【文档说明】上海市延安中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，434.164 KB，由小赞的店铺上传

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上海市延安中学2021学年第二学期6月质量调研高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.23+与23−的等比中项

是______.【答案】1【解析】【分析】利用等比中项的定义直接求解即可.【详解】23+与23−的等比中项是(23)(23)431+−=−=.故答案为：1【点睛】本题考查了等比中项的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2.将3封不同的信件，投到4个不同

的信箱，有________种不同的投递方法.【答案】64【解析】【分析】利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】将3封不同的信件，投到4个不同的信箱，每封信都有4种选择，故有3464=种不同的投递方式.故

答案为：643.已知数列na是等差数列，920a=，209a=，则这个数列的公差d=_________.【答案】1−【解析】【分析】根据等差数列通项公式直接计算.【详解】由等差数列得91201820199aadaad=+==+=，解得128

1ad==−，故答案为：1−.4.曲线()sin2cos1fxxx=−−在点π,02处的切线方程为______．【答案】2π0xy−−=【解析】【分析】求出f（x）在2x=的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程.【详解】()cos2sin

fxxx=+，则曲线()yfx=在π,02处的切线斜率ππcos2sin222k=+=，∴切线方程为π22yx=−，即2π0xy−−=．故答案为：2π0xy−−=．5.从全班30位学生中选派3人去参加表彰会，其中正、副班长两人中至少有一人参加，则

不同的选派方式共有__________种.【答案】784【解析】【分析】讨论正副班长参加情况分别求对应的选派方法数，再加总即得结果.【详解】由题设，正副班长只有一个参加有12228CC种选派，正副班长都参加有128C种选派，所以

共有12122828CCC784+=种.故答案为：7846.在11和1111之间，能被7整除的整数共有__________个.【答案】157【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】在11和1111之间能被7整除的最小整数为14，因为11117=15

85，所以在11和1111之间能被7整除的最大整数为1587=1106，设这些数构成首项为14，公差为7的等差数列na，则其通项公式()147177nann=+−=+，令771106n+=，解得157n=，则1106为数列na的第157项，为故答案为：15

7.7.某小组5男2女共7人拍照，其中两名女生恰好相邻的概率为_____________.【答案】27【解析】【分析】应用排列组合数求出两位女生相邻和7人任意排列的方法数，再利用古典概型的概率求法求概率.【详解】将5位

男生排成一排有6个空，将两位女生排好插入其中一个空中，有521526AAC种；将7人任意排，有77A种；所以两名女生恰好相邻的概率为52152677AAC120262A120427==.故答案为：278.由0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的六位数，且偶数数字从小

到大排列(由高数位到低数位)，这样的六位数有_____________个.【答案】60【解析】【分析】应用分步分类，先排好奇数，在把偶数从小到大分成不同组插入奇数队列计数，应用排列数求六位数的个数.【详解】1、把1、3、5作全排列有3

3A种，队列共有4个空；2、将偶数0、2、4分组，注意0不能放在首位：分成(0,2,4)三组插入三个空，有1种；分成(02,4)两组插入两个空，有3种；分成(0,24)两组插入两个空，有3种；分成(024)一组插入一个空，有3种；综上，六位数有(

)33A133360+++=种.故答案为：609.“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性的日期，在二十一世纪还能再遇到_____________次.【答

案】7【解析】【分析】根据对称性，确定最后两个数字及第5和6位的可能情况，即可列举出类似日期.【详解】由题设，最后两位数字依次为02，第5和6位可能为{01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12}，对应第3和4位为{10,20,30,

40,50,60,70,80,90,01,11,21}，所以“20211202”之后，还可以遇到{20300302,20400402,20500502,20600602,20700702,20800802,20900902}共7次.故答案为：710.252()

xx+的展开式中4x的系数为_______．【答案】40【解析】【分析】根据二项定理展开通项10352rrrCx−，求得r的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得2510355()()22rrrrrrCxCxx−−=所以1034r−=，解得2r

=所以系数225240C=故答案为：40【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．11.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左

桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【答案】37【解析】【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一

类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有3333CC1=种，第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有1322332CCC12=种，第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有132233332CC2CC24+=种，则共有1122437++=种.故答案为：3

712函数2()2(1)fxxfx=+，则(2)f=_____________.【答案】0【解析】【分析】先将()fx求导，再将1x=代入即可求出()1f，再将2x=代入导数可求出答案.【详解】将()fx求导得：()2(1)2fxfx=+，将1

x=代入，得(1)2(1)2ff=+，解得：(1)2f=−.故()42fxx=−+，代入2x=可得(2)440f=−+=.故答案为：0.13.在数列na中，()1121nnnaan++−=−．则数列n

a的前20项之和为______．【答案】210【解析】【分析】根据递推关系可以得到该数列的性质，最后根据等差数列的前n项和公式进行求解即可.【详解】因为()1121nnnaan++−=−，所以有：213243

54652111,2213,2315,2417,2519,aaaaaaaaaa−=−=+=−=−=−=+=−=−=−=由此可得出：132457682,8,2,24,aaaaaaaa+=+=+=+=，所以从第一项起，依次相邻两

奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列，所以数列na的前20项之和为：125(585416)2102++=，故答案为：210【点睛】关键点睛：通过递推关系得到该数列的性质是解题的关键.14.已知72345

6701234567(21)xaaxaxaxaxaxaxax−=+++++++，则1234567234567aaaaaaa++++++=______________..【答案】10206【解析】【分析】对已知关系式两边同时求导，可得126234534567614(21)234567xaa

xaxaxaxaxax−=++++++，再根据614(21)x+的展开式的各项系数和与614(21)x−的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可.【详解】对已知关系式两边同时求导，可得126234534567614(21)234567xaaxa

xaxaxaxax−=++++++，因为614(21)x+的展开式的各项系数和与614(21)x−的展开式的各项系数和的绝对值相等，所以()612345672345671421110206aaaaaaa++++++=

+=.故答案为：10206.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分.15.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，,,,nnnn，…的第2022项的值是（）A.61B.62C.63D.64【答案】D【解析】【分析】根据

数列中数字出现规律，到数字n共有(1)2nnnS+=项，进而判断n1−和n对应项数刚好包含2022即可.【详解】由题设，数字n出现次数为n，所以数列到数字n共有(1)2nnnS+=项，当63n=时，63636420162

0222S==，当64n=时，646465208020222S==，所以第2022项的值是64.故选：D16.2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数

是（）A.18B.27C.36D.48【答案】C【解析】【分析】由题意，把甲和乙看作一个元素，然后先分组再分配，即可求解．【详解】解：因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素与丙，丁，戊分配到三个项目，因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素，所以共有23436636

CA==种方案.故选：C.17.曲线4yx=在nxa=处的切线经过点()1,0na+，且11a=，则101iia==（）A.94443−B.104443−C.93444

−D.103444−【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求解曲线4yx=在nxa=处的切线，进而求得134nnaa+=，再根据等比数列的求和公式求解即可【详解】因为34yx=，所以曲线4yx=在nxa=处的

切线方程为()434nnnyaaxa−=−，将点()1,0na+的坐标代入方程，得()4314nnnnaaaa+−=−，即434144nnnnaaaa+−−=，又110a=，所以134nnaa+=，所以数列

na是首项为1，公比为34的等比数列，故101010i13134443414ia=−==−−．故选：D18.11(2)xyz++的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A.72项B.75项C.78项D.81项【答案】C【解析】【分析】由多项

式展开式中的项为abckxyz，即11abc++=(,,0)abc，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为abckxyz且11abc++=(,,0)abc，故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即

213C78=.故选：C三、解答题（本大题满分42分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19.有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数：（1）甲乙两人不相邻；（2）甲在排头并且乙不在末尾.【答案】（1）3600（2）600【解析】

【分析】（1）利用插空法求解即可.（2）利用特殊元素优先法即可得到答案.【小问1详解】首先排其余的5人，共有55A120=种情况，再把甲乙放入空出的6个空中，共有26A30=种情况.所以共有120303600=种排

法.小问2详解】首先排甲，有1种情况，排乙，有15A5=种情况，排其余有55A120=种情况，所以共有5120600=种排法.20.求下列函数的导数：（1）4()3sinfxxx=+；（2）21()lnexfxxx−=−.【答案】（1）3(

)12cosfxxx=+；（2）21(2ln)22()exxxxfx−+−=.【【解析】【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可.【小问1详解】43()(3(sin)cos)12fxxxxx=+=+；【小问2详解】2121

21ln(2ln))2()(ln)(eee222xxxxxfxxxxxxxx−−−+=+−=−=−.21.设数列na满足123(21)2naanan+++−=.（1）求na的通项公式；（2）设()241nnb

na=−，求数列nb的前n项和.【答案】（1）221nan=−（2）224nn+【解析】【分析】（1）由123(21)2naanan+++−=，利用数列通项和与前n项和的关系式求解；（2）根据()24142nnbnan==−+知nb是以首项16b=，公差为4

的等差数列.，利用等差数列前n项和代入即可得出答案.【小问1详解】因为123(21)2naanan+++−=，①当11,2na==，当()1213(2322,)1nnaanan−+−++=−，②①减②得

：(21)2nna−=，所以221nan=−.1a满足na，所以221nan=−【小问2详解】()()()241212121242nnbnannnn=−−−=+=+，因为14nnbb+−=，所以数列nb是以首项16b=，公差为4的等差数列.所以设数列nb的前n项和为n

T，则()()126422422nnnbbnnTnn+++===+.22.已知13nxx+的二项展开式中，二项式系数之和为64.（1）求n的值；（2）求2113nxxxx++的展开式中的常

数项.【答案】（1）6n=；（2）135.【解析】【分析】（1）由二项式系数和有264n=，即可求n；（2）由（1）写出613xx+的展开式通项，进而确定原多项式的常数项即可.【小问1详解】由题设264n=，故6n=.【小问2详解】由（

1）知：62113xxxx++，而613xx+的展开式通项为66621661C(3)()3CrrrrrrrTxxx−−−+==，所以常数项为242246623C3C135xx−==.23.某地建

一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx+万元.假设桥墩等距离分布

，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩，记余下工程的费用为y万元.（I）试写出y关于x的函数关系式：（注意：(1)640nx+=）（Ⅱ）需新建多少个桥墩才能使y最小？【答案】（1）()25664064010240640y

xxx=++；（2）9【解析】【分析】（1）利用两墩相距m米，写出n关于x的函数关系式；（2）根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（3）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后

讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入1mnx=−中求出桥墩个数即可．【详解】（1）()1640nx+=即6401nx=−所以()()()25612yfxnnxx==+++2566406401024xx=++（0640x）（2）由（1）知，()

32,2264051225664064022xfxxxx−=−+=令()'0fx=，得32512x=，所以x=64当0<x<64时()'fx<0，()fx在区间（0，64）内为减函数；当64640x时，()'fx>0.()fx在区间（64，640）内为增函数，所以

()fx在x=64处取得最小值，此时，640119.64mnx=−=−=故需新建9个桥墩才能使y最小【点睛】本题考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．24.已知定义在R上的函数()fx

，对任意实数1x，2x都有()()()12121fxxfxfx+=++，且(1)1f=（1）若对任意正整数n，有112nnaf=+，求1a、2a的值，并证明na为等比数列；（2）设对任意正整数n，有1()nbfn=，若不等式12226log(1)35n

nnbbbx++++++对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围【答案】（1）11a=，212a=；证明见解析（2）(1,3)−【解析】【分析】（1）利用赋值法,求得1a,2a,na与1na+关系式,结合等比数列定义即

可证明na为等比数列;（2）求出nb的表达式,判断(1)()gngn+−表达式的正负,可得出数列的单调性,即可得出nb的最值,进而的可求实数x的取值范围.【详解】（1）()()()12121fxxfxfx+=++,(1)1f=令1212xx==则11(1)122fff=++

可得:102f=11112af=+=令1214xx==则1111244fff=++可得:1142f=−211142af=+=令12112nxx+==则1

111111112222nnnnfff+++++=++可得:1111222nnff+=+即:11112122nnff++=+12nnaa+=所以na是等比数列,首项11a=,公比12q=.（2

）令12,1xnx==由()()()12121fxxfxfx+=++可得:(1)1(1)()fnffn+=++(1)()2fnfn+=+则{()}fn是等差数列,首项为(1)=1f,公差为2.故:(

)1(1)221fnnn=+−=−则11()21nbfnn==−设122111()++212341nnngnbbbnnn++=+++=+++−则1111(1)()0414321(41)(43)(21)gngnnnnnnn+−=+−=+

+++++{()}gn递增数列.是min1112()(2)5735gng==+=故:2612log(1)3535x+即:2log(1)2x+可得:1014xx++,解得:(1,3)x

−.【点睛】在由抽象函数关系式求解等比数的列通项公式,要通过赋值法求na与1na+关系式,要结合所给抽象函数的特点进行赋值.在解含有数列和的不等式时,要先判断其单调性,进而得到其最值,这是解题关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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