【文档说明】广东省台山市第一中学2022-2023学年高二上学期期末 数学 答案.docx，共(21)页，2.173 MB，由小赞的店铺上传

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台山一中2022—2023学年度第一学期期末高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.经过两点(4,21)Ay+，(2,3)B−的直线的倾斜角为3π4，则y=（）

A.1−B.3−C.0D.2【答案】B【解析】【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB的倾斜角为3π4，则该直线的斜率为3πtan14k==−，又因为(4,21)Ay+，(2,3)B−，所以()213142yk++==−−，解得=3y−.故选：B.2.

方程222220xyaxyaa++−++=表示圆，则实数a的取值范围是（）A.1a„B.1aC.1aD.01a【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程所需满足的条件得到不等式，解之即可求出结果.【详解】由2240DEF+−，得222(2)(2)4()0aaa+−−+

，即440a−，解得1a.故选：B.3.已知数列na的通项公式为()11nann=+（*nN），数列的前2022项和为（）A.20192020B.20222023C.20202021D.202

12022【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求和.【详解】()11111nannnn==−++，则数列的前2022项和为20221111112022112232022202320232023S=−+−++−=−=.故选：B4.如图，正方体111

1ABCDABCD−中，1DD的中点为N，则异面直线1AB与CN所成角的余弦值是（）A.1010B.55C.255D.0【答案】A【解析】【分析】根据图形找到异面直线1AB与CN的平行线，确定异面直线的平面角，再根据角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案.【详解】连接1DC交CN于点E

，由正方体1111ABCDABCD−可知，11//ABDC则CN与1DC所成的角NED为异面直线1AB与CN所成的角.由图可知1NEDNCDCDC=+则()1coscosNEDNCDCDC=+()11

1coscoscossinsinNCDCDCNCDCDCNCDCDC+=−设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2a.1122522coscos52522522sinsin=52522aaNCDCDCaaaaNCDCDCaa=======，，，则()12525210cos

cos525210NEDNCDCDC=+=−=则异面直线1AB与CN所成的角余弦值为1010.故选：A.【点睛】可通过两种方法，求线线角、线面角、二面角的余弦值：1通过作图方法，找到线线角、线面角、二面角的平面角，再解三角形求出角的余弦值.

2.建立空间直角坐标系、求坐标、求法向量、用公式，可求出角的余弦值.5.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若4PFMF=，则MN=（）A.32B.92C.3D.9【答案】B【解析】【分析

】由4PFMF=，可得3PMMF=，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线MN的斜率，进而得到MN的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物

线2:4Cyx=的焦点为(1,0)F，因为4PFMF=，可得3PMMF=,如图所示，过点M作MQ⊥直线l于点Q，则MFMQ=，所以在直角PQM中，1cos3MQMFPQMPMPM===，所以tan22PQM=，所以直线MN的方程为22(1

)yx=−，联立222(1)4yxyx=−=，整理得22520xx−+=，解得2x=或12x=，由抛物线的定义可知192222MN=++=.故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算

等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6.已知两点(1,0),(0,1)AB−，点P是椭圆221169xy+=上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为A.42B.32C.6D.62【答案】B【解析】【分析】先求出

直线AB的方程，然后结合图形，将点到直线的的最大距离转化为求与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的最大距离，再利用两平行线间的距离求出即可【详解】由两点A（-1，0），B（0，1），则直线AB的方程为

y=x+1，由图可知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得221169yxmxy++＝＝，整理得25x2+32mx+16m2-144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2-

4×25×（16m2-144）=0，解得m=-5或m=5（舍去）由于y=x+1与直线y=x-5的距离为()()22153211d−−==+−则点P到直线AB距离的最大值为32，故选B.【点睛】本题考查了直线与

椭圆的位置关系有关的最值问题，涉及了根据两点求直线方程，两平行直线间的距离公式；椭圆中求最值的方法有两类:函数法和数形结合法，本题采用数形结合法，关键是理解与直线AB平行且与椭圆相切的直线所经过的切点到直线AB

的距离.最大或最小.7.已知圆1C：()()2231xya−+−=()0a，圆2C：2243470xyxy+−−+=，则“两圆内切”是“1a=”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分

也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别求出两圆的圆心与半径，根据两圆内切可得半径之差的绝对值等于圆心距，求出a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】解：圆1C的圆心坐标为()3,1，半径为a，圆2C：()()2

22329xy−+−=，圆心坐标为()23,2，半径为3，()()2212233212CC=−+−=，两圆的半径差为3a−，由两圆内切，可得32a−=，解得1a=或25a=．∴“两圆内切”是“1a=”的必要不充分条件

．故选：C．8.已知数列na中，对任意*nN，12331nnaaaa++++=−，则2222123naaaa++++=（）A.()231−nB.()1314−nC.91n−D.()1912n−【答案】D【解析】【分析】利用1nnnaSS−=−求通项公式，判断出2na是等比数列，再进行求和

.【详解】∵12331nnaaaa++++=−①，∴1123131nnaaaa++++++=−②，②-①得113323nnnna++=−=，∴()1232nnan−=．当1n=时，11312a=−=，符合上式，∴123nna−=．∴2149nna−=，

∴214a=，2129nnaa+=，∴2na是以4为首项，9为公比的等比数列，∴()()2222123419191192nnnaaaa−++++==−−．故选：D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.如图所示，M是四面

体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，23ONOM=，设OAa=，OBb=，OCc=，则下列等式成立的是（）A.1122OMbc=−B.1133ANbca=+−C.113444APbca=−−D.1

11444OPabc=++【答案】BD【解析】【分析】由于,,abc不共面，可以作为基底，将,,,OMANAPOP表示出来即可.【详解】由图可知，()()1122OMOBOCbc=+=+，A错误；()22

11133233ANONOAOMOAbcabca=−=−=+−=+−，B正确；33111134433444APANbcabca==+−=+−，C错误；113111444444OPOAAPabcaabc=+=++−=++，D正确；故选：BD.10.已知数列{na}的前

n项和为211nSnn=−，则下列说法正确的是（）．A.na是递增数列B.na是递减数列C.122nan=-D.数列nS的最大项为5S和6S【答案】BCD【解析】【分析】根据211nSnn=−，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.【

详解】解：因为22111211124nSnnn=−=−−+，所以数列nS的最大项为5S和6S，故D正确；当1n=时，110a=，当2n时，由211nSnn=−，得()()211111nSnn−

=−−−，两式相减得：212nan=−+，又110a=，适合上式，所以212nan=−+，故C正确；因为120nnaa−−=−，所以na是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD11.若方程22131xytt+=−−所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误．．的是A.若C为椭

圆，则13tB.若C是双曲线，则其离心率有12eC.若C为双曲线，则3t或1tD.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t【答案】AD【解析】【分析】依次判断每个选项：2t=时A表示圆，错误；变形22131xytt−=−−，讨论1t和3t得到答案；讨

论1t和3t得到双曲线；12t时表示焦点在x轴上的椭圆，错误；得到答案.【详解】若2t=，方程22131xytt+=−−即为221xy+=，它表示圆，A错；对于选项B，若1t，则方程可变形为22131xytt−=−−，它表示焦点在x轴上的双曲线；1(3)22=1+122333tte

ttt−−−=+=+−−−，12e若3t，则方程可变形为22113yxtt−=−−，它表示焦点在y轴上的双曲线；3(1)22=1+122111ttettt−−−−=+=+−−−，12e，故B正确；对于选项C，若1t，则方程可变形为22131xytt−=−−，它表示焦点在x轴上的双

曲线；若3t，则方程可变形为22113yxtt−=−−，它表示焦点在y轴上的双曲线，故C正确；对于选项D，若23t，则031tt−−，故方程22131xytt+=−−表示焦点在y轴上的椭圆；若12t，则013tt−−，故22131xytt+=−−表示焦点在x轴上的椭

圆，则D错；故选：AD【点睛】本题考查了根据圆锥曲线的类型求参数，离心率的取值范围，意在考查学生的综合应用能力.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（）A.平面11ADP⊥平面1AAPB.多面体1CDPD

的体积为定值C.1APD△恒为锐角三角形D.直线1DP与BC所成的角可能为6【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据正方体结构特征，结合面面垂直的判定定理，可判断A正确；B选项，根据等体积法，由11CDPDPCDDVV−−=，结合三棱锥的体积公式，即可判断B

正确；C选项，通过特殊位置（如点P为1AB的中点），判断1APD△的形状，即可得C错；D选项，根据异面直线所成角的概念，作出异面直线所成角，求出角的正切值范围，即可判断D正确.【详解】对于A，∵在正方体1111ABCDABCD−中，有11AD⊥平面11AABB，则11AD⊥平面1AAP，因为1

1AD平面11ADP，∴平面11ADP⊥平面1AAP，故A正确；对于B，因为点P到平面1CDD的距离显然等于棱长，为1，所以111111111113326CDPDPCDDCDDVVS−−====V，即为定值；故B正确；对于C，当P为1AB的中点时，122APAP==，2

126122PD=+=，12AD=，此时22121APPDAD=+，即1APD△为直角三角形，故C错；对于D，因为11//ADBC，所以直线1DP与11AD所成的角即等于直线1DP与BC

所成的角，即为11ADP，又()1111111tan0,21ADAPAPADPAP===，3(0,2)3，∴11ADP可能为6，D正确；故选：ABD．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，

其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；三、填空题（本大

题共4小题，共20.0分）13.动点P与点()10,5F与点()20,5F−满足126PFPF−=，则点P的轨迹方程为__________．【答案】()2213916yxy−=−【解析】【分析】结合双曲线的定义求解即可.【详解

】解：由1212610PFPFFF−==知，点P的轨迹是以1F、2F为焦点的双曲线下支，得5c=，26a=，3a=，22216bca=−=，故动点P的轨迹方程是()2213916yxy−=−．故

答案为：()2213916yxy−=−．14.已知点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)ABC−−为空间三点,则以AB,AC为邻边的平行四边形ABDC的顶点D的坐标为_________．【答案】(1,2,8)−−【解析】【分析】设(,,)Dxy

z，利用ABCD=解方程即可.【详解】(2,1,3)AB=−−,设(,,)Dxyz,则(1,1,5)CDxyz=−+−由题知ABCD=,所以1=2+1=15=3xyz−−−−,即=1=2=8xyz−−所以(1,2,8)D−−故答案为：(1,2,8)−−15.在正项

等比数列{an}中，若15964aaa=，6a与7a的等差中项为12，则10a等于_______.【答案】128【解析】【分析】先根据条件利用等比数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得10a.【详解】设正项等比数

列{an}的公比为,0qq，由已知1593564aaaa==，得54a=，414aq=①，又6724aa+=，561124aqaq+=②，由①②得112,4qa==，99101121284aaq===故答案为

：128.16.如图，在四棱锥PABCD−中，已知底面ABCD是矩形，2AB=，ADa=，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PMCM⊥，则实数a的取值范围是______．【答案】01a【解析】【分析】利用直线与平面垂直的判定和性

质将问题转化为以DC为直径的圆与AB有交点可得答案.【详解】连接DM，如图：因为PD⊥平面ABCD，所以PDCM⊥。又PMCM⊥，且PDPMP=，所以CM⊥平面PDM，所以CMDM⊥，所以以DC为直径圆与AB有交点，所以01a

.故答案为：01a【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设数列na的前n项和为nS，

且22nSnn=+.（1）求数列na的通项公式；（2）记11nnnbaa+=，数列nb的前n项和为nT，求不等式17nT的解集.【答案】（1）21nan=+（2）1,2,3,4,5,6,7,8的【解析】【分析】（1）利用nS与

na的关系求解即可；（2）首先利用裂项求和得到69nnTn=+，从而得到1697nn+，再解不等式即可.【小问1详解】令1n=，则11123aS==+=，当2n时，()()2212(1)2121nnnaSSnnnnn−=−=+

−−+−=+，当1n=时，13a=也符合上式，即数列na的通项公式为21nan=+.【小问2详解】由（1）得21nan=+，则()()1111212322123nbnnnn==−++++，所以1111111111235572123232369nnTnnnn

=−+−++−=−=++++L故17nT可化为：1697nn+，故9n，故不等式17nT的解集为1,2,3,4,5,6,7,8.18.如图，在直三棱柱ABC-111ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，

14AA=（1）求证1ACBC⊥；（2）在AB上是否存在点D，使得1?ACCD⊥并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，CA、CB、1CC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz－，利用向量法能证明AC⊥BC.（2

）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设ADAB=uuuruuur，则利用向量法能求出在AB线上是否存在点D，使得AC1⊥CD.【小问1详解】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，AC､BC､CC1两两垂直，以C为坐标原

点，CA、CB、1CC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz－，如下图示：则()0,0,0C，()3,0,0A，()10,0,4C，()0,4,0B，()10,4,4B()3,0,0AC=−，()10,4,4BC=−，10ACBC=，1ACBC⊥，ACBC⊥.小问

2详解】假设在AB上存在点D，使得1ACCD⊥，利用上式所建的空间直角坐标系，设ADAB=uuuruuur，则()3,4,0AD=−，其中01≤≤，于是()33,4,0CDCAAD+=−=，又()13,0,4AC=−，由1ACCD⊥得：990−+=，解得1=，此时，ADAB

=.在AB上存在点D，使得1ACCD⊥，点D与点B重合.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.19.已知抛物线C：22(0)ypxp=经过点

（1，-1）.（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C上一动点P作圆M：22(2)1xy−+=的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.【【答案】（1）2yx=，焦点坐标为1,04；（2）32【解析】【分析】（1）将点()1,1-代入

抛物线方程求解出p的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；（2）设出P点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点的距离公式表示出PA，然后结合二次函数的性质求解出PA的最小值.【小问1详解】解：因为抛物线过点()1,1-，所以()212p−=，解得12p=

，所以抛物线C的方程为：2yx=，焦点坐标为1,04；【小问2详解】解：设()2,Ptt，因为PA为圆M的切线，所以PAAM⊥，1AM=，所以()()2222222422332013324PAPMAMttttt=−=−+−−=−+=−+

，所以当232t=时，四边形PA有最小值且最小值为32.20.已知数列na满足11a=()12212nnaann−=+−，数列nb满足23nnban=++.（Ⅰ）求证数列nb是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS.【答案】（Ⅰ）见证明；

（Ⅱ）123246nnSnn+=−−−【解析】【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义结合()112212nnaann−−=+−得出数列nb是等比数列（Ⅱ）数列na是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和nS.【详解】解：（Ⅰ）当1n=时，11a=，故16b=.,当2n时

，1221nnaan−=+−，则12322123nnnbanann−=++=+−++()()112212213nnanan−−=++=+−+，12nnbb−=，数列nb是首项为6，公比为2的等比数列.（Ⅱ

）由（Ⅰ）得32nnb=，23nnabn=−−3223nn=−−，()()232222123nnSnn=+++−+++−()()21231312nnnn−=−+−−，123246nnSnn+=−−−.

【点睛】（Ⅰ）证明数列nb是等比数列可利用定义法1,(0)nnbqqb-=?得出（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．21.已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=的右焦点F与抛物

线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交1C于A，B两点，交2C于C，D两点，且4||||3CDAB=．（1）求1C的离心率；（2）设M是1C与2C的公共点．若||5MF=，求1C与2C的标准方程．【答案

】（1）12；（2）2213627xy+=，212yx=．【解析】【分析】（1）由F为1C的焦点且ABx⊥轴，F为2C的焦点且CDx⊥轴，分别求得F的坐标和||AB，||CD，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；

（2）由（1）用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．【小问1详解】因为F为1C的焦点且ABx⊥轴，可得(c,0)F，22||bABa=，设2C标准方程

为22(0)ypxp=，的因为F为2C的焦点且CDx⊥轴，所以(,0)2pF，||2CDp=，因为4||||3CDAB=，1C，2C的焦点重合，所以224223pcbpa==，消去p，可得2843bca=，所以232acb=，所以22322acac=−

，设1C离心率为e，由cea=，则22320ee+−=，解得1(22e=−舍去），故1C的离心率为12；【小问2详解】由（1）可得2ac=，3bc=，2pc=，所以22122:143xyCcc+=，22:4Cycx=，联立两曲线方程，消去y，可得22316120xcxc+−=，

所以(32)(6)0xcxc−+=，解得23xc=或6xc=−（舍去），从而25||5233pMFxccc=+=+==，解得3c=，所以1C和2C的标准方程分别为2213627xy+=，212yx=．22.如图所示的几何体PABCDE−中，ABP和AEP

△均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，ABAE⊥，//ABCE，//AECD，24CDCEAB===，M为PD的中点.的（1）求证：CEPE⊥；（2）求二面角MCED−−的大小；（3）设N为线段PE上的动点，使得平面//ABN平面MCE，求线段AN的长.【答案】（1）证明见

解析；（2）45；（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出PAAB⊥，PAAE⊥，根据线面垂直的判定定理得出PA⊥平面ABCDE，则ABAE⊥，建立以A为原点，AB，AE，AP为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能证

明CEPE⊥；（2）求出平面MEC的法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角MCED−−的大小；（3）设PNPE→→=，[[0，1])，求出(0N，2，22)−，令ANn→→⊥，则0ANn→→=，解得

N为PE的中点，利用向量法能求出线段AN的长．【详解】解：依题意得，ABP和AEP△均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，则PAAB⊥，PAAE⊥，所以PA⊥面ABCDE，又ABAE⊥，可以建立以A为原点，分别以AB→，AE→，AP→的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空

间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A，()2,0,0B，()4,2,0C，()4,6,0D，()0,2,0E，()002P,,，()2,3,1M，（1）证明：由题意，()4,0,0CE→=−，()0,2,2PE→=−，因为0CEPE→→=，所以CEPE⊥.（2）解：()2,1,1ME→

=−−−，()2,1,1MC→=−−，设(),,nxyz→=为平面MEC的法向量，则00nMEnMC==，即2020xyzxyz−−−=−−=，不妨令1y=，可得()0,1,1n→=−，平面DEC的一个法向量()0,

0,2AP→=，因此有2cos,2nAPnAPnAP→→→→→→==−，由图可得二面角MCED−−为锐二面角，所以二面角MCED−−的大小为45.（3）解：（方法一）设()0,1PNPE→→=，(),,Nxyz，所以()(),,20,2,2xyz−=−，因

此()0,2,22N−，令ANn→→⊥，即0ANn→→=，解得12=，即N为PE的中点，因为//AB平面MCE，//AN平面MCE，ABANA=，所以当N为PE的中点时，平面//ABN平面MCE，此时即()0,1,1N，2220112

AN→=++=，所以线段AN的长为2.（方法二）设()0,1PNPE→→=，(),,Nxyz，所以()(),,20,2,2xyz−=−，因此()0,2,22N−，设(),,mxyz→=为平面ABN的法向量，则00mABmAN==，即()402220xyz

=+−=，不妨令1y=−，可得()0,1,m→=−，因为平面//ABN平面MCE，所以//mn→→，解得：12=，此时即()0,1,1N，2220112AN→=++=，所以线段AN的长为2.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求

出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．