【文档说明】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考（三）数学试卷含答案.docx，共(18)页，1.248 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2024届高三月考试卷（三）数学命题人：张汝波苏萍柳叶杨章远审题人：高三备课组时量：120分钟满分：150分得分：____________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．1．设集合214150,{1}AxxxBxx=−−=+NQ∣∣，则AB中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．已知复数105i12iaz−=−（i为虚数单位）的实部与虚部之和为4，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一

象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若平面向量,ab满足||2,||3,||4abab==+=，则cos,ab=（）A．14B．13C．14−D．13−4．“sin20且cos0”是“为第三

象限角”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．将函数2log(22)yx=+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()gx的图象，则()gx=（）A．2log(21)1x+−B．2log(21)1x++C．2log

1x−D．2logx6．若1021001210(21)(1)(1)(1)xaaxaxax−=+−+−++−，则1210210aaa+++=（）A．103B．1031−C．9203D．91037．焦点

为F的抛物线2:2(0)Cypxp=的对称轴与准线交于点A，点B在抛物线C上且在第一象限，在ABF△中，3sin4sinAFBFAB=，则直线BF的斜率为（）A．142B．43C．1D．728．已知等比数列na单调

递增，且123,,1aaa−成等差数列，则当11a取最小值时，集合*nnAaa=N∣中的元素之和为（）A．36B．42C．54D．61二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分．9．抽取S市某届马拉松比赛前5000名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）：分组)150,200)200,250)250,300)300,350)350,400)400,450频数20601601408040则下列选项正确的是（）A．估

计总体中成绩落在)150,400分钟内的选手人数为4500B．这组数据平均数的估计值为307分钟C．这组数据第62百分位数的估计值为325分钟D．在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度

之和为0.0210．已知曲线C的方程为2214xym+=（4m且0m），,AB分别为C与x轴的左、右交点，P为C上任意一点（不与,AB重合），则（）A．若1m=−，则C为双曲线，且渐近线方程为2yx=B．若P点坐标为(1,)n，则C为焦点在x

轴上的椭圆C．若点F的坐标为(4,0)m−，线段PF与x轴垂直，则||2mPF=D．若直线,PAPB的斜率分别为12,kk，则124mkk=−11．如图，已知正四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面边长分别为2和4，侧

棱长为5，点E为棱AD的中点，点P在侧面11BCCB内运动（包含边界），且EP与平面11BCCB所成角的正切值为23，则（）A．CP长度的最小值为221−B．存在点P，使得EPPC⊥C．存在点P，使得1APEC∥D．棱长为1.5的正方体可

以在此空心棱台容器内部任意转动12．定义在R上的函数()fx满足(3)(3)4fxfxx−−+=，函数(21)fx+的图象关于(0,2)对称，则（）A．8是()fx的一个周期B．(2)4f=C．()fx的图

象关于(1,2)对称D．(2025)4046f=−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若圆22()(1)4xay−+−=和圆221xy+=恰有三条公切线，则实数a=____________．14．若333qq−+，则当

取得最小值时，q=____________．15．已知正ABC△的边长为2，点P为ABC△所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围为____________．16．在三棱台111ABCABC−中，1111,6,42ABACBCABAC⊥===，152AA=，平面11BBCC⊥平面ABC

，则该三棱台外接球的体积为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC△是边长为2的等边三角形，点O是ABC△内一点，2,23AOBBOC==，

求cosBCO和OA．18．（12分）已知na是等比数列，满足12a=，且234,2,aaa+成等差数列，数列nb满足()*123111223nbbbbnnn++++=N．（1）求na和nb的

通项公式；（2）设()(1)nnnncab=−−，求数列nc的前2n项和2nS．19．（12分）如图所示，已知三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为1．（1）从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立；①162BC=；②11ABC为直角；③平面A

BC⊥平面11ABBA．（2）设点P是棱1BB上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点P的位置，使得直线CP与平面11ACCA所成的角最大．20．（12分）某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂．现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效

．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株

存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．编号12345678910吸收量（毫克）6838956627编号11121314151617181920吸收量（毫克）75106788469（1）补全列联表中的空缺部分，依据0.01=的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收

足量”有关？吸收足量吸收不足量合计植株存活1植株死亡合计20（2）现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的*kN，存活日数为(1)k+的样本在存活日数超过k

的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．试推导()*()PXkk=N的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望()EX的

值．附：22()()()()()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++；当n足够大时，0.90nn．0.0100.0050.001x6.6357.87910.82821．（12分）已知F是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦

点，O为坐标原点，T为椭圆上任意一点，||TF的最大值为3，TOF△面积的最大值为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是y轴正半轴上的一点，过点F和点P的直线l与椭圆C交于,MN两点．求||||||PMPNPF+的取值范围．22．（12分）设函数2()(1)exfxmxx−=+

+，其中mR．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点，设极大值点为,ab为()fx的零点，求证：ln2ab−．湖南师大附中2024届高三月考试卷（三）数学参考答案题号123456789101112答案BCAADCADBCDBDABCCD一、选择题：本

题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】由题设，{115},{1}AxxBxx=−=+NQ∣∣，则{0,3,8}AB=，故AB中的元素个数为3，选B．2．C【解析】105i(105i)(12i)22(4)i12i(12i)(12

i)aazaa−−+===++−−−+，其实部和虚部之和等于(22)(4)64aaa++−=+=，解得2a=−，从而26i,26izz=−+=−−，故在复平面内z对应的点位于第三象限，选C．3．A【解析】对||4ab+

=两边平方得22216aabb++=，又||2,||3ab==，故224,9ab==，代入得32ab=．因此312cos,234||||ababab===，选A．4．A【解析】充分性：由cos0可知322,22kkk++Z，又由

sin20sin0可知222,kkk++Z，综上，322,2kkk++Z，即为第三象限角．必要性：若为第三象限角，则cos0且sin20．所以“cos0且sin20”是“为第三象限角”的充要条件

．故选：A．5．D【解析】将函数2log(22)yx=+的图象向下平移1个单位长度，得到2log(22)1yx=+−，再向右平移1个单位长度，得到函数()gx的图象，则2222()log[2(1)2]1log211log1l

oggxxxxx=−+−=−=+−=，故选D．6．C【解析】对原式两边求导可得：99121010(21)22(1)10(1)xaaxax−=+−++−，令2x=，则91210203210aaa=+++，故选C．7．A【解析】过B作准线的垂线，垂足为H，作x轴的垂线，垂足为E，则由抛物线的定义

可得||||BFBH=，由3sin4sinAFBFAB=，在ABF△中由正弦定理可知：447||||||,||||333ABBFBHAHBH===，设BF的倾斜角为，则714sin,tan32BEAHBFBH====，故选A．8．D【解析】由1

23,,1aaa−成等差数列，得21321aaa=+−，即211121aqaaq=+−，整理得121(1)aq=−，故na为正项数列，又因为等北数列na单调递增，说明其公比1q．于是10112(1)qaq=−．设5()

(1)1qfqqq=−，则454225(1)(45)()(1)(1)qqqqqfqqq−−−==−−，所以当51,4q时，()0,()fqfq单调递减；当5,4q+时，()0,()fqfq单调递增，故当54q=时，211()afq=取最小值．于

是可求得()**12316,20,25,4,naaaann===NN，所以集合*nnAaa=N∣中的元素之和为16202561++=，选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分．9．BCD【解析】A项，用样本估计总体，估计总体中成绩落在)150,400分钟内的选手人数为20601601408050004600500++++=，A项错误；B项，平均数的估计值为1(20175602251602751403258037540425)30750

0+++++=，B项正确；C项，这组数据中区间[150,300)对应的频率为20601600.48500++=，区间[150,350)对应的频率为20601601400.76500+++=，故这组数据第62百分位数落在区间[300,350)中．设第62百

分位数为x，则3000.620.483503000.760.48x−−=−−，解得325x=，C项正确；在由以上数据绘制的频率分布直方图中，纵坐标为频率/组距，因此各组长方形的高度之和为10.0250=，D项正确．10．BD【解析】对于

A，当1m=−，双曲线方程为2214xy−=，2,1ab==，渐近线方程为12byxxa==，故A错误；对于B，P点坐标为(1,)n，则2114nm+=，解得24,43mnm=且240,043mn，所以，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

，故B正确；对于C，点F的坐标为(4,0)m−，线段PF与x轴垂直，则4,||,PPxmPFyP=−=为C上任意一点，则2222411444pPPPyxyymmmmm−+=+=−+=，则||2Pmy=．当0m，则||2mPF=，当0,||2mmPF

=−，故C错误；对于D，由题意，(2,0),(2,0)AB−，设(,)Pst，P为C上任意一点，则2214stm+=，得2222122244,42244tttttmskktmsssm−=−====−−+−−．故D正确．故选BD．11．ABC【解析】对于

A，由题意得，点P的轨迹是以11BC为直径的半圆，故CP长度的最小值为221−，故A正确；对于B，取11BC的中点F，则EF⊥面11BCCB，若CPFP⊥（即CP与以11BC为直径的半圆相切时），CP⊥面EFP，故E

PPC⊥，所以存在点P，使得EPPC⊥，故B正确；对于C，点P与点1B重合时，1APEC∥，故C正确；对于D，若正方体在此容器内部可以任意转动，则正方体的外接球可以放进容器，横长为1.5的正方体的外接球直径为332，此棱台可放入的最大球的直径为3，小于正方体外接球直径，故不可以在此

空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确．12．CD【解析】对A：由题设条件得(3)2(3)(3)2(3)fxxfxx+++=−+−，令()()2gxfxx=+，有(3)(3)gxgx+=−，则()gx的图象关于直线3x=对称，因为(12)

(12)4fxfx−++=，有(12)2(12)(12)2(12)8fxxfxx−+−++++=，即(12)(12)8gxgx−++=，则()gx的图象关于(1,4)对称．所以()(2)8gxgx+−=，又(

3)(3)gxgx+=−，所以(4)(2)gxgx+=−，所以()(4)8gxgx++=，所以(4)(8)8gxgx+++=，所以(8)()gxgx+=，所以8为()gx的一个周期，即(8)2(8)()2fxxfxx+

++=+，则(8)()16fxfx+=−，A不正确；对B：由上知()gx图象关于()1,4对称，3x=对称，则令()sin444gxx=−+符合题意，而(2)(2)44fg=−．B不正确；对C：因为(21)fx+关于(0,2)对称

，有(21)(21)4fxfx−+++=，则()fx的图象关于(1,2)对称．C符合题意；对D：因为()gx图象关于(1,4)对称，所以(1)4g=，故(2025)(82531)(1)4ggg=+==，有(

2025)4046f=−．D符合题意．故选CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．22【解析】两圆恰有三条公切线当且仅当两圆外切，因此2121a+=+，得到22a=．14．33log2【解析】依题

意()333qq−，且30q，而()()23333334qqqq+−−，当且仅当332q=，即33log2q=时等号成立．15．[323,323]−+【解析】由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，则2221||14PAPBPMABPM=−=−，又

因为||[||1,||1],||[31,31]PMCMCMPM−+−+，[323,323]PAPB−+．16．5003【解析】分别取11,BCBC的中点1,OO，则1OO⊥平面ABC，且外接球球心M在直线1OO上，由题意，()221111113,4,

7AOAOOOAAAOAO===−−=．设1,MArMOx==，若球心在线段1OO上，则222229(7),4rxrx=+−=+，得3,5xr==；若球心不在线段1OO上，则222229(7),4rxrx=++=+，无正数

解．所以外接球体积为3450033rV==．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】如图，设BCO=，由于3CBOBOC+=−=，且3A

BOCBO+=，故ABO=．（2分）于是在RtOAB△中，cos2cosOBAB==．（4分）在OBC△中，由正弦定理得2sinsin3OBBC=，（6分）即2cos2sin32=，于是3tan2=．而0,2，故27coscos7

BCO==，（8分）21221sin277OAAB===．（10分）其他做法可酌情给分．18．【解析】（1）设数列na的公比为q，则由条件得()32422aaa+=+，又12a=，则()232

2222qqq+=+，则()()224121qqq+=+，因为210q+，解得2q=，故2nna=．（3分）对于nb，当1n=时，12b=，当2n时，由()*123111223nbbbbnnn++++=

N得12311112(1)231nbbbbnn−++++=−−，所以12(2)nbnn=，可得2nbn=，且12b=也适合，故()*2nbnn=N，所以2,2nnnabn==．（6分）（2）因()(1)nnnncab=−−，由（1）得2122112222nnnnScccababab=++

+=−++−−+−()()122122nnaaabbb=−+−++−+−221(2)(2)1(2)nn−−−=+−−−()221223nn=−−−21122233nn+=−−．（12分）19．【解析】（1）如图，设点

D是AB的中点，连接1,CDBD．若选①②：由于ABC△是等边三角形，故ABCD⊥．由11ABC为直角，故111ABBC⊥；又11ABAB∥，故1ABBC⊥．于是AB⊥平面1BCD，所以1ABBD⊥．（2分）因为111,2BBBD

==，所以22113122BD=−=．（4分）又163,22BCCD==，因此22211BCBDCD=+，故190BDC=，即1BDCD⊥．（4分）又1BDAB⊥，故1BD⊥平面ABC，而1BD平面11ABBA，所以平面ABC⊥平面11ABBA．（5分）若选

①③：由于ABC△是等边三角形，故ABCD⊥．又平面ABC⊥平面11,ABBACD平面ABC，平面ABC平面11ABBAAB=，故CD⊥平面11ABBA．（2分）而1BD平面11ABBA，故1CDBD⊥，即190BDC=，所以222211633222BDBCCD=−=−=

．又111,2BBBD==，故22211BBBDBD=+，所以190BDB=，即1ABBD⊥．（4分）结合ABCD⊥，可得AB⊥平面1BCD，因此1ABBC⊥．又11ABAB∥，故111

ABBC⊥，即11ABC为直角．（5分）若选②③：由于ABC△是等边三角形，故ABCD⊥．由11ABC为直角，故111ABBC⊥；又11ABAB∥，故1ABBC⊥．于是AB⊥平面1BCD，所以1ABBD⊥．（2分）又因为平面ABC⊥平面111,ABBABD平面11ABBA，

平面ABC平面11ABBAAB=，所以1BD⊥平面ABC．又CD平面ABC，所以1BDCD⊥，即190BDC=．（4分）因为111,2BBBD==，所以22113122BD=−=．又32CD=，故222211336222BCBDCD

=+=+=．（5分）（2）以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系．于是111330,,0,0,,0,,0,0,0,0,2222ABCB−．点P是棱1BB上一点，可设1

13(1)0,(1),,0122DPDBDB=+−=−−．于是313,(1),222CPCDDP=+=−−−．（7分）又113113,,0,0,,2222A

CAABB=−==．设m是平面11ACCA的法向量．10,0,ACmAAm==可取(1,3,1)m=−．（9分）由此得222333(1)2226|cos,|||||3135225

(1)444mCPmCPmCP−−−−===−++−+．（11分）可见当14=时，|cos,|mCP取最大值，此时直线CP与平面11ACCA所成的角最大，故点P是棱1BB上靠近B的四等分点．（12分）20．【解析】（1）填写列联表如下

：吸收足量吸收不足量合计植株存活12113植株死亡347合计15520（1分）零假设为0H：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联．根据列联表中的数据，经计算得到：2220(12431)5.9346.635

137155−=，（3分）依据0.01=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关．（4分）（2）由题意得(1)(1)0.1PXPXkXk===+=∣．

又(1)(1)()PXkPXkXkPXk=+=+=∣，故(1)0.1()PXkPXk=+=．把k换成1k−，则()0.1(1)PXkPXk==−．两式相减，得()(1)0.1()PXkPXkPXk=−=+==，即(1)0.9(2)()PXkkPXk=+=

=．又(2)0.1(1)0.1(1(1))0.9(1)PXPXPXPX===−===，故(1)0.9()PXkPXk=+==对任意*kN都成立，从而{()}PXk=是首项为0.1，公比为0.9的等比

数列，因此1()0.10.9kPXk−==．（8分）由定义可知()(1)2(2)3(3)()EXPXPXPXkPXk==+=+=++=+，而111()0.10.9kkiiiiPXii−====，下面先求110.9kiii−=．101

2110.910.920.9(1)0.90.9kikkiikk−−−==+++−+，112110.90.910.920.9(1)0.90.9kikkiikk−−==+++−+，作差得112110.10.

910.90.90.90.9kikkiik−−==++++−()110.90.910(10)0.910.9kkkkk−=−=−+−．所以111()0.10.9100.9100.9kkikkiiiPXiik−=====−−，当k足够大时，0.90,100.90kkk

，故1()10kiiPXi==，可认为()10EX=．（12分）21．【解析】（1）由题意有2223,132,,2acbcabc+===+解得2,3,1,abc===所以椭圆的方程为22143x

y+=．（5分）（2）由题意可知直线l斜率k存在且0k，设直线l方程为(1)ykx=−，代入椭圆方程为()22223484120kxkxk+−+−=，显然0恒成立，设()()1122,,,MxyNxy，则221212228412,3434kkxxxxkk−+==++，过点,MN分别作y轴的

垂线，垂足分别为,MN，设原点为O，则12||||||||MMNNPMPNxxPFOF++==+，（7分）①当点P在椭圆外时，3k−，所以3k−，此时2121222883344kxxxxkk+=+==++，因为23k，所以

23445k+，所以128,25xx+；（9分）②当点P在椭圆内时，03k−，所以30k−，则()2121212124xxxxxxxx+=−=+−222222284121214343434kkkkkk−+=−=+++

，设21kt+=，则221kt=−，且12t，所以12212121414txxttt+==−−，因为函数14ytt=−在(1,2)上单调递增，所以11543,2tt−，所以128,45xx+，当点P是椭圆的上顶点时，

3k−=，则3k=−，此时21212288345kxxxxk+=+==+，综上，||||||PMPNPF+的取值范围为8,45．（12分）22．【解析】（1）由()()22e1eexxxxxfxmxm−=+=−．

（1分）①0m时，由2e10xm−，令()0fx=，解得0x=，所以0x时，()0,()fxfx在(,0)−单调递增；0x时，()0fx，则()fx在(0,)+单调递减；（2分）②0m时，由21()ee2xxmxfxm=−，（i）12m=

时，因为()e10xx−，则()0,()fxfx在(,)−+单调递增；（3分）（ii）10,2m时，()0fx=，解得0x=或1ln02xm=，所以1(,0)ln,2xm−+时，()0,()fxfx在1(,0),

ln,2m−+单调递增；10,ln2xm时，()0,()fxfx单调递减；（4分）（iii）1,2m+时，由1ln02xm=，所以1,ln(0,)2xm−+时，()0,()fxfx

在1,ln,(0,)2m−+单调递增，1ln,02xm时，()0,()fxfx单调递减；（5分）综上：0m时，()fx的单调递增区间为(,0)−，单调递减区间为(0,)+；10,2m

时，()fx的单调递增区间为(,0)−和1ln,2m+，单调递减区间为10,ln2m；12m=时，()fx的单调递增区间为(,)−+；1,2m+时，()fx的单调递增区间为1,ln2m−

和(0,)+，单调递减区间为1ln,02m；（6分）（2）根据题意结合（1）可知110,,22m+时，()fx存在两个极值点，由b为()fx的零点，则210ebbmb++=，则210ebbmb+−

=，故(,1)b−−，（7分）若10,2m，由（1）可知0a=，则0(1)1ln2ab−−−=；（8分）若1,2m+，则1ln2am=，故210,e1e,2babmbm++==化简

得21e,1,2ebabmbm+=−=即2112eeabbb+=−，故2112e(1)22(1)24(10)1(1)(1)abbbbbbbb−−==++−−−−−=−+++−−，（10分）当且仅当111bb−−=−−，

即2b=−时等号成立，即e2ab−，故ln2ab−，当且仅当22,e4bm=−=时取等号，综上，ln2ab−恒成立．（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com