【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高二下学期第一学月考数学（文）试题 含解析.docx，共(18)页，1.572 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中2022-2023学年高二（下）第一学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回.第I卷选择题（60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“32R,10xxx−+”的否定是（）A.32R,10xxx−+B.32R,10xxx−+C.32R,10xxx−+D.不存在Rx，3

210xx−+【答案】B【解析】【分析】直接利用存在性命题的否定解答即可.【详解】根据存在性命题的否定知，命题32,10xRxx−+的否定是32,10xRxx−+.故选：B2.用系统抽样的方法从400名学生中抽取容量为16的样本，将400名学生编号为1至4

00，按编号顺序分组，若在第1组抽出的号码为12，则在第2组抽出的号码为（）A.26B.28C.33D.37【答案】D【解析】【分析】先求得组距，再根据第1组的号码求解.【详解】组距：4002516=，所以第2组抽出来的号码应该为12+25=37．故选：D3.双曲线2214

xy−=的焦点坐标为（）A.(3,0)，(3,0)−B.(0,3),(0,3)−C.(0,5),(0,5)−D.(5,0),(5,0)−【答案】D【解析】【分析】求出c的值，即可得解.【详解】在双曲线2214xy−=中，2

a=，1b=，则225cab=+=.因此，双曲线2214xy−=的焦点坐标为()5,0、()5,0−.故选：D.4.顶点在原点且以直线32x=为准线的抛物线的方程是（）A.26yx=B.26yx=−C.26xy=D.

26xy=−【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：22(0)ypxp=−，依题意可求p的值，从而可得答案．【详解】解：依题意，设抛物线的方程为：22(0)ypxp=−，准线方程为32x=，322

p=，3p=，抛物线的方程是26yx=−．故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，设出方程22(0)ypxp=−是关键，属于基础题.5.某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间的关系如下：x-2-1012y5?221通过上面的五组

数据得到了x与y之间的线性回归方程:ˆ2.8yx=−+，但是现在丢失了一个数据，该数据应为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据表格中数据，求得数据的样本中心10(0,)5a+，代

入回归方程，即可求解.【详解】设表格中丢失的数据为a，根据表格中的数据，可得2101205x−−+++==，52211055aay+++++==，即样本中心为，代入回归方程:ˆ2.8yx=−+，可得1002.85a+=+，解得4a=.故选：B.6.函数()3211yx=−+在=1x

−处（）A.有极大值B.无极值C.有极小值D.无法确定极值情况【答案】B【解析】【分析】求出导函数，利用导数与极值的关系即可求解.【详解】()3211yx=−+，则()22231yxx=−，令0y，解得0x，令0y，解得0x，令0y=，0x=或1x=

，所以函数在()0,+单调递增；在(),0−单调递减，所以在=1x−处无极值.故选：B的7.已知圆221:4Cxy+=和圆()222:2600Cxyaya++−=的公共弦长为2，则实数a的值为（）A.33B.3C.22D.2【答案】A【解析】【分析】本题首先可以确定圆1C和圆2

C圆心与半径，然后求出圆1C和圆2C的公共弦方程，最后通过公共弦长为2得出222121a骣琪-=琪桫，通过计算即可得出结果.【详解】圆221:4Cxy+=的圆心()10,0C，半径12r=，圆222:260Cxyay++−=即()222

6xyaa++=+，圆心()20,Ca−，半径226ra=+，圆1C和圆2C的公共弦方程为()2222264xyxyay+−++−=，即1ya=，圆心()10,0C到1ya=的距离为1a，因为公共弦长为2，所以222121a骣琪-=琪桫，解得33a=或

33−（舍去），故选：A.【点睛】关键点点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及圆心到公共弦的距离，利用两个圆的公共弦长以及勾股定理即可求出a的值.8.已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的右焦点为()4,0

F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为()1,1-，则E的方程为（）A.2214816xy+=B.2213612xy+=C.221248xy+=D.221124xy+=【答案】C【解析】的【分析】采用点差法并结合椭圆中,,abc关系，即可求解.【详解】设()()1122,,,Ax

yBxy，则有2211221xyab+=①，2222221xyab+=②，两式作差可得：2222122122xxyyab−−=，即2212122121yyyybxxxxa−+=−−+，又12122,2yyxx+=−+=，故2222ABbka−=−，()011

413ABk−−==−，所以2213ba=，又2224,cabc==+，解得228,24ba==，故E的方程为221248xy+=.故选：C9.已知函数()21exfx−=,直线l过点()0,e−且与曲线()yfx=相切,则

切点的横坐标为A.1−B.1C.2D.1e−【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，﹣e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．【详解】由f（x）＝e2x﹣

1，得f′（x）＝2e2x﹣1，设切点为（02x10xe−，），则f′（x0）02x12e−=，∴曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为y002x12x1e2e−−−=（x﹣0x）．把点（0，﹣e）代入，得﹣e002x12x10e2xe−−−=−，即()02x10e2x

1e−−=，两边取对数，得（02x1−）+ln（02x1−）﹣1＝0．令g（x）＝（2x﹣1）+ln（2x﹣1）﹣1，显然函数g（x）为（12，+∞）上的增函数，又g（1）＝0，∴x＝1，即0x＝1．故选B．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，

考查函数零点的判定及应用，是中档题．10.已知点,,,PABC在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，ABAC⊥，5PA=，3BC=，则该球的表面积为A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是

长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积．【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为()()225+322=，故球的表面积为()2228=，故选B．【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可

解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．11.已知函数()1lnafxxx=−+，若存在00x，使得()00fx有解，则实数a的取值范围是（）A.2aB.3aC.1a

D.3a【答案】C【解析】【分析】存在00x，使得()00fx有解可转化成lnaxxx−在()0,+有解，令()lnhxxxx=−，利用导数求出()hx的最大值，即可得到答案【详解】解：若存在00x，使得()00fx有解，则()1ln0afxxx=−+在()0,+有解，即

lnaxxx−在()0,+有解，设()lnhxxxx=−，则()lnhxx=−，由()0hx得ln0x−，得01x，此时函数()hx递增，由()0hx得ln0x−，即1x，此时函数()hx递减，即当1x=时，函数()hx取得极大值也为最大值()

11ln11h=−=，即()1hx，若lnaxxx−有解，则1a，故选：C.12.若()2loglnabeeba−=−，则（）A.2abB.2a>bC.2abD.2a<b【答案】A【解析】【分析】依题意得

到lnlnabab++，构造函数()lnxfxx=+，可得()fx在(0,)+上是增函数.进而可得ab，从而2ab.【详解】因为2ln()111log()lnlnlnlnlnln2222eebebaab

aba−=−=+−=+−，所以1lnln2abba−=+−，即1lnln2abab+=++，所以lnlnabab++.令()ln(0)xfxxx=+，因为xy=和lnyx=在(0,)+上都是增函数，所以函数()ln

xfxx=+在(0,)+上是增函数.所以ab，从而2ab.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：得到lnlnabab++之后，构造函数()lnxfxx=+，并且得到()fx在(0,)+上是增函数.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

．13.椭圆2213xy+=两焦点之间的距离为______.【答案】22【解析】【分析】求出椭圆的焦距即可.【详解】由题得2312,2,222ccc=−===.故答案为：22.【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平.14.设()fx为可导函数，且满足()()0113lim1xffxx→−−=，则曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线的斜率是______.【答案】13【解析】【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的

值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率【详解】解：因为()()0113lim1xffxx→−−=，所以()()01133lim13xffxx→−−=，所以()()01131lim33xffxx→−−=，所以'1(1)3f=，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线

的斜率为13，故答案为：13【点睛】此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题15.如图，在直角ABC中，π3A=，若过直角顶点C在ACB△内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则CMA是锐角的概率为____

_______.【答案】23【解析】【分析】根据已知条件知此题是与角度有关的几何概型题，利用几何概型的计算公式即可求解.【详解】由题意可知，试验的全部结果所构成的角度为“射线CM在ACB扫过的角度”即为A

CB，过C作0CMAB⊥交于点0M，如图所示事件CMA是锐角为“射线CM在0MCB扫过的角度”即为0MCB，由几何概型的计算公式知，π3A=，π6B=，π2ACB=，0ππ23MCBB=−=所以CMA是锐角的概

率0π23π32MCBPACB===.故答案为：23.16.已知函数()2ln2fxxxaxx=−−有两个极值点，则实数a的取值范围是______.【答案】10,e【解析】【分析】由函数()fx有两个极值点，对()fx求导，设出新函数()ln

tgtt=，讨论新函数的单调性及值域，即可得到实数a的取值范围.【详解】由题意，在()()2ln2fxxxaxx=−−中，()fx有两个极值点，∴()ln220fxxax−==有两个不相等的实数根，∴关

于x的方程()ln22xax=有两个不相等的实数根，记20tx=，设()lntgtt=，则直线ya=与函数()gt的图象有两个不同的交点.在()lntgtt=中，()21lntgtt−=，令()0gt=，得et=，当0et时，()0gt；当et时，()0

gt.∴()lntgtt=在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，∴()()max1eegtg==，易知()10g=，当0t+→时，()gt→−，当t→+时，()0gt→，作出函数()gt

的大致图象如图所示，数形结合可得10ea，∴实数a的取值范围是10,e，故答案为：10,e.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2

222xtyt==（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为4cos2sin=+．（1）求1C的极坐标方程与2C的直角坐标方程；（2）设点P的极坐标为7(22,)4，1C与2C相交于,AB

两点,求PAB的面积.【答案】（1）()4R=，22(2)(1)5xy−+−=（2）6PABS=【解析】【分析】（1）由曲线1C表示过原点，且倾斜角为4的直线，即可直接写出其极坐标方程；由极坐标方程与直角坐标

方程的互化，即可求出曲线2C的直角坐标方程；（2）将直线极坐标方程代入曲线2C的极坐标方程，即可求出AB，进而可求出PAB的面积.【详解】解：（1）曲线1C表示过原点，且倾斜角为4的直线,从而其极坐标方程()4R=.由4cos2sin=+

得24cos2sin=+，得2242xyxy+=+，即曲线2C的直角坐标方程为()()22215xy−+−=．（2）将4=代入曲线2C的极坐标方程4cos2sin=+，得32=，故32AB=，因为点P的极坐标为7π22,4

，所以点P到AB的距离为22，所以1322262PABS==【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可求解；考查由极坐标的方法求弦长的问题，联立直线的极坐标方程和曲线2C的极坐标方程，即可求解，属于基础题型.18.已知函数()331fxxx=−+．（1）求函

数()fx的单调区间；（2）求()yfx=在3,1−上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间(1,)+，(,1)−−，单调递减区间1,1−；（2）最大值3，最小值17−．【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合函

数单调性即可求解函数的最值．【详解】解：（1）因为()331fxxx=−+所以2()333(1)(1)fxxxx=−=−+，当1x或1x−时，()0fx，当11x−时，()0fx，故函数的单调递增区间(1,)

+，(,1)−−，单调递减区间1,1−；（2）结合（1）可知，()fx在3,1−−上单调递增，在(1,1−上单调递减，又()13f−=，()13f=−，()317f−=−，故函数在3,1−上的最大值3，最小值17−．19.某新能源汽车制造公司，为

鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.（1）估

计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到0.01）；（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下，预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？月份元月2月3月4月5月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7参

考公式：()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−【答案】（1）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元（2）预测该

品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合平均数和中位数的公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，再将7x=代

入上式的线性回归方程中，即可求解.【小问1详解】因为直方图的组距为1，则各组频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为：0.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.0.53.155x++++==+万元.因为0.10.3

0.50.10.30.3+++，所以中位数在区间()3,4内，设中位数为3x+，则有0.10.30.30.5x++=，解得10.333x=，所以中位数的估计值为3.33万元.【小问2详解】记()1,2,3,4

,5ixii==，123450.5,0.6,1.0,1.4,1.7yyyyy=====，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系，因为1234535x++++==，0.50.61.01.41.71.045y++++==，则有：10.51.235.68.518.8niiixy==+

+++=，21149162555niix==++++=，所以18.8531.040.325559b−==−，1.040.3230.08a=−=，所以回归直线方程为0.320.08yx=+，当6x=时，0.3260.082y=

+=，所以预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆.20.底面ABCD为菱形且侧棱⊥AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DADHDB===，3AECG==.（1）求证：EGDF⊥；（2）求三棱锥FBEG−的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）833【解析】【分析】（1）证明EG⊥平面BDHF即可（2）首先证明四边形EFGH为平行四边形，然后可得到2BF=，然后证明//EA平面BCGF，然后利用FBEGEBGFAB

GFVVV−−−==算出即可【详解】（1）证明：连接AC，由//AECG可知四边形AEGC为平行四边形，所以//EGAC.由题意易知ACBD⊥，ACBF⊥，所以EGBD⊥，EGBF⊥，因为BDBFB=，所以EG⊥平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF

⊥.（2）设ACBDO=，EGHFP=，由已知可得：平面//ADHE平面BCGF，因为平面ADHE平面EFGHEH=，平面BCGF平面EFGHFG=，所以//EHFG，同理可得：//EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，

所以//OPAE，所以3OP=，4DH=，所以2BF=.所以142BFGSBFBC==.因为//EAFB，FB平面BCGF，EA女平面BCGF，所以//EA平面BCGF，所以点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BC

GF的距离，为23.所以1832333FBEGEBGFABGFBFGVVVS−−−====.【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=，短轴长为23，离心率为105，

直线()1ykx=−与椭圆C交于不同的两点M，N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点()2,0A，且AMN的面积为51019，求k的值.【答案】（Ⅰ）22153xy+=；（Ⅱ）22k=.【解析】【分析】（Ⅰ）根据短轴长、

离心率以及222abc=+列方程组，解方程组求得,,abc的值，进而求得椭圆方程.（Ⅱ）联立直线()1ykx=−的方程和椭圆的方程，写出判别式、韦达定理，利用AMN的面积列方程，解方程求得k的值.【详解】（Ⅰ）由题意得222223105bca

abc===+，解得3,5,2bac===，所以椭圆C的方程为22153xy+=.（Ⅱ）方法1：由2211153xykxy=++=得22365120yykk++−=.所以判别式236004k=+，121222

612,3355kyyyykk+=−=−++，设点M，N的坐标分别为()11,xy，()22,xy，所以()2212121223604435kyyyyyyk+−=+−=+，由AMN的面积()121211510212

219Syyyy=−−=−=，即223604151032195kk+=+，令234tk=+，4t，得34119tt=+，整理，得234293340tt−+=，解得172t=或217t=（舍），则231742k+=，223k=，故63k=.方法2

：由()221153ykxxy=−+=得()222235105150kxkxk+−+−=.所以判别式()()()222210435515kkk=−−+−()2224018060430kk=+=+，设点M，N坐标

分别为()11,xy，()22,xy，所以222226043113535kkkkkMN+=+=+++，又因为点()2,0A到直线()1ykx=−的距离21kdk=+，所以AMN的面积2222116043

||122351kkSMNdkkk+==+++22154335kkk+=+，由2215435103519kkk+=+，整理得：42667340kk+−=，解得223k=或21722k=−（舍），故63k=【点

睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的有关计算，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数()exfx=．（1）若()1xfax+，求实数a的取值范围；（2）若()lngxxx=+，求证：()e10xgxx−+．【答案】（1）1a

=（2）证明见解析的.【解析】【分析】（1）依题意()0e1xax−+，令()()1exhxxa=−+，xR，则问题转化为()min0hx，求出函数的导函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到()minln10

aahxa−=−，再构造函数()ln1aaaa=−−()0a，利用导数说明函数的单调性即可得到函数的最大值，从而求出a的取值；（2）由（1）可知e1xx+，则()()()()e1()e1110gxxgxxgxgxgx−+=−+−++=，即可得证；小问1详解】解：由()1xf

ax+，即()0e1xax−+，令()()1exhxxa=−+，xR，则问题转化为()min0hx，由于()exhxa=−，①当0a时()0hx恒成立，所以()hx在定义域上单调递增，又()00h=，所以当0x

时()0hx，故不符合题意；②当0a时，令()0hx=得lnxa=，所以lnxa时()0hx，当lnxa时()0hx，即()hx在(),lna−单调递减，在()ln,a+上单调递增，所以()

()lnminllnn1len10aahaaaxaah−=−=−−=，令()ln1aaaa=−−()0a，所以()0a，因为()lnaa=−，所以()a在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()10a=，所以()0a时1a=，综上所述，实数a的

取值范围为1a=；【小问2详解】解：由（1）可知e1xx+，当且仅当0x=时等号成立，因为()lngxxx=+，所以()()()()e1()e1110gxxgxxgxgxgx−+=−+−++=，当且仅当()ln0gxxx=+=时等号成立，所以()e10xgxx−+【获得

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