【文档说明】湖南省常德市桃花源一中2023-2024学年高一下学期6月份月考数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，625.248 KB，由小赞的店铺上传

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桃花源一中高一6月月考数学试题考试范围：必修二第六章~第九章时间：120分钟满分：100分一、单选题(每个小题3分，共24分)1.某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校3000名学生中随机抽取300名学生，并统计这300名学生平均每周的跑步量（简称“周

跑量”，单位：km/周），得到如图所示的频率分布直方图.称周跑量不少于35km/周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这3000名学生中“跑步达人”的人数为（）A.66B.132C.660D.720【答案】C【解析】【分析】根据

频率分布直方图计算频率，即可求解人数.【详解】由频率分布直方图可知：周跑量在35,45的频率为()0.0240.02050.22+=，所以3000名学生中“跑步达人”的人数为30000.22660=，故选：C2.已

知向量,ab满足()2,1,22abaab==−=，则a与b的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出ab，然后根据向量夹角公式即可求解.【详解】解：因为22(2)22422aabaabaabab−=−=−=−=，所以1a

b=，的设a与b的夹角为，则1cos2abab==，因为0,180，所以60=，故选：B.3.长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线长为14，则这个长方体的表面积为（）A.12B.22C.32D.44【答案】B【解析】【分析】设棱长为,2,3

aaa，然后根据对角线长为14可求出a，然后可得答案.【详解】因为长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是1:2:3所以可设棱长为,2,3aaa所以其体对角线长为()()2222314aaa++=，解得1a=所以这个长方体的表面积为()212231

322++=故选：B4.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为23，则圆锥的体积为（）A.33B.63C.233D.263【答案】D【解析】【分析】由圆锥的几何特征列方程可得圆锥底面圆的半径，再由圆锥的体积公式即可

得解.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则123232rr=，解得2r=，所以圆锥的体积2126333Vrr==.故选：D.【点睛】本题考查了圆锥几何特征应用及体积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

的5.已知向量3OA=，2OB=，()()21mnOABnmCOB=−+−−，若OA与OB的夹角为60，且OC⊥AB，则实数nm的值为（）A.78B.43C.65D.16【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算得到()()2mnOAnmOBOC=−+−，再由向量垂直得到方程，求出78nm=.

【详解】()()21mnOABnmCOB=−+−−，即()()21AOOBmnOnCmOB−=−+−−，所以()()2mnOAnmOBOC=−+−，因为OC⊥AB，所以()()()2OOmnOAnmBOBOACAB=−+−−()()()2mn

OAnmOBOBOA=−+−−()()()22232mnOAOBmnOAnmOB=−−−+−()()()2223cos260mnOAOBmnOAnmOB=−−−+−()()()123329422mnmnnm=

−−−+−699984780mnmnnmmn=−−++−=−+=，解得78nm=故选：A6.若虚数i()aa−R是方程220xxb++=的一个根，则实数a，b的值分别为（）A.1，2B.1−，2C.

1，2−D.1−，2−【答案】B【解析】【分析】由实系数方程的虚数根成对出现的性质得另一根，然后由韦达定理求解．【详解】关于x的方程220xxb++=有一个根为ia−（aR，i为虚数单位），则ia+也是此方程的一个根．所以ii2aa++−=−，(

i)(i)aab+−=，解得1a=−，2b=．故选：B．7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了100名同学进行视力调查.如图为这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组

的频率成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，在4.6到5.0之间的数据个数为b，则ab、的值分别为（）A0.27,78B.0.27,73C.2.7,78D.2.7,73【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直

方图，分别求得)4.3,4.4，)4.4,4.5，)4.5,4.6，)4.6,4.7，进而求得)4.7,5.2频率，在结合等差数列，求得d，求得)4.7,4.8，)4.8,4.9，)4.9,5.

0，)5.0,5.1，)5.1,5.2，进而求得,ab的值，即可求解.【详解】这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组的频率成等比数列，因为)4.3,4.4的频率为0.10.10.01=；)4.4,4.5的频率为0.30.10.03=

；)4.5,4.6的频率为0.0330.09=；)4.6,4.7的频率为0.0930.27=；)4.7,5.2的频率为10.010.030.090.270.6−−−−=，所以后6中的频数成等差数列，所以1610.276560.

60.272aSad==+=+，解得0.05d=−，.的所以)4.7,4.8的频率为0.22，)4.8,4.9的频率为0.17，)4.9,5.0的频率为0.12，)5.0,5.1的频率为0.07，)5.1,5.

2的频率为0.02，所以)4.6,5.0的频率为0.270.220.170.120.78+++=，所以0.27a=，在4.6到5.0之间的数据个数为0.7810078b==.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方

图的频率、频数的求法，以及等差数列、等比数列的性质等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.已知,,abc分别是ABC三个内角,,ABC的对边，下列关于ABC的形状判断一定正确的为（）A.

22sinsinsinABC+=，则ABC为直角三角形B.22sinsinsinABC+=，则ABC为等腰三角形C.222sinsinsin2ABC++=，则ABC为直角三角形D.222sinsinsin2ABC++=，则ABC为等腰三角形【答案

】C【解析】【分析】将22sinsinsinABC+=用正弦定理转化为222sinabCc+=，由sinC的取值范围可判断ABC的形状；由()22222sinsinsin2sincosABCCC++=+

进行化简可得()coscossinsin0CCAB−=，由()coscosCAB=−+解方程，进而可判断可判断ABC的形状.【详解】对于AB，当22sinsinsinABC+=时，由正弦定理可得222sincabC+=，即222sinabCc+

=，因为0πC，所以0sin1C，所以22201abc+，即2220abc+，得2220abc+−，所以222cos02abcCab+−=，则ππ2C，于是ABC为直角三角形或钝角三角形，故AB错误；对于CD，当222sinsi

nsin2ABC++=时，由22sincos1CC+=，得()22222sinsinsin2sincosABCCC++=+，整理得2222sinsinsin2cosABCC+−=，由正弦定理，()222222cos2abcCR+−=，（R是ABC外接圆的半径）由余弦定理，()222cos2cos2

abCCR=，即()coscossinsin0CCAB−=，解得π2C=或()sinsincoscosABCAB==−+，即coscos0AB=，解得π2A=或π2B=，故ABC为直角三角形，故C正确，D错误；故选：C.二、多选题(每个小题5分，共15分，若只选对部分，给2分)9.为了了解参加运动

会1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析.下列说法中正确的有（）A.1000名运动员的年龄是总体B.所抽取的10名运动员是一个样本C.样本容量为10D.每个运动员被抽到的机会相等【答案】ACD【解析】【分析】

根据抽样方法，利用总体、样本、样本容量的定义逐项判断作答.【详解】对于A，1000名运动员的年龄是总体，故A正确；对于B，所抽取的10名运动员的年龄是一个样本，故B错误；对于C，样本容量为10，故C正确；对于D，每个运动员被抽到的机会相等，故D正确.故选：A

CD.10.根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是（）的A.2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B.可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C.2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D.2

019年我国研究生在校总人数不超过285万【答案】ABC【解析】【分析】根据统计图表依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女生

人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故B正确；对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C正确；对选项D，144.8286.1660.506，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误.故选

：ABC11.已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A.圆锥的体积为2π12B.圆锥的表面积为12π2+C.圆锥的侧面展开图是圆心角为2π的扇形D.圆锥的内切球表面积为()24162π−【答案】ABC【解析】【分析】根据勾股定

理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B；根据圆锥侧面展开图与圆锥的数量关系，可得扇形的半径以及弧长，即可求得圆心角，即可判断C项；根据圆锥的轴截面，可知圆锥内切球的半径R即等于VAB内切圆的半径.根据等面积法即可求得外切圆的半径（即外切球的半径），代入球的表面积

公式可判断D.【详解】如图1为圆锥的轴截面，圆锥母线1VAVB==，且VAVB⊥.则2AB=，所以底面半径222ABr==，圆锥的高22VO=.对于A项，圆锥的体积2211222πππ332212VrVO===

，故A正确；对于B项，圆锥的表面积2ππSrlr=+2221ππ22=+21π2+=，故B正确；对于C项，圆锥的侧面展开图的半径11r=，弧长为22π2π2π2r==，则圆心角12π2π21r===，故C正确；对于D项，如图

2，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为R，易知，圆锥内切球的半径R即等于VAB内切圆的半径.1122VABSVAVB==V，又111VABOABVOBVOASSSS=++VVVV()12RVAVBAB=++()11122R=++222R+=，所以22122R+=，所以12

2222R−==+.圆锥的内切球表面积()2226π224π4π42SR−===−，故D错误.故选：ABC.三、填空题(每小题3分，共9分)12.设ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c．若2a=

，23c=，3cos2A=，则b=_____________【答案】2或4【解析】【详解】试题分析：由3cos2A=，则可运用同角三角函数的平方关系：31sin142A=−=，已知两边及其对角，求角C．用正弦定理；00123sin32,sin,60120sins

in22accACCACa=====或，则；0000030,60120,9030,ACB===或或可得24b=或．考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）13.某城市有学校1000所，其中大学20所，中学400所，小学

580所，现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取小学__________所．【答案】29【解析】【分析】根据分层抽样的定义，求出小学的数量在总体样本中所占的比例即可得出答案.【详解】因为总体样本是1000所，小学580所，小学在总体样本中所占的比例为58

029100050=，所以在小学中抽取的样本为：29502950=所.故答案为：29.14.在三棱锥−PABC中，23PAABPBAC====，26CP=，点D是侧棱PB的中点，且21CD=，则三棱锥−PABC的外接球O的体积为___________．【答案】2873.【解析

】【分析】先证明AC⊥平面PAB，求出三角形PAB外接圆半径，进而求出球体的半径，在求出球O的体积.【详解】如图所示，由23PAABPBAC====，26CP=，得PAAC⊥,由D是PB的中点，23PAABPB

===，解得3AD=，又21CD=，所以222CAADCD+=，得CAAD⊥，又ADAPA=，,APAD平面PAB，所以AC⊥平面PAB.设球心为O，点O到底面PAB的距离为132dAC==，由正弦定理得PAB的外接圆半径2322sin60322PAr===，

在三角形OAE中，球O的半径()2222327OARdr==+=+=，所以三棱锥−PABC的外接球O的体积为()33344733287VR===.故答案为：287315.已知非零向量,ab满足23abba−=−，且5ba=，求a与b的夹

角.【答案】3【解析】【分析】根据题意，设a与b的夹角为，由23abba−=−，整理变形可得252aab=，由5ba=，由数量积的计算公式可得222255122cos255aaababaa====，结合0,，即可求解.【详解】设a与b的

夹角为，0,，若23abba−=−，则()()2223abba−=−，展开可得：22224469aabbbaba−+=−+，即252aab=，又因为5ba=，所以222255122cos255aaababaa====，因为0,，所以3

=.【点睛】关键点点睛：将23abba−=−两边平方整理变形可得252aab=，结合5ba=，结合数量积的计算公式cosabab=即可求解.16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，()()()sinsinsinbaABcbC+−=−．（1）求

角A的大小；（2）设2a=，21cos27B=，求b．【答案】（1）3A=；（2）167b=.【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理边角关系可得222bccba=+−，应用余弦定理求得1cos2A=，即可得A的大小；（2）由题设有27sin27B=，根据二倍角正弦公式求得43sin

7B=，再应用正弦定理求b.【小问1详解】由题设(ab)()(cb)abc+−=−，即222bccba=+−，所以2221cos22cbaAbc+−==，又0A，故3A=.【小问2详解】由（1）知：203B，则023B，而

21cos27B=，故27sin27B=，所以272143sin2sincos222777BBB===，而sinsinabAB=，故44316773b==.17.某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表

班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩．场次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作,xy，方差分别记作2212,ss．（1）

求,xy，2212,ss；（2）以这10次模拟测试成绩及（1）中的结果为参考，请你从甲，乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．【答案】（1）95x=，95y=，213s=，223.4s=；（2）答案见解

析.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式和方差公式计算即可，（2）由于平均数相同，所以可以从方差的大小判断，即从稳定程度平判断，也可以从变化趋势来判断【详解】解：（1）989497979593939593959510x+++++++++==，9294939

49594969797989510y+++++++++==，2222222213(1)220(2)(2)0(2)0310s+−++++−+−++−+==，22222222222(3)(1)(2)(1)0(1)12233.410s−+−+−+−++−++++==（2）答

案一：由（1）可知，2212,xyss=，甲，乙两人平均分相同，但甲发挥更稳定，所以可以派甲同学代表班级参赛．答案二：由（1）可知，2212,xyss=，甲，乙两人平均分相同，两人成绩的方差差距不大，但从10次测试成绩的增减趋势可以发现，甲的成绩总体呈下降

趋势，乙的成绩总体呈上升趋势，说明乙的状态越来越好，所以可以派乙同学代表班级参赛．