【文档说明】专题06 二元一次方程（组）的实际应用（知识串讲）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）（解析版）.docx，共(43)页，896.795 KB，由管理员店铺上传

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专题06二元一次方程（组）的实际应用【考点串讲】【思维导图】二元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题⎯⎯⎯→分析抽象方程⎯⎯⎯→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．备注：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知

量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4

）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．◉考点1方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探

法选择方案，取小于（或大于）二元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．例．（2021·河南·商丘市第一中学一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共

100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【答案】A【解析】【分析】设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5060元，即可得出关于x

的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出该校共有6种不同的购买方式．【详解】解：设购买x个蓝色垃圾桶，则购买（100﹣x）个黑色垃圾桶，依题意得：60x+50（100﹣x）≤5060

，解得：x≤6．又∵x为正整数，∴x可以为1，2，3，4，5，6，∴该校共有6种不同的购买方式．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列不等式，进而求得整数解是解题的关键．专练1．（2022·河南·郑州外国语中学

八年级期末）李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（）种．A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】设购买A笔记本x本，购买B笔记本y本，先建立二元一次方程，再根据,xy均为正整数进行分析

即可得．【详解】解：设购买A笔记本x本，购买B笔记本y本，由题意得：61242xy+=，即27xy+=，因为,xy均为正整数，所以有以下三种购买方案：①当1x=，3y=时，1237+=，②当3x=，2y=时，3227+=，③当5x=，1y

=时，5217+=，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．专练2．（2022·山东泰安·二模）决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，己知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需

要950元．若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A、B两种树苗每棵各需要多少元？(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元．若购进这两种树苗共100棵，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树

苗可获工钱20元，种好这100棵树苗，怎样购买所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？【答案】(1)A100元，B50元(2)购进A种树苗50棵，B种树苗50棵所付工钱最少，最少工钱为2500元【解析】【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种

树苗每棵需y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得；（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100−m）棵，根据“A种树苗不能少于48棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76

50元”列不等式组求解方案，再分别计算费用即可．(1)设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据题意，得：8395056800xyxy+=+=，解得：10050xy==．答：购买

A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100−m）棵，根据题意，得：()501000100501007650mmmm−+−，解得：50≤m≤53，所以购买的方案有：1、购进A种树苗

50棵，B种树苗50棵，费用为50×30＋50×20＝2500元；2、购进A种树苗51棵，B种树苗49棵，费用为51×30＋49×20＝2510元；3、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵，费用为52×30＋48×2

0＝2520元；4、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵，费用为53×30＋47×20＝2530元；所以购进A种树苗50棵，B种树苗50棵所付工钱最少，最少工钱为2500元．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题

目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组．专练3．（2022·河北唐山·七年级期末）用方程（组）解决下列问题：王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买，三

次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数（个）总费用（元）第一次65700第二次37710第三次78693(1)王老师是第__________次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．(2)求足球和篮球的标价．(3)已知王老师打折购买的那一次足球打了七折，请直接写出篮球打了

几折？【答案】(1)三(2)足球的标价为50元，篮球的标价为80元；(3)篮球打了7折．【解析】【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元，根据前两次列出方程组求出x和y的

值；（3）设篮球打了m折，根据从该商场第三次购买足球和篮球的数量求出总费用，列出方程求解即可．(1)解：王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．理由：∵王老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一

次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买，故答案为：三；(2)解：设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得6570037710xyxy+=

+=解得=5080xy=答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元；(3)解：篮球打了7折，求解过程如下：设篮球打了m折，根据题意得50×70%×7＋80×10m×8＝693解得m＝7答：篮球打了7折．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设

出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和方程．◉考点2行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找

相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走

的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的

时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．例．（2022·江苏·七年级专题练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还

多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（）A．330千米B．170千米C．160千米D．150千米【答案】C【解析】【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一

列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答．【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y

千米，依题意得：()15221201120yxxy=+++=，解得：330170xy==，330170160−=，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．专练1．（202

1·全国·七年级课时练习）某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分钟；如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可提前30分钟到达乙超．则从甲地到乙地规定的时间为（）A．1小时B．2小时C．3小

时D．4小时【答案】B【解析】【分析】设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，由题意得303060305060yxyx=+=−，解得：275xy

==．故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．专练2．（2021·全国·八年级专题练习）某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟

，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离．【答案】140千米【解析】【分析】：设规定的时间为x小时，甲、乙两地的距离为y千米，根据以50千米/小时的速度行驶，会

迟到24分钟；以70千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组求解．【详解】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米.则由题意可得：245060247060xyxy+=−=解得125140xy==答：甲乙

两地间的距离为140千米.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．专练3．（2021·全国·八年级课时练习）一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小刚跑了1450m．此后两人分别以m/sa和m/sb匀速跑．又过100s时小刚追上小明，200s

时小刚到达终点，300s时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少米？【答案】这次越野赛跑的全程为2050米．【解析】【分析】根据两人的全程的距离相同可得出16003001450200ab+=+，再由当小明跑了1600m时，小刚跑了145

0m．此后两人分别以m/sa和m/sb匀速跑．又过100s时小刚追上小明，可以得到16001001450100ab+=+，解方程求出a、b的值，由此求解即可．【详解】解：根据题意，得1600100145010016003001450200aba

b+=++=+，解得：1.53ab==.所以160030016003001.52050a+=+=m．答：这次越野赛跑的全程为2050米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列

出方程求解．◉考点3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．例．（2021·全国·七年级专题练习）

甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（）A．320，360B．360，320C．300，380D．380，380【答案】A【解析】【分析】根据题意设原计划甲生产x个零

件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．【详解】解：设原计划甲生产x个

零件，乙生产y个零件，根据题意得：68020%15%118xyxy++＝＝，解得：320360xy＝＝，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找

出题中的等量关系是解答本题的关键．专练1．（2021·全国·七年级专题练习）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（）A．甲的工作效率最高B

．丙的工作效率最高C．c=3aD．b：c=3：2【答案】D【解析】【分析】将两式相减可得2ca=，从而判断C；然后求出3ba=，从而判断A、B和D．【详解】解：由题意可得：25abcbca+=+=①②①－②，得25acca−=−解得：2ca=，故C错误；将2ca=代入①，得22aba+=解

得：3ba=∴b＞c＞a∴乙的工作效率最高，故A、B错误；b：c=3a：2a=3：2，故D正确．故选D．【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决此题的关键．专练2．（2022·广西·富川瑶

族自治县第三中学模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？【答案】(

1)24(2)125【解析】【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=58x，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．(1)解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，则（15

-5）x+（15-2-5）y=15x，整理得10x+8y=15x，∴y=58x，∴15x58x=815245xx=，答：乙车间单独完成这批防护服需24天．(2)解：52001258=（套）答：乙车间平均每

天生产防护服125套．【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．专练3．（2021·云南昆明·七年级期末）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务

由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为1224、千米【解析】【分析】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为xy，千米，根据

题意列二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为xy，千米，由题意可得：365000.060.08xyxy+=+=，化简得3643120xyxy+=+=解得1224xy=

=答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为1224、千米．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键．◉考点4数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十

位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例．（2022·重庆十八中七年级期中）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】设原两位数的个位为,x十位为,y则这个两位数为10

,yx+所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10,xy+再列方程101045,xyyx+--=再求解方程的符合条件的正整数解即可.【详解】解：设原两位数的个位为,x十位为,y则这个两位数为10,yx+交换其个位数

与十位数的位置，所得新两位数为10,xy+则101045,xyyx+--=整理得：5,xy−=,xy为正整数，且09,09,xy<<<<94xyì=ï\í=ïî或83xy==或72xyì=ïí=ïî或61xy==所以这个两位数为：49,

38,27,16.故选C【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，正确的表示一个两位数是解本题的关键.专练1．（2021·山西临汾·七年级期中）小华告诉小明：我生日的月数和日数之和为

24，且日数恰好是月数的7倍，你猜我的生日是哪天？小华的生日应该是（）A．3月21日B．2月14日C．8月16日D．4月24日【答案】A【解析】【分析】设小华同学生日的月数为x，日数为y，根据“月数和日数之和为24，且日数恰好

是月数的7倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可求出结论．【详解】解：设小华同学生日的月数为x，日数为y，依题意，得：247xyyx+==，解得：321xy==，∴3月21日．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关

系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．专练2．（2019·四川师范大学附属中学八年级期中）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的

模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．【答案】2，9.【解析】【分析】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y，根据二阶幻圆的要求，列出方程

组，即可求解.【详解】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y．根据题意得：36746783114678yxy+++=++++++=+++，解得：29xy==，故答案是:2，9【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关

键.专练3．（2018·贵州遵义·七年级期末）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能

知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗？（1）设未知数，用代数式表示聪聪和他妈妈的年龄；（2）列方程解答．【答案】（1）聪聪的年龄为（10x+y）岁，妈妈的年龄为（10y+x）岁；（2）聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．【解析】【分析】（1）设聪聪的年龄为（10x+y

）岁，由聪聪的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，可得出妈妈的年龄；（2）根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可

得出结论．【详解】（1）设聪聪的年龄为（10x+y）岁，则妈妈的年龄为（10y+x）岁．（2）根据题意得：101012(10101)117yxxyxy++−=++++++=，解得：14xy==．答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．【点睛】本题

考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据聪聪及妈妈年龄间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．◉考点5年龄问题例．（2021·浙江杭州·七年级期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（）

A．甲比乙大6岁B．乙比甲大6岁C．甲比乙大4岁D．乙比甲大4岁【答案】C【解析】【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决．【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．

根据题意，得，()()820yxyxxy−−=+−=．解得，1612xy==．∴16124xy−=−=．故选：C【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键．专练1．（2020·云南昆明·模拟预测）10年前，小明妈妈的年

龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（）A．106(10)102(10)yxyx+=+−=−

B．106(10)102(10)yxyx−=−+=+C．106(10)102(10)yxyx−=++=−D．102(10)106(10)yxyx−=−+=+【答案】B【解析】【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十

年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．【详解】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．由题意得，106(10)102(10)yxyx−=−+=+，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读

懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．专练2．（2022·云南·云大附中七年级期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年

龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初

中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【解析】【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的

年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．(1)设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．()()4139540xyyx−+−=−=．解得：3676xy==答：今年小

明的爸爸36岁，爷爷76岁；(2)202236152001−+=（年）202276151961−+=（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．专练3．（2020·重庆市蜀都

中学校七年级阶段练习）小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．【解析】【分析】

设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁

，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，根据题意得，12012120xyxyyxxyy−−=++−=−−−，解得1440xy==，∴120–x–y=66．答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年

龄为66岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．◉考点6分配问题例．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期中）明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，

每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为（）A．83000xyxy+==B．355.5xyxy+==C．83

00053xyxy+==D．8300035xyxy+==【答案】D【解析】【分析】设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，由题意得8300035xyxy+==，进而可得答案．【详解】解：

设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，由题意得8300035xyxy+==．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意列方程组．专练1．（2021·广东·东莞市长

安实验中学七年级期中）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．5215036100xyxy+=+=B．5215036100xyyx+=+=C．5315026100xyyx+

=+=D．5315026100xyxy+=+=【答案】D【解析】【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：5315026100xyxy+=+=，故选：D．【点睛】本题

考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．专练2．（2022·福建省福州第十九中学七年级期中）2021月9月以来，我省闽南地区疫情操发．“一方有难，八方支援”，福州市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重

的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）48B型货车的辆数（单位：辆）53累计运输物资的吨数（单位：吨）5276备注：第一批、第二批每辆货车均满载(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？(2)福州市第三批又联系了3辆A种型号货车，9辆B型号货车，所有车

辆均满载的情况下．问第三批共能运多少吨的生活物资？【答案】(1)8，4(2)60【解析】【分析】（1）设A型货车每辆装载x吨，B型货车每辆装载y吨，列出方程，求解即可；（2）根据第一问的结论，结合第二问的数据即可求出答案．(1)解：设A型

货车每辆装载x吨，B型货车每辆装载y吨，根据题意，列出方程：45528376xyxy+=+=，解得84xy==，答：A型货车每辆装载8吨，B型货车每辆装载4吨；(2)3辆A种型号货车，9辆B型号货车均满载，则3×8

＋9×4=60吨，答：第三批共能运60吨生活物资．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理清题意，列出方程组是解题的关键．专练3（2021·四川凉山·七年级期末）为支援抗击新冠肺炎疫情前线，某省红十字会采购甲、

乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为4万元/吨，乙物资单价为3万元/吨，采购两种物资共花费1920万元．(1)求甲、乙两种物资各采购了多少吨？(2)现在计划安排A，B两种不同型号的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙

物资7吨可装满一辆B型卡车。按此要求安排A、B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？【答案】(1)甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨(2)共有3种运输方案，方案一：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案二：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案三：安

排27辆A型卡车，23辆B型卡车【解析】【分析】（1）根据实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”四步，根据题意按要求求解即可；（2）根据题意列出不等式组求出m，进而得出三种不同方案．(1)解：设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，依题意得：540431920xyxy+=+

=，解得300240xy==，答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；(2)解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50－m）辆，依题意得：()()75503003750240mmmm+−

+−，解得125272m，∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案：方案一：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案二：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案三：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．【点睛】本

题考查实际应用题的求解，解题的关键是读懂题意，列出相应的数学表达式：第一问是找到等量关系列二元一次方程组；第二问是找到不等关系列一元一次不等式组．◉考点7销售利润问题（1）=100%利润利润率进价(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标

价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）某商场购

进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原销售价之和为490元，设两种商品的进价分别为x、y元，根据题意所列方程组为（）A．4900.71.40.91.4399xyxy+=+=B．399

0.71.40.91.4499xyxy+=+=C．1.41.44900.71.40.91.4399xyxy+=+=D．1.41.43990.71.40.91.4490xyxy+=+=【答案】C【解析】【分析】设两种商品的进价分别为x

、y元，根据等量关系：两种商品原销售价之和为490元，七折和九折，共付款399元，列方程组1.41,44900.71.40.91,4399xyxy+=+=即可．【详解】解：设两种商品的进价分别为x、y元，两种商品的售价分别为（1+40%）x=1.4x，(1

+40%)y=1,4y，∵两种商品原销售价之和为490元，∴1.4x+1,4y=490，两种商品优惠促销价分别为0.7×1.4x，0.9×1,4y，∴0.7×1.4x+0.9×1,4y=399，∴列方程组得1.41,44

900.71.40.91,4399xyxy+=+=，故选择C．【点睛】本题考查列二元一次方程组解销售问题应用题，掌握列方程组的方法，抓住等量关系是解题关键．专练1．（2021·福建龙岩·七年级期末）根据以下对话，可以求得嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是（）嫒嫒，你上周买的笔和笔记本的价格

是多少啊？哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱．A．0.8元/支，2.6元/本B．0.8元/支，3.6元/本C．1.2元/支，2.6元/本D．1.2元/支，3.6元/本【答案】D【

解析】【分析】设1支笔的价格是x元，1本笔记本的价格是y元，根据题意可得，买了5支比和10本笔记本共花42元钱，买10支笔和5本笔记本共花30元钱，列方程组求解．【详解】解：设1支笔的价格是x元，1本笔记本的价格是y元，根据题意得：5104210530

xyxy+=+=，解得：1.23.6xy==．即：嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是1.2元，3.6元．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求

解．专练2．（2022·河北唐山·一模）某班开展了环保知识竞赛，学习委员为班级购买奖品后与班长对话如下：(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么学习委员搞错了；(2)学习委员拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价己模糊不清，只能认出单价是小于10的整数，那么笔记

本的单价可能是多少元？【答案】(1)见解析(2)笔记本的单价可能是2元或6元．【解析】【分析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100-x）支，根据总共的费用为（1300-378）元列方程解答即可；（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1

300-378）元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．(1)解：设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100-x）支，根据题意，得：6x+10（100-x）=1300-378，解得x=19.

5，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；(2)解：设笔记本的单价为a元，根据题意，得：6x+10（100-x）+a=1300-378，整理，得：x=14a+392，因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，∵x取整数，∴x=20，21，当x=2

0时，a=4×20-78=2，当x=21时，a=4×21-78=6，所以笔记本的单价可能是2元或6元．【点睛】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用、二元一次不定方程解实际问题的运用，理清题意，找出相应的等量关系是解答本题的关键．专练3．（2022·山东

济南·二模）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买2个小套装和购买1个大套装，

共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元．(1)求这两种套装的单价分别为多少元？(2)太原市某校计划用不多于1350元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？【答案】(1)小套装单价50元，大套装单价1

20元；(2)最多可以购买5个大套装【解析】【分析】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据“购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价；（2）设该校购买大套装m个，则

购买小套装（20﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于1350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量．(1)）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，依题意得：222032390xyxy+=+=，

解得：50120xy==．答：小套装的单价为50元，大套装的单价为120元．(2)设该校购买大套装m个，则购买小套装（20﹣m）个，依题意得：120m＋50（20﹣m）≤1350·，解得：m≤5．∴m的最大值为5．答：该校最多可以购买大套装5个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以

及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．◉考点8和差倍分（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低

量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例．（2020·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）洋洋在33方格中填入了一些表示数的代数式，表格中各行、各列以及对角线上的三个数之和都相等，则xy−的值为（

）2x6xy-20A．4B．－4C．6D．－6【答案】D【解析】【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的一元一次方程或二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论．【详解】解：依题意得：2062xxx++

=+−解得2x=把2x=代入6220xy+−=−+解得8y=所以286xy−=−=−故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．专练1．（2021·全国·七年级专题练习）某年级学生共有246人，其中男生

人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（）A．24622xyyx+==−B．24622xyxy+==+C．24622xyyx+==−D．2462+2xyyx+==【答案】C【解析】【分析】设

女生人数为x，男生人数为y，根据共有学生246人，男生人数y比女生人数x的2倍少2人，列方程组即可．【详解】解：设设女生人数为x，男生人数为y，由题意得：24622xyyx+==−，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本

题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组．专练2．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室七年级期中）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇

德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)列二元一次方程组．．．．．．．解决下列问题：若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为

81分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定多赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】(1)该参赛同学一共答对了21道题．

(2)参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．【解析】【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，答错了y道题，根据总得分4=答对题目数1−答错题目数，答对的题与答错的题总数为24，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设参赛者需

答对a道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25)a−道题，根据总得分4=答对题目数1−答错题目数，结合总得分大于或等于92分，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．(1)解：设该参赛同学一共答对了x

道题，答错了y道题，由题意得：24481xyxy+=−=，解得：213xy==；答：该参赛同学一共答对了21道题．(2)解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25)a−道题，依题意得：4(25)92a

a−−，解得：23.4a．答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等

式．专练3．（2022·陕西榆林·一模）北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家．某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板若购买2副A

种滑雪板和1副B种滑雪板共需340元；若购买3副A种滑雪板和2副B种滑雪板共需570元．求1副A种滑雪板和1副B种滑雪板各是多少元？【答案】A种滑雪板每副110元，B种滑雪板每副120元．【解析】【分析】设A种滑雪板每副x元，B种滑雪板每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程

组即可．【详解】解：设A种滑雪板每副x元，B种滑雪板每副y元，依题意得：234032570xyxy+=+=，解得：110120xy==，答：A种滑雪板每副110元，B种滑雪板每副120元．【点

睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，正确列出二元一次方程组并正确解出方程组是解题的关键．◉考点9几何问题例．（2022·河南新乡·二模）如图，在长为50米．宽为30米的矩形方地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全相同的小矩形

草坪，问：小矩形草坪的长和宽各为多少米？设小矩形草坪的长为x米，宽为y米，则可列方程组为（）A．250,230xyxy+=+=B．350,230xyxy−=+=C．250,230xyyx+=+=

D．30,250xyxy+=+=【答案】A【解析】【分析】设小矩形草坪的长为x米，宽为y米，由图中两个宽加一个长为50米，两个长加一个宽为30米列方程即可．【详解】解：设小矩形草坪的长为x米，宽为

y米，由题意得250230xyxy+=+=，故选：A．【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形是解题的关键．专练1．（2022·河北石家庄·一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余

的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形．．．．．．的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V甲和V乙．下列说法正确的是：（）A．VV甲乙B．VV=甲乙C．VV甲乙D．无法判断【答

案】A【解析】【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，则48214aab=+=，求出,ab的值，然后求体积即可；同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可．【详解】解：由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b则4

8214aab=+=解得210ab==∴221040V==甲设乙方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b则221428abab+=+=解得61ab==∴66136V==乙∵4036∴VV

甲乙故选A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用．解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长．专练2．（2022·安徽·模拟预测）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放

的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，求每块墙砖的截面面积．【答案】每块墙砖的截面面积是2525cm．【解析】【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为𝑦𝑐𝑚，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm”列方程组求解可得．【详解】解：

设每块墙砖截面的长为xcm，宽为𝑦𝑐𝑚．根据题意，得1032240xyxy+==+，解得3515xy==，每块墙砖的截面面积是23515525cm=．答：每块墙砖的截面积是2525cm．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等

关系列方程组是解题的关键．专练3．（2021·湖南·张家界市民族中学七年级期中）如图，在长为5m，宽为4m的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃阴影部分求其中一个小长方形的长和

宽．【答案】长为2米，宽为1米【解析】【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=5m，小矩形的2个宽+一个长=4m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，依题意有：2524xyxy+=+=，解得：21xy==，∴

小长方形的长为2米，宽为1米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．◉考点10表格问题例．（2020·浙江·七年级期中）为奖励校学养节表现优异的同学，张老师

打算买8支单价相同的钢笔和6本单价相同的笔记本作为奖励，她与售货员的对话如下，则买一支钢笔和一本笔记本应付（）老师：您好，我要买8支钢笔和6本笔记本．售货员：好的，那您应付款l90元．老师：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付160元．A．

22元B．25元C．27元D．30元【答案】B【解析】【分析】设购买1支钢笔应付x元，1本笔记本应付y元，根据题意可得方程组，进而求出x+y的值．【详解】解：设购买1支钢笔应付x元，1本笔记本应付y元，根据题意得8619068160xyxy+=+=，解得14x+14y=350

，即x+y=25，所以在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付25元，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．专练

1．（2022·湖北宜昌·九年级期中）踩高跷又称为“扎高脚”“缚柴脚”，如图是一位演员踩着长度为身高一半的高跷，脚踏处距高跷顶端28cm，演员踩在高跷上时，“身高”为224cm．设演员的身高为cmx，高跷的长度为cmy，则下列方程组正确的是（）A．()

228224xyxy=−+=B．2224yxxy=+=C．2224xyxy=+=D．()228224yxxy=−+=【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：长木跷长度恰好是其身高一半；身高

-28cm+长木跷的长度=224cm，然后再列出方程组即可．【详解】解：由题意得：2(28)224xyxy=−+=，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

专练2．（2021·云南·昆明八中七年级期中）如图，九宫格中填写了一些代数式和数，在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等．xy32yx−-32（1）请你求出x，y的值；（2）填写九宫格中的另外三个数字．【答案】（1）x=-2，y=1；（2）见解析【解析】【分析

】（1）根据每行3个数、每列3个数和斜对角的3个数之和均相等，可得出方程组，解出即可；（2）根据（1）的结果，填写表格即可．【详解】解：（1）由题意得：()()()232322232yxxxyyxyx−−+=++++−=+−+−，解得：21xy=−=；（2）根据题意填表如下：05x

-1y32yx−-32【点睛】此题考查了有理数的加法，理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”，从而列出关于x、y的二元一次方程组，使问题得解．专练3．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）

“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：A型车销售量（辆）B型车销售量（辆）总利润（元）第一周10122240第二周20153400（

1）求a，b的值；（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）a的值为80，b的值为

120；（2）售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元【解析】【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值；（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售

出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各销售方案，再利用总利润＝每辆的利润×销售数

量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．【详解】解：（1）依题意得：1012224020153400abab+=+=，解得：8

0120ab==，答：a的值为80，b的值为120；（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，依题意得：25251.5xxxx−−，解得：10≤x＜12.5，∵x为整数，∴x可以为10，11，12．当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋

15×120＝2600（元）；当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）；当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）．∵2600＞2560＞2520，∴该专卖店售出A型车1

0辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．◉考点11古代问题例．（2022·贵州遵义·一模）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算

筹图表示的是关于x，y的方程组2327419xyxy+=+=，则图2所示的算筹图表示的方程组是（）A．28123223xyxy+=+=，B．23123223yxyx+=+=，C．231232

23xyxy+=+=，D．28273219xyxy+=+=，【答案】A【解析】【分析】由图1前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．【详解】根

据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：28123223xyxy+=+=，故选A【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法．专练1．（2022·广西河池

·一模）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组是（）A．

4.521xyxy−=−=B．4.5112xyyx−=−=C．4.5112yxxy−=−=D．4.521xyyx−=−=【答案】B【解析】【分析】设绳子长x尺，木长y尺，根据“

用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得：4.5112xyyx−=−=．故选：B【点睛】本题主

要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．专练2．（2022·陕西西安·二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意

是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？【答案】有13个盗贼，84匹绢【解析】【分析】设现在有x人，则有绢y匹，根据“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹”

列出方程组即可．【详解】解：设有x个盗贼，y匹绢，根据题意得6677yxyx=+=−解得1384xy==答：有13个盗贼，84匹绢．【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组，难度不大．专练3．（2021·上海·复旦

二附中期末）《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的12，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的23，则乙的钱数也能为50，问甲

、乙各有多少钱？【答案】甲有37.5钱，乙有25钱【解析】【分析】设甲有x钱，乙有y钱，根据题意，列出方程组，即可求解．【详解】解：设甲有x钱，乙有y钱，依题意得：15022503xyxy+=+=，解得：37.525xy==答：甲有37.5钱，乙有25钱

．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．◉考点12其他问题例．（2021·全国·八年级单元测试）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（）A．6

B．8C．10D．12【答案】D【解析】【分析】设甲组人数为x人，乙组人数为y人，根据题意列出方程组，解方程组即可得．【详解】解：设甲组人数为x人，乙组人数为y人，由题意得：()218862xyxy=−=++①②，将①代入②得：()128862yy−=++，解得12y=，即原来乙

组的人数为12人，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．专练1．（2021·山东烟台·七年级期末）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块枣糕的重量相等且每个蛋挞的重量也相等，则每块枣糕和每个蛋挞的重量相差（）A．8gB．6gC．5gD．4g

【答案】D【解析】【分析】设枣糕的重量为xg，蛋挞的重量为yg，由图形可累二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设枣糕的重量为xg，蛋挞的重量为yg，由题意得3220xyxy=+=，解得812xy==，∴y﹣x＝12﹣8＝4（g），故选：D．【点睛】本题主要考查二元一次

方程组的应用，找准等量关系是解题的关键．专练2．（2022·广东·东莞市东莞中学松山湖学校一模）《镜花缘》是我国的著名小说，书中有一道这样的算题，在一座小楼上挂满灯球，如下图，甲种灯球上做了3个大球，下缀6

个小球；乙种灯球上做了3个大球，下缀18个小球．大灯球共396个，小灯球共1440个．(1)求甲乙两种灯球分别多少个；(2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球的个数不少于乙种灯球的个数2倍，问最少购买多少个甲

种灯球．【答案】(1)甲乙两种灯球分别78个、54个(2)最少购买20个甲种灯球【解析】【分析】（1）设甲乙两种灯球分别x个、y个，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解；（2）设购买a个甲种灯球，根据题意，列出一元一次不等式，即可求解．(1)解：设甲、乙两种灯球分别x个、y个，根

据题意，得：333966181440xyxy+=+=，解得78{54xy==，答：甲乙两种灯球分别78个、54个．(2)解：设购买a个甲种灯球，根据题意，得：2(30)aa−，解得20a．答：最少购买20个甲种灯球．【点睛】本题主要考查了二元一

次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用．专练3．（2022·山西太原·一模）北京冬奥会和冬残奥会期间，吉祥物冰嫩嫩和雪融融成了名副其实的国民顶流．最近，小李从某网站上发现正在预售A，B两种印有吉祥物图案的挂件．如果定购3件A种挂件和2件B种挂件，需支付360元；如果定购2件A种挂件和3件B

种挂件，需支付370元．求这两种挂件每件的售价．【答案】A种挂件每件的售价为68元，B种挂件每件的售价为78元【解析】【分析】设A种挂件每件的售价为x元，B种挂件每件的售价为y元，根据“定购3件A种挂件和2件B种挂件，需支付360元；如

果定购2件A种挂件和3件B种挂件，需支付370元”建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设A种挂件每件的售价为x元，B种挂件每件的售价为y元，由题意得：3236023370xyxy+=+=，解得6878xy==，答：A种挂件每件的售价为68元，B种挂件每件

的售价为78元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com