【文档说明】四川省成都市实验外国语学校2020届高三模拟考试（三）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.911 MB，由小赞的店铺上传

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成都市实验外国语学校高2017级数学模拟（三）理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2|1,AxyxxZ==−，2|1,ByyxxA==+，则AB为（）A.B.)0,+C.1D.()0,1【答案】C【解析】【分

析】求函数21,yxxZ=−的定义域化简集合A的表示，求函数21,yxxA=+的值域化简集合B的表示，最后利用交集的定义进行求解即可.【详解】因为2|1,1,0,1AxyxxZ==−=−，2|1,2,1ByyxxA==+=，所以1AB=.故选：C【点睛】本题考

查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力.2.若复数z满足()13izi+=−，则z的虚部为（）A.1−B.2−C.i−D.2i−【答案】A【解析】【分析】计算()12iz+=，利用复数除法运算得到答案.【详解】()13312izi+=−=

+=，故()()()2121111iziiii−===−++−，故虚部为1−.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3.在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(2,1)P

，则cos2=（）A.223B.13C.13−D.223−【答案】B【解析】【分析】先由角的终边过点(21)P，，求出cos，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(21)P，，所以26cos321==+，因此21

cos22cos13=−=.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.4.31()nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A.28B.28−

C.70D.70−【答案】A【解析】【分析】由题意求得8n=，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】31()nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故

n为偶数，展开式共有9项，故8n=．31()nxx−即831()xx−，它的展开式的通项公式为84318(1)rrrrTCx−+=−，令8403r−=，求得2r=，则展开式中的常数项是2828C=，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展

开式中某项的系数，属于基础题．5.下列判断正确的是（）A.两圆锥曲线的离心率分别为1e，2e，则“121ee”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B.命题“若21x=，则1x=.”的否命题为“若21x=，则1x.”C.若命题“pq”为假命题，则命题“pq”是假命题D

.命题“xR，22xx."的否定是“0xR，0202xx.”【答案】D【解析】【分析】对于A，取特值：113e=，232e=，可知A不正确；对于B，只否定了结论，没有否定条件，故B不正确；对

于C，命题p与命题q一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“pq”是真命题，所以C不正确；对于D，根据命题的否定的概念，可知D正确.【详解】对于A，若两圆锥曲线均为椭圆，则101e，201e，所以1201ee，所以“121ee”是“两圆锥曲线均为椭圆”的必要

条件，取113e=，232e=满足121ee，此时一个圆锥曲线为椭圆，一个圆锥曲线为双曲线，所以“121ee”不是“两圆锥曲线均为椭圆”的充分条件，故A不正确；对于B，命题“若21x=，则1x=.”的否命题为“若21x，则”1x，故B不正确；对于C，若命题“

pq”为假命题，则p与q至少有一个为假命题，当p为假命题，q为真命题时，“pq”为真命题，故C不正确；对于D，命题“xR，22xx."的否定是“0xR，0202xx.”是正确的，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了充要条件

，考查了椭圆和双曲线的离心率，考查了命题的真假判断，考查了否命题和命题的否定，属于基础题.6.函数2()cos()xxeexfxx−−=的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断

函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可.【详解】由题知,函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+,关于原点对称,且()()22cos()cos()()()xxxxeexeexfxfxxx−−−−−−==−=−−,所以()fx是奇函数,所以排除C,D;又∵()22co

s11()0eefee−−==−,所以排除A,故选：B.【点睛】本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除即可解决，属于中等题.7.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且()

cos2cos0aCbcA−−＝，则角A的大小为（）A.4B.3C.2D.34【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角可得sincossincos2sincosACCABA+=，再进一步化简求出2cos2A=即可得出角A．【详解】

∵()cos2cos0aCbcA−−=，由正弦定理可得sincossincos2sincosACCABA+=，即sin2sincosBBA=.∵sin0B，∴2cos2A=.∵0A，∴4A=.选A．【点睛】本题主要考查正弦定

理及三角恒等变换，属中等难度题．8.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若//m，//n，则//mnB.若//，m，n，则//mnC.若⊥，m=，

n，则n⊥D.若m⊥，//mn，n，则⊥【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若//m，//n，则m与n相交

、平行或异面，故A错误；在B中，若//，m，n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若⊥，m=，n，则n与相交、平行或n，故C错误；在D中，若m⊥，//mn，n，则由面面垂直的

判断定理得⊥，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9.设随机变量X，Y满足：31YX=−，()2,XBp，若()519PX=，则()DY=（）A.4B.5C.6D.7【答案

】A【解析】由题意可得：()()()2025110119PXPXCp=−==−−=，解得：13p=，则：()()()()212412,34339DXnppDYDX=−====．本题选择A选项.10.已知函数()fx是定义在R

上的偶函数，当0x时，()xfxex=+，则()2af=−，()2log9bf=，()5cf=的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】D【解析】【分析】首先确定函数在)0,x+上单调递增

，然后再利用偶函数的性质即可比较出大小.【详解】当0x时，()xfxex=+，则()10xfxe=+，所以()fx在)0,x+上单调递增，由22log9log8352=，所以()()()2log952fff，因为函数()fx是定义

在R上的偶函数，所以()()22aff=−=，所以bca，故选：D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于基础题.11.已知双曲线2222:10,0)xyCabab−=（的左、右顶点分别为AB、.点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于

x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交QF于点M,且2QMMF=,则双曲线C的离心率为(）A.2B.2C.3D.5【答案】B【解析】由双曲线2222:10

,0)xyCabab−=（，得(,0),(,0),(,0)AaBaFc−−又过点F作垂直与x轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线C于,PQ两点，所以22(,),(,)bbPcQcaa−−−如图所示，设11(,)Mxy，因为2Q

MMF=，解得213bya=−，即2(,)3bMca−−，又由直线PB的方程为()acyxaa−=−，令0x=，得yca=−，即(0,)Eca−，又由,,MAE三点共线，所以AEMAkk=，即23bcaaaca−=−，即又因为222b

ca=−，整理得223()cacaaaca−−=−，即2ca=，所以2cea==，故选B．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率

(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范

围)．12.若()1212,xxxx为函数()fx相邻的两个极值点，且在1x，2x处分别取得极小值和极大值，则定义()()12fxfx−为函数()fx的一个极优差，函数()()sincos20202xfxexxx=−−的所有极优差之和为（）A.()2020211eee

−−B.202111ee−−−C.2020211ee−−−D.202011ee−−−【答案】D【解析】【分析】利用导数判断函数()fx的单调性求出极值点，当,20202x−时，表示出所有的极大值之和、极小值之和，利用等比数列求和公式即可求

得极优差之和.【详解】()2sinxfxex=，当()2,2()xkkkZ+时，()0fx¢>，()fx单调递增，当()2,22()xkkkZ++，()0fx¢<，()fx单调递减，所以函数()fx在2()xkkZ=+

处取得极大值，在22()xkkZ=+处取得极小值，当,20202x−，所有的极大值之和()()()32019Mfff=+++，所有的极小值之和()()()()0242018Nffff=++++.∴()()()()()()()()(0)3220192

018MNffffff−=−+−+−+32201920181eeeee=++++++20201=1ee−−，所有极优差之和202011eNMe−−=−−.故选：D【点睛】利用导数判断函数的单调性及求

极值、正弦函数的图象与性质、等比数列求和公式，属于较难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()1,3a=，()3,1=rb则向量a在向量b方向上的投影为____________.【答案】3【解析】【

分析】根据||||cosababa=，b，得a在b上的投影为||cosaa，||abbb=，求出ab，代入投影的公式计算即可．【详解】向量()1,3a=，()3,1=rb，3+323ab==，||2b=，a在b方向上的投影为||cosaa，2332||a

bbb===．故答案为：3．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．14.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是．【答案】【解析】【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解a的取值范围即可.【详解】由题

意可得：()()2'3632fxxaxa=+++，若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程()236320xaxa+++=有两个不同的实数根，即：()()2643320aa=−+，整理可得：整理可得：()()36120aa+−，据此可知a

的取值范围是2a或1a−.【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．15.已知函数()3s

incos(0)fxxx=+，其图象与直线2y=的两个相邻交点的距离等于，则()fx的单调递增区间为______________．【答案】,?36kk−+【解析】函数()3sincos2sin6fxxxx=+=+，因为()yfx=的图象与

直线2y=的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期T=，所以2=，所以()2sin26fxx=+（），因为222,262kxkkZ−++，解得[]36xkk−+，，kZ，即函数的单调增区间为[]36kkkZ−+，，，故答案为[]36kkkZ−+，

，.16.已知抛物线方程24yx=，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：||()||PFdPFQ=.已知点(1,42)P−，则()dP=______；设点(1,)(0)Ptt−，则2()||dPPF−的

值为____.【答案】(1).4(2).2【解析】【分析】（1）根据直线PF的方程22(1)yx=−−，求出点1(,2)2Q，再利用焦半径公式，即可得答案；（2）根据||2()||22||||PQdPPFPFFQ−=+−，再利用抛物线的定义，即可得答案；【详解】（1

）(1,42)P−，(1,0)F，||6PF=，直线PF的方程为22(1)yx=−−，与24yx=联立得：22520xx−+=，解得：12x=或2x=，1(,2)2Q，||6()41||12PFdPFQ===+；（2）设准线与x轴的交点为M，QNPM⊥于N，||||||||2()||

2||2||22||||||||PFPQQFPQdPPFPFPFPFFQFQFQ+−=−=−=+−||||22||22||22||PQPFPFPFNQ=+−=+−=，故答案为：4,2.【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思

想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设等差数列na的前n项的和为nS，且462S=−，675S=−，求：（1）求na的通项公式na；（2

）求数列na的前14项和.【答案】（1）323nan=−；（2）147.【解析】【分析】（1）由已知条件列出关于1,ad的方程组，求出1,ad可得到na；（2）由通项公式na先判断数列na中项的正负，然后再化简数列na中的项，即可求出结果.【详解】解：（1）设等差数列n

a的公差为d，依题意得11434622656752adad+=−+=−，解得120,3ad=−=，∴()2013323nann=−+−=−；（2）∵323nan=−，∴由0na得8n，22(20323)3433432222

nnnnnSnn−+−−===−∴123141278141472aaaaaaaaaSS++++=−−−−+++=−223433431414772222=−−−()()7424372143147=−−−

=.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求,mn的值；（2）分

析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取

对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程ˆ5yxb=−+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）22列联表男性女性合计消费金额300³消费金额300合计临界值表：20(

)PKk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++【答案】（1）0.0035m=，0.0025n=（2）详见解析（3）395元【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得0.

006mn+=，结合0.00152mn+=可得,mn的值.（2）根据表格数据可得28.249K，再根据临界值表可得有99%的把握认为消费金额与性别有关.（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到520b=，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.【详解】（

1）由频率分布直方图可知，0.010.001520.0010.006mn+=−−=，由中间三组的人数成等差数列可知0.00152mn+=，可解得0.0035m=，0.0025n=（2）周平均消费不低于300元的频率为()0.00350.00150.0011000.6++=，因此100人中，周

平均消费不低于300元的人数为1000.660=人.所以22列联表为男性女性合计消费金额300³204060消费金额300251540合计455510022100(20152540)8.2496.63545556040K−=所以有99%的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查

对象的周平均消费为0.151500.252500.353500.154500.10550330++++=，由题意330538b=−+，∴520b=525520395y=−+=.∴该名年龄为25岁的年轻

人每周的平均消费金额为395元.【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是频率组距；（2）两类变量是否相关，应先计算2K的值，再与临界值比较后可判断是否相关.（3）线性回归方程对应的直线必经过(),xy.19.如图（1），在平行四边形1

1ABBA中，160ABB=，4AB=，12AA=，C，1C分别为AB，11AB的中点．现把四边形11AACC沿1CC折起，如图（2）所示，连结1BC，1BA，11BA．（1）求证：11ABCC⊥；（2）若16AB=，求二面角11CABA−−的余弦值．【

答案】（1）证明见解析；（2）105−.【解析】试题分析：（1）取1CC的中点O，连接OA，1OB，1AC，可证1ACC，11BCC为正三角形，所以1AOCC⊥，11OBCC⊥，由线面垂直的判定定理可知1CC⊥平面

1OAB，从而证得11ABCC⊥；（2）根据勾股定理可证得22211OAOBAB+=，所以1AOOB⊥，所以以O为原点，以OC，1OB，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面111,CABABA的法向量，求出法向量的夹角，由于二面角11CABA−−为钝角，所以

余弦值为负值.试题解析：（1）取1CC的中点O，连接OA，1OB，1AC，∵在平行四边形11ABBA中，160ABB=，4AB=，12AA=，C，1C分别为AB，11AB的中点，∴1ACC，11BCC为正三角形，则1A

OCC⊥，11OBCC⊥，又∵，∴1CC⊥平面1OAB，∵1AB平面1OAB，∴11ABCC⊥．（2）∵160ABB=，4AB=，12AA=，C，1C分别为AB，11AB的中点，∴2AC=，3OA=，13OB=，若16AB=，则

22211OAOBAB+=，则三角形1OAB为直角三角形，则1AOOB⊥，以O为原点，以OC，1OB，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)C，1(0,3,0)B，1(1,0,0)C−，(0,0,3)A，则1(2,0,0)CC=−，则11(2,0,0)

AACC==−，1(0,3,3)AB=−，(1,0,3)AC=−−，设平面1ABC的法向量为(,,)nxyz=，则1330,{30,nAByznACxz=−==−−=令1z=，则1y=，3x=−，则(3,1,1)n=−，设平面11ABA的法向量为(,,

)mxyz=，则1120,{330mAAxmAByz=−==−=，令1z=，则0x=，1y=，即(0,1,1)m=，则011cos,31111mnmnmn++==+++210552==，由于二面角11CABA−−是钝二面角，∴二面角11CABA−−的余弦值是105−．考

点：空间中的垂直关系，二面角.20.在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆22:142xyC+=，A，B是椭圆上两点，且直线AB的斜率为22.（1）求证：OA与OB的斜率之积为定值；（2）设直线AB交圆22:4Oxy+=于C，D两点，且64ABCD=，求COD△的面

积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）设2:2ABlyxb=+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得1212,xxxx+，进而求得OAOBkk为定值，得到答案.（2）由圆的弦长公式和圆锥曲线的弦长公式，分别求得22=243bCD−和2=12

3ABb−，结合64ABCD=，取得23b=，再利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，设2:2ABlyxb=+，()11,Axy，()22,Bxy联立方程组2222142yxbxy=++=，整理得22220xbxb++−=，∴122xxb+=−，2122x

xb=−，则21212byy=−，∴121212OAOByykkxx==，即OA与OB的斜率之积为定值12.（2）由题意，原点到直线2:2ABlyxb=+的距离为63bd=，由圆的弦长公式，可得222=24=243bCDd−−，又由弦长公式，可得22212121223=1+()412

322ABxxxxxxb−=+−=−，因为64ABCD=，即22123642243bb−=−，解得23b=，则6=23OCDbd−=，23=24223CD−=，所以11222222SOCDCDd===.【点睛】本题

主要考查直线与圆的位置关系、及直线与椭圆的位置关系的综合应用，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问

题解决问题的能力等．21.设函数()()ln0,xxfxaaRax=−.（1）若()n1l1fxxx−恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx有两个零点1x，2x且12xx，

求证：211axxe−−.【答案】（1）0ae；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将不等式等价转化为1lnxax恒成立，令()lnxpxx=，利用导数求出()px的最大值即可求解.（2）令()20lnxfxax==，令()2lnhxxx=，利用导数判断函数的单调性，根据(

)fx有两个零点1x、2x，可得121xex，由()hxex，令2exa=，从而可得21211axxxe−−=−【详解】解：（1）原不等式等价1lnxax恒成立，令()lnxpxx=，()21lnxpxx−=，当()0,xe，()px

单调递增；().xe+，()px单调递减，()()max1pxpee==，∴0ae；（2）当1x时，()20lnxfxax==，令()2lnhxxx=，()()()22ln1lnxxhxx−=.可知()hx在()0,1，()1

,e单调递减，(),e+单调递增，()2hee=，∴当2ae时，()fx有两个零点1x、2x，且121xex.由（1）知：当1x时，()hxex，令2exa=，∴2axe=，∴21211axxxe−−=−，即证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的

单调性、证明不等式，考查了等价转化与化归的思想，属于较难题.22.己知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为222111xttyt=−+−=−（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l的极坐标方程为5cos34+=.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求11PAPB+的值.【答案】（1）C：()22411xyx−=−；l：135224xy−=；（2）8.【解

析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程.将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案.【详解】解：（1）曲线C的参数方程为222111xttyt=−+−=−（t为参数），转化为直角坐标方程为()22411xyx−=−，直线

l的极坐标方程5cos34+=，直角坐标方程为：135224xy−=.（2）由于直线与x轴的交点坐标为5,02，所以直线的参数方程为532212xtyt=+=(t为参数)，代入2241xy−=得到：221510tt−−=，所以：

12215tt+=，121tt=−，则：()212121212124118ttttttPAPBtttt+−−+===.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题.

23.已知a，b，c均为正实数，求证：（1）()2()4ababcabc++；（2）若3abc++=，则11132abc+++++.【答案】证明过程详见解析【解析】【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等

式成立⑵由基本不等式可得1231222aaa++++=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证()()24ababcabc++，可证222240abacabbcabc+++−，需证()()2222b220acacacbbc+−++−

，即证()()220bacacb−+−，当且仅当abc==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24ababcabc++成立．(2)因为,,abc均为正实数，由不等式的性质知1231222aaa+++

+=，当且仅当12a+=时，取等号，1231222bbb++++=当且仅当12b+=时，取等号，1231222ccc++++=当且仅当12c+=时，取等号，以上三式相加，得()211162abcdabc++++++++=所以11132abc+++++，当且仅当1abc===时，取等号

．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．