【文档说明】北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.193 MB，由小赞的店铺上传

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北师大实验中学2023-2024学年第二学期期中测验高一数学高一数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小

题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.240是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据240所在区域及象限角的定义判断得解.【详解】显然180240270

°°<，所以240是第三象限角.故选：C2.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则ab=（）A.4−B.2−C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定的图形，求出||,||,,abab，再利用数量积的定义求解即得.【详解】观察图

形知，3π||22,||2,,4abab===，所以2222()42ab=−=−.故选：A3.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（）A.sinyx=B.cosyx=C.tan2yx=D.sincosyxx=【答案】D【解析】【

分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论.【详解】由于sinyx=是最小正周期为2π的奇函数，则A错误；由于cosyx=为偶函数，则B错误；由于tan2yx=是最小正周期为π2的奇函数，则C错误；由于1sin

cossin22yxxx==，则sincosyxx=是最小正周期为π的奇函数；即D正确；故选：D4.已知向量a，b满足()0,1a=，1b=，3ab−=rr，则,ab=（）A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】D【解析】【分析】利用数量积的运算律结合已知求出a

b，再利用夹角公式计算即得.【详解】由()0,1a=，得||1a=r，由3ab−=rr，1b=，得2()3ab−=，即2223abab+−=，即1123ab+−=，解得12ab=−，于是1cos,2||||ababab==−，而,[0,π]ab

，所以2π,3ab=.故选：D5.已知函数()()sin3cos0fxxx=+的图象与直线2y=的相邻两个交点间的距离等于π，则()fx的图象的一条对称轴是（）A.π12x=B.π6x=C.5π12

x=D.5π6x=【答案】A【解析】【分析】先求出()yfx=的图象和直线2y=的全部交点，然后根据已知条件得到2=，再确定()fx的表达式，最后确定()fx图象的全部对称轴，即可选出答案.【详解】由于()πsin3cos2sin3

fxxxx=+=+，故方程()2fx=等价于()ππ2π32xkk+=+Z，即()π2π6kxk=+Z.故()yfx=的图象和直线2y=的全部交点为()π2π,26kk+Z，由于相邻

两个交点间的距离等于π，故2ππ=，即2=.所以()π2sin23fxx=+，其图象的全部最值点x满足()ππ2π32xkk+=+Z，即()ππ122kxk=+Z.所以()fx的图象的全部对称轴为()ππ122kxk=+Z，取0

k=即知A正确.而ππ5πππ5ππ2π126121226122++，故B，C，D错误.故选：A.6.已知ABC满足ABAC=，tan2B=，则tanA=（）A.43B.43−C.45D.45−【答案】A【

解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得.【详解】在ABC中，ABAC=，tan2B=，则π2AB=−，所以222tan224tantan21tan123BABB=−=−=−=−−.故选：A7.已知函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，π2）的部分图象如图所示

，要得到函数2sin2yx=的图象，只需将函数()fx的图象（）A.向左平移π3个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向右平移π6个单位【答案】D【解析】【分析】根据图象求出函数()()sinfxAx=+解析式，由()()sinfxAx=+的

图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，π2）的部分图象，可得2A=，12π7ππ44123T==−，解得2=，再根据五点法作图可得π2π3+=，解得π3=，故()π2sin2

3fxx=+，故将函数()fx的图象向右平移π6个单位，可得ππ2sin2()2sin263yxx=−+=的图象，经检验，其他选项都不正确.故选：D8.若π3cos45−=，则sin2=（）A.725B.725−C.925D.925−【答案】B【解

析】【分析】由2ππ224=−+，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.【详解】由于2ππ224=−+，所以2ππππ97sin2sin2cos22cos12144425252

=−+=−=−−=−=−，故选：B9.已知函数()()cosfxx=+．则“()()11ff−=−”是“()fx为奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件的C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】C【解析】【分析】若()()11ff−=−，利用和差角公式求出，即可判断()fx的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性.【详解】因()()cosfxx=+，若()()11ff−=−，即()()cos1cos1−+=−+，即cosco

s1sinsin1coscos1sinsin1+=−+，所以coscos10=，又cos10，所以cos0=，所以ππ,Z2kk=+，当k为偶数时()()ss2iπconscofxxxx=++

==−，则()fx为奇函数；当k为奇数时()()ssπcoscoπi2nxfxxx===+++，则()fx为奇函数；综上可得由()()11ff−=−可得()fx为奇函数，故充分性成立；由()fx为奇函数，则()()fxfx−=−，显然满足()()11ff−=−，故必要性成

立；所以“()()11ff−=−”是“()fx为奇函数”充要条件.故选：C10.如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点A的描述正确的是（

参考数据：7π21.991）（）A.点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB.点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m【答案】B为的【解析】【

分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离.【详解】车轮的周长为2π0.30.6πm=，当滚动的水平距离为7π22m时，7π2110.6π3=+，即车轮转动2113+个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示，距离地面约为π0.30.

3cos0.45m3+=，故选：B.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数tan()4yx=+的定义域为__________________.【答案】|,4xxkkZ+【解析】【详解】

试题分析：由,42xkkZ++，解得,4xkkZ+，所以定义域为|,4xxkkZ+考点：本题考查定义域点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域12.已知向量()1,3a=，()c

os,sinb=，使a和b的夹角为钝角的的一个取值为________.【答案】π2−（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用0ab且a和b不共线，求出的值的范围即可.【详解】由a和b的

夹角为钝角，得0ab且a和b不共线，则cos3sin0sin3cos+，由cos3sin0+，得π2sin()06+，解得ππ2π2π,Z6kkk−++，整理得7ππ2π2π,Z66kkk−+−+，当sin3cos=时，tan

3=，ππ,Z3kk=+，而sin3cos，则ππ,Z3kk+，因此当a和b的夹角为钝角时，7ππ2π2π,Z66kkk−+−+且ππ,Z3kk+，所以a和b的夹角为钝角的的一个取值为π2−.故答案

为：π2−（答案不唯一）.13.若函数π()sin()6fxx=+（0）和22()cos()sin()gxxx=+−+的图象的对称轴完全重合，则=_________，π()6g=______

____.【答案】①.2②.1−或1【解析】【分析】化简函数()gx并求出其周期，由两个函数周期相同求出，再求出对称轴进而确定即可求出π()6g.【详解】依题意，()cos(22)gxx=+，函数()gx的周期为π，由函数()fx和()gx的图象对称轴完全重合，得

()fx的周期2ππT==，所以2=；函数π()sin(2)6fxx=+，由11ππ2π,Z62xkk+=+，得11ππ,Z62kxk=+，函数()gx中，由2222π,Zxkk+=，得22π,Z2kxk=−+，依题意，1221π,Zππ,Z622kkkk−++=，1212

Z),(ππZ62,kkkk−−=+则当12Z,Zkk时，12π()cos[2(])3πgxxkk=−+−，当21kk−为奇数时，π()cos(2)3gxx=−−，π()16g=−，当21kk−为偶数时，π()co

s(2)3gxx=−，π()16g=，所以π()16g=−或π()16g=.故答案为：2；1−或114.在矩形ABCD中，若1AB=，13BEBC=，且ABAEADAE=，则AD的值为______，AEAC

的值为______.【答案】①.3②.2【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设ADa=，利用坐标法求出ABAE、ADAE，即可求出a的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.【详解】如图建立平面直角坐标系，设ADa=

，则()0,0A，()10B,，()0,Da，()1,Ca，因为13BEBC=，所以1,3aE，所以()1,0AB=，1,3aAE=，()0,ADa=，所以1ABAE=，23aAEAD=，因为ABAEADAE=，所以213a=，解得3a=或3a=−（舍去

），所以()1,3AC=，31,3AE=，所以311323ACAE=+=.故答案为：3；215.已知()2cosfxxm=+，给出下列四个结论：①对任意的mR，函数()fx是偶函数；②存在mR，函数()fx的最大值与最小值的差

为4；③当0m时，对任意的非零实数x，22fxfx−+；④当0m=时，存在实数()0,T，0xR，使得对任意的nZ，都有()()00fxfxnT=+.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④【解析】【分析】

对于①，使用奇偶函数的定义判断即可；对于②，取m的值，求出函数最大值、最小值，即可；对于③，先化解方程，再取πx=即可；对于④，取0ππ,24Tx==即可判断.【详解】对于①，函数()fx的定义域为R，且()|2cos()||2cos|()fxxm

xmfx−=−+=+=，所以函数()fx为偶函数，故①正确；对于②，取3m=，则()2cos32cos3fxxx=+=+所以()()maxmin5,1fxfx==，即最大值与最小值的差为4，故②正确.对于③，ππ()|2cos()||2sin|22fxxmxm−

=−+=+，ππ()|2cos()||2sin|22fxxmxm+=++=−+，当πx=时，ππ()()||22fxfxm−=+=，故③错误；对于④，当0m=时，()|2cos|fxx=，取0ππ,2

4Tx==，使得对任意的nZ，都有00()()fxfxnT=+，故④正确；故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系中，锐角，均以Ox为始边，终边分别与单位圆

交于点A，B，已知点A的纵坐标为35，点B的横坐标为513.（1）直接写出tan和sin的值，并求tan()−的值；（2）求π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2−++−−+的值；（3）将点A绕点O逆时针旋

转π4得到点C，求点C的坐标.【答案】（1）312tan,sin413==，33tan)6(5−=−；（2）10；（3）272(,)1010.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义求出tan和sin，再利用差

角的正切计算得解.（2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得.（3）求出点C所在终边的角，再利用三角函数定义及和角的正余弦计算即可.【小问1详解】由锐角，，得点A，B都在第一象限，而点A的纵坐标为35，点B的横坐标为513，则点A横坐标为45，点

B的纵坐标为1213，因此31212tan,tan,sin4513===；312tantan3345tan)3121tantan565(14−−−===−++.【小问2详解】由（1）知3tan4

=，π32sin(π)sin()212sincos2tan124103π3sincos1tancos()cos(3π)124−+++++====−+−−−+−.【小问3详解】依题意，点C在角π4+的终边上，且||1OC=，由（1）知34sin,cos55==，则点C

的横坐标为πππ2432cos()coscossinsin()44425510+=−=−=，点C的纵坐标为πππ24372sin()sincoscossin()44425510+=+=+=，所以点C的坐标为272(,)

1010.17.已知函数()π4sin3fxx=−.（1）求()fx的单调区间；（2）若函数()()cosgxfxx=，求()gx的图象的对称中心.【答案】（1）单调增区间为π5π2π,2π66kk−++()Zk；单调减区间为5π11π2π,2π

66kk++()Zk的（2）ππ,326k+−()Zk【解析】【分析】（1）由正弦函数的单调区间即可得到答案；（2）化简π()2sin(2)33gxx=−−，由正弦函数的对称中心可得答案.【小

问1详解】由于函数()π4sin3fxx=−，令πππ2π2223πkxk−+−+()Zk，解得π5π2π2π66kxk−++()Zk，所以()fx的单调增区间为π5π2π,2π66kk−

++()Zk，令ππ3π2π2π232kxk+−+()Zk，解得5π11π2π2π66kxk++()Zk，所以()fx的单调减区间为5π11π2π,2π66kk++()Zk，【小问2详解】由()π4sin2sin23cos3f

xxxx=−=−，可得()()()cos2sin23coscosgxfxxxxx==−，即2π()2sincos23cossin23cos232sin(2)33gxxxxxxx=−=−−=−−，令π2π3xk−=，解得：ππ26kx=+()Zk，所

以()gx的图象的对称中心为ππ,326k+−()Zk.18.在平面直角坐标系中，O为原点，()2,2A，()3,Bm，(),4Cn，ABAC⊥，//BCOA，P为线段BC上一点，且PCBC=.（1）求m，n的值；（2）当35=时，求cosAPC

；（3）求PAPC的取值范围.【答案】（1）1,8mn=−=；（2）55−；（3）[8,10]−.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示，列出方程组求解即得.（2）由（1）

求出,PAPC的坐标，利用向量夹角公式计算即得.（3）用表示,PAPC的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得.【小问1详解】依题意，(1,2),(2,2),(3,4)ABmACnBCnm=−=−=−−，(2,

2)OA=，由ABAC⊥，得22(2)0nm−+−=，即26mn+=，由//BCOA，得2(3)2(4)nm−=−，即7mn+=，联立解得1,8mn=−=，所以1,8mn=−=.【小问2详解】由（1）知，(3,1),(8,4),(5,5)BCBC−=

，由PCBC=，35=，得(3,3)PC=，(6,2)CA=−−，(3,3)(6,2)(3,1)PAPCCA=+=+−−=−，所以33135coscos,5||||1032PAPCAPCPAPCPAPC−+

====−.【小问3详解】由（2）知，(5,5)PCBC==，(5,5)(6,2)(56,52)PAPCCA=+=+−−=−−，则225(56)5(52)2(5)852(52)8PAP

C=−+−=−=−−，由P为线段BC上一点，且PCBC=，得01≤≤，当2=5时，min()8PAPC=−，当1=时，max()10PAPC=，所以PAPC的取值范围[8,10]−.19.已知函数()sin(2)

cos2fxxx=++，其中π||2.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()fx存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数()fx在区间0,m上的取值范围是1[,1]2，求m的取值范围.条

件①π()16f=−；条件②π12−是()fx的一个零点；条件③(0))3π(ff=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π6=−；（2）ππ63m.【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6=−.

（2）由（1）求出并化简函数()fx，再求出相位的取值范围，结合已知及正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【小问1详解】选条件①，ππππ3()sin()cos1sin()63332f=++=−+=−无意义，即此时()fx不存在，则不

能选①.选条件②，πππ()sin()cos()01266f−=−++−=，则π3sin()62−=−，而ππ22−，即2πππ363−−，则ππ63−=−，所以π6=−.选条件③，2π2πsincos0sin()cos33+=++，即

311sin1cossin222+=−−，整理得333sincos222−=−，即π3sin()62−=−，而ππ22−，即2πππ363−−，则ππ63−=−，所以π6=−.【

小问2详解】由（1）知，31()sin(2)cos2sin2cos2sin(2)π622π6fxxxxxx=−+=+=+，当[0,]xm时，πππ2[,2]666xm++，由()fx在0,m上的取值范围是1[,1]2，得ππ5π2662

m+，解得ππ63m，所以m的取值范围是ππ63m.20.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心2O，1O在同一竖直线上，且125OO=，标记初始位置A

点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心1O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为1y，2y、转动时间

为t秒（0t）.（1）当1t=时，求点B绕2O转动的弧度数；（2）分别写出1y，2y关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，25.5y≥；（3）求21yy−的最小值.【答案】（1）2（2）12sin

yt=，2π5sin22yt=+−，t满足π2πππ,N33tktkk++（3）72【解析】【分析】（1）由点A与点B处转过的弧长相等，求点B绕2O转动的弧度数；（2）由分别点A与点B处转过的圆心角，结合正弦函数，写出1y，2y关于转动时间t的函数表达式，

并解不等式25.5y≥；（3）利用诱导公式和倍角公式化简21yy−，结合二次函数的性质求最小值.【小问1详解】当1t=时，点A绕1O转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等，则点B绕2O转动的弧度数为1221=.【小问

2详解】转动时间为t秒，点A绕1O转动t弧度，点B绕2O转动2t弧度，12sinyt=，2π5sin22yt=+−，当2π5sin25.52yt=+−，ππ5π2π22π626ktk+−+，由0t解得π2πππ33ktk++，Nk.则满足条件的t的集合

为π2πππ,N33tktkk++.【小问3详解】2221π175sin22sin5cos22sin2sin2sin42sin222yyttttttt−=+−−=−−=−+=−+，当1sin2t=时，21yy−有最小值72.21.对于定义在R上的

函数()yfx=，如果存在一组常数1t，2t，…，kt（k为正整数，且120kttt=），使得xR，12((0))()kfxtfxtfxt++++++=，则称函数()fx为“k阶零和函数”.（1）若函数11()x

fx=+，2()sinfxx=，请直接写出1()fx，2()fx是否为“2阶零和函数”；（2）判断“()fx为2阶零和函数”是“()fx为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断

下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.3cos2cos5cos8()fxxxx=++，4cos2cos3cos4()fxxxx=++.【答案】（1）1()fx不是，2()fx是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）3()fx是，4()fx不是，理

由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断1()fx，取120,πtt==计算，结合定义判断2()fx.（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取1232π4π0,,33ttt===计算，结合定义判断3()fx；利用反证法推理导

出矛盾判断4()fx.【小问1详解】函数11()xfx=+，()()1112121211220fxtfxtxtxtxtt+++=+++++=+++=对一切实数不成立，所以函数11()xfx=+不是“2阶零和函数”；取120,

πtt==，xR，2212sinsin(π)sinsin0()()xxftxtxxxf++=−++=+=，所以2()sinfxx=是“2阶零和函数”.【小问2详解】“()fx为2阶零和函数”是“()fx为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若()fx为

2阶零和函数，则存在常数20t，使得xR，2()()0xfxtf++=，即2()()fxtxf+=−，因此22(2)()()fxtxtfxf+=−+=，即函数()fx为周期函数；反之函数()fx

为周期函数，如()|sin|1fxx=+，对xR，(π)|sin(π)|1|sin|1()xfxxfx+=++=+=，()fx为周期函数，对任意正常数2t，222()()|sin|1|sin()|1|sin||sin()|22xfxt

xxtfxxt++=++++=+++，因此函数()fx不是2阶零和函数，所以“()fx为2阶零和函数”是“()fx为周期函数”的充分不必要条件.【小问3详解】函数3()fx是“3阶零和函数”，取1232π4π0,,33tt

t===，xR，313233cos2c)os5cos()()(8fxxtfxtxfxtx+++++++=2π2π2π4π4π4π))))))ccos2(cos5(cos8(cos2(cos5(os8(3

33333xxxxxx++++++++++++2π2π2πcos2cos5cos8cos(2)cos(5)cos(8)333xxxxxx=+++−+−+−2π2π2πcos(2)cos(5)cos(8)0333xxx++++++=，所以函数3()fx是“3阶零

和函数”；函数4()fx不是“3阶零和函数”，假定函数4()fx是“3阶零和函数”，则存在常数1230ttt=，xR，414243()()()0fxtfxtfxt+++++=，即222)c(22)(33)(4os2cos3cos44coscoscosxxtxxtxtx+++++

+++333(22)(33)(44)0coscoscosxtxtxt+++++=+对xR成立，则232323cos2cos(22)cos(22)0cos3cos(33)cos(33)0cos4cos(44)cos(44)0xxtxtxxtxtxxtxt++++=++++=+++

+=恒成立，由23(22)(22)0cos2coscosxtxtx+++=+，得2323(cos2cos21)cos2(sin2sin2)sin20ttxttx++−+=，因此2323cos2cos21sin2sin20tttt+=−+=，平方相加整理得321cos2()2tt−=−，则

3211ππ,N3ttkk−=+或32112ππ,N3ttkk−=+，由23(33)(33)0cos3coscosxtxtx++++=，同理得321cos3()2tt−=−，于是23222π2π,N93kttk−=+或23222π4π,N93kttk−=+，则12,Nkk

，212ππ2ππ393kk+=+或212π2π2ππ393kk+=+或212ππ4ππ393kk+=+或212π2π4ππ393kk+=+，即12,Nkk，211233kk−=或214233kk−=或121323kk−=或212233kk−=，显然不成立，因此不存

在常数1230ttt=，使得xR，414243()()()0fxtfxtfxt+++++=，所以函数4()fx不“3阶零和函数”.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有

时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.是