【文档说明】山西省大同市第一中学2022-2023学年高一下学期3月学情检测数学试题 含解析.docx，共(19)页，873.468 KB，由小赞的店铺上传

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2022~2023-2高一年级3月学情检测数学试题一､单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1.设,ab是两个非零向量（）A.若||||||abab+=−，则ab⊥B.若ab⊥，则||||||abab+=−C.若||||||

abab+=−，则存在实数，使得ba=D.若存在实数，使得ba=，则||||||abab+=−【答案】C【解析】【分析】运用向量数量积运算、向量垂直及向量共线分析每个选项即可.【详解】对于选项A、C，因为a、b为两个非零向量，||||||abab+=−，

所以22||(||||)abab+=−，即：22222||2||||||aabbaabb++=−+，所以cos,1ab=−，则,πab=，即a与b反向共线所以存在实数，使得ba=.故选项A错误；选项C正确；对于选项B，因为ab⊥，所以0a

b=，所以22222||2||||abaabbab+=++=+，222(||||)||2||||||abaabb−=−+，又因为a、b为两个非零向量，所以||||0ab，所以22||(||||)abab+−，

所以||||||abab+−，故选项B错误；对于选项D，因为ba=，所以|||||1|||abaaa+=+=+，||||||||(1||)||abaaa−=−=−，所以当|1|1||+

=−时，即：10−时，||||||abab+=−，当|1|1||+−时，即：1−或0时，||||||abab+−.故选项D不成立.故选：C.2.已知点O为ABC的外心，2340,OAO

BOCABC++=的外接圆的半径为1，则OA与OB的夹角的.正弦值为（）A.154B.14C.14−D.158【答案】A【解析】【分析】由已知可得：234OAOBOC+=−，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OAOBOC===，即可得出结果；【详解】2340OAOBOC++=，23

4OAOBOC+=−，222164912OCOAOBOAOB=++，又1OAOBOC===，164912cos,OAOB=++，1cos,4OAOB=，而,0,πOAOB，故sin,415OAOB=.故选：A3.如图所示，已知AD，BE分别为ABC的

边BC，AC上的中线，AD=a，BE=b，则BC=（）A.43a+23bB.23a+43bC.23a-43bD.23a−+43b【答案】B【解析】【分析】以,BABC为基底表示出,ab，然后解向量方程组可得.【详解】因为D、E分别为BC、AC的中点，所以12AD

aBDBABCBA==−=−…①，1122CBEbBBA==+…②①+2②得，322abBC+=所以2433BCab=+故选：B4.若α∈（2，π），则2cos2α＝sin（4−α），则sin2α的值为（）A.18B.78−C.1D.78【答案】B【解析】【分析】

由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【详解】∵α∈（2，π），且2cos2α＝sin（4−α），∴222(cossin)sincoscossin44−=−，∴2222(cossin)(cossi

n)2−=−，∴22(cossin)(cossin)(cossin)2−+=−，∵(,)2，∴cossin0−，∴cosα+sinα24=，∴21(cossin)8+=，∴1+sin2α18=，∴sin2α78=−；故选：B．5.在ABC中，内角,,A

BC所对的边分别为,,abc.若60A=，2b=，且32ABCS=，则ABC的外接圆的面积为（）A.B.73C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得a，接着利用正弦定理求得外接圆半径后

，根据圆的面积公式可得结果.【详解】133sin222ABCSbcAc===，解得：1c=；2222cos414cos603abcbcA=+−=+−=，解得：3a=；由正弦定理得：322sin32aRA===，解得：1R=，ABC的外接

圆面积2SR==.故选：A.6.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3A=，3a=，且2BCBD=，则||AD的最大值为（）A.332B.6C.322D.5【答案】A【解析】【分析】先由D为BC中点，利用

()12ADABAC=+表示出||AD，再利用余弦定理求出bc的最大值，即可求解.【详解】由2BCBD=知D为BC中点，()12ADABAC=+，()2222211||22cos443ADADABABACACABABACAC==++=++()221

4cbcb=++，又2291cos22bcAbc+−==，2292,9bcbcbcbc+=+，当且仅当3==bc时，取等号，故()()221133||92442ADcbcbbc=++=+.故选：A.7.已知非零向量AB和AC满足0ABACBCABAC+=

，且12ABACABAC=，则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形【答案】A【解析】【分析】根据向量加法和线性运算可知向量ABACABAC+与BAC的平分线共线，根据0ABACBCABAC+=

可知BAC的平分线与BAC对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由12ABACABAC=和向量数量积的定义可求出BAC的大小，从而可判断△ABC的形状．【详解】ABAB即AB方向上的单位向量，ACAC即AC方向上的单位向量，∴向量ABACABAC+与BAC的平分

线共线，又由0ABACBCABAC+=可知BAC的平分线与BAC对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即ABAC=，111cos2ABACBACABAC==，∴1cos2BAC=，∵()0,πBAC，∴π3BAC=，∴△ABC为

等边三角形．故选：A．8.已知函数()()23sincoscosfxxxxmmR=++的图象经过点10,2，若()fx在区间()0,0aa上至多有1个零点，则a的取值范围是（）A.5π11π,1212B.π11

π,212C.11π0,12D.5π0,12【答案】C【解析】【分析】根据正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简()fx，根据图象过10,2可得()πsin26fxx+=，进而

可求函数的零点，即可求a的取值范围.【详解】解：由题可知的()2311π13sincoscossin2cos2sin222262fxxxxmxxmxm=++=+++=+++．因为()1012fm=+=，所以12m=−．所以()πsin26fxx+=．令πsin206x

+=，则π2+=π6xk，Zk，所以ππ-212kx=，Zk．当1k=，2时，()fx的零点为5π12，11π12．由于()fx在区间0,a上至多有1个零点，所以11π012a．所以a的取值范围是11π0,12．故选：C二､多项

选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分）9.下列说法正确的是（）A.对于任意两个向量,ab，若ab，且ab与同向，则abB.已知6a=，e为单位向量，若3,4ae=，则a在e上的投影向量为32e−C.设,mn为非零向量，则“存在负数，使得=mn”是“0mnurr”的充分

不必要条件D.若0ab，则a与b的夹角是钝角【答案】BC【解析】【分析】根据向量不能比较大小可判定选项A；利用投影向量的计算公式可判定选项B；利用充分不必要条件的逻辑关系可判定选项C；若0ab，则a与b的夹角是钝角或0角，

可判定选项D.【详解】选项A：向量是既有大小又有方向量，但不能比较大小，故选项A错误；选项B：a在单位向量e上的投影向量为()2cos,6322aaeeee=−=−，故选项B正确；选项C：若存在负数，使得=mn，则220mnnn==；

若0mnurr，则向量m与n的夹角为钝角或180，故选项C正确；选项D：若0ab，则a与b的夹角是钝角或180角，故选项D错误；故选：BC.10.已知函数()22sinsin21fxxx=−++，则（）的A.()fx的图象可由

2sin2yx=的图象向右平移8个单位长度得到B.()fx在0,8上单调递增C.()fx在0,内有2个零点D.()fx在,02−上的最大值为2【答案】BC【解析】【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来

判断；D.求出函数的最大值来判断；【详解】由题得()22sinsin21cos2sin22sin24fxxxxxx=−++=+=+，由2sin2yx=的图象向右平移8个单位长度，得到2sin22sin284yxx=−=−

的图象，所以选项A错误；令222,242kxkk−++Z剟，得其增区间为3,,88kkk−+Z，所以()fx在0,8上单调递增，所以选项B正确；令()0fx=得2,4xkk+=Z，得,28kxk=−Z，又

0,x．所以x可取37,88，即有2个零点，所以选项C正确；由,02x−得322,,sin21,44442xx+−+−，所以()2

,1fx−，所以选项D错误．故选：BC．11.对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（）A.若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形B.若AB＝3，AC＝1，B＝30

°，则△ABC的面积为32C.P在△ABC所在平面内，若0PAPBPC++=，则P是△ABC的重心D.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】把余弦改为正弦，用正弦定理化角为

边，再结合余弦定理可得角的大小，得三角形形状，从而判断A；由余弦定理求得BC后，再由三角形面积计算面积，判断B；根据三角形重心性质判断C；由正弦值相等得出角的关系判断D．【详解】解：对于A：sin2A+sin2B+cos2C＜1，整

理得：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＜0，根据正弦定理：a2+b2﹣c2＜0，故222cos02abcCab+−=，则△ABC为钝角三角形．故A错误；对于B：若AB＝3，AC＝1，B＝30°，设BC＝x，则利用余弦定

理：22231(3)232xx=+−，解得x＝1或2，即BC＝1或2，当BC＝1时，11331224ABCS==，当BC＝2时，11332222ABCS==，故B错误；对于C：P在△ABC所在平面内，若0PAPBPC+

+=，如图，取BC中点D，连接PD，易2PBPCPDDBPDDCPD+=+++=，又0PAPBPC++=，所以PBPCPA+=−，所以2PAPD−=，所以,,APD三点共线，且2APPD=，所以P是△ABC的重心，故C正

确；对于D：若sin2A＝sin2B，所以：2A＝2B，或2A＝π﹣2B，整理得A＝B，或A+B＝2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误．故选：ABD．12.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边

，已知3A=，a＝7，则以下判断正确的是（）A.△ABC的外接圆面积是493B.bcosC+ccosB＝7C.b+c可能等于16D.作A关于BC的对称点A'，则AA'的最大值是732【答案】AB【解析】【分析】对于A，

利用正弦定理求出三角形外接圆半径，从而可求出外接圆面积，对于B，利用余弦定理化简计算即可，对于C，利用正弦定理表示出,bc，从而可表示出bc+，再利用辅助角公式变化可进行判断，对于D，利用等面积法结合余弦定理可求出A到B

C的最大距离，从而可求出AA'的最大值进行判断【详解】解：对于A，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3A=，a＝7，由7sin32aA=＝2R，可得R＝732，可得△ABC的外接圆的面积是

πR2＝493，故正确；对于B，bcosC+ccosB＝b•2222abcab+−+c•2222cabac+−＝a＝7，故正确；对于C，14142(sinsin)[sin()sin()]2sincos14cos33333b

cRBC+=+=−++==（﹣3＜α＜3），可得b+c∈（7，14]，b+c不可能等于16，故错误；对于D，作A关于BC的对称点A'，设A到BC的距离为h，可得12ah＝12bcsin3，即有h＝314bc，由a2＝b2+c2﹣2bcco

s3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤49，当且仅当b＝c取得等号，可得h≤732，则|AA'|的最大值是73．故错误．故选：AB．三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知||

1,||2,ab==a与b的夹角为4，则a在b方向上的投影向量为__.【答案】12br【解析】【分析】由向量投影的定义即可求得则a在b方向上的投影向量.【详解】a在b方向上的投影向量为1||cos42||babb=.故答案为：12b14.设sin20m=，cos20n=

，化简2tan10111tan1012sin10+−=−−_____.【答案】mn【解析】【分析】先进行“切化弦”，进而将sin10cos10cos10sin10+−oo化为()()()2sin10cos10cos10sin10cos10sin10+−+ooo，然后通过二倍

角公式转化成二倍角，最后得到答案.【详解】因为sin20m=，cos20n=，所以2tan10111tan1012sin10+−−−sin10cos101cos10sin10cos20+=−−oo()()()2sin10cos101cos20cos10

sin10cos10sin10+=−−+ooo2212sin10cos101cos10sin10cos20+=−−oo1sin201cos20cos20+=−sin20cos20m

n==.故答案为：mn.15.已知ABC中，2AB=，1AC=，1ABAC=，O为ABC所在平面内一点，且230OAOBOC++=，则AOBC的值为___________【答案】1−【解析】【分析

】在230OAOBOC++=中，将OBOAAB=+，OCOAAC=+代入，用AB与AC表示AO，可得1132AOABAC=+，故()1132ABAAOBCACABC=−+，展开根据已知

条件代入数据计算即可.【详解】∵230OAOBOC++=，∴2()3()0OAOAABOAAC++++=，∴1132AOABAC=+，∴2211111()()132236AOBCABACACABACABABAC=+−=

−−=−.故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点在于将AO用AB与AC线性表示，将AOBC转化为AB与AC之间的数量积运算问题来求解.16.在△ABC中，|AB|＝2，||6||ACBC=，则△ABC面积最大值为_________．【答案】265【解析】【分析】设BCa=，则6A

Ca=，利用余弦定理可求得2cosB，再利用三角形的面积公式可求得sinABCSaB=，继而可求2ABCS的表达式，从而可得ABC面积的最大值【详解】依题意，设BCa=，则6ACa=，又2AB=，由余弦定理得：()22262cosaaABaABB=+−，即25

4cos40aaB+−=，∴24515cos44aaBaa−==−，的∴2221255cos162aBa=+−，∴22227251sin1cos216aBBa=−=−−，∵11sin2sinsin22ABCSABBCBaBaB===，∴242222227251257sin1216162ABCa

aSaBaaa==−−=−+−，由二次函数的性质，当27782822522525216a=−==−−时，取得()22max25725494124162442525254416S−−−−

===−−，∴265maxS=故答案为：265.【点睛】本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题四､解答题（本小题共4小题，共36

分）17.已知向量a→＝（1，2），b→＝（－3，k）．（1）若a→∥b→，求b→的值；（2）若a→⊥（a→＋2b→），求实数k的值；（3）若a→与b→的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】（1）35；（2）k＝14；（3）k＜32且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k

－2×(3)−＝0即得解；（2）解方程1×(5)−＋2×(22)k+＝0即得解；（3）解不等式1×(3)−＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小问1详解】解：因为向量a→＝（1，2），b→＝（－3，k），且a→∥b→，所以1×k－2×(3

)−＝0，解得k＝－6，所以b→＝22(3)(6)−+−＝35．【小问2详解】解：因为a→＋2b→＝(5,22)k−+，且a→⊥(2)ab→→+，所以1×(5)−＋2×(22)k+＝0，解得k＝14．【

小问3详解】解：因为a→与b→的夹角是钝角，则ab→→＜0且a→与b→不共线．即1×(3)−＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜32且k≠－6．18.在直角梯形ABCD中，已知//ABCD，90DAB=，4AB=，2ADCD==，对角线

AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OMBD⊥.(1)求AMBD的值;(2)若N为线段AC上任意一点，求ANMN的最小值.【答案】(1)83−;(2)118−【解析】【分析】（1）以,ABAD为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基

底的运算；（2）先确定M的位置，即1=6AMAB，再令ANt=，从而将ANMN表示成关于t的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.【详解】(1)在梯形ABCD中，因为ABCD∥，2ABCD=，所以2AOOC=，=()AMBDAOOMBDAOBDOMBDAOBD

+=+=23ACBD=222=()()=()33ADDCADABADDCAB+−−28(424)33=−=−;(2)令=AMAB，()AMBDABBDABADAB==−28163AB

=−=−=−则16=，即1=6AMAB，22()cos45ANMNANANAMANANAMANANAM=−=−=−2212cos4563ANANABANAN=−=−令ANt=，则022t，22221()3618ANMNttt=−=−−

，所以当26AN=时，ANMN有最小值118−.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.19.目前，中国已经过成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原．处

处都能见到5G基站的身影．如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37

°，测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD=xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角．试问

当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大?参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7，sin1270.8．【答案】（1）152m；（2）1003mx=.【解析】【分析】（1）先通过正弦定理求出BC，进而

求出BD，然后求得答案；（2）先表达出tan,tan，然后结合两角和与差的正切公式得到tanAMB，最后结合基本不等式求得答案.【小问1详解】由题知∠ACB=8°，∠BAC=45°，在ABC中，由正弦定理得sin

sinABBCACBBAC=，即50sin80sin45BC=，所以500.72500.14BC=，RtBDC中，sinBDBCDBC=，即sin37250BD=，所以2500.6150BD=，所

以山高BE=BD＋DE=150＋1.5=151.5≈152m.【小问2详解】由题知AMD=，BMD=，则在RtBMD△中，150tanBDMDx==，在RtAMD△中，200tanADMDx=

=，由题知AMB=−，则()tantantantan1tantanAMB−=−=+220015050200150300001xxxxxx−==++505050330000123000020032xx

xx===+，当且仅当30000xx=即1003mx=时，tan∠ACB取得最大值，即视角最大．20.已知函数()231sincoscos22222xxxfx=−.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，,,abc分别是角

,,ABC的对边，()0,3fAa==，若D为BC上一点，且满足在____________，求ABC的面积S.请从①3sincosBbC=；②AD为ABC的中线，且72AD=；③AD为ABC的角平分线，且233AD=.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条

件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）22,233kk−++，Zk（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先对()fx解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；（2）由题干可知3A=，3a=

.选①时，ABC的面积由1sin2SacB=计算；选②③时ABC的面积由1sin2SbcA=计算.【小问1详解】()()3111sin1cossin44264fxxxx=−+=−−，由22262kxk−+−+，得22233kxk−++，Zk，∴函数()f

x的单调递增区间为22,233kk−++，Zk；【小问2详解】由()11sin0264fAA=−−=，得1sin62A−=，又ABC中0A，5666A−−，可知3A=；若选①3sincosBbC=：由3a=

，可知sincosaBbC=，可化为sinsinsincosABBC=，又sin0B，则3cossin2CA==，又ABC中0C，故6C=，所以2B=，则1sin231sin32CcaA===，故113sin31122

2SacB===；若选②：AD为ABC的中线，且72AD=在ABC中，3A=，3a=，则有223bcbc+−=，在ABD△中，222cos2ADBDcADBADBD+−=，在ACD中，222cos2

ADCDbADCADCD+−=，又coscoscoscos0ADBADCADCADC+=−+=，则222222222222122022252ADabADBDcADCDbbADBDADCDADCDcACcDD−+−+−+−−+===−

则225bc+=，又知223bcbc+−=，故2bc=；故1133sin22222SbcA===；若选③：AD为ABC的角平分线，且233AD=.由题意知，ABDACDSSS+=△△，即112311231322322322cbb

c+=，整理得32bcbc+=又在ABC中，3A=，3a=，则有223bcbc+−=，故()2222293334bcbcbcbcbcbc+−=+−=−=解之得，2bc=，故13sin22SbcA==.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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