【文档说明】北京市育才学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，820.653 KB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年度第二学期北京市育才学校高一数学期中考试试卷一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.32−B.22−C.22D.32【答案】A【解析】【分析

】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππ3sinsin4πsin3332=−=−=−.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin4yx=+B.tanyx=C.cos2yx=D.sin2yx=【

答案】C【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，πsin4yx=+的最小正周期为：2π2π1T==，故A不正确；对于B，tanyx=的最小正周期为：

ππ1T==，tanyx=的定义域为ππ,Z2xxkk+，关于原点对称，令()tanfxx=，则()()()tantanfxxxfx−=−=−=−，所以tanyx=为奇函数，故B不正确；对于C，cos2yx=的最小正周期为：2ππ2T==，

令()cos2gxx=的定义域为R关于原点对称，则()()()cos2cos2gxxxgx−=−==，所以cos2yx=为偶函数，故C正确；对于D，sin2yx=的最小正周期为：2ππ2T==，sin2yx=的定义域为R，

关于原点对称，令()sin2hxx=，则()()()sin2sin2hxxxhx−=−=−=−，所以sin2yx=为奇函数，故D不正确.故选：C.3.设向量()()3,4,1,2ab==−，则cos,ab=（）A.255−B.255C.55−D.55【答案】D【解析】【分

析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2ab==−，则22223(1)425cos,5||||34(1)2ababab−+===+−+.故选：D4.在△ABC中，已知1cos3A=，23a

=，3b=，则c=（）A.1B.3C.2D.3【答案】D【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，1cos3A=，23a=，3b=，所以由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，2112963cc=+−，得2230cc−−=，解得

3c=，或1c=−（舍去），故选：D5.函数()()sinfxAx=+(其中0A，0，0)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin42fxx=+B.3()3sin44fxx=+

C.()3sin84fxx=+D.3()3sin84fxx=+【答案】C【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3

A=，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16−=，因为0，所以24(62)168−===，所以()3sin8fxx=+，由图象可知：(2)3f=，即3sin32()2()4424kkZkkZ

+=+=+=+，因为0，所以令0k=，所以4=，因此()3sin84fxx=+，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62fxxx=+的最大值和最小值分别为（）A.11,2

−B.31,2−C.1,12−D.1,1−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,]2x，得ππ7π2[,]666x+，则当ππ262x+=，即π6x=时，m

ax()1fx=，当π7π266x+=，即π2x=时，min1()2fx=−，所以所求最大值、最小值分别为11,2−.故选：A7.已知向量,,abc在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则

()abc+=（）A.2B.2−C.1D.1−【答案】B【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π||2,||2,||2,,,,,44abcabbcac====⊥=，因此3π2|||

|cos22()242acac==−=−，0bc=，所以()2abcacbc+=+=−.故选：B8.在ABC中，已知coscos2cosaBbAcA+=，则A=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【

答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC中，由coscos2cosaBbAcA+=及正弦定理，得sincossincos2sincosABBACA+=，则sin()2sincosABCA+=，即sin2sincosCCA=，而si

n0C，因此1cos2A=，而0πA，所以π3A=.故选：C9.已知函数()()π2sin03=+fxx，则“()fx在π0,3上既不是增函数也不是减函数”是“1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】以π3x+为整体结合正弦函数的性质可得12，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x且0，则

ππππ,3333x++，若()fx在π0,3上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33+，解得12，又因为()1,+1,2+，所以“()fx在π0,3上既不是增函数也不

是减函数”是“1”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD四条边上的一个动点，则PAPB的取值范围是（）A.1,2−B.0,2C.0,4D.1

,4−【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2AB，当点P在CD上时，设()(),

002Pxx，则()(),2,2,2PAxPBx=−=−−，所以()()224133,4PAPBxxx=−+=−+；当点P在BC上时，设()()2,02Pyy，则()()2,2,0,2PAyPBy=−=−，所以()220,4PAPBy

=−；当点P在AB上时，设()(),202Pxx，则()(),0,2,0PAxPBx==−，所以()()22111,0PAPBxxx=−=−−−；当点P在AD上时，设()()0,02Pyy

，则()()0,2,2,2PAyPBy=−=−−，所以()220,4PAPBy=−；综上：PAPB取值范围是1,4−.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为

__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60的圆心角的弧度数为ππ601803=；所对的弧长为π2π233=.故答案为：π3；2π312已知向量()2,3a=−，

(),6bx=−.若//ab，则a=r__________，x=__________.【答案】①.13②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x.【详解】因为向量()2,3a=−，所以()222313a=−+=，又(),6bx=−且//a

b，所以()326x=−−，解得4x=.故答案为：13；4.13.若函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为π3，则A=__________；将函数()fx的图象向左至少平的.移__________个单位，得到函数2sinyx=的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】

利用零点的意义求出A；利用辅助角公式化简函数()fx，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为π3，得ππsin3cos033A−=，解得1A=；则π()sin3cos2sin()3fxxxx=−=

−，显然πππ()2sin[()]2sin333fxxx+=+−=，所以()fx的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sinyx=的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,abc为非零向量，且(1,0)a=.能够说明“若abac=，则bc=”是假命题的一组向量

,bc的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)−（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,bc与向量a都垂直，且bc即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)bc==−，显然0abac==，

而bc，因此(0,1),(0,1)bc==−能说明“若abac=，则bc=”是假命题，所以向量,bc的坐标依次为(0,1),(0,1)−.故答案为：(0,1),(0,1)−15.已知函数()2cosπ1xfxx=+，给出下列四个结论：①函数()fx是奇函数；②函数()

fx有无数个零点；③函数()fx的最大值为1；④函数()fx没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0fx=求出函数的零点，

即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xfxx=+的定义域为R，又22cos(π)cosπ()()()11xxfxfxxx−−===−++，所以()2cosπ1xfxx=+

为偶函数，故①错误；令2cosππ1()0cosπ0ππ(Z)(Z)122xfxxxkkxkkx====+=++，所以函数()fx有无数个零点，故②正确；因为cosπ1x，当ππ(Z)xkk=，即(Z)xkk=时取等号，又因为211x+，当且仅当0x=时取等号，所以有

21011x+，当且仅当0x=时取等号，所以有2cosπ11xx+，当且仅当0x=时取等号，因此有()2cosπ11xfxx=+，即()()max01fxf==，故③正确；因为()2cosπ1xfxx=+为偶函数，函数图象关于y轴对称，只需研究函数在()0,+上的情况即可，当x→

+时2101x→+，又1cosπ1x−，所以当x→+时()0fx→，又()()max01fxf==，当102x时cosπ0x，210x+>，所以()0fx，当1322x时1cosπ0x−，210x+>，所以()0f

x，当1x时212x+，0cosπ1x，所以()12fx，又()112f=−，102f=，302f=，且()fx为连续函数，所以()fx存在最小值，事实上()fx的图象如下所示：由图可知()fx存在最小

值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox始边，终边经过点()1,2−−.（1）求tan，tan2的值；（2）求πsin,cos,cos4+

的值.【答案】（1）tan2=，4tan23=−（2）25sin5−=，5cos5−=，π10cos410+=【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan，再由二倍角

正切公式求出tan2；（2）由三角函数的定义求出sin，cos，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角以Ox为始边，终边经过点()1,2−−，所以2tan21−==−，则222tan224tan21tan123===−−−.【小问2详解】因为角

以Ox为始边，终边经过点()1,2−−，所以()()22225sin512−−==−+−，()()2215cos512−−==−+−，所以πππcoscoscossinsin444+=−2520555210221−−=−=.17.已知平

面向量,,2,3,ababa==与b的夹角为60，（1）求22,,abab；（2）求(2)(3)abab−+的值：（3）当x为何值时，xab−与3ab+rr垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4

−；为（3）3013x=.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,ababa==与b的夹角为60，所以2222|4

,|9,3||||c|os0|6aabbabab======.【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534abababab−+=−+=−+=−.【小问3详解】由()(3)0xabab−+=，得223(31)4273(31)13300xabxabxxx

−+−=−+−=−=，解得3013x=，所以当3013x=时，xab−与3ab+rr垂直.18.已知函数()sin2cos2fxxx=+.（1）求(0)f；（2）求函数()fx的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()fx的单调递增区间.【答

案】（1）1；（2）π，ππ,Z82kxk=+；（3）()3πππ,πZ88kkk−++.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()fx，再结合正弦函数的图象与性质求解

即得.【小问1详解】函数()sin2cos2fxxx=+，所以(0)sin0cos01f=+=【小问2详解】函数π()2sin(2)4fxx=+，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==；.由ππ2π,Z42xkk+=+，解得ππ,Z82kxk=+，所以函数()fx图象的对称轴方程为ππ,Z

82kxk=+.【小问3详解】由πππ2π22π,Z242kxkk−+++，得3ππππ,Z88kxkk−++，所以函数()fx的单调递增区间是()3πππ,πZ88kkk−++.19.

在△ABC中，7a=，8b=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A；（2）求ABC的面积．条件①：3c=；条件②：1cos7B=−．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A=

；（2）选①②答案相同，ABC的面积为63.【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cosA，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c=，再用余弦定理求出cosA，得到答案；（2）选①，先求出3sin2A=，使用面积公式即可；选②：先用sinsin()CAB=+求出sinC，再使用面

积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c=．在△ABC中，因为7a=，8b=，3c=，由余弦定理，得222cos2bcaAbc+−=64949283+−=12=．因为()0,πA，所以π3A=；选条件②：1cos7B=−由余弦定理得：222249641cos2147acbc

Bacc+−+−===−，解得：3c=或5−（舍去）由余弦定理，得222cos2bcaAbc+−=64949283+−=12=．因为()0,πA，所以π3A=；【小问2详解】选条件①：3c=由（1）可得3sin2A=．所以ABC的面积113s

in8363222SbcA===．选条件②：1cos7B=−．由（1）可得1cos2A=．因为sinsin[()]CAB=−+sin()AB=+sincoscossinABAB=+31143()2727=−+3314=，所以ABC的面积11

33sin78632214SabC===．．20.已知函数()2π2coscos213fxxx=+−−.（1）求π6f的值；（2）求函数()fx的在0,π上单调递减区间；（3）若函数()fx在区间0,m上有且只有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）

32（2）π7π,1212（3）3564π,π【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x的取值范围求出π23x+的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x+，解得即可；（3）由x的取值范

围求出π23x+的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2coscos213fxxx=+−−ππcos2cos2cossin2sin33xxx=++33cos2sin222xx=+313cos

2sin222xx=+π3sin23x=+，所以πππ2π33sin23sin66332f=+==.【小问2详解】当0,πx时ππ7π2,333x+，令ππ3π2232x+，解得π7π1212x，所以函数(

)fx的在0,π上的单调递减区间为π7π,1212.【小问3详解】当0,xm时，πππ2,2333xm++，又函数()fx在区间0,m上有且只有两个零点，所以π2π23π3m+，解得5π4π

63m，即m的取值范围为3564π,π.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQAB⊥

，垂足为Q，PRAC⊥，垂足为R，设π0,3PAB=；（1）求PQ，PR（用表示）；（2）当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值.【答案】（1）60sinPQ=，π60si

n3PR=−（2）三角形绿地的最大面积是2253平方米，此时π6=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ、PR；（2）依题意可得2π3QPR=，则1sin2PQRSPQPRQPR=，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦

函数的性质求出最大值.【小问1详解】在RtPAQ中，π0,3PAB=，60AP=，∴sin60sinPQAP==（米），又π3BAC=，所以π3PAR=−，在RtPAR中，可得πsin60sin3PR

PARAP==−（米）.小问2详解】由题可知2π3QPR=，∴PQR的面积1sin2PQRSPQPRQPR=1π2π60sin60sinsin233=−π9003sin

sin3=−ππ9003sinsincoscossin33=−3114503sin2cos2222=+−π14503sin262=+−，又π0,3，526πππ,66+

，∴当ππ262+=，即π6=时，PQR的面积有最大值2253平方米，即三角形绿地的最大面积是2253平方米，此时π6=.【