【文档说明】陕西省汉中市2024届高三上学期教学质量第一次检测试题（一模）+数学（理）+含解析.docx，共(27)页，1.644 MB，由管理员店铺上传

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汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题

必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字

笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合1,0,1,2,023ABxx=−=−，则AB=（）A.{0,1

}B.{1,0}−C.{1,0,1}−D.{0,1,2}2.已知()2i1z+=，则复数z的虚部为（）A.15−B.15C.1i5−D.1i53.已知向量(2,)m=，(2,4)n=−−，若m与n共

线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.2−D.2−或44.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.67.52πC.67.53πD.67.55π5已知2tan3=，则sin2cos

(2)−−=（）A.713B.1113C.73D.17136.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.127.下列

说法正确的是（）A.“ab”是“22ambm”的充要条件B.“,4kxk=Z”是“tan1x=”的必要不充分条件C.命题“0001,2xxx+R”否定形式是“1,2xxx+R”D.“1xy=”是“lglg0xy+=”的充分不必要条件

8.已知双曲线221mxy+=一条渐近线的斜率为2，则m=（）A.－4B.4C.14−D.149.下列函数中，既是偶函数，又在(),0−上是增函数是（）A.()22xxfx−=−B.()23fxx=−C.()2ln

=−fxxD.()cos3=fxxx10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4si

n()yx=+π0,||2的图象上，且图象过点π,224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）.的的的A.ππ,34−−B.π5π,824C.5π3

π,248D.5π3π,8411.如图，已知抛物线E：()220ypxp=的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy⊥轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为（）A.22yx=

B.24yx=C.243yx=D.28yx=12.已知函数2e()2xkfxxkxx=+−，若1x=是()fx在区间(0,)+上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A2e,4−+B.3e,9−+C.2e,4−+D.3e,9−+

第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)nx+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.14.函数2log(1),0()4,0xxxfxx−

=，则2(3)(log3)ff−+=__________.15.已知ABC中，=3AB，=2AC，60A=，则ABC的外接圆面积为___________.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱

锥的高为______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．.（一）必考题：共60分．17.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足

38a=，572Sa=．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足()112nnnnba+=−+，求数列nb的前2n项和2nT．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备

抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程ˆˆˆybxa=+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021

年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixynxyxxyybay

bxxnxxx====−−−===−−−()2PKk0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++其中nabcd

=+++19.如图，在斜三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为4的正三角形，侧棱143AA=，顶点1A在平面ABC上的射影为BC边的中点O.（1）求证：平面1AOA⊥平面11BCCB；（2）求二面角11CABO−−的余弦值.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=经过点21,

2A，点()1,0F为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,0F作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l，2l，直线1l与椭圆相交1A、1B，直线2l与椭圆相交2A、2B两点，求四

边形1212AABB的面积S的最小值.21.已知函数()lnfxxx=，()()21fxgxxxx=−+．（1）求函数()gx的单调区间；（2）若方程()fxm=的根为1x、2x，且21xx，求证：211exxm−+．（二）选考题：共10分．请考生在

第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy中曲线1C的参数方程为cos1sinxy==+（为参数），M是1C上的动点，P点满足3OPOM=

，P点的轨迹为曲线2C．（Ⅰ）求2C的参数方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线33yx=与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，将曲线1C、2C的方程转化为极坐标方程后，求AB．[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21

|||,fxxxaaR=−++（1）当1a=时，解不等式()3fx；（2）若存在xR，使得()1fxa−成立，求a的取值范围.汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合1,0,1,2,023ABxx=−=−，则AB=（）A.{0,1}B.{1,0}−C.{1,0,1}−D.{0,1,2}【答案】A【解析】【分析】将集合B化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【

详解】将集合B化简可得12Bxx=−，则0,1AB=故选:A2.已知()2i1z+=，则复数z的虚部为（）A.15−B.15C.1i5−D.1i5【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i1z+=可得12i21i2i555z−===−+，即虚

部为15−.故选：A3.已知向量(2,)m=，(2,4)n=−−，若m与n共线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.2−D.2−或4【答案】C【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值.【详解】由题意，(2,)m

=，(2,4)n=−−，∵m与n共线且同向∴(2)80−+=，解得2=−或4=，当4=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5

πB.67.52πC.67.53πD.67.55π【答案】A【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V

=+=.故选：A5.已知2tan3=，则sin2cos(2)−−=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sincoscossin2tan1tan17sin2

cos(2)sincostan113+−+−−−===++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C【

解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9)

,(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率

为42105P==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“ab”是“22ambm”的充要条件B.“,4kxk=Z”是“tan1x=”的必要不充分条件C.命题“0001,2xxx+R”的否定形式是“1,2xxx+R”D.“1xy=”是“l

glg0xy+=”的充分不必要条件【答案】B【解析】的【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误.【详解】对A，若22ambm中，0m=时a

b也成立，故A错；对B，当34x=时，tan1x=−，故tan1x，若tan1x=，则(41)4kx+=，故B对；对C，存在量词命题的否定是1,2xxx+R，故C错；对D，若1,,xyxy=均为负数，则lg,lgxy无意义，故

D错.8.已知双曲线221mxy+=的一条渐近线的斜率为2，则m=（）A－4B.4C.14−D.14【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m的值.【详解】根据221mxy+=,得到2211xym−=−,则焦点

在y轴，故渐近线为ymx=−，则2m−=，故4m=−.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0−上是增函数的是（）A()22xxfx−=−B.()23fxx=−C.()2ln=−fxxD.()cos3=fxxx【答案】

C【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B错误，C正确即可.【详解】选项A中，()22xxfx−=−，定义域R，()()()2222xxxxfxfx−−−=−=−−=−，则()fx..是奇函数，不符合题意；选项D

中，()cos3=fxxx，定义域R，()()()cos3cos3fxxxxxfx−=−−=−=−，则()fx是奇函数，不符合题意；选项B中，()23fxx=−，定义域R，()()()2233fxxxfx−=−−=−=，则(

)fx是偶函数，但二次函数()23fxx=−在(),0−上是减函数，在()0,+上是增函数，故不符合题意；选项C中，()2ln=−fxx，定义域为(),0−()0,+，()()2ln2lnfxxxfx−=−−=−=，则()fx是偶函数.当()0,x+时

，()2lnfxx=−是减函数，所以由偶函数图象关于y轴对称可知，()fx在(),0−上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()fx奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()fx−；（3）判断()fx−与()fx的关系，若()()f

xfx−=，则()fx是偶函数；若()()fxfx−=−，则()fx是奇函数；若两者均不成立，则()fx是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建

立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()yx=+π0,||2的图象上，且图象过点π,224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区

间的是（）A.ππ,34−−B.π5π,824C.5π3π,248D.5π3π,84【答案】B【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出，根据点的坐标，结合的取值范围，求出

的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T=，所以πT=，2π2T==，()4sin2yx=+.又图象过点π,224，所以有π4sin212+=，所以，π1sin122+=

.因为π2，所以5ππ7π121212−+，所以ππ126+=，所以π12=，π4sin212yx=+.由πππ2π22π,2122kxkk−+++Z可得，7π5πππ,24

24kxkk−++Z，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424kkk−++Z.当1k=−时，单调递增区间为31π19π,2424−−；当0k=时，单调递增区间为7π5π,2424

−；当1k=时，单调递增区间为17π29π,2424；对于A项，19ππ7π24324−−−，故A项错误；对于B项，因为7ππ5π24824−，故B项正确；对于C项，因为5π3π17π24824，故C项错误；对于D项，因为5π5π17π24824，故D项错

误.故选：B.11.如图，已知抛物线E：()220ypxp=焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy⊥轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为（）的A.22yx=B.24yx=C.2

43yx=D.28yx=【答案】B【解析】【分析】根据1ABk=求出M的坐标，然后得MC的方程，令0y=，得C的坐标，利用直角梯形的面积求出p，可得抛物线方程.【详解】易知,02pF，直线AB的方程为2pyx=−，四

边形OCMN为直角梯形，且//FCNM.设()11,Axy，()22,Bxy，00(,)Mxy，则1212221212122122AByyyypkyyxxyypp−−====−+−，所以122yyp+=，所以0yp=，00322ppxy=+=，∴3,2pMp.所以MC直线方程为32

pypx−=−−，∴令0y=，∴52px=，∴5,02pC.所以四边形OCMN的面积为1538222ppp+=，∴2p=.故抛物线E的方程为24yx=.故选：B.12.已知函数2e()2xkfxxkxx=+−，若1x=是()fx在区间

(0,)+上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A.2e,4−+B.3e,9−+C.2e,4−+D.3e,9−+【答案】C【解析】【分析】求出函数导数221()(e)xxfxkxx−=+，由题

可知需使得()2exhxkx=+在(0,)+上没有变号零点，因此分离参数2exkx−=，令2e()(0)xgxxx=，利用导数求得其最小值，则可得2e4k−，即可求得答案.【详解】由题意得2222eee1()()(1)(e

)xxxxxxfxkxkkxkxxxx−−=+−=+−=+，由题意可得1x=是函数()fx在区间(0,)+上唯一变号的零点，令()2exhxkx=+，则需满足()hx在(0,)+上没有变号零点；令()2

e0xhxkx=+=，得2exkx−=，令2e()(0)xgxxx=，则3(2)()exxgxx−=，当2x时，()0gx，函数()gx单调递增，当02x时，()0gx，函数()gx单调递减，故当2x=时()gx取得最小

值2e(2)4g=，其大致图象如图：要使()hx没有变号零点，则需2e4k−，即2e4k−，即实数k的取值范围是2e,)4[−+.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的

关键在于求出导数221()(e)xxfxkxx−=+后，需使得()2exhxkx=+在(0,)+上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)nx+的展开式中含有2x项的系数是5

4，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1rn=ð（3x）r＝3rrnðxr．∵含有x2的系数是54，∴r＝2．∴223n=ð54，可得2n=ð6，∴()12nn−=6，n

∈N*．解得n＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log(1),0()4,0xxxfxx−=，则2(3)(log3)ff−+=__________.【答案】11

【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log3)ff−+=()2222log32log3log32222log134log22222311++=+=+=+=.故答案为：11

【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC中，=3AB，=2AC，60A=，则ABC的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】

解：根据题意，由余弦定理可得2222cos77BCABACABACABC=+−==，该ABC的外接圆的半径为r，则由正弦定理得：27221217π2πsin33332BCrrSrA======.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面

上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464VR==球，所以正三棱锥外

接球半径4R=，如图所示，设外接球圆心为O，过PO向底面作垂线垂足为D，(04)ODaa=，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC与P在圆心的异侧，因为−PABC是正三棱锥，所以D是ABC的中心，所以2224,16OPOAADOAODa===−=−，又因为23ADB=，所以2316A

BBCACa===−，()2133sin16234ABCSABACa==−△，所以()()23213316(4)41664344PABCABCVSPDaaaaa−==−+=−−++△，令32()41664,(04)faaaaa=−−++，2()3816(34)(4)0

faaaaa=−−+=−−+=解得4a=−或43，当40,3a，()0fa；当4,43a，()0fa，所以()fa在40,3递增，在4,43递减，故当43a=时，正三棱锥的体积PABCV−最大，此时正三棱锥的

高为416433aOP+=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共6

0分．17.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足38a=，572Sa=．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足()112nnnnba+=−+，求数列nb的前2n项和2nT．【答案】（1）31nan=−（2）1344nn++−【解析】【分析】（1）由等差数列前n

项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,ad即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设na公差为d，依题意得()11154526228adadad+=++=,解得123ad==,所以()()1123131naandnn=+−=+−

=−，()*Nn．【小问2详解】因为()112nnnnba+=−+，()*Nn，所以()()()()232122143221222nnnnTaaaaaa+−=−+−++−++++()22221212332434

412nnnnnn++−=+=+−=+−−．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度201820192

0202021年度序号x1234不戴头盔人数y125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程ˆˆˆybxa=+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2

）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixynxyxxyy

baybxxnxxx====−−−===−−−()2PKk0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()nadbcKabcdac

bd−=++++其中nabcd=+++【答案】（1）ˆ1101325yx=−+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x与y，代入公式后求出ˆb，ˆa，得到回归直线方程；（2）代入公式求出24.687

5K=，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x+++==，12501050100090010504y+++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642niiiniixynxy

bxnx==−+++−===−−+++−，5ˆˆ105011013252aybx=−=+=，回归直线方程为ˆ1101325yx=−+5x=时，ˆ5501325775=−+=y【小问2详解】2250(727313)104020304

.68753.841K−==，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为4的正三角形，侧棱143AA=，顶点1A在平面ABC上的射影为BC边的中点O.（1）求证：平面1AOA⊥平

面11BCCB；（2）求二面角11CABO−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23913.【解析】【分析】（1）先证明出BC⊥面1AOA，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O为原点，1,,OAOBOA分别为,,xyz轴正方

向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC是边长为4的正三角形，BC边的中点O，所以BCOA⊥.因为顶点1A在平面ABC上的射影为O，所以1OA⊥平面ABC,1OABC⊥.因为1OAÌ面1AOA，OA面1AOA，1OAOAO=,所以BC⊥面1

AOA.所以BC面11BCCB，所以平面1AOA⊥平面11BCCB.小问2详解】以O为原点，1,,OAOBOA分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC是边长为4的正三角形，O为BC边的中点，所

以3sin604232OAAB===.在直角三角形1OAA中，()()22221143236OAAAOA=−=−=.所以()0,0,0O，()23,0,0A，()0,2,0B，()0,2,0C−，()10,0,6A.所以()23,2,0AB=−,()23,2,0AC=−−

.在三棱柱111ABCABC-中，由11ABAB=，()10,0,6A可求得：()123,2,6B−.同理求得：()123,2,6C−−.所以()1123,2,0AB=−，()10,2,6CA=,()10,0,6OA=.设(),,mxyz=为平面11OAB的一个法向量，n为平面11CA

B的一个法向量.因为11100ABmOAm==，即232000060xyz−++=++=，不妨设1x=，则()1,3,0m=.同理可求：31,3,3n=−.设为二面角11CABO−−的平面角，由图可

知：为锐角，所以,1+3239coscos,131130133mnmnmn====++++.【即二面角11CABO−−的余弦值为23913.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=经过点21,2A

，点()1,0F为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,0F作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l，2l，直线1l与椭圆相交1A、1B，直线2l与椭圆相交2A、2B两点，求四边形1212AABB

的面积S的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,ab可得椭圆C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||AB和22||AB，求出S后，根据基本不等式求出最值可得解.【

小问1详解】由题意可得2222212141abcabc+===+，解得211abc===，所以椭圆方程为2212xy+=.【小问2详解】设直线1l的方程为()10xtyt=+，联立22112xtyxy=++=得：()222210tyt

y++−=，22244(2)8(1)0ttt=++=+,设()111,Axy，()122,Bxy，则12222tyyt+=−+，12212yyt=−+，所以22111212()()ABxxyy=−+−221212(11)()tytyyy=+−−+−()()22121tyy

=+−2212121()4tyyyy=++−222224122tttt=+−+++()222212tt+=+，同理可得()22222212212211212ttABtt−++==+−+，则()()()()22221122222224141

116||||292212212ttSABABtttt++===+++++，当且仅当22212tt+=+，即1t=时取等号.所以四边形1212AABB的面积S的最小值为169.21.已知函

数()lnfxxx=，()()21fxgxxxx=−+．（1）求函数()gx的单调区间；（2）若方程()fxm=的根为1x、2x，且21xx，求证：211exxm−+．【答案】（1）单调递减区间为()0,+

，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()gx的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()fx的单调性，()1lnfxx=+，推出()fxx−，设直线yx=−与ym=的交点的横坐标为3x，则13xxm=−，证明

当1,1ex时，()1(1)e1fxx−−，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnfxxx=，()()21fxgxxxx=−+，所以()l1n2xgxxx=−+定义域为()0,+，()()222221212110xxxgxxxxx−−−+−=−−==，所以()gx在()

0,+上单调递减，即()gx的单调递减区间为()0,+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()lnfxxx=，()1lnfxx=+，当10ex时()0fx，当1ex时()0fx¢>所以()fx在10,e上是单调递减，在1,e+上单调递增，则()mi

n11eefxf==−，当01x时，()ln0fxxx=，所以12101xxe，且10em−，当10,ex时，ln1x−，所以lnxxx−，即()fxx−，设直

线yx=−与ym=的交点的横坐标为3x，则1311lnxxmxx=−=−，下面证明当1,1ex时，()1(1)e1fxx−−，设le111()ln(1)(n)11e()e1hxxxxxxx=−−=−+−−−，11()ln

1e(1e)mxxx=−+−−，则22e11(1)1(e)(1))e(1xmxxxx−−=−=−−，当11ee1x−时，()0mx，当11e1x−时，()0mx，所以()mx在11,ee1−上是减函数，在1,1e1−

上增函数，又因为10em=，()10m=，所以当11ex时，()0mx，()0hx，故当1,1ex时，()1(1)e1fxx−−，设直线1(1)1yxe=−−与ym=的交点的横坐标为4x，则241(e1)xxm=+−，所以21431exx

xxm−−=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），

进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选

考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy中曲线1C的参数方程为cos1sinxy==+（为参数），M是1C上的动点，

P点满足3OPOM=，P点的轨迹为曲线2C．（Ⅰ）求2C的参数方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线33yx=与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，将曲线1C、2C的方程转化为极坐标方程后，求

AB．【答案】（Ⅰ）3cos33sinxy==+（为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),Pxy由于P点满

足3OPOM=，所以,33xyM，由于点M在1C上，所以cos31sin3xy==+，整理得2C的参数方程3cos33sinxy==+（为参数）．（Ⅱ）曲线1C的参数方程转换为极坐标方

程为2sin=，曲线2C的参数方程转换为极坐标方程为6sin=，直线33yx=转换为极坐标方程为π6=．所以2sinπ6==，解得1A=，同理6sinπ6==，解得3B=，故312A

BAB=−=−=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,fxxxaaR=−++（1）当1a=时

，解不等式()3fx；（2）若存在xR，使得()1fxa−成立，求a的取值范围.【答案】（1）1x或1x−；（2）14a„.【解析】【分析】（1）当1a=时，利用零点法进行分类，求出不等式()3fx的解集；（2）若存在xR，使得()1fxa−成立，即mi

n|1|()afx−…，根据1,2a−之间的大小关系，进行分类，最后求出a的取值范围.【详解】解：（1）当1a=时，1()211322113xfxxxxx=−++−++………，或1121123xxx−++−…或11213xxx−−−−„…，

即121xx……，或1121xx−−„，或11xx−−„„，即1x或1x−.（2）即min|1|()afx−…，当12a=−时，min1(),()|1|2fxffxa

=−„恒成立；当12a−时，31,1()1,2131,2xaxafxxaaxxax−+−−=−++−+−„…，可知min11()22fxfa==+，得1142a−…；当12a−时，131,21()1,231,xaxfxxaxax

axa−+−=−−−+−−„…，同理min11()22fxfa==−，得12a−.综上，a的取值范围为14a„.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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