【文档说明】北京市第八十中学2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，869.719 KB，由小赞的店铺上传

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北京市第八十中学2024~2025学年度第一学期9月月考高三数学班级____________姓名____________考号____________（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其

他试题用黑色签字笔作答.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知集合{2,1,0,1,2}A=−−，22Bxx=，则AB=（）A.{2,1,0,1,2}−−B.1,0,1−C.2,2−D.0,1【答案】

B【解析】【分析】求出集合A，B，由此能求出AB.【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A=−−，22=22Bxxxx=−，所以1,0,1AB=−.故选：B.2.已知向量()0,1a

=，31,22b=，则cos,ab=（）A0B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可.【详解】由题设3101122cos,231144ababab+===+.故选：B3.设2lg

,(lg),lg,aebece===则.A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】B【解析】【详解】：因为110e，所以10lglg102e=，那么()21lglglglg2eeee=，所以acb.4.若ab且0ab，则下列不等式中一定成立

的是（）A.11abB.1baC.33abD.ab【答案】C【解析】【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD.【详解】A：当0ab时，110ab，故A错误；B：当2,1ab=−=−时，满足ab，112b

a=，1ba不成立，故B错误；C：()()()233222324bababaabbabab−=−++=−++，因为ab，所以0ab−，得330ab−，即33ab，故C正确；D：当2,1ab=−=−时，满足ab，ab，ab不成立，故D错误.故选：C5

.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+上单调递减的是（）A.3yx=B.cosyx=C.21lnyx=D.2xy=【答案】C【解析】【分析】根据指对幂型复合函数及余弦函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性.【详解】A：由幂函数的性质知3yx=在(

0,)+上递增，不符；B：由余弦函数性质知cosyx=在(0,)+上不单调，不符；C：由21tx=在(0,)+上递减，lnyt=在定义域上递增，故21lnyx=在(0,)+上递减，又2211lnln()xx=−，且定义域为{|0}x

x，故21lnyx=为偶函数，符合；D：由||tx=在(0,)+上递增，2ty=在定义域上递增，故2xy=在(0,)+上递增，不符.故选：C6.522xx+的展开式中4x的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】【详解

】分析：写出103152rrrrTCx−+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrrrrrTCxCxx−−+==令103r4−=,则r2=所以22552240rrCC==故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于

基础题．7.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为23；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为13.若他第1球投进概率为23，他第2球投进的概率为（）A.59B.23C.79D.83【答案】A【解析】【分析】把第2球投进

的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解.【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，1224()339PM==，2111()339PM==，则12125()()()9

PMMPMPM+=+=，所以第2球投进的概率为59.故选：A8.若()()2log1fxx=−在区间M上单调递增，则M可以是（）A.(),2−−B.()2,1−−C.()1,0−D.()0,1【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性可知函数2log(1)yx=−在

(,1)−上单调递减，且过原点(0,0)，进而得2()log(1)fxx=−在(0,1)上单调递增，即可求解.【详解】函数1yx=−在R上单调递减，函数2logyx=在(0,)+上单调递增，又函数()fx的定义域为(,1)−，所以函数2log(1)yx=−在(,1)−上单调

递减，且过原点(0,0)，所以函数2()log(1)fxx=−在(,0)−上单调递减，在(0,1)上单调递增.故选：D.9.已知,ab是非零向量，则“ab⊥”是“对于任意的R，都有abab+=−成立”的（）A.充

分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为,ab是非零向量，若ab⊥，则0ab=，所以()22222222ababaabbab

+=+=++=+()22222222ababaabbab−=−=−+=+，所以对于任意的R，都有abab+=−成立，故充分性成立；若对于任意的R，都有abab+=−成立，则22abab+=−，即22222222aabbaabb++

=−+，所以20ab=，所以0ab=，所以ab⊥，故必要性成立；所以“ab⊥”是“对于任意的R，都有abab+=−成立”的充要条件.故选：C10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式

为()1sin2121nnxyabn+=−=+−，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如()111sinsin3sin5sin7357fxxxxx=+++就是一种近似情况，则（）A.函数()fx是最小正周期为π的奇函数B

.函数()fx的对称轴为()π2πZ2xkk=+C.函数()fx在区间π0,2上单调递增D.函数()fx的最大值不大于2【答案】D【解析】【分析】计算()πfx+即可求解A，根据()3πfx−+与()fx的关系即可求解B，根据特殊

值即可求解C，根据三角函数的有界性即可求解D.【详解】对于A,()()()()()()111111πsinπsin33πsin55πsin77πsinsin3sin5sin7357357fxxxxxxxxxfx+=+++++++=−−−−故A错误

，对于B，()()()()()1113πsin3πsin39πsin515πsin721π357fxxxxx−+=−++−++−++−+()111sinsin3sin5sin7357xxxxfx=+++=，故3π2x=也为()fx的一条对称轴，B错误，π2121212111221423252

7235722f=+−−=+−−，π11111111111156235272231014236f=++−=++−+=，由于ππ64ff，故C错误，对于D，()111111sinsi

n3sin5sin712357357fxxxxx=++++++，故D正确，故选：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数2211logyxx=+−的定义域为__________.【答案】(0,1)【解析】【分析】利用

函数有意义，列出不等式组并求解即得.【详解】函数2211logyxx=+−有意义，则21001xxx−，解得01x，所以函数2211logyxx=+−的定义域为(0,1).故答案为：(0,1)12.在ABCV中，π,23CC

ACB===，P满足2CPCACB=−，则CPCB=____________．【答案】0【解析】【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，()2?CPCBCACBCB=−222222cos6020CACBCB=−=−=.故答案为：013.已知

命题:p若,为第一象限角，且，则tantan．能说明p为假命题的一组,的值为=__________，=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角

的定义分析求解.【详解】因为()tanfxx=在π0,2上单调递增，若00π02，则00tantan，取1020122π,2π,,kkkk=+=+Z，则()()100200tantan

2πtan,tantan2πtankk=+==+=，即tantan，令12kk，则()()()()102012002π2π2πkkkk−=+−+=−+−，因为()1200π2π2π,02kk−−−

，则()()12003π2π02kk−=−+−，即12kk，则.不妨取1200ππ1,0,,43kk====，即9ππ,43==满足题意.故答案为：9ππ;43.14.设函数3sincosyxxm=+−在0,2

πx上恰有两个零点12,xx，则12xx+=__________.【答案】2π3或8π3【解析】【分析】先将函数化简成π2sin6yxm=+−，将函数有两个零点问题转化成函数π2sin6yx=

+与ym=图象在0,2πx上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解.【详解】由题得π3sincos2sin6yxxmxm=+−=+−，因为函数3sincosyxxm=+−在0,2πx上恰有两个零点12,xx，所以方

程π2sin6xm+=在0,2πx上恰有两个根12,xx，所以函数π2sin6yx=+与ym=图象在0,2πx上恰有两个交点，令ππππ,Zπ,Z623xkkxkk+=+=+，即函数π2sin6yx=+的对称轴方程为ππ,Z3xkk=+，

所以在0,2πx上π2sin6yx=+有两条对称轴为π3x=和4π3x=，如图，所以由函数π2sin6yx=+的图象性质可知122π3xx+=或8π3.故答案为：2π3或8π3.【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角

恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成π2sin6yxm=+−，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数π2sin6yx=+与ym=图象在0,2πx上恰有两个交点问题，然后作出有关

函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解.15.已知函数()22,2,xaxafxxaxxa+=+给出下列四个结论：①当0a=时，()fx的最小值为0；②当13a时，()fx存在最小值；③()fx的零点个数为()ga，则函

数()ga的值域为0,1,2,3；④当1a时，对任意()()121212,,22xxxxfxfxf++R．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合

条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.【详解】对①，当0a=时，()22,0,0xxfxxx=，当0x时，021x，当0x时，20x，综上，()fx的最小值为0，①正确；对②，13a，()22,2,xaxafxxaxxa+=+，当xa时，2xaa+

，当xa时，若a<0，222222xaxaaa+−=−；若103a≤≤，2222223xaxaaa++=，如12a=−时，()12fx−，函数不存在最小值，②错误；对③，当a<0时，20xa+=最多一个解，220yxax=+=得0x=或2xa=−，如1a=−

时，()221,12,1xxfxxxx−−=−−，由210x−=可得0x=(舍去)，由220xx−=得0x=或2x=，故此时()fx两个零点，即()2ga=；如12a=−时，()2112,221,2xx

fxxxx−−=−−，由1202x−=可得1x=−，由20xx−=得0x=或1x=，故此时()fx三个零点，即()3ga=；当0a=时，()22,0,0xxfxxx=，由20x=可得x，由20x=得0x=

，故此时()fx一个零点，即()1ga=；当0a时，()22,2,xaxafxxaxxa+=+，xa时，20xa+，20xa+=无解，0xa时，220xax+，220xax+=无解，此时()fx没有零点，即()0ga=.综上，()ga的值域为0,1,2,3，故③正确

；对④，当1a时，如4a=时，()224,48,4xxfxxxx+=+，()312f=，()448f=，()565f=，此时()()()35772496fff+==，故④错误.故答案为：①③【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零令()0fx=，如果能求出解，则

有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点．三、解答题：本大题共6小题，共85分．16.已知函数2()3sin22sinfxxx=−.（Ⅰ）若点(1,3)P−在角终边上，求()f的值；（Ⅱ）若[,]63x−，求()fx的值域.【答案】（Ⅰ）

3−（Ⅱ）[2,1]−【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角函数定义得正余弦值，再代入计算即可；（Ⅱ）化简函数解析式，再整体代入求值域即可【详解】（Ⅰ）因为点(1,3)P−在角的终边上，所以3sin2=−，1cos2

=，所以22()3sin22sin23sincos2sinf=−=−231323()2()3222=−−−=−（Ⅱ）2()3sin22sinfxxx=−3sin2cos21xx=+−2sin(2)16

x=+−，因为[,]63x−，所以52666x−+，的所以1sin(2)126x−+，所以()fx的值域是[2,1]−17.在ABCV中，sincosbAaB=.（1）求B的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABCV存在且唯一，求ABCV的面

积.条件①1cos2A=−；条件②2b=；条件③AB边上的高为62.【答案】（1）π4B=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出tanB，即可得答案；（2）若选①②，根据1cos2A=−求出A，由正弦定理求出a，再利用两角和的正弦公式求出sinC，

由三角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据1cos2A=−求出A，再根据AB边上的高h求出b，下面解法同选①②；若选②③，根据条件可求出A的值不唯一，即可判断不合题意.【小问1详解】在ABCV中，sincosbAaB=，由正弦定理得sinsin

sincosBAAB=，由于(0,π),sin0AA，则sincos,tan1BBB==，由于(0,π)B，故π4B=；【小问2详解】若选①②，ABCV存在且唯一，解答如下：由于1cos2A=−，2π(0

,π),3AA=，又2b=，故2ππ342sinsina=，则3a=；又2ππππ34CAB=−−=−−，故2ππ321262sinsin3422224C−=+=−=，故116233sin

322244−−===ABCSabC；若选①③，ABCV存在且唯一，解答如下：由于1cos2A=−，2π(0,π),3AA=，AB边上的高h为62，故622sin32hbA===则2ππ342sinsina=，则3a=；又2ππππ34CAB=−−=−−，故2ππ

321262sinsin3422224C−=+=−=，故116233sin322244−−===ABCSabC；若选②③，ABCV不唯一，解答如下：2b=，AB边上的高h为62，故632sin22hAb===，2π(0,π),3AA=或π3，此时ABCV有两

解，不唯一，不合题意.18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设

该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生

中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望()EX；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(098)a人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应

人数的方差为2s．当a为何值时，2s最小．（结论不要求证明）【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的

频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届

大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125PXC==−=，()213114

81155125PXC==−=，()22311122155125PXC==−=，()30331113155125PXC==−=．为所以X的分布列为X0

123P641254812512125112564481213()01231251251251255Ex=+++=．【小问3详解】易知五种毕业去向人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知函数2()2ln1fx

axx=−+．（1）若=1a，求函数()fx的单调递减区间；（2）若0a，求函数()fx在区间[1,)+上的最大值；（3）若()0fx在区间[1,+)上恒成立，求𝑎最大值.【答案】（1）(1,)+（2）答案见详解（3）1【解析】【分析】（1）求导，利用导数求原函

数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得max()0fx，分类讨论，结合（2）运算求解.【小问1详解】当=1a时，2()2ln1fxxx=−+，则222(1)()2xfxxxx−−=−=，0x

令22(1)()0xfxx−−=．因为0x，则1x所以函数()fx的单调递减区间是(1,)+【小问2详解】()()22axfxx−=．令()=0fx，由0a，解得1xa=，2xa=−（舍去）．的的当1a，即01a时，在区间[1,)+

上()0fx，函数()fx在[1,)+上是减函数．所以函数()fx在区间[1,)+上的最大值为(1)=0f；当1a，即1a时，𝑥在[1,)+上变化时，(),()fxfx的变化情况如下表x1(1,)aa(,)a+()fx++0-()fx0↗ln1aaa-+↘所以函数()fx在

区间[1,)+上的最大值为()ln1faaaa=−+．综上所述：当01a时，函数()fx在区间[1,)+上的最大值为(1)=0f；当1a时，函数()fx在区间[1,)+上的最大值为()ln1faaaa=−+．【小问3详解】当0a时

，则()0fx在[1,+)上恒成立∴函数()fx在[1,)+上是减函数，则()(1)0fxf=∴0a成立当>0a时，由（2）可知：①当01a时，()(1)0fxf=在区间[1,+)上恒成立，则01a

成立；②当1a时，由于()fx在区间[1,]a上是增函数，所以()(1)0faf=，即在区间[1,+)上存在=xa使得()0fx，1a不成立综上所述：𝑎的取值范围为1a，即𝑎的最大

值为1．20.设函数()fx的图象在点()()00xfx，处的切线方程为()lygx=：.若函数()fx满足xI（I为函数()fx的定义域），当0xx时0()()0−−fxgxxx恒成立，则称0x为函数()fx的“T

点”，已知1()lnfxxx=+.（1）若直线l斜率为14，（i）求0x及直线l的方程；（ii）记()()()Fxfxgx=−，讨论函数()Fx的单调性；（2）求证：函数()fx有且只有一个“T点”.【答案】（1）（i）02x=；1ln24y

x=+，（ii）()Fx在()0+，上单调递减（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切点和切线方程，求导，分析函数的单调性即可.（2）先把“T点”定义转化为：当𝑥∈(0,𝑥0)时，()()fxgx；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()()fxgx.再借助（1）的结论分

析“T点”及其个数.【小问1详解】（i）由题意：()211fxxx−=，0x，由()02001114fxxx=−=，00x得：02x=.所以切点为12,ln22+所以切线方程为：()11ln

2224yx−+=−即1ln24yx=+.（ii）()11lnln24Fxxxx=+−−，0x，所以()21114Fxxx=−−22444xxx−−=()2224xx−−=0恒成立，所以，𝐹(𝑥

)在()0+，上单调递减.【小问2详解】当0xx时，()()00fxgxxx−−恒成立等价于：当𝑥∈(0,𝑥0)时，()()fxgx；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()()fxgx.因为()211f

xxx−=，()020011fxxx−=，()0001lnfxxx=+，所以()fx在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线方程为：()002000111lnyxxxxxx−+=−−即()02000112ln1gx

xxxxx=−++−设()()()020001112lnln1Fxfxgxxxxxxxx=−=+−−−−+所以()22001111Fxxxxx=−−−()()0002201xxxxxxx−−−−=当01x=时，

()Fx=21xx−，当1x时，()0Fx，𝐹(𝑥)单调递增，则()()10FxF=，与“T点”定义矛盾，不合题意.当01x时，令0001xxx=−02x=.当02x=时，由（1）得：()20F=，且𝐹(𝑥)在()0+，上单调递减.当0

2x时，()()()0Fxfxgx=−，00xx−，所以()()00fxgxxx−−；当2x时，()()()0Fxfxgx=−，00xx−，所以()()00fxgxxx−−.所以当2x时，()()00fxg

xxx−−恒成立，故02x=为函数()fx的一个“T点”.当02x时，则当000,1xxx−时，()0Fx，所以𝐹(𝑥)单调递减；当000,1xxxx−时，()0Fx，所以𝐹(𝑥)单调递增.则存在0100,1xxxx

−，使得()()100FxFx=，这与“T点”的定义矛盾.同理，当()00,1x和()01,2x时也不合题意.所以函数()1lnfxxx=+有且只有一个“T点”.【点睛】关键点点睛：函数“T点”的定义可转化为：当𝑥∈(0,𝑥0)时，()()fxgx；当𝑥∈(𝑥0

,+∞)时，()()fxgx.21.已知集合()*1,2,3,,2NAnn=.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素12,ss，都有12ssm−，则称S具有性质P.（1）当10n=时，试判断集合9

BxAx=和*31,NCxAxkk==−是否具有性质P?并说明理由；（2）当1000n=时，若集合S具有性质P，那么集合2001TxxS=−是否一定具有性质P?并说明理由；（3）当1000n=时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大

值.【答案】（1）集合B不具有性质P，集合C具有性质P，理由见解析（2）具有，理由见解析（3）1333【解析】【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断；（2）根据集合2

001TxxS=−，任取02001txT=−，因为SA，说明01,2,3,,2000x，可得0120012000x−，即可说明TA，继而结合定义即可得结论；（3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元

素不超过1000，不妨设S中有t（2kt）个元素12,,,tbbb不超过1000，从而可得不等式20002kk+，结合k为正整数，可得1333k，再结合定义，即可确定答案.【小问1详解】当10n=时，集合1,2

,3,,20A=，910,11,,20BxAx==，则集合B不具有性质P，理由如下：因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素1210,10bbm==+，使得12bb

m−=成立；集合*31,NCxAxkk==−具有性质P，理由如下：因为可取110m=，对于该集合中的任意一对元素*11221231,,31,Nckckkk=−=−，都有*12121231,,

Ncckkkk−=−；【小问2详解】当1000n=时，集合1,2,3,,2000A=，若集合S具有性质P，那么集合2001TxxS=−一定具有性质P，理由如下：首先因为集合2001TxxS=−，任取02001txT=−，其中0xS，因为SA，所

以01,2,3,,2000x，从而0120012000x−，即02001txA=−，故TA,由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对于S中的任意一对元素12,ss，都有12ssm−，

对于上述正整数m，从集合2001TxxS=−中任取一对元素11222001,2001txtx=−=−，其中12,xxS，则有1212ttxxm−=−，故集合2001TxxS=−具有性质P.【小问3详解】设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P

，那么集合2001TxxS=−一定具有性质P，任给,12000xSx，则x与2001x−中必有一个不超过1000，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（2kt）个元素12,,,tbbb不超过1000，由集合S具有性

质P可知存在正整数1000m，使得对于S中的任意一对元素12,ss，都有12ssm−，所以一定有12,,,tbmbmbmS+++，又100010002000Tbm++=，故12,,,tbmbmbmA+++，因此集合A中至少有t个元素不在子集S中，故20002kkkt++

，即20002kk+，结合k为正整数，可得1333k，当1,2,3,,665,666,1334,,1999,2000S=时，取667m=，则可知集合S中任意两个元素12,yy，都有12667yy−，即集合S具有性质P，而此时集合S中有133

3个元素，因此集合S中元素个数的最大值为1333.【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题.