【文档说明】广东省深圳市福田区红岭中学2022-2023学年高三上学期第二次统一考试 数学 word版试卷含答案.docx，共(20)页，950.373 KB，由小赞的店铺上传

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红岭中学2022－2023学年度第一学期高三第二次统一考试数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)命题人：汪正良审题人：蔡晓纯一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案

的代号涂在答题卡上）1.已知集合30=xxA，集合2{|0log1}Bxx=，则AB=（）A.{|13}xxB.{|12}xxC.{|23}xxD.{|02}xx2．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数c

os和sin联系在一起，得到公式sincosiei+=，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得12+ie＝()A．1B．2C．2D．53．函数xxxf31log)(8−=的一个零点所在的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C．(3,3.5)D．(3.5,4)4．已知m，n是

两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，以下命题：①若m∥，m⊥，则⊥；②若//,//,,nmnm，则//；③若⊥，m∥，n∥，则m⊥n；④若nmm=,//,，则nm//。其中正确

的是（）A．①④B．①②④C.①②③D．②③④5．函数ln||()xfxxx=+的图象大致为（）A．B．C．D．6.在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CByCAxCO+=，且1=+yx.若函数f(m)CBmCA−=(m∈R)的最小值为32，则|CO|的最小值为（）．A．1B．43C．

21D．227.若bbaa8222log33log+=+，则（）A.bab21B.bab2C.bab32D.bab21318.已知菱形ABCD的各边长为2,60D=.如图所示，将ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥SABC−，此时3SB=，E是线段

SA的中点，点F在三棱锥SABC−的外接球上运动，且始终保持EFAC⊥，则点F的轨迹的周长为（）.A．325B．354C．334D．533二、多选题（共4个小题，每小题5分,共20分，在每小题给出的四个选项中，有两项以上是符合题目要求的）9.下列叙述中正确的是

()A．R,，使得sinsin)sin(+=+B．命题“1log,22xx”的否定是“1log,22xx”C.设0x，,xyR，则xy||xyD．“1a”是“11a”的充分不必要条件10.

已知直线8x=是函数)0)(2sin()(+=xxf的一条对称轴，则（）A.)(xf的图像关于点)0,83(中心对称B.)(xf在2,0上有两个零点C.)(xf在,82

上单调递减D.y=f(x)与()sin(2)4gxx=−的图象关于直线4x=对称11.数列na满足()122213215nnaannn−−=−−，166a=，nS是na的前n项和，以下正确的是()A．5a是数列na的最小项B．1nnaa−

−是等差数列C．123=aD．对于两个正整数m､()nnm，nmSS−的最小值为10−12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，动点F在正方形11CDDC内，则（）A.若1CF⊥平面1ACF，则点F的位置唯一B.若1//BF平

面1ABD，则1BF不可能垂直1CDC.若()112BFBCBD=+，则三棱锥11−FBCC的外接球表面积为4D.若点E为BC中点，则三棱锥11AABE−的体积是三棱锥1−AFAB体积的一半第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5

分，共20分）13.曲线2lnyxx=−在1x=处的切线的倾斜角为，则cos2sincossin−+的值是____。14.在△ABC中，BCDBCACC为,2,3,900===的中点，FE,都在线段AB上，且FBEFAE==，则CFDE=

_____.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是______.16．已知函数()()()

21e,01,0exxxxfxxx+=+，若关于x的方程()()20fxafx−=有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知正项

等差数列na中，3211,1,,2aaaa−=且成等比数列，数列{bn}的前n项和为nS，且22−=nnbS(n∈N*).(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设11+=nnnaac，求数列nc的前n项和Tn.18.在△ABC中，角CBA,,的对边分别为cba

,,，且baBc+=2cos2(1)求角C;（2）若55sin,102==Bc，D为BC中点，求AD的长度．19.如图(1)所示，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB＝2AD＝2AC，将△ACD沿AD翻折，使得平面

ACD⊥平面ABD，如图(2).(1)求证：AB⊥CD；(2)图(2)中，E是BD上一点，连接AE、CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为12时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．20.已知OPQ是半径

为1，圆心角为4的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记COP=，矩形ABCD的面积为S。（1）求S关于角的解析式，并求S的最大值.（2）当矩形ABCD的面积为624−时，求角的值.21.设数列}{na满足01

=a,1142441+++=+nnnaaa令14+=nnab.(1)试证明数列}{nb是等差数列，并求数列}{nb的通项公式；(2)是否存在常数c，使得数列nbcn32+是等比数列？请说明理由。(3)令nnnbbbbbbbbT264212531

=−，是否存在实数a，使得1+nnbT)1(log22+a对一切+Nn都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．22.已知函数(),nfxnxxxR=−，其中*,2nNn.（1）讨论()fx的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为P

，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；（3）若关于的方程有两个正实根，求证：。一、BBAAACBD二、9.ABD10．ACD11．ABD12.AD三、13.4;14.914；15.169;16.214

,ee详解()yfx=x()ygx=x()()fxgxx()=a(a)fx为实数12xx，21-21axxn+−6.答案：12解析：由CO＝xCA＋yCB，且x＋y＝1，可知A，O，B三点

共线，所以|CO|的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|CA－mCB|的最小值为32，即点A到BC边的距离为32.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO|的最小值

为12.另解：由CO＝xCA＋yCB，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以|CO|的最小值为AB边上的高。2222222sin)cos(cos212+−=−+=−+=−mmmCBCAmCBmCACBmCA依题，可得23sin,43sin2==，

因为是钝角，所以32=，......。7.解：bbbbaa222222loglog3log++=+，且)3(log)3(log3log222222bbbbaa++=+，设xxfx2log2)(+=，易知)(xf在),0(+上单调递增，则)2()3()(),()(bfbfafb

faf且，所以bab2。8.【详解】取AC中点M，则,,ACBMACSMBMSMM⊥⊥=，∴AC⊥平面SMB，3SMMB==，又3SB=，∴30SBMMSB==，则三棱锥SABC−的高3sin2hSBMSB==，三棱锥SABC−体积为2133323422V

==；作EHACH⊥于，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且AC⊥，设三棱锥SABC−外接球的球心为,,OSACBAC的中心分别为12,OO，易知1OO⊥平面2,SACOO⊥平面BAC，且12,,,OOOM四点共面

，由题可得1121602OMOOMO==，11333OMSM==，解Rt1OOM△，得1131OOOM==，又122333OSSM==，则三棱锥SABC−外接球半径221173rOOOS=+=，易

知O到平面的距离12dMH==，故平面截外接球所得截面圆的半径为2217153346rrd=−=−=，∴截面圆的周长为15323lr==，即点F轨迹的周长为533.故答案为：533.10【答案】ACD

【解析】【分析】由条件先求出f(x)的解析式，再结合选项分别判断即可.【详解】∵直线8x=是函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π）的一条对称轴，所以2,Z82kk+=+（0<φ<π），所以4=，即()s

in(2)4fxx=+，所以0...)83(==f，故A正确；当+45,442,2,0xx时，0)42sin(=+x只有一个解，故B错误；当5,,2,82424xx+

，此时函数f（x）单调递减，故C正确；显然，()sin(2)4fxx=+与()sin(2-)4gxx=的图象关于直线4x=对称，故D正确.故选：ACD.11.【答案】ABD【解析】由()122213215nnaannn−−=−−，

则数列213nan−为等差数列，且公差为2，又166a=，则1666211311a==−−−，可得()61228213nannn=−+−=−−，∴()()22212528213442104444nannn

nn=−−=−+=−−，又*nN，当5n=时，na取得最小值，故A正确；143=a，故C不正确；（也可由题目条件，求出32,aa，知C不正确）()11112nnnnnnnaaaaaaa+−+−−−−=+−()()()()

()()262112102152282118nnnnnn=−−+−−−−−=，是常数，故B正确；对于两个正整数m､()nnm，12nmmnmSSaaa++−=+++，由123456780646aaaaaaaa==

−=−=，故nmSS−的最小值为10−，故D正确.故选：ABD.12.【答案】AD【解析】【分析】求得点F的坐标判断选项A；求得同时满足两个条件的点F的坐标判断选项B；求得三棱锥11−FBCC的外接球表面积判断选项C；求得三棱锥11AABE−的体积和三棱锥1

−AFAB体积判断选项D.【详解】如图，以D为原点分别以DA、DC、1DD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：则()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，()0,0,0D，()12,0,2A，()12,2,2B，()10,2,2C，()10,0,2D，由

于动点F在正方形11CDDC内，可设()0,,Fmn，其中02m，02n，选项A：若1CF⊥平面1ACF，则11CFAC⊥，1CFCF⊥．由于()10,2,2CFmn=−−，()12,2,2AC=−−，()0,2,CFmn=−

，则()()()()222220220mnmnn−−−=−+−=，解得：11mn==或22mn==（舍去），此时()0,1,1F，即点F的位置唯一，故选项A正确；选项B：()10,2,2AB=−，()2,

2,0BD=−−，设平面1ABD的一个法向量为(),,nxyz=r．则220220yzxy−=−−=，令1y=，得1x=−，1z=，故()1,1,1n=−，而()12,2,2BFmn=−−−，若1BF∥平

面1ABD，则10BFn=，则2220mn+−+−=，即2mn+=，所以()0,,2Fmm−，此时()12,2,BFmm=−−−，而()10,2,2CD=−，所以()112022244BFCDmmm=−−−−=−+，当1m=时，440m−+=，此时110B

FCD=，则11BFCD⊥.故选项B不正确；选项C：由于()112BFBCBD=+，则F为1CD的中点，此时()0,1,1F，设三棱锥的11−FBCC的外接球的球心为(),,Oxyz，则11OCOBOCOFOCOC

===，即()()()()()()()()()()2222222222222222222222211222xyzxyzxyzxyzxyzxyz+−+=−+−+−+−+=+−+−+−+=+−+−，解得：121xyz==

=，所以()1,2,1O，则三棱锥的11−FBCC的外接球的半径为2ROC==，所以三棱锥的11−FBCC的外接球表面积为()224428R==，故选项C不正确；选项D：点E为BC中点，由正方体可知BC⊥平

面11AABB，则11111111111222132323AABEEAABVVAAABBE−−====111111111422232323AFABFAABVVAAABBC−−===

=则三棱锥11AABE−的体积是三棱锥1−AFAB体积的一半.故选项D正确.故选：AD另解：选项A，由CFAFC11面⊥，知FCFFC,1⊥的轨迹是以线段CC1为直径的圆（在正方形11CCDD内）；又CAFC11⊥，易知BDCCA11面⊥，所以F在面1

11CCDDBDC与面的交线上，所以F在线段DC1上。易知线段DC1与以线段CC1为直径的圆（在正方形11CCDD内）相切，所以F是唯一的。A正确。选项B，易知面CDBBDA111面⊥，所以F在线段CDBFBCD1111,扫过上；又知111

BADCCD面⊥，要使111BADCCD面⊥，则CDBBADCFB11111与是面的交线，此时，F为1CD的中点，使得11CDFB⊥。15.【解析】设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323rx−=，332xr=−，圆柱的体积为23()(3)(02)2Vrrrr=−

，求导，得)296()296()('2rrrrrV−=−=令34,0)('==rrV得当43r=时，)(rV取最大值169。圆柱的最大体积为169，16.【解析】当0x时，()()2exfxx=+，当2x−时，()0fx，()f

x单调递减，当20x−时，()0fx，()fx单调递增，当0x时，()()()222111eexxxxxfx+−+−==，当)0,1x时，()0fx，()fx单调递增，当1x时，()0fx，()fx单调递减，又当0x=时，()e11xx+=，()211ex

x+=，()fx在2x=−处取得极小值，()212ef−=−，()fx在1x=处取得极大值，()41ef=，又1x−时，()()1e0xfxx+=恒成立，1x时，()()210exxfx+=恒成立，画出()(

)()21e,01,0exxxxfxxx+=+，如图：由()()20fxafx−=得：()fxa=或()0fx=画出()yfx=的图象，如图所示：从图象可以看出()0fx=有1个根，为11x=−，要想方程()()20fxafx−=有3个不相

等的实数根，需要()fxa=需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，所以则实数a的取值范围是214,ee，C正确；四、17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，且a1，a2－1，a3成等比数列，∴(1＋d)2＝2(2＋2d)，即(1＋d)2＝4(1＋d)，由已

知d>0，∴1＋d＝4，∴d＝3，∴an＝3n－1；..........................................................3分由22−=nnaS，得2211−=++nnaS，两式相减

得nnnnnaaaSS22111−==−+++，得nnaa21=+，又222111=−=aaS，数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，则nnb2=.............(7分)(2)cn＝1anan＋1＝1（3n－1）（3n＋2）＝1313n－1－13n＋2，∴Tn＝

1312－15＋15－18＋…＋13n－1－13n＋2＝1312－13n＋2=69161+−n............................(10分)18.解：(1)依题，baBc+=2cos2，

由正弦定理，得BCBBABCsin)sin(2sinsin2cossin2++=+=0sincossin2=+BCB，22cos,0sin−=CB，又0c..所以43=C.........

.......(4分)另解：依题，baBc+=2cos2，由余弦定理，得ababcabaacbcac222222222222+=−++=−+，得abbca2222−=−+，22222cos222−=−=−+=abababcbaC又

0c..所以43=C................................(4分)(2)解法一：因为5sin5B=，所以225cos1sin5BB=−=.......(5分)又10sinsin()sincoscoss

in10BACBCBCBC=+=+=,..........(7分)由正弦定理知，sinsincaCBAC=,所以BC=sin22sincBACaC==,又D为BC中点，所以2BD=,.............(10分)在ABC中，由余弦定理知2222cosADAB

BDABBDB=+−，得26AD=...........(12分)解法二：10103...)cos(cos==+−=CBA，在在ABC中，由正弦定理得CABBACsinsin=，即42210255==ACAC，26...)(4122==+=ABACAD，所以AD的长为26。

19.解：(1)由图(1)知，在图(2)中，AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD................................................

........................................(4分)(2)以A为原点，AC，AB，AD所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间坐标系，不妨设AC＝1，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1).设E

(x，y，z)，由DE→＝λDB→(0<λ<1)，得(x，y，z－1)＝(0，2λ，－λ)，得E(0，2λ，1－λ)，∴AE→＝(0，2λ，1－λ)，平面ABC的一个法向量为AD→＝(0，0，1).由AE与底面

ABC所成角的正切值为12可得tan〈AD→，AE→〉＝2，于是cos〈AD→，AE→〉＝15，即1－λ（2λ）2＋（1－λ）2＝15，解得λ＝12.则E0，1，12，AE→＝0，1，12，BC→＝(1，－2，0)，BE→＝0，

－1，12.设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝0，n·BE→＝0，即x－2y＝0.－y＋12z＝0，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝(2，1，2)是平面BCE的一个

法向量，设直线AE与平面BCE所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AE→，n〉|＝|AE→·n||AE→||n|＝252×3＝4515，故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为4515...................

...........................(12分)另解：过E左ABEH⊥于H，易知ABCEHABCADEHAD面面⊥⊥,//，EAH是AE与底面ABC所成角，依题，21tan==AHEHEAH，得EHAH2=，由EHBHADB

AEHBH22::===所以HBHAH,=是AB的中点，E是BD中点。（以下解法同前面的解法）（说明：直接写“EAH是AE与底面ABC所成角”，没有给出理由的，扣过程分）20.解：(1)在RtOBC中

：cosOB=，sinBC=……...（1分）在RtOAD中：tan14ADOA==所以sinOAADBC===………….................（2分）所以cossinABOBOA=−=

−……….............（3分）所以矩形ABCD的面积(cossin)sinSABBC==−…（4分）2cossinsin=−11cos2sin222−=−11(sin2cos2)22=+−2221(sin2cos2)

2222=+−21sin(2)242=+−.....................（7分）由04，得32444+，所以当242+=，即8=时，m2122axS=−

……（9分）(2)当2162sin(2)2424S−=+−=时，即3sin(2)42+=………（10分）又因为32444+，所以2243+=，或342=+，即524=或24…..................（12分）21.解：(1)证：由144

2411nnnaaa+=+++,得141(41)2411nnnaaa++=++++,即2141(411)nnaa++=++,221(1)nnbb+=+,而0nb,∴11nnbb+=+,即11nnbb

+−=,∴数列{}nb是以首项为11411ba=+=,公差为1的等差数列．这时,*()nbnnN=．…………………………5分（2）由（1）nnnncpnb32,+==设，法一：若存在常数c,使nnc32+是等比

数列，则2231ppp=，即2)94()278)(32(ccc+=++，解得0=c。所以，存在唯一的常数0=c,使nnc32+是等比数列。..........................7分法二：nnnnnnnnnnnnncccccc)23(113322332231

233323211+−=+−=+−+=++++，当0c时，上述比值不是常数。所以，存在唯一的常数c=0,使nnc32+是等比数列。........7分(3)设13(21)11242nnnncTbnn

−=+=+,则11113(21)(21)12242(22)nnnnncTbnnn+++−+=+=++.∵2321232(21)2(21)(2)412921(22)(1)412124(22)1nncnnnnnnncnnnnnnn++

++++++===+++++++∴1nncc+,即数列{}nc是递减数列,故122ncc=．……10分要使不等式212log(1)nnncTba=++对一切nN•都成立,只要122log(1)ca+,即222log(1)2a+,21log(1)2a+,解得21a−.因此

,存在大于21−实数a，使得不等式212log(1)nnTba++对一切nN•都成立．..........12分22.【详解】（Ⅰ）由()nfxnxx=−，可得，其中*nN且2n，下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时：令

()0fx=，解得1x=或1x=−，当x变化时，(),()fxfx的变化情况如下表：x(,1)−−(1,1)−(1,)+()fx−+−()fx所以，()fx在(,1)−−，(1,)+上单调递减，在(1,1)−内单调递

增.（2）当n为偶数时，当()0fx，即1x时，函数()fx单调递增；当()0fx，即1x时，函数()fx单调递减.所以，()fx在(,1)−−上单调递增，()fx在(1,)+上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P的坐标为0(,0)x，则110nxn−=，20()fxnn=−

，曲线()yfx=在点P处的切线方程为()00()yfxxx=−，即()00()()gxfxxx=−，令()()()Fxfxgx=−，即，则0()()()Fxfxfx−=由于1()nfxnxn−=−+在()0,+上单

调递减，故()Fx在()0,+上单调递减，又因为0()0Fx=，所以当0(0,)xx时，0()0Fx，当0(,)xx+时，0()0Fx，所以()Fx在0(0,)x内单调递增，在0(,)x+内单调递减，所以

对任意的正实数x都有0()()0FxFx=，即对任意的正实数x，都有()()fxgx.（Ⅲ）证明：不妨设12xx，由（Ⅱ）知()()20()gxnnxx=−−，设方程()gxa=的根为2x，可得202.axxnn=+−，当2n时，()gx在(),−

+上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),gxfxagx==可得22xx.类似的，设曲线()yfx=在原点处的切线方程为，可得，当，，即对任意，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.由此可得.因为，所以，故，所以.()yhx=()hxnx=

(0,)x+()()0nfxhxx−=−(0,)x+()().fxhx()hxa=1x1axn=()hxnx=(),−+111()()()hxafxhx==11xx212101axxxxxn−−=+−2n11112(11)111nnn

Cnn−−−=++=+−=1102nnx−=2121axxn−+−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com