【文档说明】四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(16)页，1.219 MB，由小赞的店铺上传

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高一年级下期期中测试数学一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知向量(1,1)a=−，(2,)bx=..若•1ab=,则x=A.—1B.—12C.12D.1【答案】D【解析】由•1ab=得•1211abx=−=，解得1x=，故选D考点定位：本题是平面向量问题，意在考查学生对于平面向

量点乘知识的理解2.已知等差数列na的前三项依次为1a−，1a+，3a+，则数列的通项公式是（）A.25nan=−B.21nan=+C.21naan=+−D.23naan=+−【答案】D【解析】【分析】由条件可得2(1)13aaa+=−++，解

得a为任意实数，故可得等差数列{}na的前三项，由此求得数列的通项公式．【详解】解：已知等差数列{}na的前三项依次为1a−，1a+，3a+，故有2(1)13aaa+=−++，解得a为任意实数，故等差数列{}na的前三项依次为1a−，1a+，3a+，故数列n

a是以1a−为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式1(1)223naanan=−+−=+−，故选：D．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题．3.已知等差数列na中，14727aaa++=，369

9aaa++=，则9S等于（）A.27B.36C.54D.72【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可求得()19336aa+=，从而有1912aa+=，由等差数列的前n项和公式即可求得答案.【详解】解：因为等差数列na中，14

727aaa++=，3699aaa++=()()147369279aaaaaa+++++=+()19336aa+=，即1912aa+=，()19991295422aaS+===故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公

式是解决问题的关键，属于中档题.4.如果向量a，b满足||1a=，||2b=，且()aab⊥−，则a和b的夹角大小为（）A.30°B.45°C.75°D.135°【答案】B【解析】【分析】求两向量的夹角需要求出

两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可．【详解】解：由题意()aab⊥−故()0aab−=，即21aab==故两向量夹角的余弦值为12212=故两向量夹角的取值范围是45故选：B．【点睛】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查

利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．5.等差数列na中，已知前13项和1365S=，则7a=（）A.10B.52C.5D.15【答案】C【解析】【分析】由13713Sa=，1365s=，可求7a【详解】解：由等差

数列的求和公式可知，()1121371313652aaSa+===75a=故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础题．6.若三个数成等比数列，它们的和等于

14，它们的积等于64，则这三个数是（）A.2，4，8B.8，4，2C.2，4，8或8，4，2D.2，4−，8【答案】C【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【详解】解：设这三个数分别为x，y，z，则由题意可得14

xyz++=，64xyz=，且2xzy=，解可得，248xyz===或842xyz===故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．7.已知AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，设ADa=,BEb=,则BC等于（）A.4233ab+B.2433

ab+C.2433ab−D.2433ab−+【答案】B【解析】【分析】如图所示,BCBEEC=+uuuruuruuur,12ECAC=,ACADDC=+,12DCBC=,则可得1122BCBEADBC=++,将ADa=,BEb=代入式子中整理即可

求出BC.【详解】解:如图所示:BCBEEC=+uuuruuruuur,12ECAC=,ACADDC=+,12DCBC=,1122BCBEADBC=++,又因为ADa=，BEb=则上式化为1122B

CbaBC=++,整理可得2433BCab=+.故选:B【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.已知数列na满足递推关系111,12nnnaaaa+==+，则2017a=（）A.12

016B.12018C.12017D.12019【答案】B【解析】【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【详解】由11nnnaaa+=+，所以11111nnnnaaa

a++==+则1111nnaa+-=，又112a=，所以112a=所以数列1na是以2为首项，1为公比的等差数列所以11nna=+，则11nan=+所以201712018a=故选：B【点睛】本题主要考查由

递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.9.设点A（1，2）、B（3，5），将向量AB按向量a=（–1，–1）平移后得到''AB为()A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，7）【答案】B【解

析】【分析】根据向量是既有大小又有方向的量,向量的要素是大小、方向;向量平移后为相等向量,故坐标相同.【详解】∵A（1，2）、B（3，5），∴AB=uuur（3，5）–（1，2）=（2，3），将向量AB向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到''AB，则AB与''AB的方向相同，大小相等，只是位置

不同，于是''ABAB==（2，3），故选B．【点睛】本题考查向量的性质:平移只改变位置不改变坐标,属于基础题.10.若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是()A.(10,3)+B.[10,)3+C.10(,)3−D.10(,]3−【答

案】A【解析】由题意可得：3250ab=−+，求解关于的不等式可得λ的取值范围是10,3+.本题选择A选项.11.等差数列na满足224747a29aaa++=，则其前10项之和为（）A.－9B.－15C.15

D.15【答案】D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝1102aa+×10＝±15.故选D.12.在各项均为正数的等比数列na中，公比()0,1q，若355aa+=，26·4aa=，2lognnba=，数列nb的前n项

和为nS，则1212nSSSn+++L取最大值时，n的值为（）A.8B.9C.17D.8或9【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质求出3a、5a的值，可求出1a和q的值，利用等比数列的通项公式可求出na，由此

得出nb，并求出数列nb的前n项和nS，然后求出1212nSSSn+++L，利用二次函数的性质求出当1212nSSSn+++L取最大值时对应的n值.【详解】由题意可知35aa，由等比数列的性质可得3526353554aaaaaaaa+===，解得3541aa==，所以214

14101aqaqq==，解得11612aq==，115111622nnnnaaq−−−===，2log5nnnba=−=，则数列nb为等差数列，()245922nnnnnS+−−==，92nSnn−=，()212941711728921224

4216nnnnnSSSnn−+−+++===−−+L，因此，当8n=或9时，1212nSSSn+++L取最大值，故选D.【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前n

项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量a和向量b的夹角为30o，2,3ab==，则向量a和向量b的数量积ab=▲．【答案】3【解析】试题分析：

由数量积的运算公式可得：03cos302332abab===考点：向量的数量积14.已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为___．【答案】6【解析】【分析】利用（2a+3b）⊥（ka−4b），结合数

量积直接求出k的值即可．【详解】由(2a+3b)·(ka−4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.故答案为6.【点睛】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两向量垂直，其数量积为0是解决本题

的关键．15.已知数列na的前n项和21nnSa=−，则该数列的通项公式na=______【答案】12n−【解析】【分析】根据1121Sa=−求出1a；利用11nnnaSS++=−得到12nnaa+=，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.【详

解】由21nnSa=−得：1121nnSa++=−11122nnnnnaSSaa+++=−=−，即12nnaa+=又1121Sa=−，则11a=由此可得，数列na是以1为首项，2为公比的等比数列则12nna-=本题正确结果：12n−

【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用nS证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.16.已知数列na满足：11a=，11nnaa+−=，则使25na成立的n的最大值为_______

【答案】4【解析】【分析】从11nnaa+−=得到关于na的通项公式后可得na的通项公式，解不等式后可得使25na成立的n的最大值.【详解】易知na为等差数列，首项为11a=，公差为1，∴()111nann=+−=，∴2nan=，令225n，∴5n，∴4n

.故答案为4【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.三、解答题（共70分）17.已知a，b，c在同一平面内，且()1,2a=r.（1）若||25c=，且//carr，求c；（2）若5||2b=，且()()22abab+⊥−，求a与b的夹角.【

答案】（1）(2,4)c=或(2,4)c=−−（2）.【解析】【分析】（1）设(),cxy=，根据//ca，得到20xy−=，再根据||25c=，建立方程组求解.（2）根据22abab+⊥−，得到(2)(2)0abab+−

=，结合2||5a=，5||2b=，求得ab，再求夹角.【详解】（1）设(),cxy=，//ca，(1,2)a=，∴20xy−=，∴2yx=，∵||25c=，∴2225xy+=，∴2220xy+=，即22420xx+=，∴

24xy==，或24xy=−=−∴(2,4)c=或(2,4)c=−−.（2）∵22abab+⊥−，∴(2)(2)0abab+−=，∴222320aabb+−=，即222||32||0aabb+−=又∵2||5a=，2255||()24b==，∴5253204ab+−

=，∴52ab=−，∵||5a=，5||2b=∴52cos1||||552abab−===−∵0,，∴=.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知2a=，3b=，a与b的夹角为60

，53cab=+，3dakb=+，当实数k为何值时，（1）//cd；（2）cd⊥.【答案】（1）95k=；（2）2914k=−．【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线的判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数

量积为0进行求解．试题解析：（1）若//cd，则存在实数，使，即，则，解得得95k=；（2）若cd⊥，则，解得2914k=−.考点：1.平面向量共线的判定；2.平面向量垂直的判定．19.已知1a=，12ab=，()()12abab−+=．（1）求a与b的夹角；（

2）求ab−与ab+的夹角的余弦值．【答案】（1）4；（2）55．【解析】【分析】（1）将()()12abab−+=展开求出b，再利用夹角公式求求a与b的夹角；（2）根据已知条件分别求出ab−与ab+的模，

再用夹角公式ab−与ab+的夹角．【详解】（1）()()12abab−+=221||||2ab−=，212||||22ba=−=，设a与b的夹角为，则2cos2abab==，而0,，4=．（2）设ab−与ab+的夹角为，则()222222aba

baabb−=−=−+=，()2221022ababaabb+=+=++=，()()5cos5abababab−+==−+．考点：1、向量的数量积；2、向量的模；3、夹角公式．20.设数列na的前n项和为nS，数列nS的前项和为nT，满足2*2,nnTSnnN=−.（

1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式.【答案】（1）11a=；（2）．【解析】试题分析：（1）由题n=1可得11121TSS==−，不难得到11a=；（2）由题22112,2(1)(2)nnnnTSnTSnn−−=−=−−，两式相减可得221(2)nnSann

=−+，然后根据数列求和递推关系可以得到122nnaa−=+，进而得到1322na−=−.试题解析：（1）当n=1时，1111211TSSa==−=；（2）22112,2(1)(2)nnnnTSnTSnn−−=−=−−112()21(2)nnnnTTSSnn

−−−=−−+221(2)nnSann=−+111111122(1)1(2)2222222222(2)(2)nnnnnnnnnnnnnSannSSaaaaaaaaan−−−−−−−=−−+−=−−=−−=+

+=+所以2na+是以3为首项，2为公比的等比数列，11232322nnnaa−−+==−.考点：数列递推关系求和【方法点睛】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(

n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列

求通项．21.已知公差不为0的等差数列na的首项1a为a（aR，且0a），且11a，21a，41a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）记21nnba=（*nN），求nb的前n项和nT.【答案】（1）n

ana=；（2）1112nnaT−=【解析】【分析】（1）设等差数列{}na的公差为d，由题意可知，2214111()aaa=可得1daa==．即通项公式nana=．（1）首先求出数列nb的通项，再根据等比数列的前n项和公式计算可得；【详解】解：（

1）设等差数列{}na的公差为d，由题意可知，2214111()aaa=即2111()(3)adaad+=+，从而21add=，因为0d，所以1daa==．故通项公式nana=．（2）由（1）知nana=，所以22nnaa=，所以2112nnnbaa

==24821111nnTaaaa=++++所以2311111()2222nnTa=++++11[1]1112211212nnaa−==−−．【点睛】本题考查了等差、等比数列的性质，数列求和，考查了计算能力，属于基础题．22.某公司生产一种产品，第一年投入资金1

000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.（1）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计

从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【答案】（1）111000,16{220,7nnnan−=，8040,16{440,7nnnbn−=；（2）第8年.【解析】试题分析：（1）设n年的投入资金和收入金额分别为,nnab，根

据题意可得na是首项为1000，公比是12的等比数列，nb是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决.（2）根据等差数列的求和公式等比数列的求和公式得到nS，再根据数列的函数特征，即可求出答案试题解析：（1）设第n年的投入资金和收入金额分别为na万元，nb万元.依题意得，当投入的资金不低于

20万元，即20na时，()111,8022nnnaabbn−−==+，此时，na是首项为1000，公比为12的等比数列；nb是首项为40，公差为80的等差数列，所以，111000,80402

nnnabn−==−，令20na，得1250n−，解得7n，所以，111000,16{220,7nnnan−=，8040,16{440,7nnnbn−=.（2）由（1）可知当16n时，总利润()2110001240

80401200040200012212nnnnnSn−+−=−=+−−，所以，1120008040,22nnnSSnn−−=−+−，因为()1200080402xfxx=−+−为增函数，()()30,40

ff，所以，当23n时，1nnSS−；当46n时，1nnSS−，又因为160,528.750SS=−，所以，当16n时，0nS，即前6年未盈利，当7n时，()()()()67788528.7542

06nnnSSbababan=+−+−++−=−+−，令0nS，得8n.综上，预计该公司从第8年起开始盈利.