【文档说明】山西省山西大学附属中学校2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题含答案.docx，共(18)页，959.196 KB，由管理员店铺上传

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山西大学附中2021--2022学年第二学期高一年级4月月考数学试题考查时间：90分钟满分：100分考查内容：平面向量、复数、立体几何初步命题人：吴晨晨审核人：张耀军一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.设

134iz=−，223iz=−+，则12zz+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【1题答案】【答案】D【解析】【分析】先求得12zz+，即可求得其在复平面内对应点的坐

标，即可得答案.【详解】由题意得1234i(23i)1izz+=−+−+=−，在复平面内对应的点为(1,1)−，位于第四象限.故选：D2.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【2题答案】【答案】C【解析】【

详解】如下图所示,,,abc三条直线平行,a与d异面,而b与d异面,c与d相交,故选C.3.已知(5,2)a=−，(4,3)b=−−，(,)cxy=，若230abc−+=，则c=（）A.81,3

B.138,33C.134,33D.134,33−−【3题答案】【答案】D【解析】【分析】设(,)cxy=，将向量,,abc的坐标代入230abc−+=中，利用向量的坐标的加法、减法和数乘运算可以得到.【详解】设(,)cxy=,

因为230abc−+=,所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)xy−−−−+=，所以(583,263)(0,0)xy++−++=，所以1330,430xy+=+=，解得:133x=-,43y=−，所以134,33c

=−−.故选：D.4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，Cl，则平面ABC与平面β的交线是（）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【4题答案】【答案】C【解析】【

分析】根据点与线的位置关系，以及两平面相交的性质，确定交线.【详解】由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β．又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD．故选：C．

5.若ABC的面积2sinsinSBCBC=，则ABC外接圆的半径R为（）A.1B.2C.2D.22【5题答案】【答案】B【解析】【分析】由三角形的面积公式结合正弦定理即可求解【详解】已知ABC的面积2sinsinSBCBC=，又1sin2SBCACC=所以12sin

sinsin2BCBCBCACC=因为()0,C，所以sin0C所以12sin2BAC=所以42sinACRB==所以2R=故选：B6.已知向量a，b满足||||2ab==，()2aba−=−，

则|2|ab−=（）A.23B.4C.8D.12【6题答案】【答案】A【解析】【分析】平方后由数量积的运算律求解【详解】2()42abaabaab−=−=−=−，得2ab=，222|2|44168412abaabb−=−+=−+=，得|2|23ab−=故选：A7.在A

BC中，已知()sin2sincosCBCB=+，那么ABC一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【7题答案】【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知的式子转化为

边的形式，然后化简可得答案【详解】因为()sin2sincosCBCB=+，sin()sinBCA+=，所以sin2sincosCAB=，所以由正余弦定理得22222acbcaac+−=，化简得22ab=，因为0,0ab所以ab=，所以ABC为等

腰三角形，故选：B8.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面B.任意n面体都可以分割成n个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，

利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；对于选项B：任意n面体，在n面体内取一点为P，将点P与n面体的各个顶点连接，即可构成n个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长

线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误；故选：D．9.已知向量a→，b→不共线，且向量ab→→+与()21ab

→→+−的方向相反，则实数的值为A.1B.12−C.1或12−D.-1或12−【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出()21abkab→→→→+=+−且0k，化简后得出

()211−=，0k=，即可求出实数值.【详解】解：由题可知，a→，b→不共线，且向量ab→→+与()21ab→→+−的方向相反，则()210abkabk+=+−，即()210abkakbk+=+−

，则()1210kkk==−，即()2110k−==，解得：12=−或1=（舍去）即实数的值为12−.的.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.10.已知直三棱柱111ABCABC−的各顶点

都在同一球面上，且该棱柱的体积为3，2AB=，1AC=，60BAC=，则该球的表面积为（）A.4B.42πC.8D.32【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用三棱柱111ABCABC−侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，2AB=，1AC=，60BAC=，求出1AA，

再求出ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.【详解】∵三棱柱111ABCABC−的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，2AB=，1AC=，60BAC=，∴1121sin6032AA=，∴12AA=∵2222cos6041

23BCABACABAC=+−=+−=，∴3BC=.设ABC外接圆的半径为R，则2sin60BCR=，∴1R=.∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()2428=.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.11.锐角ABC中

，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若7a=、8b=，1,cos2mA=，3(sin)2nA=−，，且mn⊥，则ABC的面积为（）A.3B.33C.53D.103【11题答案】【答案】D的【解析】【分析】先由向量垂直得到π3A=，利用余弦定理求出3c=或5c=，利用锐

角三角形排除3c=，从而5c=，利用面积公式求出答案.【详解】由题意得：13sincos022AA−=，故tan3A=，因为π0,2A，所以π3A=，由余弦定理得：264491cos282cAc+−==，解得：3

c=或5c=，当3c=时，最大值为B，其中49964cos0273B+−=，故B为钝角，不合题意，舍去；当5c=时，最大值为B，其中492564cos0275B+−=，故B为锐角，符合题意，此时113sin85103222ABCSbcA===.故

选：D12.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从

一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中OMON的值为（）A.33B.63C.6D.62【12题答案】【答案】C【解析】【分析】在图③中，以O为坐标

原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得,OMON的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，2OM=，(2cos,2sin)(1,3)33OM==，43MP=，即4(,0)3MP=，13PN=，由分形知//PN

OM，所以13(,)66PN=，所以573(,)26ONOMMPPN=++=，所以57313626OMON=+=．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知复数1iz−＝，则复数z的模为______.【13题答案】【答

案】2【解析】【分析】利用复数的模的计算公式计算【详解】∵1iz−＝，∴()22112z=+−=,故答案为：214.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是________.【14题答案】【答案】6abc##16abc【解析】【分

析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果.【详解】不妨设PAa=，PBb=，PCc=，且,,PAPBPC两两互相垂直，1122PABSPAP

Bab==，又PCPA⊥，PCPB⊥，,PAPB平面PAB，PAPBP=，PC⊥平面PAB，1113326PABCCPABPABabcVVSPCabc−−====.故答案为：6abc.15.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔

底B在同一水平面内的两个观测点C与D．现测得75BCD=，60BDC=，102mCD=，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为______m．【15题答案】【答案】10【解析】【分析

】在BCD△中，求得45CBD=，由正弦定理得到103BC=，再在直角RtABC中，得到tanABBCABC=，即可求解.【详解】在BCD△中，因为75BCD=，60BDC=，可得180756045CBD=−−=，由正弦定理，可得102sin60103si

n45BC==，在直角RtABC中，可得3tan103103ABBCABC===.即塔高AB为()10m.故答案为：10.16.在锐角ABC中，1BC＝，2BA＝，则AC的取值范围为____________.【16

题答案】【答案】()2,3【解析】【详解】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π2＜3A＜π，且0＜2A＜π2，故π6＜A＜π4，故22＜cosA＜32．由正弦定理可得1：sinA="b"：sin2A，∴b=2cosA，∴2＜b＜3．三、解答题（本题共4小题，每题12分，共4

8分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设i为虚数单位，Ra，复数12iza=+，243iz=−.（1）若12zz是实数，求a的值；若12zz是纯虚数，求a的值；（2）若12zz−所对应的向量与1z所对应的向量是平行向量，求a的值.【17题答

案】【答案】（1）32a=；83a=.（2）32a=−【解析】【分析】（1）利用复数的乘法，除法运算化简12zz和12zz，然后利用实数和纯虚数的定义得到方程（组）求解；（2）根据复数所对应的向量平行的充分必要条件列出

方程，求得a的值.【小问1详解】()()()()122i43i3846izzaaa=+−=++−，若12zz是实数，则460a−=，解得32a=；()()()()122i43i2i8346i43i43i43i2525azaaaz+++−+===+−−+，若12zz是纯虚数，则830460aa−

=+，解得83a=.【小问2详解】()1223izza−=−++,12iza=+，12zz−所对应的向量与1z所对应的向量是平行向量,()223aa−=+解得：32a=−.19.如图，已知圆锥的底面半径为4，母线

长为8，P为母线SA的中点．（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）若AB为底面直径，求圆锥面上P点到B点的最短距离．【19题答案】【答案】（1）32，6433（2）45【解析】【分析】（1）利用圆锥的侧面积和体积公式，准确计算，即可求解；（2）沿着母线SB，把圆锥的侧面展开，求得侧面展

开图扇形的圆心角为=，进而求得P点到B点的最短距离.【小问1详解】解：因为圆锥的底面半径为4，母线长为8，所以4832S==侧面积．由222SOAOSA+=，解得43SO=，所以圆锥的体积为2164344333V==．【小问2详解】解

：沿着母线SB，把圆锥的侧面展开，如图所示，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则248==，可得,8,42BSPSBSP===，所以圆锥面上P点到B点的最短距离为22228445SBSP+=+=．21.在①si

nsinsinAbcBCba+=−−；②cos13sincCaA+=；③23SCACB=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为ABC的面积，若

__________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长2c=，求ABC的周长的最大值．【21题答案】【答案】（1）3；（2）6.【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出C的结果；若选②：根据正弦定理进行边化角，然

后根据三角恒等变换的公式求解出C的结果；若选③：根据面积公式in12sSabC=结合已知条件求解出tanC的值，从而求解出C的结果；（2）利用余弦定理和c的值结合基本不等式，求解出ab+的最大值，由此可求解出ABC周长的最大值.【详解】（1）若选①：因为sinsinsinAbcBCba+=

−−，所以abcbcba+=−−，所以222ababc−=−，所以222cabab=+−，所以2cosabCab=且0ab，所以1cos2C=，所以3C=；若选②：因为cos13sincCaA+=，所以si

ncos1sin3sinCCAA+=且sin0A，所以3sincos1CC=+，所以3sincos1CC−=，所以2sin16C−=，所以1sin62C−=且5,666C−−，所以

66C−=，所以3C=；若选③：因为in12sSabC=，23SCACB=，所以sin3cosabCabC=且0ab，所以tan3C=且()0,C，所以3C=；（2）因2222coscababC=+−，所以224abab+−

=，所以()234abab+−=，所以()224332ababab++−=，所以()216ab+，所以4ab+，取等号时2ab==，所以ABC的周长的最大值为：426+=.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到,ab满足的等式

，结合基本不等式得到ab+的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将,ab表示为对应角的正弦形式，利用23AB+=结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值.为22.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数

学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC中，试解决以下问题：（1）G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交,ABAC于点,M

N．（i）记,ABaACb==，请用,ab表示AG；（ii）,AMmABANnAC==，求4mn+的最小值．（2）已知点O是ABC的________，且1143AOABAC=+，求cosBAC．请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第

一个解答计分）①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．【22题答案】【答案】（1）1133aAGb+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）设112234(,),(,),(,)AxyBxyCxy，得到123123(,)33xxxyyyG++++，由向量的运算法则得到可

得2121313111(,)(,)33AGxxyyxxyy=−−+−−，得到1133aAGb+=；（ii）由题意得到11,ABAMACANmn==，求得1133AGAMANmn=+，结合平面向量的共线定理求得11313mn+=，化简11144(4)()(5)

333nmmnmnmnmn+=++=++，利用基本不等式，即可求解；（2）选①，取,ABAC的中点分别为P和Q，化简得到1143aPOb+=−，1146aQOb−=，结合得OPAB⊥和OQAC⊥，列出方程组，求得22833ab=，结合向量的夹角公式，即可求解；选②：化简得到1243

OCab==−+，3143OBab=−，根据OCAB⊥和OBAC⊥，联立方程组，求得222732ab=，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：（i）设112234(,),(,),(,)AxyBxyCxy，由重心的坐标公式得123123(,)33xxxyyyG++++

，且21213131(,),(,)ABxxyyACxxyy=−−=−−，可得1231232312311122(,)(,)3333xxxyyyxxxyyyAGxy+++++−+−=−−=2131213131312121(,)(,)333333xxxxyyyyxxyyxxyy−+

−−+−−−−−==++313121212121313111(,)(,)(,)(,)333333xxyyxxyyxxyyxxyy−−−−=+=−−+−−，11113333ABACab=+=+.（ii）因为,AMmABANnA

C==，其中0,1mn，所以11,ABAMACANmn==，则1111311333AMANAMANmnGnAm=+=+，根据平面向量的共线定理，可得11313mn+=，其中0,1mn，所以11141414(4)()(5)(5

2)(54)333333nmnmmnmnmnmnmn+++=+=++=+=，当且仅当4nmmn=时，即,112mn==时，等号成立，所以4mn+的最小值为3．【小问2详解】解：①如图所示，当O是ABC的外心

时，取,ABAC的中点分别为P和Q，因1143AOABAC=+，可得1111111143243243ABACAPBababAAPaOO=−=+−+−=−=+，1111143246ABACACOAQbQaAO==−−=+−，由O是ABC的外心，为可得OPAB⊥，

可得21111()04343abaaab−+=−+=，即234aab=，OQAC⊥，可得21111()04646abbabb−=−=，即223bab=，所以22833ab=，即223ab=，所以222233abbb==，则2232cos322,2a

bbbababb===，即2cos2BAC=.若选②：如图所示，即O是ABC的垂心因为1143AOABAC=+，可得112()43143OCACAOACaABCbA=+−=−=−+，31(1143)43AOBABAOABBAabC=−=−−+=，由

O是ABC的垂心，则OCAB⊥，可得21212()04343abaaab−+=−+=，即283aba=，OBAC⊥，可得23131()04343abbabb−=−=，即294abb=，联立方程组，可得222732ab=，即4233ab=，所以249abb=，所

以264cos9,64233abbbababb===，即6os6cBAC=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com