【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考试卷（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.182 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2log1,{

04}AxxBxx==∣∣，则AB=（）A.{24}xx∣B.{24}xx∣C.{02}xx∣D.2xx∣【答案】A【解析】【分析】先解对数函数不等式求出集合A,再根据集合的交集概念运算即可.【详解】集合𝐴

={𝑥∣log2𝑥>1}={𝑥∣𝑥>2},则{24}ABxx=∣.故选：A.2.已知复数z满足()1i2iz−=，且()izaa+R为实数，则a=（）A.1B.2C.1−D.−2【答案】C【解析

】【分析】根据复数除法及乘法运算得出1iz=−+，再结合复数的类型求参.【详解】由()1i2iz−=得()()()()2i1i2i1i2i1i1i1i1i2z++====−+−−+，故()i11izaa+=−++为实数时，1a=−.故选：C.3.设向量()111,0,,22ab==

，则下列结论中正确的是（）的A.ab=B.22ab=C.//abD.ab−与b垂直【答案】D【解析】【分析】根据()111,0,,22ab==，逐项判断.【详解】因为()111,0,,22ab=

=，所以21,2ab==，12ab=，()211022abbabb−=−=−=，显然,ab不平行，故选：D.4.已知a是函数f(x)＝2x－12logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(

)A.f(x0)<0B.f(x0)＝0C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定【答案】A【解析】【分析】判断()fx的单调性，因为2xy=与12logyx=−均在(0，＋∞)上是增函数，所以，()fx

在(0，＋∞)上是增函数，由0<x0<a即可求解.【详解】因为函数12()2logxfxx=−在(0，＋∞)上是增函数，a是函数12()2logxfxx=−的零点，即f(a)＝0，所以当0<x0<a时，f(x0)<f(a)＝0.故选A.

【点睛】本题属于超越方程的题目，使用数形结合的方法求解，难点在于利用基本初等函数的性质推导出该函数的单调性，属于简单题.5.若1sincos3xx+=，(0,)x，则sincosxx−的值为（）A.173B.－173C.13D.173

【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.【详解】已知1sincos3xx+=，(0,)x，所以112sincos9xx+=，即4sincos9xx=−，所以,2x，所以sincos0xx−，所以217sinco

s(sincos)4sincos3−=+−=xxxxxx.故选：D.6.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8B.24C.48D.120【答案】C【解析】【详解】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排

在末位时，共有122A=种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有34432A==24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．故选：C．7.函数()yfx=的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应

的函数解析式可能为（）A.112yfx=−B.112yfx=−−C.()42yfx=−D.()42yfx=−−【答案】A【解析】【分析】根据给定的函数图象，由(1)0f=推理排除CD；由①中函数当1x时，()0fx分析判断得解.【

详解】由图①知，(1)0f=，且当1x时，()0fx，由②知，图象过点(0,0)，且当0x时，0y，对于C，当0x=时，(4)0yf=，C不可能；对于D，当0x=时，(4)0yf=−，D不可能；对于A，当0x=时，(1)0yf==，而当0x时，1112x−，则1(1)02fx−

，A可能；对于B，当0x=时，(1)0yf=−=，而当0x时，1112x−，则1(1)02fx−−，B不可能.故选：A8.刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体

ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，ADEV和BCFV是全等的等腰三角形．若25m,10mABBCAD===，且等腰梯形所在的面､等腰三角形所在的面与底面所成夹角的正切值均为145．若为这个模型的轮廓（即所有的棱）安装灯带（不计损耗

），则所需灯带的长度为（）A.102mB.112mC.117mD.125m【答案】C【解析】【分析】设,EF在底面矩形的射影点分别为,MN，设AD与BC的中点分别为,PQ，过,MN分别作AB的垂线，垂足点分别为,GH，根据

题设得到14tantantantan5EPMEGMFHNFQN====，从而得到15EF=，再利用几何关系，得到8EDEAFCFB====，即可求解.【详解】根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，设,EF在底面矩形的射影点分别为,

MN，设AD与BC的中点分别为,PQ，则,MN在线段PQ上，如图，过,MN分别作AB的垂线，垂足点分别为,GH，连接,,,GEHFEPFQ，因为EM⊥面ABCD，又MGAB⊥，则EGM为等腰梯形所在的

面与底面所成夹角，同理可知FHN为等腰梯形所在的面与底面所成夹角，,FQNEPM为等腰三角形所在的面与底面所成夹角，则14tantantantan5EPMEGMFHNFQN====，又5,14,5,142539MGNHEMFNPMQNEPFQ==

======+=，255515,15MNPQPMQNABPMQNEFMN=−−=−−=−−===，又易知FN⊥底面矩形ABCD，BC面ABCD，所以FNBC⊥，又,BCQN⊥FNNQN=，,FNNQ面FNQ，所以BCFQ⊥，又5,39BQFQ

==，39258,8FBEDEAFCFB=+=====，该多面体的所有棱长和为()842510215117+++=．故所需灯带的长度为117m．故选：C．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知变量,xy之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx=−+，且变量,xy之间的一组相关数据如表所示，则下列说法

正确的是（）x681012y6m32A.变量,xy之间呈现负相关关系B.4m=C.可以预测，当11x=时，y约为2.6D.由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】ACD【解析】【分析】根据回归直线斜率知

A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得m，可知B错误，D正确；将11x=代入回归直线知C正确.【详解】对于A，由ˆ0.710.3yx=−+得：ˆ0.7b=−，故,xy呈负相关关系，A正确；对于B，68101294x+++==，6321144mmy++++==，110.7910.34

m+=−+，解得：5m=，B错误；对于C，当11x=时，0.71110.32.6y=−+=，C正确；对于D，由5m=知：4y=，回归直线必过点(),xy，即必过点()9,4，D正确.故选：ACD.10.一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对()

,Sl的有（）A.()1,4B.()6,8C.()7,12D.13,2【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式计算一一判定即可.【详解】不妨设矩形长宽分别为ab、，则222216llababSS=+=.对于A项

，显然241116=成立，符合，对于C项，显然2127916=成立，符合，即A、C正确；对于B项，显然286416=不成立，对于D项，显然211231664=不成立，即B、D错误.

故选:AC11.直线ykx=与双曲线22143xy−=交于,PQ两点，点P位于第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，点F为双曲线的左焦点，则（）A.若27PQ=，则PFQF⊥B.若PFQF⊥，则PQF△的面积为4C.2PFPND.PFPN−的

最小值为4【答案】AD【解析】【分析】根据已知，结合四边形1PFQF的形状判断AB；将||||PFPN转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义1||||2||||PFPNaPFPN+−−=，结合|𝑃𝐹1|与PN之间的关系求最值判断D.【详解】设双曲线右

焦点为1F，由题意可知，四边形1PFQF为平行四边形，由双曲线22143xy−=可知：2,3,7abc===，对于A，因为27PQ=，所以1PQFF=，所以四边形1PFQF为矩形，所以PFQF⊥，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：114,27PFPFFF−=

=，若PFQF⊥，则四边形1PFQF为矩形，则22211||PFPFFF+=，所以()221112PFPFPFPFFF−+=，即22142(27),PFQF+=所以16PFPF=，所以6PFQF=，所以116322PQFSPFQF=

==，故B不正确；对于C，由双曲线的方程可知，在RtPFN△中，2222222||||||1||||||PNFNPFPFFNPNPNPNPN+===+，又因为双曲线渐近线方程为：32yx=，所以32PFPNkFN=，所以22||42111||33F

NPN++=，即|𝑃𝐹||𝑃𝑁|>√213，故C错误；对于D，()111min244,PFPNaPFPNPFPNPFPN−=+−=+−+−当且仅当1PFPN=时，PFPN−取到最小值为4，故D正确．故选：AD．第

Ⅱ卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若曲线lnyxxP=上点处的切线平行于直线210,xyP−+=则点的坐标是_______.【答案】(,)ee【解析】【详解】试题分析：因为ln1yx=+，设切点(,)ab，则ln12,,kaae

=+==又ln,baae==(,).Pee考点：利用导数求切点13.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是2AF−，则p=_______.【答案】4【解析】【分析】设()00,Axy，

计算可得02pAFy=+，从而可求p的值.【详解】由抛物线的方程可得0,2pF，设()00,Axy，则00y，则222200000242pppAFxyyypy=+−=++=+故0022pyy=+−，故4p=，故答案为：4.14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，

也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个

白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（*nN）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为nX，恰有1个黑球的概率为np，则1p的值是________；nX的数学期望

()nEX是________.【答案】①.49②.311223n−【解析】【分析】利用全概率公式求出1p；利用期望的计算公式求出()nEX有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可.【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是

黑的也可能是白的，由全概率公式可得11221433339p=+=；记1nX−取0，1，2，3的概率分别为0p，1p，2p，3p，推导nX的分布列：()01244199nPXppp==++，()12

344299nPXppp==++，()2139nPXp==，则()()()()()01234500112233233nnnnnEXPXPXPXPXpppp==+=+=+==+++()()123111123133npppEX−=+++=+，,则(

)()1313232nnEXEX−−=−，故()()11331223nnEXEX−−=−给合()143EX=，可知()311223nnEX=−.故答案为：49;311223n−

.四､解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，12ABACAA===，90BAC=，E，F依次为1CC，BC的中点．（1）求证：11ABBC⊥；（2）求1AB与平面AEF所成

角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）由直棱柱的性质可得1AA⊥平面ABC，则1ACAA⊥，而ACAB⊥，则由线面垂直的判定可得AC⊥平面1ABA，则1ABAC⊥，而11AB

AB⊥，则1AB⊥平面1ACB，再由线面垂直的性质可得结论；（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：连接1AB，因为三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，又AC平面ABC，所以1ACAA⊥，

又ACAB⊥，1ABAAA=，AB，1AA平面1ABA，所以AC⊥平面1ABA，又1AB平面1ABA，则1ABAC⊥，因为在直三棱柱111ABCABC−中，1ABAA=，所以四边形11ABBA为正方形，所以11ABAB⊥，因为1ACAB

A=，AC，1AB平面1ACB，所以1AB⊥平面1ACB，又1BC平面1ACB，则11ABBC⊥．【小问2详解】因为直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，所以1,,ABACAA两两垂直，所

以以A为原点，分别以1,,ABACAA所在的直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,0,2)A，(2,0,0)B，(0,2,1)E，(1,1,0)F，所以1(2,0,2)AB=−，(0,2,1)AE=，(1,1,0)AF=．设平面AEF的一个法向量为(,

,)nabc=，则200nAEbcnAFab=+==+=，令1a=可得(1,1,2)n=−．设1AB与平面AEF所成角为，所以11123sincos,644114nABnABnAB====+++，即1AB与平面AEF成角正弦值为36．的16.已知函数()()e211xxf

xx−=−．（1）求函数()fx的单调区间；（2）当1x时，不等式2ee0xxxaxa−−+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在区间(),0−和区间3,2+上单调递增，在区间()0,1和区间31,2上单调递减；（2）)1

,+【解析】【分析】（1）利用导数求得()fx的单调区间.（2）由不等式2ee0xxxaxa−−+恒成立，分离参数a，结合（1）的结论来求得a的取值范围.【小问1详解】()()e211xxfxx−=−，定义域为1xx∣，则()()()222e23e23(1)(1)xxx

xxxfxxx−−==−−，所以当32x或0x时，()0fx；当01x或312x时，()0,fx即函数()fx在区间(),0−和区间3,2+上单调递增，在区间()0,1和区间31,2上单调递减，【小问2详解】由1x时，不等式2ee0xxxaxa

−−+恒成立，可得()e21,11xxaxx−−，由（1）知，()()e211xxfxx−=−在区间(),0−上单调递增，在区间()0,1上单调递减，所以()fx的最大值为()01f=，所以实数a的取值范围为)1,+．17.已知等比数列n

a的前n项和为nS，且()*122nnaSn+=+N．（1）求数列na的通项公式；（2）在na与1na+之间插入n个数，使这2n+个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在不同的3项,,mkpddd（其中,,mk

p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．【答案】（1）123nna−=（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）直接赋值，然后建立等式求解即可；（2）先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可.【小问1

详解】设等比数列na的公比为q，由题意知：当1n=时，1122aqa=+，①当2n=时，()211122aqaaq=++，②联立①②，解得12,3aq==，所以数列na的通项公式123nna−=．小问2详解】由（1）知1123,

23nnnnaa−+==．所以()121nnnaand+=++−，所以114311nnnnaadnn−+−==++．【设数列nd中存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列．则2kmpddd=，所以

2111434343111kmpkmp−−−=+++，即()()21224343111kmpkmp−+−=+++，又因为,,mkp成等差数列，所以2kmp=+，所以()()2(1)11kmp+=++，化简得22

kkmpmp+=++，所以2kmp=，又2kmp=+，所以kmp==，与已知矛盾，所以在数列nd中不存在不同的3项,,mkpddd成等比数列．18.椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的离心率为32，短轴长为2，点P为椭圆的右顶点．222:(1)(01)

Qxytt++=，过点P作Q的两条切线分别与椭圆交于,AB两点（不同于点P）．（1）求椭圆C方程；（2）当t变化时，直线,PAPB的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）给定一个t，椭圆上的点到

直线AB的距离的最大值为d，当t变化时，求d的最大值，并求出此时t的值．【答案】（1）2214yx+=；（2）为定值1；（3）当514121t=−时，d的最大值为4399．【解析】【分析】（1）根据离心率和短轴长，即可求（2）根据点到直线的距离公式可得12,kk为方程()2221210

tkkt−−+−=的两个根，即可利用韦达定理求解，的（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式求解直线方程21122112184344kkyxkkkk−−+=−+++，令0y=，得直线AB过定点5,

03T−，即可根据点点距离，结合二次函数的性质求解MT有最大值439,9根据两直线垂直即可分类讨论求解.【小问1详解】由题意可得32cea==，22b=且222abc=+，解得2,1,3abc===故C的方程为2214yx+=【小问2详解】点()1,0P

，设直线,PAPB的斜率分别为12,kk，则直线PA的方程为()11ykx=−，由直线PA与圆Q相切知，圆心Q到直线PA的距离12111ktk−=+，整理得()222111210tkkt−−+−=，同理()222221210,tkkt−−+−=则12,kk为方程()2221210tkkt

−−+−=的两个根，所以121kk=，即直线,PAPB的斜率乘积为定值1．【小问3详解】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，由()1221,1,4ykxyx=−+=得()22221114240kxkxk+−+−=，则

211121414kxxk−==+，进一步可求得211221148,44kkAkk−−++，同理得222222248,44kkBkk−−++，直线AB的斜率()21222221212121122222222222222121121221

1221222188448328322424344884416441644ABkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk−+++−−++−−====−−−++−−−−+−−++，则直线AB的方程为21122112184344kkyxkkkk−

−+=−+++，令0y=，则222111222111884520531243123kkkxkkk+−+=+==−−−+−−，所以直线AB过定点5,03T−（可让t无限趋近于0，猜得如果直线AB过定点，定点一定在x轴上）．设椭圆上任

意一点𝑀(𝑥,𝑦)，点M到点5,03T−的距离222510613,11339MTxyxxx=++=−++−．当59x=时，MT有最大值439,9取5414,99M

，则直线MT的斜率为145MTk=，要使d最大，则此时由直线MT和直线AB垂直，可得直线AB的斜率1223352141ABkkkt−−===−+−，解得()51410,121t=−．取5414,99M−，则直线MT的斜率为145MTk=−，此时

由直线MT和直线AB垂直可得直线AB的斜率1223352141ABkkkt−−===+−，解得()51410,121t=+，舍去．所以椭圆上存在点5414,99M，当514121t=−时

，d的最大值为4399．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该

定点与变量无关.19.如图，点(),Zab，复数()i,Rzabab=+可用点(),Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的

点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数izab=+都可以表示成()cosisinr+的形式，即cos,sin,arbr==其中r为复数z的模，

叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，OZ所在射线为终边的角），我们规定02π范围内的辐角的值为辐角的主值，记作()arg.cosisinzr+叫做复数izab=+的三角形式．复数三角形式的乘法公式：()()()()111222121212cos

isincosisincosisinrrrr++=+++．棣莫佛提出了公式：()()[cosisin]cosisinnnrrnn+=+，其中*0,rnN.（1）已知1322i,

i2222zw=+=+，求3zwzw+的三角形式；（2）已知0为定值，00π，将复数001cosisin++化为三角形式；（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为1220,,,zzz，

求复数2024202420241220,,,zzz所对应不同点的个数．【答案】（1）3zwzw+=5π5π2cosisin66+；（2）000001cossin2coscossin222ii++=+；（3）5【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运

算律计算即可；（2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可；（3）应用正二十边形得出中心角为2π20，再设1cossinzi=+，再应用复数乘方定义结合周期性，2024kz共有5个不同的值.【小问1详解】()()3213221ii1i2222zwzwzww

+=+=+++315π5π2i2cosisin2266=−+=+.【小问2详解】2000000001cosisin2cos2isincos2cosc

osisin222222++=+=+.【小问3详解】正二十边形每边所对的中心角为2π20，设1cosisinz=+（为常数），则()()()21π21πcosisincosi

sin,1,2,,202020kkkzk−−=++=，所以()()()202421π21πcos2024isin2024cos2024isin20242020kkkz−−=++()12π2πcos2024isin2024cos2024isin202420

20k−=++()12π2πcos2024isin2024cosisin55k−=++，由周期性可知，2024kz共有5个不同的值，故复数2024202420241220,,,zzz所对应不同点的个数为5．【点睛】关键点点睛：应用正

二十边形得出中心角为2π20，再设1cosisinz=+，再应用复数乘方定义结合周期性，2024kz共有5个不同的值.