【文档说明】浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟考试数学试题 【精准解析】.doc，共(27)页，2.156 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年第二学期“山水联盟”高考模拟考试数学学科试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结

束后，只需上交答题卷.参考公式：若事件A，B互斥，则()()()PABPAPB+=+；若事件A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）；若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()()()

10,1,2,,nkkknnPkCppkn−=−=；台体的体积公式()112213VSSSSh=++；其中1S，2S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高；柱体的体积公式VSh=，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高；锥体的体积公式13VSh=，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的

高；球的表面积公式：24SR=，球的体积公式：343VR=，其中R表示球的半径.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22Axx=−，2log1Bxx=，则AB=（）A.

|22xx−B.|22xx−C.2|0xxD.02xx【答案】D【解析】【分析】由题意结合对数不等式可得02Bxx=，再由集合的交集运算即可得解.【详解】由题意2log102Bxxxx==，所以2202|02ABx

xxxxx=−=.故选：D.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知双曲线()22210yxbb−=，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（）A.2B.5C.3D.52【答案】A【解析】【分析】由虚轴长为2，得1

b=，然后求出c，从而可求出离心率.【详解】解：由题可知，1a=因为虚轴长为2，所以1b=，所以222112cab=+=+=，得2c=，所以离心率2cea==，故选：A【点睛】此题考查求双曲线的离心率，

属于基础题.3.若实数x，y满足约束条件10100yxxyy+−−+，则32zxy=−的最大值是（）A.3B.-2C.-3D.1【答案】A【解析】【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为322zyx=−，数形结合即可得解.【详解】由题意画

出可行域，如图：转化目标函数32zxy=−为322zyx=−，数形结合可得当直线322zyx=−过点()1,0A时，z取最大值，max3z=.故选：A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基

础题.4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何的体积（单位：3cm）是（）A.12B.4C.24D.8【答案】D【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，然后计算体积．【详解】由三视图可知原几何体是四棱锥PABCD−，它在长方体中的位置如图，尺寸见三视

图，其体积为1(34)283V==．故选：D．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体．借助于长方体或正方体还原原几何体表事半功倍的效果．5.随机变量X的分布列如下表，已知()1

22Px=，则当b在10,2内增大时（）X123PabcA.()EX递减，()DX递减B.()EX递增，()DX递减C.()EX递减，()DX递增D.()EX递增，()DX递增【答案】B

【解析】【分析】由题意结合分布列的性质可得12ab+=，12c=，再由离散型随机变量的期望、方差公式结合函数的知识即可得解.【详解】因为()122Px=，所以12ab+=，12c=，所以()232EXabcb=++=+，所以当b在10,2

内增大时，()EX递增；所以()()()()2222115122232224DXabbbbb=−++−++−+=−++，所以当b在10,2内增大时，()DX递减.故选：B.【点睛】本

题考查了分布列性质的应用及离散型随机变量期望和方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.6.在直角坐标系中，函数()2xefxaxx=+的图象如图所示，则a可能取值是（）A.4−B.1−C.1D.0【答案】C【解析】【分析】由题

意可知函数()yfx=在(),0−上单调递增，在()0,+上先减后增，且函数()yfx=的值域为R，然后利用导数分析函数()yfx=的单调性以及该函数在(),0−上的符号变化，结合排除法可得出合适的选项.【详解】()2xefxa

xx=+，定义域为0xx，()()()33322xxexexaxfxaxx−−+=+=.（1）当0a时，令()()32xgxexax=−+，对任意的0x，()()2130xgxexax=−+，则函数()ygx=在区间(),

0−上单调递减，()00g.①若4a=−，则()()324xgxexx=−−，()3140ge−=−，由零点存在定理可知，存在()01,0x−，使得()00gx=，当0xx时，()0gx，()0fx，此时函数()yfx=单调递减；当00xx时，()0gx

，()0fx，此时函数()yfx=单调递增.所以，函数()yfx=在区间(),0−上不单调，不合乎题意；②若1a=−，同理可知，函数()yfx=在区间(),0−上不单调，不合乎题意；所以，排除A、B选项；（2）当0a

=时，对任意的0x，()20xefxx=，不合乎题意，排除D选项；故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象确定函数解析式中的参数，一般利用导数分析函数单调性、函数值或极值符号、零点等进行判断，考查推理能力

，属于中等题.7.设A、B、C三点不共线，则“AB与AC的夹角是钝角”是“ABACBC+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先设命题:pA

B与AC的夹角是钝角，命题:qABACBC+，根据AB与AC的夹角是钝角推得ABACBC+，又根据ABACBC+推得AB与AC的夹角是钝角，即可得到答案.【详解】设命题:pAB与AC的夹角是钝角，命题:qABACBC+，若AB与AC的夹角是钝角，则(

)2222cos=ABACABACABACA+++，()22222cos=BCACABACABABACA=−+−，所以()224cos0ABACBCABACA+=−，故()22ABACBC+，ABACBC+，即pq

.若ABACBC+，则()224cos0ABACBCABACA+=−，因为A、B、C三点不共线所以cos0A，故AB与AC的夹角是钝角，即qp.所以“AB与AC的夹角是钝角”是“ABACBC+”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查充分必要条件，同时考查了向量的模长计算，属于中档题

.8.已知正方体1111ABCDABCD−，P是平面11ABCD上的动点，M是线段11BC的中点，满足PM与1CC所成的角为6，则动点P的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】【分析】采用数形结合的方法，并建立空间直角坐标系，计算1,PMCC

，根据空间向量夹角公式，可得结果.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，连接11,CDCD相交于点O所以11CDCD⊥，又BC⊥平面11CDDC，所以1CDBC⊥又1=BCCDC，所以1CD⊥平面11ABCD以O为原点，1,OCOC分别为

z轴和y轴，然后过点O作BC的平行线为x轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−设2AB=，(),,0Pxy所以()()()11,0,2,0,2,0,0,0,2MCC()()11,,2,0,2,2=−−=−PMxyCC由PM与1CC所成的角为6所以()()()122123cos62212−−

===−+−+yPMCCPMCCxy化简可得()()2231226−+−=xy，即()()22221126−−+=yx所以点P的轨迹为椭圆故选：B【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹，采用数形结合的方法以及向量的使用，将几何问题代数化，使问题更加简洁明了，属中档题.9.已知()()()

21ln0xfxaxaxaxea−=−−在()0,+内存在零点，则实数a的取值范围（）A.(0,eB.(0,1C.),e+D.)1,+【答案】D【解析】【分析】引入新函数()()fxgxax=，两者零点相同，求得导数()gx11()xxeaaxx−−=−，先研

究1xeyax−=−（0,0ax）的单调性与最值，然后对a分类：01,1,1aaa=，进行讨论后可得结论．【详解】∵0a，∴()()()21ln0xfxaxaxaxea−=−−在()0,+内

存在零点，即1()()ln()xfxegxxaxaxax−==−−在(0,)+零点，111211()1()xxxxeexegxaxaxaxx−−−−−=−−=−，令1xeyax−=−（0,0ax），则12(1)xexyx−−=−，令0y=得1x=，(0,

1)x时，0y，y递增，(1,)x+时，0y，y递减，故max(1)1yya==−，（1）当01a时，max10ya=−，令()0gx=，得1x=，(0,1)x，()0gx，()gx递增，(1,)x+，()0gx，()gx递减，故max1

()(1)1lngxgaa==−−，令1()1lnhaaa=−−，22111()ahaaaa−=−+=，当01a时，()0ha，()ha单调递增，所以()(1)0hah=，∴函数()gx无零点．（2）1a=时，(1)0

g=，()gx在(0,)+上有零点．（3）1a时，令11()()0xxegxaaxx−−=−=，解得1xx=或1或2x，其中1201xx，（实质上12,xxxx==是10xeyax−=−=的两个解），当1(0,)xx或2(1,

)xx时，()0gx，在1(,1)xx或2(,)xx+时，()0gx，所以()gx在1(0,)x上递增，在1(,1)x上递减，在2(1,)x上递增，在2(,)x+上递减，当1xx=或2xx

=时，()gx极大值＝0，此时()gx在(0,)+上有两个零点．综上所述，()fx在(0,)+上有零点，则a的取值范围是[1,)+．故选：D．【点睛】本题考查导数在研究函数的单调性与零点存在性问题

中的应用，难度较大，解题关键是对导函数关系式的变形及对参数的分类讨论，其中对函数()fx的变形也是一个神来之笔．10.已知数列na满足()2*1222nnnaaanN++=+,，则下列错误的是（）A.若()13,4a

时，则数列na单调递增B.存在14,33a时，使数列na为常数列C.若114,23a时，则na单调递减数列D.若21222a=−时，则21na−【答案】C

【解析】【分析】利用单调性的定义证明A，C，举例说B，再根据【详解】（1）∵()2*1222nnnaaanN++=+,，∴2211(2)2(2)(2)22nnnnnnnaaaaaaa+−=+−−=+−，由数学归纳法思想，(i)1n=时，12a时，221111(2)(2)

02aaaa−=+−，212aa，(ii)假设nk=时，2na，则由211(2)(2)2nnnnaaaa+−=+−得12nnaa+，综合(i)(ii)得对所有*nN，12nnaa+，∴数列{}na是递增数列，A正确，（2）若142(,3)3a=，则21aa=，依次得

到1nnaa+=，数列{}na是常数列，B正确；（3）设21()(2)22fxxx=+−，()21()3222fxxx=+，当223x−或0x时，()0fx，当2203x−时，()0fx，∴()fx在22,3−−上递增，在

23,03−上递减．在(0,)+是递增，极小值为(0)20f=−，极大值为222320327f−=−，所以()fx有唯一零点，且零点在(0,)+上，进一步102f

，484220393f=+−，即零点在14,23上，设其为0x，若10ax=，则20a=，32a=−，42a=−，2(3)nan=−，数列na不是递减数列，C错；（4）21222a=

−时，2111212(2)22222aa++=−+=，由（3）知此方程有唯一解，11a=，又由（3）当(,0)x−时，232()027fx−，而212022a=−，所以30a，40a，…，01na，∵0na，∴由()2*1222nnnaaanN++=+,，可得122nnaa+

−−，*nN，而212222a=−−，所以2na−，综上21na−．D正确．故选：C．【点睛】本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，解题时注意递推公式的形式，因此引入函数21()(

2)22fxxx=+−，通过导数研究函数的单调性，极值，从而得出数列的性质．考查了学生分析问题解决问题的能力．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.《数书九章》卷五中第二

题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.术曰：以少广求之，以小斜幂（2c）并大斜幂（2a），减中斜幂（2b），并半之，自乘于上；以小

斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S）.译成现代式子是这个式子222222142acbSca+−=−称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为

_________，最小角的余弦值为_________.【答案】(1).66(2).57【解析】【分析】由题意可得2c、2a、2b，代入公式即可得面积；由三角形面积公式可得最小角满足26sin7=，再由同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】由题意22525c==，22497a==，

22366b==，所以2149253625496642S+−=−=；设最小角为0,2，则167sin662S==，解得26sin7=，所以25cos1sin7=−=.故答案为：66；57.【点睛】本题考查了数学文化

及三角形面积公式、同角三角函数关系的应用，考查了理解能力与运算求解能力，属于基础题.12.复数212izi−=−（i为虚数单位），则z=_________，2z=_________.【答案】(1).1(2).72425i+【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算可得4355zi=+，再由复数模的

运算、复数的乘法运算即可得解.【详解】由题意()()()()21224312121255iiiziiii−+−===+−−+，所以2243155z+==，2243162497245525252

525iiiz++=+−==.故答案为：1；72425i+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.13.二项式52xx+的展开式的所有项的系数和为_

________，展开式中有理项的项数为_________.【答案】(1).243(2).3【解析】【分析】在二项式中令1x=可得出展开式中所有项的系数和，然后写出展开式的通项，令x的指数为整数，求得对应的参数值，由此可得出结论.【详解】在二项式5

2xx+中，令1x=，可得出展开式中所有项的系数和为53243=，展开式的通项为355215522rrrrrrrTCxCxx−−+==，当0r=、2、4时，x的指数为整数，因此，展开式中有理

项的项数为3.故答案为：243；3.【点睛】本题考查二项展开式所有项系数和的求解，同时也考查了展开式中有理项项数的计算，考查计算能力，属于中等题.14.在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PBPD⊥，则PA的最大值是_________，PAPC+的值是

_________.【答案】(1).5(2).5【解析】【分析】由题意结合圆的性质可得点P的轨迹为以BD为直径的圆（不含点B、D），由圆的性质即可得maxPA；由平面向量的线性运算法则结合矩形的性质可得2PAPCPO+=，即可求得PAPC+；即可得解.【详解】因为

PBPD⊥，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆（不含点B、D），如图：设BD的中点为O，由题意5BD=，所以圆O的半径52r=，由圆的性质可得maxmax25PAPAr===；由矩形的性质可得O也为AC中点，所以225PAPCPOr+==

=.故答案为：5；5.【点睛】本题考查了圆的性质及平面向量线性运算法则的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.15.将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.【答案】10【解析】【分析】由题意将所有放法分类，

结合排列、组合的知识运算即可得解.【详解】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，可分为以下三种情况：①其中有两个盒子各放入3个小球，共有233C=种不同放法；②三个盒子中均放入2个小球，共有1

种不同放法；③一个盒子放入3个小球，一个盒子放入2个小球，最后一个盒子放入1个小球，共有336A=种放法；所以不同的放法共有31610++=种.故答案为：10.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算

求解能力与分类讨论思想，合理分类是解题关键，属于基础题.16.已知点P为抛物线24yx=上的动点，过点P作圆()2231xy+−=的切线，切点为A，则PA的最小值为_________.【答案】1【解析】【分析】由直线与圆相切的性质可得当PC取最小值时，PA最小，

设200,4yPy，由两点间距离公式可得420006916yPCyy=+−+，令()426916xfxxx=+−+，求导求得()fx的最小值后即可得解.【详解】圆()2231xy+−=的圆心()0,3C，半径1r=，由切线的性质可得222

1PAPCrPC=−=−，若要使PA最小，则PC取最小值，设200,4yPy，则()2242200000369416yyPCyyy=+−=+−+，令()426916xfxxx=+−+，则()3264

xfxx=+−，易知()fx单调递增，且()20f=，所以()fx在(),2−上单调递减，在()2,+上单调递增，所以()()22fxf=，所以420006916yyy+−+的最小值为2即PC的最小值为2，所以min211PA=−=.故答案为：1.【点睛】本题考查了抛

物线方程、直线与圆相切的性质的应用，考查了利用导数求最值的应用及转化化归思想，属于中档题.17.已知函数()()2,fxxaxbaRbR=−+−，当0,4x时，()fx的最大值为(),Mab，则(),Mab的最小值为_________.【

答案】5【解析】【分析】先根据绝对值不等式的性质得(,)5Mab，即必要性成立，再取值验证这个最大值的最小值能取到，即充分性成立，即得解．【详解】设tx=，则由[0,4]x得[0,2]t，2()()2fxgttatb==−+−，则(,)(0)2(,)(2)282MabgabMabgab

=+=−+−，所以2(,)2282228210Mabababaabb++−+−+−++−=，所以(,)5Mab，当且仅当02a且04b时取等号，取1,2ab==，222252,01,()12223,12,25,22tttgttttttttt

−−=−+−=−+++−，2()52(01)gtttt=−−是减函数，max()(0)5gtg==，2()23(12)gtttt=−++是减函数，max()(1)2gtg==，2()25(22)gtttt=+−是增

函数，max()(2)5gtg==，∴max()5gt=，综上所述，(,)Mab的最小值是5．故答案为：5．【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，涉及了利用绝对值不等式的性质，二次函数的性质等知识点，考查了学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于困难题．三、解答题：本大题共5小题，共74分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()()sincos3sinfxxxx=+.（1）求函数()fx的最小正周期和对称轴；（2）若()03fx，求0x的取值范围.【答案】（1），5,122kxkZ=+；（2）00,23xkxkkZ−++

.【解析】【分析】（1）先用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对函数化简，然后根据正弦函数的周期和对称轴求结果；（2）直接由03sin2332x−+，结合正弦函数的性质，得04222,333kxkk−+−+Z化简即可得结果

.【详解】解：（1）因为()()213sincos3sinsin21cos222fxxxxxx=+=+−1333sin2cos2sin222232xxx=−+=−+所以()fx的最小正周期T=.由2,32xkk−=+Z得5,122kxk=+Z，故()fx的

对称轴为5,122kxk=+Z.（2）因为()03fx，所以03sin2332x−+，即03sin232x−，所以04222,333kxkk−+−+Z，即0,23kxkk−++Z，即0x的取值

范围00,23xkxkk−++Z.【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式和正弦函数的性质，考查计算能力和转化能力，属于基础题.19.四棱锥PABCD−，底面ABCD为菱形，侧面PBC为正三角形，平面PB

C⊥平面ABCD，3ABC=，点M为AD中点.（1）求证：CMPB⊥；（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3020.【解析】【分析】（1）连AC，由题意结合平面几何的知识可得CMB

C⊥，由面面垂直的性质可得CM⊥平面PBC，再由线面垂直的性质即可得证；（2）设2AB=，取BC中点O，连接OD、OP、OA，过点O作OEPC⊥于E，由题意求得所需长度，由面面垂直的性质与判定可得点O到平面PCM的距离为

OE，进而可得点A、N到平面PCM的距离，再由线面角的概念即可得解.【详解】（1）证明：连AC，如图：由题知ACD△为等边三角形，因为M为AD中点，所以CMAD⊥，又//ADBC，所以CMBC⊥，因为平面ABCD

⊥平面PBC，且平面ABCD平面PBCBC=，CM平面ABCD，所以CM⊥平面PBC，又PB平面PBC，故CMPB⊥；（2）设2AB=，取BC中点O，连接OD、OP、OA，过点O作OEPC⊥于E，如图：可得3OP=，222cos1207DODCCODCC

O=+−=，2210DPDOPO=+=，11022MNDP==，32OE=,记MN与平面PCM所成角为，因为点N是线段PA上的中点，所以点N到平面PCM的距离d是点A到平面PCM的距离的一半，因为//AMCO，AMCO=，所以//AOMC，//AO平面

PCM，因为CM⊥平面PBC，所以平面PCM⊥平面PBC，所以OE⊥平面PCM，所以点O到平面PCM的距离为32OE=，所以点A到平面PCM的距离也为32，所以点N到平面PCM的距离34d=，所以3304sin20102dMN

===.所以直线MN与平面PCM所成角的正弦值为3020.【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直性质与判定的应用，考查了线面角的求解及空间思维能力，属于中档题.20.已知公差不为0的等差数列na满足：11a

=，2a，4a，8a成等比数列，数列nb满足：11b=，()1nnnbnbbn++=，（1）求数列na的通项公式；（2）记数列1nnncba=+，数列nc的前n项和为nT，证明：112nT.【答案】（1）nan=；（2）证明

见解析.【解析】【分析】（1）利用2a，4a，8a成等比数列，求出公差d后可得通项公式；（2）由()1nnnbnbbn++=得数列{}nb单调递增，从而2112121nbbbb+=+=，已知等式变形为1111nnnbn

bb+=−+，这样由裂项相消法求得111nnTb+=−，于是题设不等式得证．【详解】解：（1）设等差数列na的公差为()dd0.∵2a，4a，8a成等比数列，∴2428aaa=，即()()()211137ad

adad+=++，整理得：21dad=.又0d，解得11da==，nan=.（2）∵210nnnbbbn+−=，∴nb单调递增，211121nbbb++=，∴)12,nb++，11112nb+−，又()1nnnbnbbn++=得：()1111nnnnnnbbnbbbn+==

−++,即1111=nnnbnbb+−+，又11111=nnnnnncbabnbb+==−++，1211112nnTbbbn=++++++12231111111nnbbbbbb+=−+−++−1111111nnbbb++=−=−.故1111nnTb+

=−.∴112nT．.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，考查等比数列的性质，用基本量法求等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式是最基本的方法务必掌握．21.如图，已知椭圆2222:1xyCa

b+=经过()2,0和()0,2，过原点的一条直线l交椭圆于A，B两点（A在第一象限），椭圆C上点D满足ADAB⊥，连直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，ABD△的重心在直线1321x=的左侧.（1）求椭圆的标准方程；（2）记AOM、OMN面积分别为1S

、2S，求12SS−的取值范围.【答案】（1）22142xy+=；（2）60,8.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出2242ab==后，即可得解；（2）设()11,Axy

，()11,Bxy−−，()22,Dxy，()0,0Mx，作差可得()()()()1212121212yyyyxxxx+−+=−−，由中位线的性质可得12ADBDkk=−，进而可得01xx=，设直线()111:2yBMyxxx=−，联立方程组结合韦达定理可得3112214123xxxx

++=，由重心的性质可得223131x，进而可得101x，转化条件为()122112242SSx=−−+−即可得解.【详解】（1）椭圆2222:1xyCab+=经过()2,0和()0,2，224121ab=

=，解得2242ab==，椭圆的标准方程为22142xy+=；（2）设()11,Axy，()11,Bxy−−，()22,Dxy，()0,0Mx，由22112222142142xyxy+=+=作差得22221212042xxyy−−+=即()()()()121212121

2yyyyxxxx+−+=−−，记AD的中点为E，则1212OEyykxx++=，由//OEBD可得OEBDkk=，()()()()1212121212ADBDADOEyyyykkkkxxxx=+−==−+−，又ADAB⊥，1ADABkk=−，22AB

BDBMkkk==即11101222yyxxx=+，01xx=，AM⊥x轴，N为BM的中点，点()1,0Mx，直线()111:2yBMyxxx=−，则()111222142yyxxxxy=−+=，消去y得222111211240212yy

yxxxx−++−=，，21121212112yxxxyx−+=，结合2211142xy+=可得3112214123xxxx++=，又ABD△的重心在直线1321x=的左侧，22313

1x即311211341237xxx++，化简得()()21111732520xxx−−+，101x，11,22AOMBOMONMBONAOMBOMSSSSSS====△△△△△△，2421111112111111222224242AO

MONMAOMxxSSSSxyxxS−===−==−−△△△()21116220,428x=−−+，12SS−的取值范围为60,8.【点睛】本题考查了椭圆标准方程

的求解，考查了直线与椭圆的综合应用，细心计算、合理转化条件是解题关键，属于难题.22.已知()ln1fxaxx=−+.（1）当1a=时，求()fx的单调区间；（2）当10,2a时，求证：(

)()xfxfx；（3）满足（2）条件下的任意1x、2x，求证：()()()1212fxxfxfx++.【答案】（1）单调递增区间为()0,222+，单调递减区间为()222,++；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()yfx=的定义域和导数，

分析导数的符号变化，由此可得出函数()yfx=的增区间和减区间；（2）求得函数()yfx=的导数为()121afxxx=−+，利用分析法得知，要证()()xfxfx，即证()ln11021xaxxx−−+++，构造函数()()2ln1021xgxaxx+=−−+，然后

分(0,xe和(),xe+证明出()0gx，即可证得结论成立；（3）构造函数()()fxpxx=，利用导数分析得出函数()ypx=在()0,+上单调递增，可推导出()()112112xfxxfxxx++以

及()()212212xfxxfxxx++，两个不等式相加可得出所证不等式成立.【详解】（1）当1a=时，()ln1fxxx=−+，定义域为()0,+，()11212121xxfxxxxx+−=−=++，令()0fx=，得222x=+，

当()0,222x+，()0fx；当()222,x++，()0fx.所以，函数()yfx=的单调递增区间为()0,222+，单调递减区间为()222,++；（2）当10,2a时，()121afxxx=−+，()()()2ln11ln12121

xxgxaxxaxxx+=−−++=−−++()12121axxfxxaxxx=−=−++，要证：()()ln121xxfxfxaaxxx−−++()ln11021xaxxx−−+++.设()()()2ln11ln12121xxgx

axxaxxx+=−−++=−−++，即证：()0gx.当(0,xe时，10,2a时，ln10x−，()2021xgxx−−+显然成立；当(),xe+时，10,2a时，l

n10x−，()()()212=ln1ln122121xxgxaxxxx++−−−−++，设11xte+=+，()()()22222111111ln11ln1ln222222ttthttttttt+++=−−−−−=−

−，先证：()()21ln012ttttt−=−，()()222222111210222ttttttttt−+−+=−=−=−.所以，函数()21ln2tttt−=−在()1,t+单调递减，()()10t=，()2221111111ln022222

2ttthtttttt+−+=−−−−=−−在()1,te++上恒成立.()0gx，即()()xfxfx，证毕；（3）设()()fxpxx=，()()()20xfxfxpxx−=，函数()ypx=在(

)0,x+单调递增，121xxx+，()()()()()()121112121112112fxxfxxfxxpxxpxfxxxxxx+++++，同理()()212212xfxxfxx

x++，相加得()()()()112212121212xfxxxfxxfxfxxxxx++++++，即()()()1212fxxfxfx++，证毕.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也

考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题.