【文档说明】上海市交通大学附属中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，924.436 KB，由小赞的店铺上传

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交大附中高三开学考数学试卷2023.02一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.正多面体按其面数分有___________种【答案】5【解析】【分析】由正多面体的概念判断．【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十

二面体，正二十面体共5种，故答案为：5.2.若sinsin=，那么角α的终边与角β的终边___________【答案】重合或关于y轴对称【解析】【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】设00(,)Pxy是终边上一点（不与原点重合），则0sinyOP

=（O是坐标原点），当与终边相同时，取同一点00(,)Pxy，当与终边关于y轴对称时，取终上点00(,)Qxy−，计算可得sinsin=因此由sinsin=知，角α的终边与角β的终边重合或关于y轴对称

．故答案为：重合或关于y轴对称．3.若()1,1a=，()1,2b=−，那么b在a方向上的投影为___________【答案】11(,)22【解析】【分析】根据投影的定义求解．【详解】由已知2a=，5b=，1222

2aba−+==，所以b在a方向上的投影为2(1,1)11(,)2222abaaa==.故答案为：11(,)22．4.已知集合21,2,Ax=，1,Bx=，若ABA=，则实数x=___________【答案】0或2【解析

】【分析】根据并集的结论得出集合的包含关系,从而得出x的值.【详解】∵ABA=，∴BA，显然1x，若2x=，则{124}A=，，，{1,2}B=满足题意；若2xx=，则0x=或1x=，1x=不合题意，0x=代入可知满足题意，综

上，0x=或2.故答案为：0或2.5.已知复数12iza=+，234iz=+，且12zz为纯虚数，则实数=a___________【答案】83##223【解析】【分析】利用共轭复数的定义先得到234zi=−，化简12zz，然后利用纯

虚数的定义即可求解【详解】由234iz=+可得234zi=−，∵12iza=+，∴()()()()()122i34i3864i2i3864i34i34i34i252525aaazaaaz++−+++−+====+−−+，∵12zz为纯虚数，∴3802564025a

a−=+，即83a=.故答案为：836.已知2nxx+的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为56：3，则n=___________【答案】10【解析】【分析】由二项展开式通项公式得系数比，从而求得n．

【详解】3212C()()C2nrrnrrrrrnnTxxx−−+==，由已知第5项的系数与第3项的系数之比为4422C256C23nn=，解得10n=（负值舍去）．故答案为：10.7.甲、乙、丙投篮一次

命中的概率分别为13、14、15，现三人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为___________【答案】35##0.6【解析】【分析】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，分析可先求()PA，即可求得结果.【详解】由题

可记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，则()11121113455PA=−−−=，所以()35PA=.故答案为：358.已知随机变量()22,XN−，且()213PX−=≤，则

()3PX−=≤___________【答案】13【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解.【详解】因为随机变量X服从正态分布2(2,)N−，且2(1)3PX−=，所以()()()213111133PXPXPX−=−=−−=−=，故答

案为：13.9.已知双曲线22221xyab−=的两个焦点分别为1F、2F，该双曲线与抛物线28yx=有一个公共的焦点1F，且两曲线的一个公共点为P，15FP=，则12FPF的大小为___________（结

果用反三角函数表示）【答案】29arccos35【解析】【分析】由题可得双曲线的焦点坐标，利用抛物线的性质可得点P的坐标，再由两点间距离公式可以求得点P到另一个焦点的距离，在利用余弦定理即得.【详解】由题意知：抛物线28yx=的焦点是(2,0)，故双曲线的焦点坐标为1(2,0

)F和2(2,0)F−，又两曲线的一个公共点为P，且15FP=，由抛物线的性质可得点P的横坐标为3，代入抛物线方程可得点P的纵坐标为26，不妨设点(3,26)P，由两点间距离公式可得222(32)(2

60)7PF=++−=，在12FPF△中，由余弦定理可得：2221275429cos27535FPF+−==，所以12FPF的大小为29arccos35，故答案为：29arccos35.10.已知224,0()12,0xxxfxxxx−−+

=−+−，若区间,ab是函数()yfx=的一个单调减区间，ba−最大值为___________【答案】2【解析】【分析】根据函数的解析式去绝对值，作出函数图象，结合图象即可求解.【详解】因为224,0()12,0xxxfxxxx−−+=−+−

，当0x时，函数22()24(1)5fxxxx=−−+=−++，函数()fx在(,1)−−上单调递增，在[1,0]−上单调递减；当01x时，函数()23fxx=−+，函数()fx在(0,1]上单调递减；当12x时，函数()1fx=，函数不单调；当2x时，函数()23fxx=

−，函数()fx在[2,)+上单调递增；作出函数()fx的图象，如下图所示：结合图象可知：函数在[1,0]−和(0,1]上单调递减，若区间,ab是函数()yfx=的一个单调减区间，则ba−最大值为2，故答案为：2.11.设1l、2l、3l为空间

中三条不同的直线，若1l与2l所成角为α，1l与3l所成角为β，其中0π4≤≤，那么2l与3l所成角的取值范围为___________【答案】−+，【解析】【分析】不妨设1l、2l、3l相交于点S，根据题

意构造两个圆锥，结合轴截面可得2l与3l所成角的最小值与最大值，可得答案.【详解】不妨设1l、2l、3l相交于点S．如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为O，轴SO所在直线为1l，小圆锥的母线所在直线为2l，轴截面SCD；大圆锥的母线所在直线为3l，轴截面SAB，且,,,,ABCDO在一条

直线上．由题意,OSCOSDOSAOSB====，又0π4≤≤，可知π2CSDASB,由图可知，当2l移动到SD，3l移动到SB时，可得2l与3l所成角的最小，最小值为DSB=−；当2l移动到SC，

3l移动到SB时，可得2l与3l所成角的最大，最大值为CSB=+，所以，2l与3l所成角的取值范围为−+，.故答案为：−+，.12.一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是___________（连结不在凸多面体的同一

个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线）【答案】241【解析】【分析】26个顶点中任意两点的连线去除在凸36面体面上的线即得对角线．【详解】该多面体的棱数为243124602+=，顶点数为2366026

−+=，26个顶点中任意两点的连线去除在凸36面体面上的线即为体对角线，36面体面上的线有：36面体的棱，共有243124602+=条，以及四边形对角线，共有12224=条，36面体对角线条数为226C6024241−−=．故答案为：241.二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13.对任意给定的实数a、b，有||abab++，且等号当且仅当（）时成立A.0abB.0abC.0abD.0ab≤【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质化简可得等号成立条件.【详解】由22||()()||abababababab++++≤，所以不等式取等号时，0ab=或0a

b，故选：C14.下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（）A.如果ab，且bc，那么ac的的B.对任意的实数a和b，总有222abab+，且等号当且仅当ab=时成立C.对任意的正实数a和b，总有2abab+，且等号当且仅当ab=时成立D.当1a，0s时，1sa【答案】C【解析】

【分析】根据不等式的概念判断．【详解】只有选项C中不等式左边是两个正数,ab的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式称为幂的基本不等式．故选：C．15.已知数列na满足1aa=，2ab=，()*21++=−nnnaaanN，nS是na的前n项的和，则20232023

aS+等于（）A.2bB.2aC.ab+D.ab−−【答案】B【解析】【分析】通过前几项找出规律，可得到数列na是周期为6的周期数列，进而计算出答案【详解】1221,,,nnnaaabaaa++===−

3,aba=−4(),ababa=−−=−5(),aabab=−−−=−6(),abaab=−−−=−7(),aabba=−−−=8(),aaabb=−−=∴数列na是周期为6的周期数列，且123456aaaaaaab+++++=+()

()()()0baabab+−+−+−+−=202333761,=+2023202313370,,Saaaaa=+===202320232aSa=+，故选：B16.在1、2、3、4、5的所有排列1a、2a、3a、4a、5a中，满足条件12

aa，32aa，34aa，54aa的排列个数是（）A.10B.12C.14D.16【答案】D【解析】【分析】结合枚举法得出排列个数.【详解】由题意，5只能在24,aa中出现，1,2不能出现在24,aa中，因此若24,aa取值4或5，则排列个数为2323AA12=，若24,aa取值

为3或5，则4只能出现在5的一侧，即排列有：13254，23154，45231，45132共4个，综上，所有排列个数为12+4=16.故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.（1）判断：对于三个实数a、b、c，“ab¹”是“ac或bc”的条件（填“充要”、“

充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明．（2）证明：3是无理数．【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据原命题与逆否命题的关系得出命题真假，据此判断充分条件、必要条件即可

；（2）利用反证法证明3是无理数.【详解】（1）充分不必要条件；证明如下：命题：若ab¹，则ac或bc的逆否命题为：若ac=且bc=，则ab=，显然正确，故原命题正确，即ab罐ac或bc；命题：若ac或bc，则ab¹的逆否命题为：若ab=，

则ac=且bc=，显然命题错误，故原命题错误，即ac或bc不能推出ab¹，故“ab¹”是“ac或bc”的充分不必要条件.（2）假设3是有理数，132Q，3不是整数，故存在两个互质的正整数,pq，的使得3pq=，于是3pq=，两边平方

，得223pq=.∵23q是3的倍数，2p是3的倍数.又∵p是正整数，p是3的倍数.设3pk=(k为正整数)，代入上式，得2239qk=，223qk=，同理q也是3的倍数，这与前面的假设,pq互质矛盾.因此假设3是有理数不成立，故3是无理数.18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9

=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】（1）210nan=−+；（2）110()nnN.【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于1a和d的方程组，求得1a和d的值，利用等差数列的通项公

式求得结果；（2）根据题意有50a=，根据10a，可知0d，根据nnSa，得到关于n的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，根据题意有111989(4)224adadad+=−++=，解答182ad=

=−，所以8(1)(2)210nann=+−−=−+，所以等差数列na的通项公式为210nan=−+；（2）由条件95Sa=−，得559aa=−，即50a=，因为10a，所以0d，并且有5140aad=+=，所以有14ad=−，由n

nSa得11(1)(1)2nnnadand−++−，整理得2(9)(210)nndnd−−，因为0d，所以有29210nnn−−，即211100nn−+，解得110n，所以n的取值范围是：110()nn

N【点睛】该题考查是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜

伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）0,2(2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,14人数501502003002006040（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均

数值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错

误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调

查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk…0.050.0250.010的0k3.8415.0246.635【答案

】（1）7天（2）列联表见解析，不能认为潜伏期与患者年龄有关（3）6人【解析】【分析】（1）直接代入频率分布直方图估计平均值公式；（2）完成列联表，计算2K再与3.841比较大小；（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为3003100010=，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为X，则3

20,10XB，再列不等式()()()()1,1,PXkPXkPXkPXk==+==−……即可得到答案；【小问1详解】平均数5015020030020060401357911131000100010001000100010001000x=+++

+++65806.5871000==（天）.【小问2详解】由题设知：潜伏期天数在0,8的频率为0.7，潜伏期天数在(8,14的频率为0.3，故200人中潜伏期在0,8上有140人，在(8,14上有60人.列联表如下：潜

伏期8天潜伏期8天总计50岁以上（含50）752510050岁以下6535100总计1406020022200(75356525)502.3813.8411001001406021K−==，故在犯错误概率不超过5%的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有

关.【小问3详解】由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为3003100010=，设20名患者中潜伏期超过8天的人数为X，则320,10XB，()202073C1010kkkPXk−==且020,k

kN剟，由题意得，()()()()1,1,PXkPXkPXkPXk==+==−……即201911202020211120207373CC,101010107373CC,10101010kkkkkkkkkkkk−−++−−−−

……化简得()()()71320,3217,kkkk+−−……解得5363,1010k剟6k=，即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.20.已

知抛物线C的顶点为原点，其焦点()()0,0Fcc到直线的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点()00,Pxy为直线l上的定点时，求直线A

B的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．【答案】(Ⅰ)24xy=(Ⅱ)00220xxyy−−=(Ⅲ)92【解析】【详解】试题分析：（1）设拋物线C的方程为24xcy=，利用点到直线的距离,求出1c=,得到抛物线方程；的（2）对抛物线

方程求导,求出切线,PAPB的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AFyBFy=+=+，联立直线与抛物线方程,消去x,得到一个关于y的一元二次方程,由韦达定理求得1212,yyyy+的值,还有002xy=+,将A

FBF表示成0y的二次函数的形式,再求出最值.试题解析:解：（1）依题意，设拋物线C的方程为24xcy=，由023222c−−=结合0c，解得1c=，所以拋物线C的方程为24xy=.（2）拋物线C的方程为24xy=，即214yx=，求导得12yx=，设(

)()1122,,,AxyBxy(其中221212,44xxyy==)则切线,PAPB的斜率分别为1211,22xx，所以切线PA的方程为()1112xyyxx−=−，即211122xxyxy=−+，即11220xxyy−−

=，同理可得切线PB的方程为22220xxyy−−=，因为切线,PAPB均过点()00,Pxy，所以1001220xxyy−−=，2002220xxyy−−=，所以()()1122,,,xyxy为方程00220xxyy−−=的两组解，所以直线AB的方程

为00220xxyy−−=.（3）由拋物线定义可知121,1AFyBFy=+=+，联立方程002220{4xxyyxy−−==，消去x整理得()22200020yyxyy+−+=.由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,yyxyyyy+=−=，所以()221212000121AFBF

yyyyyxy=+++=+−+又点()00,Pxy在直线l上，所以002xy=+，所以22220000001921225222yxyyyy+−+=++=++，所以当012y=−时，AFBF取得最小值,且取得

最小值为92.考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利

用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PAPB的方程,得出直线AB的方程;第三问先用抛物线定义把,AFBF的值表示出来,联立直线AB与抛物线方程,得到1212

,yyyy+的值,将AFBF表示成0y的二次函数的形式,再求出最值.21.已知()()ln1fxxx=−+．（1）若关于x的方程()fxa=有解，求实数a的最小值；（2）证明不等式()()*111ln11N23nnn+++++；（3）类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：11

2222212e111ennnnnn++++（*nN，e为自然对数的底数）【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由导数求出()

fx的值域即得；（2）由（1）得ln(1)xx+，分别取1111,,,,23xn=得n个不等式相加即可证；（3）在ln(1)xx+中令22212,,,nxnnn=，所得不等式相加可证明右边不等式成立，构造新函数()ln(1)1xhxxx=+−+，利用导数证明0x时，()0h

x，然后同样令22212,,,nxnnn=，所得不等式利用不等式的性质放缩后相加可证明左边成立．【小问1详解】()fx定义域是(1,)−+，由已知1()111xfxxx=−=++，10x−时，()0fx，0x时，()0fx

，∴()fx在(1,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，(0)0f=，x→+时，()fx→+，∴()fx的值域是[0,)+，即a的范围是[0,)+，∴a的最小值是0；【小问2详解】由（1）知0x时，ln(1)0xx−+，即ln(1)xx+，分别取1111,,,,23

xn=得：ln21，131ln(1)lnln3ln2222+==−，…，111ln(1)lnln(1)lnnnnnnn++==+−，这n个不等式相加得111ln(1)123nn+++++；【小问3详解】

同样在不等式ln(1)xx+中，分别令22212,,,nxnnn=，得2211ln(1)nn+，2222ln(1)nn+，…，22ln(1)nnnn+,相加得222212121ln([1)(1)(1)]2nnnnnnnn+++++++=，所以12222

12111ennnnnn++++，设()ln(1)1xhxxx=+−+，则221(1)()1(1)(1)xxxhxxxx+−=−=+++，0x时，()0hx，()hx单调递增，所以()(0)0hxh=，即0x时，

ln(1)1xxx++，分别令22212,,,nxnnn=，得222221111ln(1)111nnnnnn+=+++，222222222ln(1)221nnnnnn+=+++，…，2222ln(1)1nnnn

nnnnn+=++，相加得222212121ln[(1)(1)(1)]2nnnnnnn++++++=+，∴1222212111ennnn+++，综上，112222212e111enn

nnnn++++．【点睛】方法点睛：本题考查用导数证明不等式，证明数列不等式的方程是利用导数所证明的函数不等式中让自变量x取适当的值得出相应不等式，由不等式性质变形得出结论．难点是构造函数，本题（3）中构造函数()ln(1)1xhxxx=+−+就是如此难点

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