+−++，进而可得24122sin(1)15!

3!(21)!nnnxxxxx−−−−=−++++，结合已知可得结论.【小问1详解】()cosfxx=，()sinfxx=−，()''cosfxx=−，L，所以(0)cos01f==，(0)sin00f=−=，()''cos01fx=−

=−，L，由()()()2201(1)cos10001!2!!nnxxxxn−−=+−+−++−+所以2462(1)cos162!4!(2)!!nnnxxxxx−=−+−+++【小问2详解】由（1）可得2462240.30.30.3(1)0.30.3

0.3c!12!o(s0.316!4!2)4!2!nnn−=−+−+++−+10.0450.00033750.9553=−+=【小问3详解】因为sin111111ππ2π2πππxxxxxxxxnn=−+−+−+

2222222111π4ππxxxn=−−−①，对2462(1)cos162!4!(2)!!nnnxxxxx−=−+−+++，两边求导可得：3521(1)si

n511!3!(2)!!nnxxxxnx−−−=−+−+−++，所以35121(1)sin5!1!3!(21)!nnxxxxxn−−−=−++−++，所以24122sin(1)15!3!(21)!nnnxxx

xx−−−−=−++++②，比较①②中2x的系数，可得：22222)11111(3!π1231n−=−++++，所以2222221111π361112nnn==++++=.【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题

时明确n阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用n阶泰勒展开式表示sinxx.