【文档说明】江西省南昌市南昌县莲塘第二中学2021届高三1月测试数学（理）试卷 含答案.doc，共(11)页，1.330 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知|24AxZx=−，2{1}1Bxx=−∣，则()RABð的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．已知平面，直线,,lmn，满足//,//mn

，且,mn互为异面直线，则“ln⊥且lm⊥”是“l⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知偶函数()fx在(,0]−上单调递减，且(4)0f=，则不等式(1)()xfx+的

解集为（）A．(4,1)(4,)−−+B．(,4)(1,4)−−−C．(4,1)(1,4)−−−D．(,4)(4,)−−+4．如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，D均为棱的中点，C是顶点，则在正方体中异面直线AB和CD所成角的余弦值为（

）A．105B．1010C．55D．5105．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4B．－4C．±4D．不确定6.已知正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足1//AF平面1BD

E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．37．若()π,2π，2sincos222+=−，则πsin()6+=（）A．32−或0B．32−C．32D．08．定义:xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为取整函数，例如：3.64−=−，5.65=，

已知函数()23311xxfx−=+，则()yfx=的值域是（）A．0,1B．1,1−C．1,0,1−D．{}1,0,1,2-9．已知直三棱柱111ABCABC−的底面是正三角形，23AB=，D是侧面11BC

CB的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为（）A．1010B．105C．31010D．310510．已知函数234567()1(1)234567xxxxxxfxxx=+−+−+−+−，若()(3)hxfx=−的零点都在区间(,)

(,,)abababZ内，当ba−取最小值时，则+ab等于（）A．3B．4C．5D．611．在凸四边形ABCD中，2ABBC==,0120=ABC且ACD为等边三角形，若点E在四边形ABCD上运动，则EBED的最小值是（

）A．4−B．3−C．1−D．312．已知函数()2sin2()fxxx=R，现将函数()fx的图像向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图像。当29[,]824ππx时，记方程2021()2

020=gx的根从小到大依次为1x，2x，nx，则1231222nnxxxxx−+++++等于().A．174πB．143πC．203πD．8512π二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．复数的共轭复数为，则的虚部为.14．如右图，在等腰直角三角形AB

C中，斜边2BC=.过点A作BC的垂线，垂足为1A，过点1A作AC的垂线，垂足为2A；过点2A作1AC的垂线，垂足为3A；…，以此类推，设1BAa=，12AAa=，123AAa=，…，567AAa=，则7a=__

_____.15．若实数x，y满足不等式组2525xyxyx−−，且使zaxy=−取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的值为__________.16．如上图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC上

有一个小孔E，小孔E(孔的大小不计)到CD的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为_______平方米.三.解答题（本大题共6小题，共7

0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知()211fxxx=−++.（1）求不等式()3fx的解集；（2）记集合()|0Axfxa=−=，若A，求实数a的取值范围．18．已知等差数列na及各项为正的等比数列nb,记数列nb的前n项和为nS，满足1122ab

==，2810aa+=，__________.在①1nnSb=−；②43212aSSS=−+这两个条件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.（1）求数列na和nb的通项公式；（2

）若42−=nnnacb,求数列nc的前n项和nT.19．已知函数()21sincos()cos62=−+−fxxxx.（1）当,x−时，求出函数()fx的最大值，并写出对应的x的集合；

（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()12fA=，3bc+=，求a的最小值.20．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD，//ABCD，且2CD=，1AB=，22BC=，1PA=，ABBC⊥，N

为PD的中点（1）求证：//AN平面PBC．（2）若点M为线段PD上三等份点且靠近点P，求直线CM与平面PBC所成角的余弦值.21．设函数()2()2lnfxxaxax=+−−(aR).（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若2a且方程()fxb=,bR在()1,+上有两个不相等

的实数根1x，2x，求证:12axx+.22．已知函数()(1)xfxeax=−+(其中e为自然对数的底数)．（1）若对任意xR，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）设n∈N*，证明：

1111+++>ln(1)23nn++.理科数学答案1~12CCABABDCDCBB13．14．1815．216.3558.【详解】3()2(1,2)31=−−+xfx函数[()]yfx=的值域是1,0,1−.9．【详解】因为球O与直三棱柱111ABCABC−的所有面均相切，且直三

棱柱111ABCABC−的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设底面三角形ABC的重心为O，连接OO，则OO⊥底面ABC，连接AE，易知点O在AE上，连

接OD、DE，因为D是侧面11BBCC的中心，所以四边形OOED为正方形，设球O的半径为r，则由23AB=，可得3123123r==，易得223(23)102ADr=+=，连接OA，可得2232(23)523OAr=+=，∴222310cos210DOADAOADODOAD

+−==，故所求弦长为3102cos5rADO=，10.【详解】依题意()234561fxxxxxxx=−+−+−+,当1x−时，根据等比数列求和公式，有()()7711011xxfxxx−−+=++=，故函数()fx在R上为增函数.()()111111010,10

234567ff=−=−−−−−−，故函数()fx零点在区间()1,0−内，所以()3fx−零点在()2,3内,即:2,3==ab11.【详解】如图所示，四边形ABCD关于直线BD对称，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边,BCCD上的运动情况即可，易知BCCD⊥，则0C

BCD=，①当点E在边BC上运动时，设()01EBCB=，则()1ECCB=−，∴()()141EBEDCBCB=−=−，当12=时，EBED的最小值为1−；②当点E在边CD上运动时，设()01EDkCDk=，则()1ECkCD=

−，∴()()()1121EBEDECCBEDkCDkCDkk=+=−=−，当12k=时，EBED的最小值为3−；综上，EBED的最小值为3−；12.【详解】由方程2021()2020=gx，即20212sin(4)32020x−=，即

2021sin(4)34040−=x，因为29[,]824ππx，可得94[,]362−πx，设43x=−，其中9[,]62π，即2021sin4040=，结合正弦函数siny=的图象，可得方程2021sin4040

=在区间9[,]62π有5个解，即5=n，其中12233445,3,5,7+=+=+=+=，即1223344544,443,445,33333344733−+−=−+−=−+−=−+−=xxxxxxx

x解得122334455111723,,,12121212+=+=+=+=xxxxxxxx所以45122134423514(22)()()()3xxxxxxxxxxxx++++=+++++++=.16.【详解】投影为:正方形11DCCD

和正方形ABCD在桌面上的投影,先考虑平面11DCCD和平面ABCD分别与桌面所成角12cos,cos55==,所以投影面积为35517．【详解】（1）依题意，2113xx−++；当1x−时，1213xx−−−，则1x−，故1x−；当

112x−≤≤时，1213xx−++，则1x−，无解；当12x时，2113xx−++，则1x，故1x；故1xx−或1x；…………………………5分（2）()3,112,1213,2xxfxxxxx−−=−

+−,可知()min32fx=，即()fx的值域为3[,)2+，因为A，所以32a，故实数a的取值范围为3[,)2+…………………………5分18．【详解】（1）选①解：设等差数列na的公差为d，因为122a=，

2810aa+=，所以12810ad+=，解得11a=，1d=，故()111nann=+−=，由题意可知，12b=，1nnSb=−，当1n=时，1111Sbb==−，解得12=，22=−nnSb，当2n时，()112222nnnnnbSSbb--=-=---，即12

nnbb−=，则nb是一个首项为2、公比为2的等比数列，1222nnnb−==，…………………5分选②解：设等差数列na的公差为d，因为122a=，2810aa+=，所以12810ad+=，解得11a=，1d=，故()111

nann=+−=，44a=，设等比数列nb的公比为()0qq，因为43212aSSS=−+，所以()()2432213211aSSSSbbbqbq=−−−=−=−，因为44a=，12b=，所以220qq−−=，解得2q=或1−（

舍去），故1222nnnb−==，………………………5分（2）1212nnnc−−=2313572112222nnnT−−=+++++①2341135721222222nnnT−=+++++②①-②得：2232111221111121212322312222222212n

nnnnnnnnT−−−−−+=+++++−=+−=−−故12362nnnT−+=−．…………………………7分19．【详解】（1）()fx=11sin2264x++，,x−，所以1113

2666x−+，1sin216x−+，当3262x+=−或262x+=时，即当5,66x−时，函数()fx取最大值34；…………………………5分（

2）由题意()111sin22642fAA=++=，化简得1sin262A+=，()0,A，132,666+A，5266A+=，解得3A=.在ABC中，根据余弦定理，得()22222cos33abcbcbcbc

=+−=+−.由3bc+=，知2924+=bcbc，即294a.当32bc==时，a取最小值为32.…………………………7分20．【详解】（1）证明：过A作AECD⊥，垂足为E，则1DE=，如图，以A为坐标原点，分別以AE，AB，AP

为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,1,0B，()22,0,0E，()22,1,0D−，()22,1,0C，()0,0,1P，NQ为PD的中点，112,,22N−，则112,,22AN=−，设平面PBC的一个法向量为(),,mxyz=，(0,1

,1)BP=−，(22,0,0)BC=，则0220mBPyzmBCx=−+===，，，令1y=，解得：()0,1,1m=.11022ANm==−+uuurr，即ANm⊥uuurur，又AN平面PBC，所以//AN平面PBC．…………………………4分（2）由题意知23D

MDP=.则4242(,,)333CMCDDM=+=−−又平面PBC的一个法向量()0,1,1m=,所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为:26sin26CMmCMm==uruuuruuurur，即:直线CM

与平面PBC所成角的余弦值为:526cos26=……………………8分21．【详解】（1）()()21()2(0)axxxfxx+−=当0a时，()0fx恒成立,()fx在()0,+上单调递增当0a时，令()0fx得2ax，令()0fx得02ax()fx在(,)2a

+上单调递增，在(0,)2a上单调递减综上：当0a时，()fx在()0,+上单调递增当0a时，()fx在(,)2a+上单调递增，在(0,)2a上单调递减.………………4分（2）方程()fxb=即()22lnxaxaxb+−−=在()1,+上

有两个不等实根1x和2x不妨设121xx则()21112lnxaxaxb+−−=①()22222lnxaxaxb+−−=②①-②得221122112222lnln+−−=+−−xxxxaxxxx欲证12axx

+只需证22112212112222lnlnxxxxxxxxxx+−−++−−因为12xx，所以1122lnlnxxxx++,则1122lnln0xxxx−−+即需证：()()22112212112222lnlnxxxx

xxxxxx+−−++−−整理得：()1212122lnlnxxxxxx−−+,即证12112221ln1xxxxxx−+令()120,1xtx=，()()21ln1thttt−=−+()()()22101thttt−=+,显然()ht在()0,1上单增．所以(

)()10hth=,故原命题得证.…………………………8分22．【详解】（1）若对任意xR，不等式()0fx恒成立,即:e(1)xax+恒成立当(0,)x+时，e1xax−恒成立．令g(x)＝exx－1，则g′(x)＝2(1)exxx−.令g′(x)>0，1x，g′(x)<0，，0

<x<1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1,)+上单调递增．∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.所以(,1]ae−−．当(,0]x−时，若1a−,e(1)xax+恒成立;若0a,取101xa=+,则11e1a+显然

不成立,所以1a−综上,[1,1]ae−−…………………………6分（2）证明：在（1）中，令1ae=−可知对任意实数x都有exex，当1x=时,取”=”两边同量取对数得:1lnxx+,当1x=时,取”=”故:ln1ln(

1)xxxx−+(当0x=时,取”=”),所以:1111ln(1)ln()nnNnnnn++则:23411111lnlnlnln()123123nnNnn+++++++++即:111

1+++>ln(1)23nn++………………………6分