【文档说明】安徽省合肥一六八中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.624 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省合肥一六八中学2022-2023学年高二上学期期中考试（数学）（考试总分：150分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.过点()2,1且倾斜角比直线=1yx−−的倾斜角小4的直线方程是（）A.2x=B.

1y=C.1x=D.2y=【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的倾斜角，再根据此直线过点()2,1，可得它的方程.【详解】直线=1yx−−的斜率为1−，倾斜角为34，故比它的倾斜角小4的直线的倾斜角为2，再根据此直线过

点()2,1，故要求的直线的方程为2x=.故选：A.【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及直线的倾斜角的计算，考查计算能力，属于基础题.2.光线从点()3,5A−射到x轴上，经反射以后经过点()2,10B，则光线从A到B经过的路程为（）A.52B.25C.510D.105【答案】

C【解析】【分析】点()3,5A−关于x轴的对称点为()3,5C−−,求出||CB即得解.【详解】点()3,5A−关于x轴的对称点为()3,5C−−，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即()()22||32

510510CB=−−+−−=.故选：C3.已知正三棱柱111ABCABC-的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于A.22B.32C.64D.104【答案】C【解析】【详解】

过1B作111BOAC⊥，连接AO，由于11111,OBACOBAA⊥⊥，故1OB⊥平面11AACC，所以所求直线与平面所成的角为1OAB，设棱长为2，则15,3AOOB==，故13tan5OAB=，136sin422OAB==.点睛：本题主要考查空间立体几何直线与平面的位置关系，考查直线与

平面所成的角，考查线面垂直的证明方法和常见几何体的结构特征.由于题目所给几何体为直三棱柱，故侧棱和底面垂直，这是一个重要的隐含条件，通过作交线的垂线，即可得到高，由此作出二面角的平面角.4.直线yxb=+与曲线21x

y=−有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A.2b=B.11b−或2b=−C.11b−D.21b−−【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到曲线21xy=−表示半圆，再结合图象即可得到直线yxb=+与曲线21xy=−有且仅有一个公共点时b

的取值范围.【详解】将方程21xy=−变形为()2210xyx+=．当直线yxb=+与曲线221xy+=相切时，满足()2200111b−+=+−，即2b=，解得2b=．由图可知，当2b=−或11b−时，直线yxb=+与曲线21xy=−有且仅有一个公共点．故

选：B.5.设0r，则两圆222(1)(3)xyr−++=与2216xy+=的位置关系不可能是（）A.相切B.相交C.内切和内含D.外切和外离【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，计算圆心距与半径比

较即可求解.【详解】圆2216xy+=的圆心为(0,0)，半径为4；圆222(1)(3)xyr−++=的圆心为(1,3)−，半径为r．两圆心之间的距离为1910+=，又因为104，所以两圆不可能外切和外离．故选：D．6.已知线段AB两端点的坐标分别为()2,3A−和()4,2B

，若直线:10lxmym++−=与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（）A.()3,1,4−−+B.31,4−C.31,4−D.(3,1,4−−+【

答案】C【解析】【分析】判断出直线l所过定点()1,1P−，结合图象求得m的取值范围【详解】直线:10lxmym++−=恒过的定点()1,1P−，4,13APBPkk=−=.当0m=时，直线l方程为1x=，与线段AB有交点，符合题意

.当0m时，直线l的斜率为1m−，则)14,1,3m−−−+，解得10m−或304m，综上，31,4m−.故选：C7.已知椭圆22195xy+=上有一点12PFF，为左右焦点，1260PF

F=，则12PFFS=（）A.533B.52C.532D.32【答案】C【解析】【分析】首先根据椭圆的定义和余弦定理求出1PF，再代入三角形的面积公式求解.【详解】由条件可知293aa==，25b=，则2424cc==，

设1PFx=，26PFx=−，124FF=，12PFF△中，根据余弦定理可知()2261624cos60xxx−=+−，解得：52x=，1215534sin60222PFFS==.故选：C【点睛】思路点睛：涉及圆锥曲线焦点三角形问题时，经常考查定义转化1PF和2PF，

以及余弦定理的综合应用.8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线:340lxy−=交椭圆C于,AB两点，若4AFBF+=，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.30,2B.3,12C.30,4D.3,14【答案】A【解析】【分析】如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，可得4||||||||2AFBFAFBFa=+=+=．取(0,

)Mb，由点M到直线l的距离不小于45，可得22|4|4534b+…，解得1b…．再利用离心率计算公式221cbeaa==−即可得出．【详解】解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，4||||||||2A

FBFAFAFa=+=+=，2a=．取(0,)Mb，点M到直线l的距离不小于45，22|4|4534b+…，解得1b…．222131122cbeaa==−−=„．椭圆E的离心率的取值范围是30,2．故选：A．【点睛】椭

圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（多选）

若两条直线1:(1)3axayl++=，2:(1)(32)2axlay++−=互相垂直，则a的值是（）A.3B.-1C.1D.0【答案】AB【解析】【分析】根据两直线垂直的判定可得(1)(1)(32)0aaaa

+++−=求解，即可得a的值.【详解】由题意，(1)(1)(32)0aaaa+++−=，解得1a=−或3a=.故选：AB．10.将一个椭圆绕其对称中心旋转90，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是

（）A.22184xy+=B.22135xy+=C.22163xy+=D.22169xy+=【答案】AC【解析】【分析】根据对偶椭圆的定义求出,ab，再根据关系逐一判断即可.【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，bc=，则22222abcb=+=，A，28a=，24b=，2

22ab=，是对偶椭圆；B，25a=，23b=，不满足222ab=，不是对偶椭圆；C，26a=，23b=，满足222ab=，是对偶椭圆；D，29a=，26b=，不满足222ab=，不是对偶椭圆．故选：AC11.椭圆22:14

xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，则1ABF的周长为8B.椭圆C上存在点P，使得120PFPF=C.椭圆C的离心率为12D.P为椭圆C上一点，Q为圆

221xy+=上一点，则点P，Q的最大距离为3【答案】ABD【解析】【分析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合

两点间距离公式判断D选项的正确性.【详解】对于选项A：由椭圆定义可得：1212||||||||24AFAFBFBFa+=+==，因此1ABF的周长为121122||||||||||||||48AFBFABAFBFAFBFa++=+++==，所以选项A正确；对

于选项B：设(,)Pmn，则2214mn+=，且22m−剟，又1(3,0)F−，2(3,0)F，所以1(3,)PFmn=−−−，2(3,)PFmn=−−，因此2222123(3)(3)132044mmPFPFmmnm=−−−+=+−−=−=，解得26[23m=−，2]，故选项B正确；对于选项C

：因为24a=，21b=，所以2223cab=−=，即3c=，所以离心率32cea==，所以选项C错误；对于选项D：设1(Px，1)y，则点P到圆221xy+=的圆心的距离为2222211111||4443POxyyyy

=+=−+=−，因为111y−剟，所以||||14013maxmaxPQPO=+=−+=，所以选项D正确，故选：ABD．12.如图所示，在棱长为2正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为棱11CD，1CC的中点，则下列结论正确的是（）的A.直线AM与BN是

平行直线B.直线MN与AC所成的角为60°C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°D.平面BMN截正方体所得的截面面积为32【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面BMN截正方体所得的截面即可

求出面积判断D.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，()0,0,0D，()10,0,2D，()10,2,2C．∵M，N分别为棱11CD，1CC的中点，∴()0,1,2M、()0,2

,1N，则()2,1,2AM=﹣，()2,0,1BN=−，∴AM和BN不共线，故A错误；∵()0,1,1MN=−，()2,2,0AC=−，∴0201cos,228MNACMNACMNAC++===，∴,3MNAC=，∴直线MN与AC所成角

为3，故B正确．由于平面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=，0012cos,212nMNnMNnMN+−===−，∴3,4nMN=，直线MN与平面ABCD所成的角为4，故C正确；连接1AB，易知1//ABMN，

则平面BMN截正方体所得的截面为等腰梯形1ABMN，的∵棱长为2，∴122AB=，2MN=，145BN=+=，∴等腰梯形的高为223522−=，∴()()11313922222222SABMN=+=+=梯形，故D错误，故选：BC．三、填空题（本题共计4

小题，总分20分）13.过点(0,1)A−的直线l与圆22(3)4xy+−=的圆心的距离为d，则d的取值范围为_______．【答案】[0,4]【解析】【分析】首先验证A与圆位置关系，讨论直线l绕A旋转过程中d的最值情况，即可确定d的范围.【详解】圆22

(3)4xy+−=的圆心坐标为()0,3，半径为2，点(0,1)A−在圆外，当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，∴d的最小值为0，最大值为220(31)4++=，故[0,4]d．故答案为：[0,4]14.

空间四边形ABCD中，2,3,,ABADBDACBCDCBCDC=====⊥，则其外接球表面积为__________．的【答案】3【解析】【分析】由题意知,ABCADC均为直角三角形且斜边都为AC，知外接球的球心为AC的中点，即可求球的半径，进而得到其表面积.【详解

】由2BD=，BCDC⊥，1BCDC==，又2,3ABADAC===，∴22222ACABBCADDC=+=+，即,ABBCABDC⊥⊥，∴AC的中点O为外接球的球心，且球的半径为322ACR==，∴外接球表面积243SR==，故答案为：3.15

.已知12FF、是椭圆22196xy+=的左、右焦点，P在椭圆上运动，当1214PFPF+的值最小时，12PFF△的面积为_______．【答案】23．【解析】【分析】根据椭圆定义得出12||||6PFPF+=，进而对()121214||||||||PFPFPFPF++进行化简

，结合基本不等式得出1214||||PFPF+的最小值，并求出12||,||PFPF的值，进而求出面积.【详解】由椭圆定义可知，12||||26PFPFa+==，所以()212112121212||4||||4||14||||5529||||||||||||PFPFPFPFPF

PFPFPFPFPFPFPF++=+++=，121493=||||62PFPF+，当且仅当2112||4||||||PFPFPFPF=，即12||2,||4PFPF==时取“=”.又22233cabc=−==，所以12|

|23FF=.所以2221122||||||PFFFPF+=，由勾股定理可知：112PFFF⊥，所以121232232PFFS==.故答案为：23.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分

别为12,FF，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若22||2ABab=−，且11sin2sinABFBAF，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】25,23

【解析】【分析】首先根据已知条件找到()222212221244AFAFceaAFAF+==+，转化为1222212211AFAFeAFAF=++，进而整理122212122122AFAFAFAFAFAFAFAF=++，然后把1

2AFAF整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.【详解】∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即OAOB=22||22ABabc=−=又∵12OFOF=，122FFc=∴四边形12AFBF为矩形∴1290FAF=则()122221222AFAFaA

FAFc+=+=()2222121222222121224114AFAFAFAFceaeAFAFAFAF+===+++在1RtAFB中，1111sinsinAFBFABFBAFABAB==

∵11sin2sinABFBAF，∴112AFBF∵12BFAF=∴122AFAF∵A在第一象限，∴12AFAF∴2122AFAFAF∴1212AFAF令12AFtAF=，则有152,2tt+12221212212224,115AFAFAFAFAFAFtt

AFAF==+++12222122191,25AFAFeAFAF=++215,29e，即25,23e故答案为：25,23【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方

法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．四、解

答题（本题共计6小题，总分70分）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点35,22−；（2）经过点P11,33，Q10,2−.【答案】（1）221106y

x+=（2）2211145yx+=【解析】【分析】(1)根据题意得到半焦距2c=，然后利用椭圆的定义求出10a=，再根据,,abc的关系即可求解；(2)已知椭圆过两点，设其方程为221mxny+=，将点代入解方程组即可求解.【小问1详解】由题意知

：椭圆的焦点在纵轴上，且2c=.由椭圆的定义，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于2a.222235352()(2)()(2)2102222a=−+++−+−=，10a=，所以2221046bac=−=−=故椭圆方程为221106yx

+=.【小问2详解】根据题意，设椭圆的方程为221mxny+=，(0,0,)mnmn，又由椭圆经过11(,)33P和1(0,)2Q−，则有19914mnn+==，解可得5m=，4n=；则要求的椭圆方程为22541xy

+=，即其标准方程为2211145yx+=.18.已知圆22:(1)(2)25Cxy−+−=，直线:(21)(1)740()lmxmymmR+++−−=．（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l与圆C的位置关系；（3）当0m=时，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】

（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）72.【解析】【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令27040xyxy+−=+−=求解，即可证结论.（2）由（

1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．【详解】（1）证明：直线l的方程可化为(27)40xymxy+−++−=

，又mR，∴27040xyxy+−=+−=，解得31xy==，∴直线l恒过定点(3,1)A．（2）圆心(1,2)C，22||(31)(12)55AC=−+−=，∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．（3）当0m=时，直线l的方程为40xy+−=

，圆心(1,2)C到直线l的距离22|124|2211d+−==+．∴此时直线l被圆C截得的弦长为2212225722rd−=−=．19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，其中左焦点(2,0)F−．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线yxm=+

与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆221xy+=上，求m的值．【答案】（1）22184xy+=；（2）355m=．【解析】【分析】(1)根据条件列出关于,,abc，求解方程组，即可得到椭圆方程；(2)联立直线

方程与椭圆方程，根据中点坐标公式以及韦达定理求得中点的横纵坐标关于m的表达式,代入圆方程解得m的值,注意要检验满足判别式大于0的条件.【详解】（1）由题意，得222222cacabc===+,解得222ab==，∴椭圆C的方程为22184x

y+=；（2）设点A、B的坐标分别为()11,xy，()22,xy，线段AB的中点为()00,Mxy，由22184xyyxm+==+消y得2234280xmxm++−=，的29680m=−，2323m−（*），120

223xxmx+==−，003myxm=+=∵点()00,Mxy在圆221xy+=上，222133mm−+=，355m=，满足（*），355m=.【点睛】本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程,考查基本分析转化求解能力,属中档题.

关键是要熟练利用韦达定理和中点坐标公式,并注意检验是否满足判别式大于0的条件.20.如图，在四棱锥PABCD−中，90,//PABABCD=，且6PBBCBD===，222,120CDABPAD===,E和F分别是棱CD和PC的中点.（1）求证：CDBF⊥；

（2）求点B到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）由题可知四边形ABED为矩形，先得AB⊥平面PAD，由于//ABCD，再得CD⊥平面BEF即可解决；（2）空间向量解决点到平面距离即可.小问1详解】证明:因为E为CD中点，2CDAB=，所以ABDE=，【又//A

BCD，所以四边形ABED为平行四边形.因为BCBD=，E为CD中点，所以BECD⊥，所以四边形ABED为矩形，所以ABAD⊥,由90PAB=，得PAAB⊥，又,,PAADAPAAD=平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因为//AB

CD，所以CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以CDPD⊥，因为//,EFPD所以.CDEF⊥又,,,CDBEBEEFEBEEF⊥=平面BEF，所以CD⊥平面BEF，又因为BF平面BEF，所以CDBF⊥.【小问2详解】由（1）知AB⊥平面PAD,以A为原点，A

B所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，平面PAD内过点A且与AD垂直的线为z轴建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示.120PAD=，30PAz=，又6,2,PBABABPA==⊥，2PA

=点P到z轴的距离为1.(0,1,3)P−，同时知(0,0,0),(2,0,0)AB，又6,22BCBDCD===，2.BE=(22,2,0),(0,2,0).CD所以(0,3,3),(22,0,0)PDCD=−=−设平面PCD的一个法向量为(,,)nxyz=，由00nPDnCD

==得330,220.yzx−=−=令1y=，则(0,1,3)n=，又(2,1,3)PB=−，设点B到平面PCD的距离为d，则1nPBdn==所以点B到平面PCD的距离为1.21.已知平面直角坐标系上一动点(),Pxy到

点()2,0A−的距离是点P到点()1,0B的距离的2倍.（1）求点P的轨迹方程：（2）若点P与点Q关于点()1,4−对称，求P、Q两点间距离的最大值；（3）若过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E、F两点，()2,0M，则是否存在直线l，使EFMS△取得最大值，若存

在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2224xy−+=（2）14（3）存在，720xy−+=或720xy++=【解析】【分析】（1）根据条件列方程求解即可；（2）根据对称性求出Q点

的轨迹方程，再根据几何图形即可求解；（3）作图，根据几何图形将面积EFMS△转化为二次函数即可求得最大值.【小问1详解】由已知()()()()222220210xyxy++−=−+−，化简得2240xxy−+=，即()2224xy−+=，所以点P的轨迹方程为()2

224xy−+=；【小问2详解】设(),Qmn，∵点P与点Q关于点（—1，4）对称，∴点P坐标为()2,8mn−−−，∵点P在圆上运动，∴()()222284mn−−−+−=，即点Q的轨迹方程为()()22484mn++−=，

是圆心在()4,8−，半径为2的圆，∴()()22||24082214maxPQ=−−+−++=；【小问3详解】设直线l的斜率为k，倾斜角为，由于对称性，不妨设E，F在x轴上方，如图：当l与圆C相切时，214,sin,304

2AM====，030＜＜，设M点到直线l的距离为d，则sin4sindAM==，有02d＜＜，2222224EFdd=−=−，2142EFMSdEFdd==−，考察()2224EFMSd

d=−，由二次函数的性质知：当22,2dd==时，2EFMS取得最大值4，即EFMS△的最大值为2，2sin4=，2277cos1sin,tan87k=−===，∴直线l的方程为720xy−+=，考虑到对称性，另一条直线的方程为：720xy++=；综上，P的轨

迹方程为()2224xy−+=；PQ的最大值为14，EFMS△存在最大值，其直线方程为720xy−+=或720xy++=.22.已知椭圆()2222:10yxCabab+=的两个焦点分别为1F，2F，过点1F且与y轴垂直的直

线交椭圆C于M，N两点，2MNF的面积为3，椭圆C的离心率为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线:lykxm=+与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得4OAOBOP+=，求m的取值范围．【答案】（1）2214

yx+=（2）(2,1)(1,2){0}−−【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，11(,),(,)MxcNxc−，根据题意，可求得MN的值，代入面积公式，结合离心率，可求得21b=，根据a，

b，c的关系，即可求得2a的值，即可得答案.（2）分析的当m=0时，满足题意，当0m，根据题意，结合三点共线定理，可得3=，即可得3APPB=，设2233(,),(,)AxyBxy，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得23,xx关系，结合233xx=−，可得3x表达式，计算化简，可得22224

0mkkm−+−=，根据判别式0，计算即可得答案.【小问1详解】设椭圆的焦距为2c，11(,),(,)MxcNxc−，代入椭圆方程可得221221xcab+=，解得21bxa=，所以2112()bM

Nxxa=−−=，所以2211222322bMNFMNcca===，解得223bca=，又32cea==，所以21b=，又222abc=+，所以24a=，所以椭圆C的标准方程为2214yx+=【小问2详解】当m=0时，则(0

,0)P，由椭圆的对称性得APPB=uuuruur,所以04OAOBOP+==，所以当m=0时，存在实数，使得4OAOBOP+=；当0m时，由4OAOBOP+=，得144OPOAOB=+，因为A、B、P三点共线，

所以1144+=，解得3=，所以3APPB=，设2233(,),(,)AxyBxy，由2214ykxmyx=++=，得222)(4240kxmkxm+++−=，由题意得222244(4)(4)0mkkm=−+−，则2240

km−+，且223232224,44mkmxxxxkk−−+==++，由3APPB=，可得233xx=−，所以2332224mkxxxk−+=−=+，解得324mkxk=+，又2222332243344mkmxxxkk−=−=−=++，整理得222240mkkm−+−=，显然2

1m=不满足上式，所以22241mkm−=−，因为2240km−+，所以2224401mmm−−+−，即()222401mmm−−，解得21m−−或12m，综上，m的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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