【文档说明】《2023年新高考数学临考题号押》押第17题 解三角形（新高考）（解析）【高考】.docx，共(14)页，977.222 KB，由小赞的店铺上传

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1押第17题解三角形解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要考查利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形面积公式等知识解题，难度中等．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”或“角化边”，另外，要注意a＋c，ac，a2＋c2三者的关

系．1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑

用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：πABC++=，常见变式：πABC+=−，π222ABC+=−．（2）

三角形中的三角函数关系：iin(sns)ABC=+；()soscocABC=−+；sincos22ABC+=；cossin22ABC+=．3．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解．4．求三角形面积的方法：（1）若三角形中已知一个

角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解；（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键；（3）三角形面积公式中含有两边及其夹角，故

根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．5．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的

关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一2个三角形中．1．（2021·湖南·高考真题）如图，在ABC中，45B=，点D在BC边上，且2CD=，3AD=，1cos3ADC=（1）求AC的长；（2）求sinBAD的值.【详解】（1）2CD=，3AD=，1cos3ADC

=，在ADC中，由余弦定理得222222321cos22323ADCDACACADCADCD+−+−===，29,3ACAC==（2）1cos3ADC=，所以22sin3ADC=，又由题意可得=BADADCB

−，sin=sin()sincoscossinBADADCBADCBADCB−=−222124232326−=−=2．（2021·天津·高考真题）在ABC，角,,ABC所对的边分

别为,,abc，已知sin:sin:sin2:1:2ABC=，2b=．（I）求a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin26C−的值．【详解】（I）因为sin:sin:sin2:1:2ABC=，由正弦定理可得::2:1:2abc=，2b=，2

2,2ac==；3（II）由余弦定理可得2228243cos242222abcCab+−+−===；（III）3cos4C=，27sin1cos4CC=−=，7337sin22sincos2448CCC===

，291cos22cos121168CC=−=−=，所以sin2sin2coscos2sin666CCC−=−373113211828216−=−=.3．（2021·江苏·高考真题）已知向量()223sin,cosaxx=−，()cos,6bx=，设

函数()fxab=.（1）求函数()fx的最大值;（2）在锐角ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()0,7fBb==，3sin2sin0AC−=，求ABC的面积.【详解】（1）因为()223sin,cosaxx=−，(

)cos,6bx=，所以函数()fxab=223sincos6cos3sin23cos23xxxxx=−+=−++223sin233x=++∴当2sin213x+=时，max()233fx=+（2）∵ABC为锐角三角形，

02B.25233B+又()0fB=23sin232B+=−24233B+=3B=3sin2sin032ACac−==2221cos22acbBac+−==即222971432aaa+−=2,3ac==133323222ABCS=

=4．（2021·北京·高考真题）在ABC中，2coscbB=，23C=．4（1）求BÐ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：2cb=；条件②：ABC的周长为423+；条件③：

ABC的面积为334；【详解】（1）2coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B==，23C=，0,3B，220,3B，23

B=，解得6B=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB===，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR===，22sin3

3cRR==，则周长23423abcRR++=+=+，解得2R=，则2,23ac==，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222312231cos76+−=；若选择③：由（1）可得6A=，即ab=，则211333sin2224AB

CSabCa===，解得3a=，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb+−=++=.55．（2022·上海·高考真题）如图，矩形

ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知30AB=m，15AD=m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.(1)若∠ADE20=，求EF的长；(2)当点E在A

B的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【解析】(1)设EF与圆D相切于对点H，连接DH，则DHEF⊥，15DHAD==则AEEH=，所以直角ADE与直角HED△全等所以20ADEHDE

==在直角HED△中，tan2015tan20EHDH==90250HDFADE=−=在直角FHD△中，tan5015tan50HFAD==()sin20sin5015tan20tan5015cos20cos50EFEHHF=+=+=+()sin

2050sin20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50++==sin70151523.3cos20cos50cos50==(2)设ADE=,902HDF=−，则15tanAE=，

()15tan902FH=−()115151515tan15tan90215tan222tan2EFDSEFDH==+−=+V11515tan22ADESADAE==V6所

以梯形AEFD的面积为215152251tan30tan2tan2tan222tanADEDEFSSS−=+=+=+2251225122533tan23tan4tan4tan2=+=当且当13tantan=，即3tan

3=时取得等号，此时315tan15538.73AE===即当3tan3=时，梯形AEFD的面积取得最小值22532则此时梯形FEBC的面积有最大值22531530255.142−所以当8.7AE=时，梯形

FEBC的面积有最大值,最大值为255.141．（2022·山东枣庄·一模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsin2BCbaB+=．求：(1)A；(2)acb−的取值范围．【解析】(1)因为sinsin2BCbaB+=，所以sinc

ossinsin2ABAB=,因为()0,,sin0BB，()1cos2sincos0,cos0,sin=222222AAAAAA=，，，因为0,,22263AAA==.(2)由正弦定理，2sinsin()sinsin33

sinsinBacACbBB−−−−==331cossin222sinBBB−−=31cos12sin2BB−=−721(12sin)31312tan222222sincos22BBBB−−=−=−，因为203B，所以023B，所以0tan32B，所以

131tan12222B−−，所以acb−的取值范围是1(,1)2−.2．（2022·山东青岛·一模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()22sinsinsinsinsinBCABC−=−

．(1)求角A；(2)若5b=，BC边上的高为1077，求边c．【解析】(1)因为()22sinsinsinsinsinBCABC−=−，所以222sinsinsinsinsinBCABC+−=，所以由正弦定理得222bcabc+−=，所以由余弦定理得2221

cos222bcabcAbcbc+−===，因为()0,πA，所以π3A=.(2)由三角形面积公式得11107572277ABCSahaa===△，11π53sin5sin2234ABCSbcAcc===△，所以5753

74ac=，即214ac=，由余弦定理得22255acc=+−，将214ac=代入上式得216800cc+−=，解得4c=或20−（舍），所以边4c=.3．（2022·山东济南·一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin3cosbAaB=.(1)求B：(2)若

D为边AC的中点，且7BD=，4c=，求a.【解析】(1)8解：由sin3cosbAaB=及正弦定理，得sinsin3sincosBAAB=，因为sin0A，所以sin3cosBB=，又cos0B，所以tan3B=，因为()0,πB，所以π3B=.(2)解：延长BD

到点M使BDDM=，连接AM，在ABM中，4AB=，AMa=，27BM=，2π3BAM=，由余弦定理，得2222π2cos3BMABAMABAM=+−，即24120aa+−=，解得2a=或6a=−（舍），所以2a=.4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD中，//ABCD

，点E在边CD上，120C=，23BC=，45CEB=．(1)求BE，CE；(2)若7AB=，求sinAEB．【解析】(1)因为23BC=，45CEB=，120C=，所以15CBE=．在EBC中，由正弦定理可得23sin45sin

120sin15BECE==，可得23sin12032sin45BE==，23sin1533sin45CE==−．(2)9因为ABCD∥，所以45CEBABE==．在AEB△中，由余弦定理可得2222cos45EAEBABEBAB=+−()2223272327252=+−=，

所以5EA=．因为222cos2EAEBABAEBEAEB+−=2518492102532+−==−，所以72sin10AEB=．5．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，222ABBC

ABBCAC++=．(1)若33ABBC==，求△ABC的面积；(2)若3CDBC=，30CAD=，120BCD=，求∠ACB的值．【解析】(1)在△ABC中，2221cos222ABBCACABBCBABBCABBC+−−===−，因为01

80B，所以120B=．11333sin120312224ABCSABBC===△．(2)设ACB=，则120ACD=−，30ADC=+，60BAC=−．在△ACD中，由()sin30sin30ACCD=+，

得()sin30sin30ACCD+=．在△ABC中，由()sin120sin60ACBC=−，得()sin120sin60ACBC=−．联立上式，并由3CDBC=得()()sin30sin1203s

in30sin60+=−，整理得()()1sin30sin604+−=，所以()1sin6022+=，因为060，所以10062068+，所以602150+=，解得45=，即∠ACB的值为4

5．10（限时：30分钟）1．在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若2A，且__________．（1）求a的值；（2）若23A=，求ABC周长的最大值．从①3cos3cosaBbAac+=；②3coscos3aBabAc+=；③coscos3bC

cB+=这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【详解】解：（1）若选①，则由正弦定理得：3sincos3sincossin3sin()sin3sinsinABBAaCABaCCaC+=+==,因为(0,)C

所以sin0C，因此3a=；若选②，则由正弦定理得：3sincossincos3sinsincos3sin()3sincosABaBACaBAABAB+==+−sincos3cossinaBAAB=，因为,(0,)AB且2A，所以sin0,cos0BA，因此3a

=；若选③，则由正弦定理得：33sinsincossincossinsin()ABCCBABCaa+=+=，因为(0,)A且2A，所以sin0A，因此3a=；（2）若23A=，则由余弦定理得：222222cos9b

abccbcAbc=+−=++，2229()9bcbcbcbc+−=−+−=，又22bcbc+„，故22()()94bcbc++−„，即23bc+„，当且仅当3bc==时取等号，∴abc++的最大值为323+．2．已知函数()sincos3fxxx=+

.（1）求()fx的单调增区间；11（2）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A锐角，若3()4fA=−，5a=，3bc+=，求ABC的面积.【详解】（1）2cos3sinsincos3sin()sin2222xxxxxfxx=−=−sin2sin23cos2333

44424xxx+=+−=−，令222232kxk−++，51212kZkxk−+，kZ，()fx的单调增区间是5,1212kk−+，kZ；（2）sin2333sin(2)0224433AAAk+−=−+=

+=，kZ，∵A为锐角，∴3A=，由余弦定理得：2222222cos5()35abcbcAbcbcbcbc=+−+−=+−=又433bcbc+==面积11433sin22323SbcA===.3．如图，在平面四边形ABCD中，5π6D

AB=，π4ADC=，222ABAC==，1CD=.（1）求cosACD的值；（2）求BC的值.【详解】（1）由正弦定理，得sinsinACCDADCCAD=，12即21sin22CAD=.所以1sin2CAD=，故π6CAD=.所以

ππππcoscosπcos6464ACD=−+=−+ππππ26coscossinsin64644−=−+=.（2）由（1）可知π6CAD=，所以2π3BAC=.由余弦定理，得2222π2c

os143BCABACABAC=+−=，所以14BC=.4．已知锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足()20bccosAcosC−−=.（1）求角A的大小；（2）求cosBcosC+的取值范

围.【详解】（1）在ABC中，由()20bccosAacosC−−=，利用正弦定理得()20sinBsinCcosAsinAcosC−−=，所以()20sinBcosAsinAC−+=，即20sinBcosAsinB−=，因为0B，可得0sinB

，所以12cosA=，又因为0A，所以3A=.（2）由（1）知3A=，可得23BC+=，可得23CB=−，所以23cosBcosCcosBcosB+=+−2233cosBcosBcossinBsin=++31226sinBcosBsinB=

+=+，因为ABC为锐角三角形，所以02B，02C，且3A=，13所以62B，2363B+，所以3126sinB+故cosBcosC+的取值范围为3,12.5．在①2π3=，②C到OA

的距离为3，③321sin14COD=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知圆心角为ππ2的扇形AOB，C为弧AB上一点，D为线段OB上一点，且3CD=，2OD=，//CDAO，______

，求AOC△的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【详解】选择条件①：设该扇形的半径为r．因为//CDAO，所以ππ3CDO=−=．在CDO中，由余弦定理，得222π2cos3CDODCDODOC+−=，即2221322322r+−

=，解得7r=．在CDO中，由正弦定理，得sinsinOCODCDOOCD=，即72sin32AOC=，得21sin7AOC=，所以AOC△的面积为()22112121sin72272rAOC=

=．选择条件②：因为//CDAO，所以C到OA的距离等于O到CD的距离，所以3sin2CDO=．因为ππ2，所以CDO为锐角，所以π3CDO=．设该扇形的半径为r，14在CDO中，由余弦定理，得222π2cos3CDODCDODOC+−=，即2221322322

r+−=，解得7r=．在CDO中，由正弦定理，得sinsinOCODCDOOCD=，即72sin32AOC=，得21sin7AOC=，所以AOC△的面积为()22112121sin72272rAOC==．选择条件③：设该扇形的半径为r．在CDO中，由正弦定理，得sins

inCDODCDOOCD=，即32sin32114OCD=，所以21sin7OCD=．因为ODCD，所以OCD为锐角，则227cos1sin7OCDOCD−==．在CDO中，由余弦定理，得2222cosODCDOCCDOCOCD=+−，即22227236

7rr=+−，解得7r=或577．又5727，所以7r=，所以AOC△的面积为()221112121sin7sin722272rAOCOCD===．