【文档说明】山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(17)页，956.500 KB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度高二下学期期末考试试卷数学（理科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.(2)(3)1iii++=+（）A.5B.5iC.6D.6i【答案】A【解析】【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出

结果即可【详解】由题()()()23515.11iiiii+++==++故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数()A.7B.

64C.12D.81【答案】C【解析】【分析】试题分析：根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理得到结论为34=12，故答案为C.考点：计数

原理点评：解决的关键是理解完成一件事就是将一条长裤与一件上衣配成一套，因此采用分步乘法计数原理得到，属于基础题．【详解】请在此输入详解！3.已知函数()2ln241fxxxx=+−+，则函数()fx的图象在1x=处的切线方程

为（）A.20xy−+=B.20xy+−=C.20xy−−=D.20xy++=【答案】C【解析】【分析】求出函数()2ln241fxxxx=+−+的导函数，把1x=代入求出在1x=处的切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程，最后化成一般

式．【详解】()2ln241fxxxx=+−+，'1()44fxxx=+−'(1)1kf==当1x=，时1y=−，即点的坐标为（1，1−），根据点斜式可得(1)1(1)yx−−=−化成一般式为20xy−−=．故本题选C．【点睛】本点考查了函数导数的几何意

义、直线的点斜式方程、一般式方程．4.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A.(－∞，－1]和[0,1]B.[－1,0]和[1，＋∞)C.[－1,1]D.(－∞，－1]和[1，＋∞)【答案】A【解析】【分

析】对函数求导，研究导函数的正负,求使得导函数小于零的自变量的范围，进而得到单调区间.【详解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).故答案为A.【点睛】这个题

目考查了利用导数求函数的单调区间，对函数求导，导函数大于0，解得函数单调增区间；导函数小于0得到函数的减区间；注意函数的单调区间一定要写成区间的形式.5.函数3()2fxxaxa=−+在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围为（）A.(0,3)B.(,3)−C.(0,)+D.【答

案】D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=

0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．6.函数()yfx=在R上可导,且()()2'213fxxfx=−−,则()()1

1ff+=()A.0B.1C.-1D.不确定【答案】C【解析】【分析】求出(),1fxx=代入求出(1)()ffx，，进而求出(1)f，即可求解.【详解】()()2'213fxxfx=−−，得()()'41fxxf=−，()()(

)'21411=2,()223ffffxxx=−=−−，，(1)3,(1)(1)1fff=−+=−.故选:C【点睛】本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.7.已知随机变量服从正态分布()22,N，若(3)0.84=P，则(1)P=（）A.0.1

6B.0.32C.0.68D.0.84【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可.【详解】由(3)0.84(3)10.840.16PP==−=，因为正态分布()22,N的对称轴为：2x=，所以(1)(3)0.16PP=

=.故选：A【点睛】本题考查了正态分布对称性的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.8.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（）A.17B.16C.15D.14【答案】A【解析】【分析】服从二项分布，由二项分布的期望和方差公

式解出p即可.【详解】由于随机变量(),Bnp，则7Enp==，()16Dnpp=−=，∴617p−=，∴17p=，故选：A.【点睛】本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题.9.设5250125(2)xaaxaxax−=++，那么024135aaaaaa++++的值为（）

A.244241−B.122121−C.6160−D.-1【答案】B【解析】【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得02412431222aaa++==+，15312431212aaa−++==−，代入运算即可得解.【详解】解：由5250125(2)xaaxaxax−=++，令1x=得

：5012534(21)aaaaaa−++=+++，①令1x=−得：5053412[2(1)]aaaaaa=−−+−−−+，②联立①②得：02412431222aaa++==+，15312431212aaa−++==−，即024135aaaaaa++=++122121−，故选：B

.【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题.10.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点朝上的概率是()A.125216B.25216C.31216D.91216【答案】D【解析】【分析】先根据题意，确定一颗骰子抛掷一次出现6点

朝上的概率，计算出现0次6点朝上的概率，根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【详解】因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率为16，因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为3112516216−=，所以至少出现一次6点朝上的概率是12591121

6216−=.故选：D.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率，熟记概率计算公式，以及对立事件的概率即可，属于常考题型.11.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上

或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是（）A.612B.44612CC.62612CD.6246612CC【答案】C【解析】【分析】根据题意，质点P

移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案．【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466

111222CPC==.故选：C．【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.12.定义在R上的可导函数()fx满

足()1fx，若()()1231fmfmm−−−，则m的取值范围是（）A.(,1−−B.1,3−C.)1,−+D.1,3+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()gxfxx=−，利用导数分析函数()ygx=的单调性，将所求不等式变形为()()

12gmgm−，再由函数()ygx=的单调性可解此不等式，进而得解.【详解】令()()gxfxx=−，()()10gxfx=−，故()ygx=单调递减.()()1221fmmfmm−−+−，即()

()12gmgm−，12mm−，13m.因此，m的取值范围是1,3−.故选：B【点睛】本题考查利用构造函数求解函数不等式，根据题意构造新函数并判断新函数的单调性，再依据新函数单调性化简不等式即可，属于中等题.二、填空题(本小题共4小题，每小题5分，共20分）.13.

20(1)xdx−=.【答案】.【解析】【详解】试题分析：222001(1)02xdxxx−=−=.考点：定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用

牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.14.中国四大古城是指安徽徽州古城、四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城．某艺术学院的美术系的5名同学（含同学甲在内）去这四大古城写生，若每个古城至少有1名同学前去，且每名同学恰好选择了其中－座古城，

已知同学甲必须去平遥，则这5名同学不同的写生方案共有______种．【答案】60【解析】【分析】分平遥恰有2名同学和平遥恰有1名同学两种情况讨论即可.【详解】若平遥恰有2名同学，则不同的写生方案有4424A=种；若平遥恰

有1名同学，则把剩下的4名同学分成1,1,2三组，再把这三组分配到其它三座古城，不同的写生方案有112343232236CCCAA=种所以总的写生方案有243660+=种故答案为：60【点睛】本题考查的是排列组合中的分组分配问题，常采用先组后排的策略，属于基础题.15

.()52xy−的展开式中23xy的系数为________．【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrCxy−−,令3r=可得：23xy的系数为：()33252140C−=−.故答案为-40.点睛：在Tr＋1＝rnrrnCab−中，rnC

是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rnC，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．16.函数()sin2fxxx=−（xR），且()()120faf

a−+，则实数a的取值范围是____________.【答案】(1,)−+【解析】【分析】根据题意，对函数f（x）求导分析可得f′（x）=cosx﹣2＜0，即可得函数f（x）在R上为减函数，又函数为奇函数，可以将原不等式化为f（2a）＜f（a﹣1），进而转化为2a＞a﹣1，解可得a的取值

范围，即可得答案．【详解】根据题意，f（x）=sinx﹣2x，其导数f′（x）=cosx﹣2，又由cosx≤1，则必有f′（x）=cosx﹣2＜0，即函数f（x）在R上为减函数且为奇函数若()()120fafa−+，则f（

2a）＜f（a﹣1），必有2a＞a﹣1，解可得a＞﹣1，即a的取值范围（﹣1，+∞）；故答案为（﹣1，+∞）【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性以及函数单调性的应用，关键是利用导数判断出函数的单调性．三、解答题(本小题共6小题，共70分）.17.设()sinxfxex=

函数.(Ⅰ)求函数()fx单调递增区间；(Ⅱ)当[0,]x时，求函数()fx的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）3[2,2]44kkkz−+；（Ⅱ）3422e，0【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为通过对函

数()sinxfxex=求导可得'()2sin()4xfxex=+，所以要求函数()fx的单调递增区间即要满足'()0fx，即解4in(0s)x+可得x的范围.本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可得函数()fx在上3[2,2],44kkkZ

−+递增，又因为0,,x所以可得3[0,]4x是单调增区间，3[,]4x是单调减区间.从而可求结论.试题解析：（Ⅰ）(sinc)s()oxfxexx+=2sin()4xex=+()

0,sin()0.4fxx+322,22,444kxkkxk++−+即()fx单调区间为3[2,2],44kkkZ−+（Ⅱ）0,,x由知（Ⅰ）知，3[0,]4x是单调增区间，3[,]4x是单调减区间3432(0)0

,()0,(),42fffe===所以,考点：1.函数的导数解决单调性问题.2.区间限制的最值问题.3.解三角不等式.18.若函数3()4=−+fxaxbx,当2x=时,函数()fx有极值为43−.(1)求函数()fx的解析式；(

2)若()fxk=有3个解,求实数k的取值范围.【答案】（1）31()443fxxx=−+；（2）42833k−.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,ab的值，从而得到函数的解析式；（2）利

用函数的单调性以及极值，通过()fxk=有三个不等的实数解，求得k的取值范围.【详解】（1）因为()34fxaxbx=−+，所以2'()3=−fxaxb，由2x=时，函数()fx有极值43−，得()()20423ff==−，即1204

8243abab−=−+=−，解得134ab==所以()31443fxxx=−+；（2）由（1）知()31443fxxx=−+，所以2'()4(2)(2)=−=+−fxxxx，所以函数()fx在(,2)−

−上是增函数，在(2,2)−上是减函数，在(2,)+上是增函数，当2x=−时，()fx有极大值283；当2x=时，()fx有极小值43−，因为关于x的方程()fxk=有三个不等实根，所以函数()yfx=的图象与

直线yk=有三个交点，则k的取值范围是42833k−.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交

点的个数来解决，属于中档题目.19.已知函数()2ln,=+afxxaRx.（1）若函数()fx在)4,+上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx在1,e上的最小值为3，求实数a的值.【答案】（1）2a；（2）ae=.【解析】

试题分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数在)4,+大于等于0恒成立得到x-2a≥0在)4,+恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的

区间端点值得大小关系分析原函数在区间1,e上的单调性，由单调性求得原函数在1,e上的最小值，由最小值等于3解得a的值．试题解析：（1）()22122axafxxxx−==−，由已知)224,,0xaxx−+，即20xa−，∴

2ax，∴24a，∴2a.（2）当21a，即12a时，1,xe，()0fx，∴()fx在1,e上单调递增，∴()()min123fxfa===，∴32a=舍；当12ae，即122ea时，()()1,2,0xafx，∴()fx在()1,2xa

上单调递减；()2,xae，()0fx，∴()fx在()1,2xa上单调递增，∴()()min2ln213fxfaa==+=，∴22ea=舍；当2ae，即2ea时，1,xe，()0fx

，∴()fx在1,e上单调递减，∴()()min213afxfee==+=，∴ae=；综上，ae=.20.雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．男女文科25理科103（Ⅰ）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出

3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（Ⅱ）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式和数据：22()()()()()nadbcKacbdabcd−=++++2()pKk0.150.100.050

.0250.0100.0050.001k2.072.713.845.026.647.8810.83【答案】（Ⅰ）57；（Ⅱ）有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ

）设样本中两名男生分别为a,b,5名女生分别为c,d,e,f,g，则基本事件空间为；（abc）(abd)(abe)(abf)(abg)(acd)(ace)(acf)(acg)(ade)(adf)(adg)(aef)(aeg)(afg)(bcd)(bce)(bcf)(bcg)(bde)

(bdf)(bdg)(bef)(beg)(bfg)(cde)(cdf)(cdg)(cef)(ceg)(cfg)(def)(deg)(dfg)(efg)共35种，其中，既有男又有女的事件为前25种，故P

（“抽出的3人中既有男生也有女生”）＝2535＝57．（Ⅱ）()220506713128k−=4．433．841，对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．考点：分层抽

样；随机事件的概率；古典概型；独立性检验．点评：本题考查用列举法计算基本事件数及随机事件发生的概率，解题的关键是熟练运用分类列举的方法及事件的性质将所有的基本事件一一列举出来，运用公式求出概率，列举法求概率适合基本事件

数不太多的概率求解问题．21.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)

，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．（1）已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的

人中恰有1名数学老师的概率；（2）组织者从[45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列和均值．【答案】（1）1635；（2）见解析.【解析】【分析】

（1）根据频率分布直方图，先得到年龄在[25,30)之间的概率，再由[25,30)这组的参加者是6人，求得参加的总人数.然后分别求得年龄在[35,40)和[40,45)之间的人数，然后利用古典概型的概率求解.（

2）先得到年龄在[45,55)的人数，根据有4名女教师，则X的可能取值为：1，2，3，然后求得相应的概率，列出分布列再求期望.【详解】（1）因为年龄在[25,30)之间的概率为0.035=0.15，又[25,30)这组的参加者是6人，所以参加的总人数为6=400.15，所以年龄在[3

5,40)之间的人数为0.04540=8，年龄在[40,45)之间的人数为0.03540=6，所以两组选出的人中恰有1名数学老师的概率112211264624228616=35CCCCCCpCC+=.（2）年龄在[45,55)的人数为：()0.010.02540=6+，从中随机

选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，X的可能取值为：1，2，3()124236115CCpXC===()214236325CCpXC===()304236135CCpXC===分布列为：X123p153515均值()1311232555EX=++=.【点睛】本

题主要考查频率分布直方图，古典概型的概率以及分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：评价等级★★★★★★

★★★★★★★★★分数0～2021〜4041〜6061～8081〜100人数5212675(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率；(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.(i)若从全国所

有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；(ii)若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差.【答案】（1）81100（2）(i)27320(ii)3【解析】

【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；（2）(i)记事件:A恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件A的概率；(ii)由题意得出3~16,4XB，然后利

用二项分布的方差公式可得出DX的值．【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75，故评价在四星以上(包括四星)的人数为67581+=，故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为0.81（或81100）；（2）(i)记“恰有2名评价为五星1名

评价为一星”为事件A，则()21357527100100320PAC==；(ii)由题可知3~16,4XB，故33161344DX=−=.【点睛】本题第（1）考查频率的计算，第（2）文考查独立重复试验的概率以及二项分布方

差的计算，解题前要弄清事件的基本类型以及随机变量所服从的分布列类型，再利用相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．