【文档说明】湖北省腾云联盟2025届高三上学期10月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.424 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省“腾•云”联盟2024-2025学年度上学期10月联考高三数学试卷命题学校：汉阳一中命题教师：吴正阳审题教师：袁芳､朱辉考试时间：2024年10月8日下午试卷满分150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()124,ln1016xAxBxx==−∣，则AB=（）A.{42}xx−∣B

.42xx−∣C.{12}xx∣D.{12}xx∣【答案】C【解析】【分析】由指、对数不等式化简集合,AB,再由交集运算即可.【详解】1244216xAxxx==−，()

ln1012Bxxxx=−=∣∣，所以AB={12}xx∣故选:C2.若复数z满足()2i1iz+=−，则复平面内表示z的点在（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，先求z，再求z，根据复数的几何意义

进行判断.【详解】由()2i1iz+=−()()()()1i2i1i2i2i2iz−−−==++−13i5−=13i55=−，所以z13i55=+.对应的点13,55在第一象限..故选：A3.函数()()231fxaxax=+−+在区间)1,−+单调递减，则实数a取

值范围是（）A.)3,0−B.(,3−−C.(3,0−D.3,0−【答案】D【解析】【分析】0a=时，代入可知满足题意；0a时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案．【详解】当0a

=时，()31fxx=−+在1)[-,+上单调递减，满足题意；当0a时，()fx的对称轴为直线32axa−=，由()fx在1)[-,+上单调递减，知0312aaa−−，解得30a−．综上，a的取值范

围为[3,0]−．故选：D4.函数()sincosfxaxbx=+图像的一条对称轴为π3x=，则ab=（）A.3B.3−C.33D.33−【答案】A.【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出

ab.【详解】由()()sincos0fxaxbx=+的图象关于π3x=对称，可知：2π(0)()3ff=，即sin0cos0=s3o2π3i2πncsabab++，则3ab=．故选：A．5.四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足

4APBPCPDP+++=，则AP的最大值是（）A.12+B.21−C.221−D.221+【答案】D【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，设𝑃(𝑥,𝑦)，写出,,,ABCD坐标，可得P点的轨迹方程，进而可求出AP的最大值.【详解】根据题意，建立如图所示的直角

坐标系，设(),,Pxy()()()()0,0,4,0,4,4,0,4ABCD，则()()()(),,4,,4,4,,4APxyBPxyCPxyDPxy==−=−−=−，故()48,48APBPCPDPxy+++=−−，()()221621624

APBPCPDPxy+++=−+−=，即()()22221xy−+−=；故点P在以点()2,2为圆心，1为半径的圆周上运动，所以AP的最大值为22221221++=+.故选：D.6.已知三棱锥PABC−的四个顶点都在球O的球面上，4PAPBPC===，2,23ABBCAC===，则球O的表面积

为（）A.64π3B.40π3C.27π4D.21π2【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求ABCV的外接圆半径，再求点P到平面ABC的距离，设三棱锥PABC−外接球半径为R，根据勾股定理列方程求出R，进一步计算

球的表面积.【详解】如图：在ABCV中，2,23ABBCAC===，由余弦定理：222cos2BABCABABCBABC+−=4412182+−==−,所以120ABC=，所以ABCV外接圆半径为2322sin3ACABC=

=，即2QB=.在直角三角形PQB中，2BQ=，4BP=，所以23QP=.设棱锥PABC−外接球半径为R，在直角三角形OQB中，()222232RR−+=，解得：433R=.所以球O的表面积为：21664π4π4π33SR===.故选：A

7.已知圆22:(1)1Cxy−+=，点M在exy=上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A和B，以AB为直径作圆C，则圆C的面积的最小值为（）A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】B【解析】【分析】由题设可得()2221emMCm=−+，利用导数可得min2MC=，再根

据等积法可minAB，故可求圆的面积的最小值.【详解】由题设有()1,0C，设(),emMm，则()2221emMCm=−+，设()()221emfmm=−+，则()()2212emfmm=−+，因为22(1),2emymy=−=为R上的增函数，故()fm为R

上的增函数，而()00f=，故当0x时，()0fm，当0x时，()0fm，故()fm在(),0−上为减函数，在()0,+上为增函数，故()()min02fmf==，故min2MC=，由等积法可得11222ABMCCAMA=，故222112221MAMCAB

MCMCMC−===−，故()2minmin1212ABMC=−=，故圆C的面积的最小值为2min11πππ2242AB==，故选：B.8.不等式12312xxx++，其中123,,xxx是非负整数，则使不等式成立的三元数组()123,,xxx有

多少组（）A.560B.455C.91D.55【答案】B【解析】【分析】在123,,xxx都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决.【详解】设111xx=+，221xx=+，331xx=+，则不等式12312xxx++有多少组非负整数解的问题，转化为：123315xxx++

的正整数解的组数.因为方程：1233xxx++=的解的组数为：22C；1234xxx++=的解的组数为：23C；…12315xxx++=的解的组数为：214C.所以原不等式解的组数为：222223414CCCC++++3222334

14=CCCC++++315=C=455.故选：B【点睛】结论点睛：方程12mxxxn+++=（,Nmn+且mn）正整数解的组数为11Cmn−−.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选

对的得部分分，有选错的得0分）9.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为21s，平均数1x；去掉的两个数据的方差为22s，平均数2x；原样本数据的方差为2s，平均数

x，若12xx=，则（）A.1xx=B.22221109sss=+C.剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下18个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数【答案】AB【解析】【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的

计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D.【详解】对A：因为1218220xxx+=，且12xx=，所以11118220xxxx+==，故A正确；对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：12320,,,,xxxx，则()

22222123191118sxxxx=+++−，()22222120212sxxx=+−，因为12xxx==，所以()()22222222212231911202119922ssxxxxxxx+=+++−++−()22222212319201102xxxxxx

=+++++−()222222123192011020xxxxxx=+++++−210s=.故B正确；对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为10112xx+，是相等的，故C错误；对D:因为1822%3.96=，则剩下18个数据

的22%分位数为5x；又2022%4.4=，所以原样本数据的22%分位数也是5x，故D错误.故选：AB10.已知函数()sin3cosfxxx=+，则下列说法正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的值域为1,2C.()fx关于7π6x=对称D.()fx在5ππ,62

−−上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】分析函数()fx的奇偶性和单调性，求出函数的值域，可判断BD，求出函数的周期，可判断A，利用特殊点的函数值，可判断C.【详解】对()sin3cosfxxx=+，因为()()()sin3

cosfxxx−=−+−sin3cosxx=+()fx=，所以函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称.又()()()πsinπ3cosπfxxx+=+++sin3cosxx=+()fx=，所以函数()f

x为周期函数，且最小正周期为πT=.故A正确；当π0,2x时，()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，易得()fx在π0,6上单调递增，在ππ,62上单调递减，且()03f=，π26f=，π12f=，所

以()1,2fx；当π,02−x时，根据函数为偶函数，所以函数在ππ,26−−上单调递增，在π,06−上单调递减，且()1,2fx.根据函数的周期性，所以函数的值域为[1,2]，故B正确.因为7ππ3π3πsin3cos16322f+=+=

，7ππ5π5π13sin3cos2636622f−=+=+=，所以7ππ7ππ6363ff+−，所以()fx的图象并不关于7π6x=对称，故C错误；因为函数()fx在ππ,62上单调递减，且周期为π

，所以函数()fx在5ππ,62−−上也是单调递减，故D正确.故选：ABD11.已知定义域为R函数()fx和()gx，且()gx是奇函数，对任意xR满足()()()()22221,221fxfxgxfx=+=−且()()()(),fxgxg

xfx==，下列说法正确的（）A.()()()22fxgxgx=B.()102f=−或1C.()fx在(,0−上单调递增，在)0,+单调递减D.0x时，()36xgxx+【答案】AD【解析】【分析】对于A，利用导数的运算规则及导数关系可判断其正确，对于B，利用赋

值法可求()0f，故可判断其正误，利用反证法可判断C的正误，对于D，令()()3,06xFxgxxx=−−，利用导数可证明()0Fx恒成立，故可判断其正误.【详解】对于A，因为()()2221fxfx=+，故()()()422fxfxfx=，所以()()()()222fxgxfxgx==

，故A正确；对于B，因为()gx是奇函数，故()00g=，因为()()2221gxfx=−，故()()210020gf==−，故()01f=，故B错误；对于C，由A的分析可得()()2221gxfx=−，故()21fx即()1fx，若()fx在(,0−上单调递增，则当0x时，有()(

)01fxf=，故11，矛盾，故C错误；对于D，因为()()()222121gxfxgx=−=−，故()21gx即()1gx，故()gx为R上的增函数，设()()3,06xFxgxxx=−−，则()()()221122xxFxgxfx=−−=−−，设()

()212xGxfx=−−，则()()()Gxfxxgxx=−=−，设()()Hxgxx=−，则()()10Hxgx=−，若()1gx=恒成立，则()()22210gxgx=−=，故()0gx=，此时()0gx=，矛

盾，故()0Hx且不恒为零，故()Hx在(0,)+上为增函数，故()()00Hxg=，故()Gx为(0,)+上为增函数，故()()()00010GxGf=−−=，故()Fx为(0,)+上为增函数，故()()00F

xF=即()36xgxx+，故D成立，故选：AD【点睛】关键点点睛：不同抽象函数的性质讨论，注意抽象函数之间性质的转化，而与抽象函数有关的不等式恒成立问题，可利用导数讨论导数的符号后得到相应函数的单调性，必要时需多次求导.三､填空题（本题共3个小题，每小题5

分，共15分）12.已知曲线()2lnfxxax=+在点()()1,1f处的切线的倾斜角为π3，则a的值为__________.【答案】312−【解析】【分析】先对函数()2lnfxxax=+求导，根据曲线切线的几何意义列式即可求.【详解】

由()2lnfxxax=+得()12fxaxx=+，因为曲线()2lnfxxax=+在点()()1,1f处的切线的倾斜角为π3，所以()π112tan33fa=+==，所以231a=−，故312a−=.故答案为：312−13.设12,FF为双曲线22163xy−=的两个焦点，

点P是双曲线上的一点，且1290FPF=，则12FPF的面积为__________.【答案】3【解析】【分析】设12,()PFxPFyxy==，利用双曲线定义，可得2xya−=又由勾股定理得222(2)xyc+=，联立求得xy，即得三角形的面积..【详解】如图，由22163xy−=

可知，6,3,3,abc===设12,()PFxPFyxy==，由定义226,xya−==()2221290236FPFxyc=+==，()2222126,xyxyxyxy=+−−==12FPF的面

积为132xy=.故答案为：314.有一直角转弯的走廊（墙面与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米.【答案】9【解析】【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，再利用勾股定理求出硬管倾

斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ=,则π2ABQ=−.过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则π3,,2ACBDCPABAQDPBABQ===

===−.在直角三角形ACP中，sinsinACCPAAP==，所以3sinsinACAP==.同理可得3πcossin2BDBP==−.所以33π,0sincos2ABAPBP=+=+

.因为331232662sincossincossin2AB=+=（当且仅当sincos=且π4=时等号成立）.所以62AB.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大

长度为()222236239AB+=+=.故答案为：9四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.如图，在平行四边形ABCD中，π2,2,4ABBCABC===，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面,1ABCDAF=，点M在线段EF上运动

．（1）当AEDM⊥时，试确定点M的位置并证明；（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD的夹角的余弦值．【答案】（1）M为线段EF的中点，证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性质证得直线,,ABAC

AF两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用垂直关系的向量表示求解即得.（2）求出平面MBC的法向量，再用面面角的向量求列式计算即得.【小问1详解】在ABCD中，π2,2,4ABBCABC===，由余弦定理得2222cos2ACABBCABBCABC=+−=，则222AB

ACBC+=，有ABAC⊥，又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF平面,ABCDACAFAC=⊥，AF平面ACEF，则AF⊥平面ABCD，直线,,ABACAF两两垂直，以点A原点，直线,,ABACAF分别为,,xyz轴建立空间直角坐

标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)ABCDEF−，设(0,,1),02Mtt，则(0,2,1),(2,2,1)AEDMt==−，由AEDM⊥，得2(2)10AEDMt=−+=，解得22t=，即12FMFE=，所以当A

EDM⊥时，点M为线段EF的中点．【小问2详解】由（1）可得2(2,,1),(2,2,0)2BMBC=−=−，设平面MBC的法向量为(,,)mxyz=，则2202220mBMxyzmBCxy=−++==−+=，取2y=，得(2,2

,2)m=，为平面ECD的法向量为(0,1,0)n=，设平面MBC与平面ECD的夹角为，则||210cos|cos,|5||||442mnmnmn====++，所以平面MBC与平面ECD的夹角的余弦值为105．16.已知函数()()0exa

xfxa=，其中e为自然对数底数.（1）讨论()fx的单调区间；（2）当3a=时，不等式()ln1xfxxmx++在区间()0,+上恒成立时，求m的取值范围.【答案】（1）当0a时，()fx的单调

增区间为(,1)−，单调减区间为(1,)+；当0a时，()fx的单调增区间为(1,)+，单调减区间为(,1)−.（2）实数m的取值范围是3[1,)e++.【解析】【分析】（1）由题得()(1)exaxfx−=，分0a，0a，讨论单调性求解即可；（2）参数分离得3ln1exxxm

xx++在()0,x+上恒成立，令3ln1()exxxhxxx=++，讨论()hx的单调性，求得()hx的最大值即可求得m的取值范围.【小问1详解】易知函数()()0exaxfxa=的定义域为R.所以()(1)exaxfx−=，当0a时，由()0fx

，得1x，由()0fx，得1x.所以()fx的单调增区间为(,1)−，单调减区间为(1,)+；当0a时，由()0fx，得1x，由()0fx，得1x.所以()fx的单调增区间为(1,)+，单调减区间为(,1)−；综上所述：当0a时，()fx的单调增区间为(,

1)−，单调减区间为(1,)+；当0a时，()fx的单调增区间为(1,)+，单调减区间为(,1)−.【小问2详解】的将3a=代入，得()3exxfx=，因为不等式()ln1xfxxmx++在()0,x+上恒成立，所以23ln1exxxmx+

+，即3ln1exxxmxx++在()0,x+上恒成立，令3ln1()exxxhxxx=++，易知函数()hx的定义域为()0,+.所以22223ee1ln13ln()(ee33)xxxxxxxxhxxxx−−=+−=−−.当01x时，23ln0,03ex

xxx−−，故()0hx；当1x时，23ln0,03exxxx−−，故()0hx；所以()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以1x=时，()hx在()0,+上取得最大值3(1)1eh=

+.所以31em+，所以实数m的取值范围是3[1,)e++.17.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为(),,,sin,sinsinabcmABC=−，(),ncbba=+−且m∥n.（1）求角C的值；（2）若ABCV为锐角三角形，AB中点为D且1c=，求CD的

取值范围.【答案】（1）π3（2）213,62【解析】【分析】（1）先根据向量平行得到：()()()sinsinsin0AbacbBC−−+−=，利用正弦定理，角化边可得()()()0aba

cbbc−−+−=，再用余弦定理求cosC，进而可得角C.（2）先用正弦定理表示出边a，b，明确角,AB的关系及角B的取值范围，借助平面向量表示出2CD，利用三角恒等变换化简，借助三角函数的性质求取值范围.【小问1详解】因为//mn，所以()()()sinsinsi

n0AbacbBC−−+−=，由正弦定理可得：()()()0abacbbc−−+−=，即222abcab+−=.由余弦定理得：2221cos22abcCab+−==，所以π3C=.【小问2详解】由正弦定理得：123πsinsinsin3sin3abcABC====，所以23sin3a

A=，23sin3bB=，其中2π3AB+=，ππ,62B.又𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)()222124CDCACBCACB=++()2214abab=++.所以2221444sinsinsinsin4333CDA

BAB=++11cos21cos2sinsin322ABAB−−=++()()11coscossinsin3ABABAB=−+−+()111coscossinsinsin

sin32ABABAB=+++1131coscossinsin322ABAB=++112π32π1coscossinsin32323BBBB=+−+−

213sin3sincos34BBB=++1531sin2cos23422BB=+−15πsin2346B=+−因为：ππ,62B，所以ππ5π2,666B−，所以1πsin2126B

−.所以273124CD21362CD.所以中线CD的取值范围为：213,62.18.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的长轴是短轴的23

3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,AB是椭圆左右顶点，过,AB做椭圆的切线，取椭圆上x轴上方任意两点,PQ（P在Q的左侧），并过,PQ两点分别作椭圆的切线交于R点，直线RP交点A的切线于I，直

线RQ交点B的切线于J，过R作AB的垂线交IJ于K.（1）求椭圆的标准方程.（2）若()1,2R，直线RP与RQ的斜率分别为1k与2k，求12kk的值.（3）求证：IKIAJKJB=【答案】（1）22143xy+=（2）1213kk=−（3）证明见解析【

解析】【分析】（1）根据条件，列出关于,,abc的方程，求出,,abc，可得椭圆的标准方程.（2）设过R点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，由0=，得到关于k的一元二次方程，利用韦达定理，可得12kk

的值.（3）设()00,Rxy（00y），再设过R点的切线方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，由0=，得到关于k的一元二次方程，利用韦达定理，可得12kk+，12kk的表达式.再把IKJK和IAJB用

00,xy，12,kk表示，化简整理即可.【小问1详解】由题意：222232233abacabc=+==+331abc===.所以椭圆的标准方程为：22143xy+=.【小问2详解】设过点R的切线方程为：()21ykx−=−

，即()2ykxk=+−，由()222143ykxkxy=+−+=，消去y，整理得：()()()222438242120kxkkxk++−+−−=，由0=()()()22226424434212kk

kk−=+−−，整理得：23410kk+−=，所以1213kk=−.【小问3详解】设()00,Rxy（00y），RK的延长线交x轴于K点，如图：P、Q两点处切线斜率分别为12,kk，则0022I

KAKxJKBKx+==−.设R点的椭圆的切线方程为：()00yykxx−=−，即()00ykxykx=+−，由()0022143ykxykxxy=+−+=消去y，化简整理得：()()()22200004384120kxkkxyxk

xy+−−+−−=，由0=得：()()()2222000064443412kkxykkxy−=+−−化简整理得：()222000042?·30xkxyky−−+−=，由韦达定理，得：01200224xykkx+=−，20122034ykkx−=−

，所以()1002Iykxy=−−+，()2002Jykxy=−+，所以要证明IKIAJKJB=，只需证明：()()100002002222kxyxxkxy−−++=−−+，即()()()()2220

0010004242kxyxkxyx−++=−+−()()2120012042kkxykkx++=+()()21200042kkxxy+−=，因为01200224xykkx+=−，所以上式成立，即IK

IAJKJB=成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（

4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.如图：一张33的棋盘，横行编号1,2,3：竖排编号,,abc.一颗棋子目前位于棋盘的(),1c处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻

的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从(),1c移动到(),2a或(),3b.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为12.（1）①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得1,2,3分，设得分为X，求X的分布列和数学期望

.（2）现在于棋盘左下角(),3a处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动n次后，两棋子位于同一格的概率为nP，求nP的通项公式.【答案】（1）①(),1a，(),1c，(),3c；②分布列见解析；()1.5E

X=.（2）11142nnp+=−【解析】【分析】（1）列出所有两次移动的路径，求出其概率，根据得分规则，可得X的分布列，并求期望.（2）先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为d，明确d的值，求出对应的概率，设np=“n回合后，0d=的概率

”，nq=“n回合后，1d=的概率”，nR=“n回合后，3d=的概率”，列出np，nq，nR之间的关系，可求np.【小问1详解】①两次移动的所有路径可能如下：()()(),1,2,1cac→→；()()(),1,2,3cac→→；()()()

,1,3,1cba→→；()()(),1,3,1cbc→→.所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：(),1a，(),1c，(),3c.②棋子两次移动后，最终停留在(),1a时，得1分，对应概率为：21124=

；棋子两次移动后，最终停留在(),1c时，得1分，对应概率为：211222=；棋子两次移动后，最终停留在(),3c时，得3分，对应概率为：21124=.所以()1131244PX==+

=，()134PX==.所以最终得分X的分布列为：X13P3414所以()31131.544EX=+=.【小问2详解】将棋盘按如图所示编号：将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做438

−−；从8可以连接3或1，记做381−−；然后将它们串联起来：4381−−−.依次类推，可以串联处环状回路：438167294−−−−−−−−−−，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动.问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号

棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为14.为了转化问题，现规定：d=“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，0d=.并统计四种运动模式下d会如何变化.假设3号棋子顺时针走过x个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y个节点也可以

与之重合为了简化问题，不妨假设xy，于是有下表：（顺，顺）（顺，逆）（逆，顺）（逆，逆）0d=0d=1d=1d=0d=1d=1d=0d=3d=1d=3d=3d=1d=1d=3d=设np=“n回合后，0d=的概率”，nq=“n回合后，1d=的概率”，nR=“n回合后，3d

=的概率”，则有：11111111124111122221142nnnnnnnnnnppqqpqRRqR−−−−−−−=+=++==+，所以11128nnpp−=+1111424nnpp−

−=−，显然：10p=，11144p−=−，所以1111442nnp−−=−，所以11142nnp+=−..【点睛】方法点睛：在第（2）问中，先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为d，明确d的值，求出对应的概率，设np=“n回合后，0d=的概率”，nq=“n回合

后，1d=的概率”，nR=“n回合后，3d=的概率”，列出np，nq，nR之间的关系，可求np.