《数学北师大版必修4教学教案》1.4.2 单位圆与周期性 (1)含答案【高考】

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以下为本文档部分文字说明:

-1-1.4.2单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用:本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大《数学(必修四)》第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。本节知识上承三角函数定义,下启诱导公式及三角函数图像与性质。同时,三角函数是描述周期现象的数学模型,在数学和其他领域中具

有重要的作用。二、内容分析:本节教材对内容的安排主线是:现实背景(的感知与认识)—建构数学(形成周期函数概念)—具体化研究(三角函数的周期性)—数学应用(会求简单函数的周期);此外,通过对例题的安排,介绍了得出函数周期的三种方法。即例1→图像法、例2→

定义法、例2的推广与引申→公式法。充分体现了由“感性认识→理性认识”的认知升华。【三维目标】一、知识与技能:1、了解周期函数的概念。2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性;3、能写出一些简单三角函数的周期。二、过程与

方法:1、结合现实模型,通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念;2、通过对周期函数概念的了解与认识,学会判断简单的、常见的函数周期性;3、通过对三角函数周期公式的探索与发现,能写出简单的三角函数的周期。三、情感价值观:

1、通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程,让学生体会数学知识的发生、发展再现过程,激发学生的学习兴趣和求知欲。2、通过数学运用,让学生在尝试问题解决中,获得成功的体验,在数学学习中享受生活,享受快乐。【重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的

周期性。二、教学难点周期函数的概念【学生分析】1、知识基础:学生认识了周期现象,并在此基础上学习了三角函数的定义,有了一定的知识基础;2、生活基础:日出日落、四季更替……始终伴随着我们的生活,容易激发学生的兴趣与求知欲;3、基本能力:在建构主义教学理论指导下的数学学习,使学生已经具备了一

定的观察、分析、思考的能力,为本节课的展开提供了可能。【教法与学法】一、学法设计:学法设计主要有:观察、思考、小组讨论、合作探究。在理论形成阶段主要以-2-小组形式参与研究学习;在数学运用阶段主要以自主学习为主,检验学生理解与掌握情况。二、教法设计:教

法设计主要有:启发、引导。【教学工具】多媒体课件【教学过程】具体内容活动设计设计意图创设情境情境一:今天是星期几?7天后是星期几?情境二:观察圆周上动点P从A开始运动的规律。学生观察圆周上点的周期运动,感受周期现象情境一:联系生活情境二:直观感受师生活动问题1

:你能列举出与上述两种变化有相同特征的现象吗?你能描述这种现象吗?【问题解决】(1)列举实际背景(现实原型):四季更替、日出日落、斗转星移等。(2)规律总结:自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象,这种以相同间隔不断重

复出现的现象称为周期现象。问题2:以正弦函数为例,观察图像上P点从圆上任意一点开始运动一周后,正弦函数值是否发生变化?问题2-1:能否用数学表达式来描述这一现象呢?问题2-2:余弦函数具有这样的特征吗?【问题解决】(1)没有变化,相等(2)能,sin(2)sinxx+=(3)有,cos(2)co

s,xx+=【判断】已知函数1,()1xfxx=−为奇数,为偶数,(2)()fxfx+与相等吗?【教师引导】我们把具有上述特征的函数称为周期函数。问题2-3:你能给周期函数下个定义吗?结合观察结果,思考问题1,在进行小组交流后口答结果;在对周

期现象概念有了一定认识的基础上回归数学,让学生带着问题2观察正弦函数值的变化情况,思考两个子问题并在交流后给出口答;思考、归纳形成自我意识中的概念。问题一:通过对实际背景的列举让学生感受“周期”,形成对周期现象的感性认识。问题二:在学生已有的知识储备基础上,让学生从数学

的角度来认识周期现象,从而形成模糊的周期函数的概念。一、概念提出一般地,对于函数()fx,如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的任意一个x值,都满足()()fxTfx+=,那么函数就叫做周期函数(period

icfunction),非零常数T叫做这个函数的周期(period)二、概念理解【学生练习】课本17P练习题1:判断下列说法是否正确,并简述理由:(1)函数2()fxx=,(36)(3)ff−+=−,则

这个函数是在学生思考、交流的基础上口答完成概念提出,教师给予适当规范。1、概念提出是建立在学生对正弦函数周期性有一定认识的基础之上,实现从“特殊到一般”的认知;-3-建构数学以6为周期的函数;(2)()sinfxx=是周期函数,且,()()424ff+=,则2一定是它的周期;问题3:

正弦函数()sinfxx=的周期唯一吗?问题3-1:观察几何画板演示,当点P从圆周上任意一点A出发,逆时针运动两周后,正弦函数线有变化吗?运动更多呢?这种现象说明了怎样的事实?问题3-2:若运动的方向变为顺时针呢?并试用已

学知识来解释这一现象。【问题解决】(1)对于正弦函数而言,它的周期有很多个。即2(,0)kkZk;(2)不论点P运动多少周,都回到起始位置,这个位置上的三角函数值是没有发生变化的。三角函数的定义能解释这一现象;(3)若非零常数T

是函数()fx的一个周期,那么(,0)kTkZk都是()fx的周期。说明:(教师引导学生认识最小正周期)对于一个周期函数()fx,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么个最小的正数就叫做()fx的最小正周期,在不加特别说明时,周期一般指函数的最小正周期,不是所有函数都有最小正周期。

(如常数函数)【拓展与引申】你能得出()cosfxx=的所有周期吗?试用已学知识分析之。【归纳】对于余弦函数而言,它的周期有很多个。可表示为:2(,0)kkZk在自主练习1的基础上引出问题3,让学生结合画板演示观察、思考、交流,并口

答结果。让学生结合画板演示进行探究、思考,口答结论。从而实现学生对三角函数周期的全面了解。2、学生练习的目的有二:其一,巩固对周期函数概念的进一步理解;其二,引出对问题3的思考;3、问题3与拓展引申的设计主要目的有三:其一,得出正弦、余弦、正切函数的周期;其二

,在于引出对周期函数的3点说明;其三,联系前知,加深对正弦函数周期的认识。(三角函数线与诱导公式)例1:(图像法)若钟摆的高度()hmm与时间()ts之间的函数关系如图所示。(1)求该函数的周期;(2)求10ts=时钟摆的高度。思考:1、周期函

数图像的特点是什么?2、如何利用函数图像得出函数的周期?学生结合课本自学例1,同时思考教师的设问1、2,让学生自我总结口述。1、例1及其同式训练的设计目的有二:(1)让学生感受周期函数图像的特点;(2)让()ts

15040203010230分析:利用图像研究函数的周期性应把握两点:(1)体会周期函数图像变化特点;(2)明确图像上特殊点坐标,利用特殊点坐标来确定函数周期。(图像法求函数周期)-4-数学应用答案:(1)由函数图像可知,该函数

的周期为1.5s。(2)设()hft=,由函数()ft的周期为1.5s,可知(10)(161.5)(1)20fff=+==故10ts=时钟摆的高度为20mm。同式训练:练习题4:若弹簧振子对平衡位置的位移()xcm与时间()ts之间的关系如图所示:(1)求该函数的周期;(2)求10.5ts=时弹

簧振子对平衡位置的位移。答案:(1)周期为4(2)8cm−例2:(定义法)求函数()cos2fxx=的周期。分析:(1)利用整体思想,结合正弦、余弦函数的周期求解;(2)结合定义,在整体思想下得出周期后,转化为变量x

的变化量(即周期)。答案:设()fx周期为T,则()()fxTfx+=即cos2()cos2xTx+=对任意实数x都成立。也就是cos(2)cosuTu+=对任意实数u都成立(2ux=)。由于cosyu=的周期为2,可知使得cos(2)cosuTu+=对任意实数u都成立的2T最小

值为2,可知22T=,即T=所以()cos2fxx=的周期为。思考:本题求解的依据是什么?方法是什么?注意点是什么?思路整合:①周期函数定义:周期T对任一x的值都成立;②运用了整体思想换元:u=2x;利用g(u)=cosu的(最小正

)周期是2π;③注意:f(x)=cos2x与f(u)=cosu的周期是不同的概念。在例1完成的基础上学生自主练习课本题4,口答结果。在学生思考的基础上教师开展范例教学。结合板书过程让学生思考问题,实现让学生对思路进行整合。为学生的探索、讨论作一定铺垫。学生感悟如何从图像直观上获取周期的相关信息

,并求解函数周期,渗透数形结合思想。2、例2在于利用定义进行逻辑上的推理,为学生的探索与讨论提供理论与方法的支撑。3、通过例2的完成,进一步归纳三角函数一般式的周期,实现从特殊到一般的过度。43-8-480124x/cmt/s-5-【

探索讨论】合作探究:结合刚刚完成的例2的求解思路,试探求三角函数sin()(,,0,0)yAxAA=+为常数,cos()(,,0,0)yAxAA=+为常数,的周期公式。(班级分两组分别探求一个)结论:一般地,函数sin()c

os()(,,0,0)yAxyAxAA=+=+及为常数,的周期2T=练习巩固:练习题2:求下列函数的周期:(1)2cos3yx=(2)sin3xy=答案:(1)23T=(2)6T=推广:(类比教

学法)当上述结论中“0”改为“0”,则周期公式为;学生进行自我尝试、合作探究、小组交流形成一般性结论。利用探究结论完成对课本第二题的自主练习。让学生通过自己的思考、归纳、猜想实现对知识的系统化掌握。4、探索讨论部分将问题进一

步分解,渗透化归与转化的数学思想。课堂反馈1、(辨别题)判断下列说法是否正确:(1)所有函数都存在最小正周期;(2)对于函数()fx,如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的无数个x值,都满足()()fxTfx+=,那么函数就叫做周期函数

。2、(变式题)写出下列函数的周期:(1)1sin32yx=(2)3cos(2)3yx=−+3、(简单应用题)(1)函数()fx周期为2,且(1)1f=,则(1)(5)(9)fff++=;(2)函数5sin()33kyx=+的周期为3,求实数k的值。通过学生的自主练习、口答,

完成对本节课教学效果的检查。通过概念辨析题、课本变式题和简单应用题检验课堂教学效果,提升学生解决周期问题的能力。回顾反思问题4:通过本节课的学习,同学们有哪些收获?问题4-1:本节课的知识与方法有哪些?问题4-2:这些知

识与技能是怎样得到的呢?问题4-3:本节课我们用到了哪些数学思想?1、周期函数与周期2、函数让在学生自主思考的基础上进行小组交流,最后口答总结,完成课时小结。通过合作学习,让学生自我总结、整合知识体系,提高学生发现问题

、分析问题、解决问题-6-sin()cos()(,,0,0)yAxyAxAA=+=+及为常数,的周期为2||3、求函数周期的方法:(1)图像法(2)定义法(3)公式法4、数学思想方法:(1)数形结合(2)化归与转化的能

力。分层作业布置一、书面作业:45P习题1.3感受·理解第1题二、思考题:结合课本链接内容试证明2是余弦函数的最小正周期。课后巩固书面作业针对所有学生,思考题让学有余力学生进行探究。体现分层教学理念。【板书设计】【教学设计说明】本节课的课堂结构安排是在对教材分析后,结合了布鲁纳的结构(建构)主

义教学理论,采用了情境教学法。即在情境观察的过程中发现问题-----提出问题----思考问题------解决问题------应用为主线,以个人解决问题和小组讨相结合,注重学生思维过程,结合怀特海的循环学习理

论,设置了拓展与引申、探索与发现,引导学生在解决问题的过程中探究新知。为了突出学生的主体地位,实现对学生数学学习能力的培养,结合加涅的认知——指导说,本节课的思路安排以问题串的形式展开,采用了启发、引导式教学方法

。同时,借助子问题的设计实现分层教学,将问题进一步明细化、具体化,设计思考坡度,让每一位学生都能通过观察、思考、小组讨论、合作探究等学习方法来获取成功的体验。主要问题有:问题1:你能列举出与上述两种变化有相同特征的

现象吗?你能描述这种现象吗?问题2:以正弦函数为例,观察图像上P点从圆上任意一点开始运动一周后,正弦函数值是否发生变化?问题3:正弦函数()sinfxx=的周期唯一吗?问题4:通过本节课的学习,同学们有哪些收获?让学生通过对情境的观察及问题1的思考,体会周期现象的

普遍存在性;结1.3.1三角函数的周期性一、周期函数三、三角函数的周期例2:————————————————————————————————————说明:①—————②—————③—————二、方法:①

—————②—————③—————-7-合已有的知识展开对问题2的讨论,实现建构数学概念;再通过对问题解决中出现的新问题(问题3)的再探,加深对数学概念的认识与了解;最后通过对问题4及其子问题的思考与归纳,

让学生将知识、技能、方法整合到自己的知识体系中去,最终实现对数学学习能力的培养。

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