【文档说明】北京市育才学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，820.653 KB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年度第二学期北京市育才学校高一数学期中考试试卷一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.32−B.22−C.22D.32【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.

【详解】11πππ3sinsin4πsin3332=−=−=−.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin4yx=+B.tanyx=C.cos2yx=D.sin2yx=【答案】C【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对

选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，πsin4yx=+的最小正周期为：2π2π1T==，故A不正确；对于B，tanyx=的最小正周期为：ππ1T==，tanyx=的定义域为ππ,Z2xxkk+，关于原点对称，令()tanfxx=，则()()()tantanf

xxxfx−=−=−=−，所以tanyx=为奇函数，故B不正确；对于C，cos2yx=的最小正周期为：2ππ2T==，令()cos2gxx=的定义域为R关于原点对称，则()()()cos2cos2gxxxgx−=−==，所以cos2yx=为偶函

数，故C正确；对于D，sin2yx=的最小正周期为：2ππ2T==，sin2yx=的定义域为R，关于原点对称，令()sin2hxx=，则()()()sin2sin2hxxxhx−=−=−=−，所以sin2yx=为奇函数，故D不正确.故选：C.3.设向量()()3,4

,1,2ab==−，则cos,ab=（）A.255−B.255C.55−D.55【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2ab==−，则22223(1)425cos,5||||34

(1)2ababab−+===+−+.故选：D4.在△ABC中，已知1cos3A=，23a=，3b=，则c=（）A.1B.3C.2D.3【答案】D【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，1cos3A=，23a=，3b=，所

以由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，2112963cc=+−，得2230cc−−=，解得3c=，或1c=−（舍去），故选：D5.函数()()sinfxAx=+(其中0A，0，0)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin42fxx=+

B.3()3sin44fxx=+C.()3sin84fxx=+D.3()3sin84fxx=+【答案】C【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，

根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A=，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16−=，因为0，所以24(62)168−===，所以()3sin

8fxx=+，由图象可知：(2)3f=，即3sin32()2()4424kkZkkZ+=+=+=+，因为0，所以令0k=，所以4=，因此()3sin84fxx=+，故选：C6.函数ππ()sin(2),

[0,]62fxxx=+的最大值和最小值分别为（）A.11,2−B.31,2−C.1,12−D.1,1−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,]2x，得ππ7π2[,]666x+，则当ππ2

62x+=，即π6x=时，max()1fx=，当π7π266x+=，即π2x=时，min1()2fx=−，所以所求最大值、最小值分别为11,2−.故选：A7.已知向量,,abc在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()abc+=（）A.2B.2−C.1D.1−【答案】

B【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π||2,||2,||2,,,,,44abcabbcac====⊥=，因此3π2||||cos

22()242acac==−=−，0bc=，所以()2abcacbc+=+=−.故选：B8.在ABC中，已知coscos2cosaBbAcA+=，则A=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C【解析

】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC中，由coscos2cosaBbAcA+=及正弦定理，得sincossincos2sincosABBACA+=，则sin()2sincosABCA+=，即sin2sincosCCA=，而sin0

C，因此1cos2A=，而0πA，所以π3A=.故选：C9.已知函数()()π2sin03=+fxx，则“()fx在π0,3上既不是增函数也不是减函数”是“1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】以π3x+为整体结合正弦函数的性质可得12，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x且0，则ππππ,3333x++，若()fx在π0,3上既不是增函数也不是减函数，则2πππ3

3+，解得12，又因为()1,+1,2+，所以“()fx在π0,3上既不是增函数也不是减函数”是“1”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形

ABCD四条边上的一个动点，则PAPB的取值范围是（）A.1,2−B.0,2C.0,4D.1,4−【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】

解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2AB，当点P在CD上时，设()(),002Pxx，则()(),2,2,2PAxPBx=−=−−，所以()()224133,4PAPBxxx=−+=−+；当点P在BC上时，设()()2

,02Pyy，则()()2,2,0,2PAyPBy=−=−，所以()220,4PAPBy=−；当点P在AB上时，设()(),202Pxx，则()(),0,2,0PAxPBx==−，所以()()22111,0PAPBxxx=

−=−−−；当点P在AD上时，设()()0,02Pyy，则()()0,2,2,2PAyPBy=−=−−，所以()220,4PAPBy=−；综上：PAPB取值范围是1,4−.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25

分）11.已知圆的半径为2，则60的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60的圆心角的弧度数为ππ601803=；所对的弧长为π2π

233=.故答案为：π3；2π312已知向量()2,3a=−，(),6bx=−.若//ab，则a=r__________，x=__________.【答案】①.13②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再

根据向量共线的坐标表示求出x.【详解】因为向量()2,3a=−，所以()222313a=−+=，又(),6bx=−且//ab，所以()326x=−−，解得4x=.故答案为：13；4.13.若函数()sin

3cosfxAxx=−的一个零点为π3，则A=__________；将函数()fx的图象向左至少平的.移__________个单位，得到函数2sinyx=的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A；利用辅助角公式化简函数()fx，再借助平移变换求

解即得.【详解】函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为π3，得ππsin3cos033A−=，解得1A=；则π()sin3cos2sin()3fxxxx=−=−，显然πππ()2sin[()]2sin333fxxx+=+−=，所以()fx的图象向左至少平移π3个单位，得到函数

2sinyx=的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,abc为非零向量，且(1,0)a=.能够说明“若abac=，则bc=”是假命题的一组向量,bc的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)−（答案不

唯一）【解析】【分析】令向量,bc与向量a都垂直，且bc即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)bc==−，显然0abac==，而bc，因此(0,1),(0,1)bc==−能说明“若abac=，则bc=”是假命题，所以

向量,bc的坐标依次为(0,1),(0,1)−.故答案为：(0,1),(0,1)−15.已知函数()2cosπ1xfxx=+，给出下列四个结论：①函数()fx是奇函数；②函数()fx有无数个零点；③函数()fx的最大值为1；④函数()fx没有最小值

.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0fx=求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xfxx=+的定义域为R，又22cos(π)cosπ(

)()()11xxfxfxxx−−===−++，所以()2cosπ1xfxx=+为偶函数，故①错误；令2cosππ1()0cosπ0ππ(Z)(Z)122xfxxxkkxkkx====+=++，所以函数()fx有无数个零点，故

②正确；因为cosπ1x，当ππ(Z)xkk=，即(Z)xkk=时取等号，又因为211x+，当且仅当0x=时取等号，所以有21011x+，当且仅当0x=时取等号，所以有2cosπ11xx+，当且仅当0x=时取等号，因此有(

)2cosπ11xfxx=+，即()()max01fxf==，故③正确；因为()2cosπ1xfxx=+为偶函数，函数图象关于y轴对称，只需研究函数在()0,+上的情况即可，当x→+时2101x→+，又1cosπ1x−，所以当x→+时()0fx→，又()()max01fxf==

，当102x时cosπ0x，210x+>，所以()0fx，当1322x时1cosπ0x−，210x+>，所以()0fx，当1x时212x+，0cosπ1x，所以()12fx，又()112f=−，102f=，302f=

，且()fx为连续函数，所以()fx存在最小值，事实上()fx的图象如下所示：由图可知()fx存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy中

，角以Ox始边，终边经过点()1,2−−.（1）求tan，tan2的值；（2）求πsin,cos,cos4+的值.【答案】（1）tan2=，4tan23=−（2）25sin5−=，5cos5−=，π10cos410+=【解析】【分析】（1）

由三角函数的定义求出tan，再由二倍角正切公式求出tan2；（2）由三角函数的定义求出sin，cos，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−，所以2tan21−=

=−，则222tan224tan21tan123===−−−.【小问2详解】因为角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−，所以()()22225sin512−−==−+−，()()2215cos512−−==−+−，所以πππcoscoscoss

insin444+=−2520555210221−−=−=.17.已知平面向量,,2,3,ababa==与b的夹角为60，（1）求22,,abab；（2）求(2)(3)aba

b−+的值：（3）当x为何值时，xab−与3ab+rr垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4−；为（3）3013x=.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问

1详解】向量,,2,3,ababa==与b的夹角为60，所以2222|4,|9,3||||c|os0|6aabbabab======.【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534aba

babab−+=−+=−+=−.【小问3详解】由()(3)0xabab−+=，得223(31)4273(31)13300xabxabxxx−+−=−+−=−=，解得3013x=，所以当3013x=时，xab−与3ab+rr垂直.18.已知函数()si

n2cos2fxxx=+.（1）求(0)f；（2）求函数()fx的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()fx的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z82kxk=+；（3）()3πππ,πZ88kkk−++.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）

利用辅助角公式化简函数()fx，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2fxxx=+，所以(0)sin0cos01f=+=【小问2详解】函数π()2sin(2)4fxx=+，所以函数

()fx的最小正周期2ππ2T==；.由ππ2π,Z42xkk+=+，解得ππ,Z82kxk=+，所以函数()fx图象的对称轴方程为ππ,Z82kxk=+.【小问3详解】由πππ2π22π,Z242kxk

k−+++，得3ππππ,Z88kxkk−++，所以函数()fx的单调递增区间是()3πππ,πZ88kkk−++.19.在△ABC中，7a=，8b=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A；（2）求ABC的面积．条件①：3c=；条件②：

1cos7B=−．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A=；（2）选①②答案相同，ABC的面积为63.【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cosA，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c=，再

用余弦定理求出cosA，得到答案；（2）选①，先求出3sin2A=，使用面积公式即可；选②：先用sinsin()CAB=+求出sinC，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c=．在△ABC中，因为7a

=，8b=，3c=，由余弦定理，得222cos2bcaAbc+−=64949283+−=12=．因为()0,πA，所以π3A=；选条件②：1cos7B=−由余弦定理得：222249641cos2147acbcB

acc+−+−===−，解得：3c=或5−（舍去）由余弦定理，得222cos2bcaAbc+−=64949283+−=12=．因为()0,πA，所以π3A=；【小问2详解】选条件①：3c=由（1）可得3si

n2A=．所以ABC的面积113sin8363222SbcA===．选条件②：1cos7B=−．由（1）可得1cos2A=．因为sinsin[()]CAB=−+sin()AB=+sincosco

ssinABAB=+31143()2727=−+3314=，所以ABC的面积1133sin78632214SabC===．．20.已知函数()2π2coscos213fxxx=+−−.（1）求

π6f的值；（2）求函数()fx的在0,π上单调递减区间；（3）若函数()fx在区间0,m上有且只有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212（3）3564π,π【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和

差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x的取值范围求出π23x+的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x+，解得即可；（3）由x的取值范围求出π23x+的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos

cos213fxxx=+−−ππcos2cos2cossin2sin33xxx=++33cos2sin222xx=+313cos2sin222xx=+π3sin23x=+，所以πππ2π33sin23sin66332f=+==

.【小问2详解】当0,πx时ππ7π2,333x+，令ππ3π2232x+，解得π7π1212x，所以函数()fx的在0,π上的单调递减区间为π7π,1212

.【小问3详解】当0,xm时，πππ2,2333xm++，又函数()fx在区间0,m上有且只有两个零点，所以π2π23π3m+，解得5π4π63m，即m的取值范围为3564π,π.21.某

地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQAB⊥，垂足为Q，PRAC⊥，垂足为R，设π0,3PAB=；（1）求PQ，PR（用表示）；（

2）当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值.【答案】（1）60sinPQ=，π60sin3PR=−（2）三角形绿地的最大面积是2253平方米，此时π6=【解

析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ、PR；（2）依题意可得2π3QPR=，则1sin2PQRSPQPRQPR=，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在RtPAQ中，π0,3PAB=，60AP=，∴sin

60sinPQAP==（米），又π3BAC=，所以π3PAR=−，在RtPAR中，可得πsin60sin3PRPARAP==−（米）.小问2详解】由题可知2π3QPR=，∴PQR的面积1sin2PQRSPQPRQPR=1π2π60sin60sinsin233

=−π9003sinsin3=−ππ9003sinsincoscossin33=−3114503sin2cos2222=+−π14503sin262

=+−，又π0,3，526πππ,66+，∴当ππ262+=，即π6=时，PQR的面积有最大值2253平方米，即三角形绿地的最大面积是2253平方米，此

时π6=.【