【文档说明】北京市朝阳区北京中学科技分校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(12)页，493.059 KB，由小赞的店铺上传

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高一数学2024.9本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，只需将答题纸交回.一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合

{12},{3}MxxNxx==∣∣，则MN=（）A.{2}xx∣B.{3}xx∣C.{12}xx∣D.{13}xx∣【答案】C【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为

集合{12},{3}MxxNxx==∣∣，则{12}MNxx=∣.故选：C2.已知全集2,1,0,1,2,3U=−−，集合{Z|2}Axx=，则UA=ð（）A.1,0,1−B.2,2,3

−C.2,1,2−−D.2,0,3−【答案】B【解析】【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：{Z|2}1,0,1Axx==−，2,2,3UA=−ð，故选：B．3.已知x，yR，则“xy”是“22xy”的（）A充分不必要条件B.必要不充

分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】.【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断.【详解】()12−−，而()()2212−−同样()()2221−−，而()21−−，所以充分性、必要性都不成立.故选：

D4.命题：2R,0xx的否定是（）A.2R,0xxB.2R,0xxC.2R,0xxD.2R,0xx【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.【详解】命题：2R,0xx是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以

命题：2R,0xx的否定是：2R,0xx，故选：C5.设a，b为非零实数，则“0ab”是“11ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分

条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由0ab可以得到11ab，故充分性成立，当2a=−，3b=−时满足11ab，但是推不出0ab，故必要性不成立，所以“0ab”是“11ab”的充分而不必要条件.故选：A6.函数224()(0)xxfxxx−+=的最小值及取得最小值

时x的值为（）A.当2x=时最小值为2B.当1x=时最小值为3C.当0x=时最小值为4D.当2x=时最小值为2【答案】D【解析】【分析】将函数224()xxfxx−+=化成4()2fxxx=+−的形式

，然后用均值不等式即可求出答案.【详解】函数2244()2xxfxxxx−+==+−，当0x时，442222xxxx+−−=，当且仅当4xx=，即2x=时，等号成立，所以当2x=时最小值为2.故选：D.7.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《

红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A.80B.70C.60D.50【答案】B【解析

】【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案.【详解】如图所示，因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，所以只阅读过红楼梦的人数为20，又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，故只阅读过西游记的人数为10，所以这

100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为601070+=.故选：B8.已知0a，0b，2ab+=，则14yab=+的最小值是（）A.72B.4C.92D.5【答案】C【解析】【分析】将2ab+=化为12ab+=，即可将14yab=+变形为142abyab+=+

，结合基本不等式即可求得答案.【详解】0,0,2abab+=，12ab+=，14142abyabab+=+=+52525922222222babaabab=+++=+=（当且仅当423ba==时等号成立），故选：C9.已知不等式

2304kxkx−+对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（）A.{|03}kkB.{|03}kkC.{|03}kkD.{|03}kk【答案】C【解析】【分析】先对k的取值进行分类讨论，在0k时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解

即得.【详解】因不等式2304kxkx−+对任意的实数x恒成立，则①当0k=时，不等式为304，恒成立，符合题意；②当0k时，不等式在R上恒成立等价于20Δ30kkk=−，解得：03k.综上可

得：实数k的取值范围为{|03}kk.故选：C.10.已知正数a，b满足26ab+=，则1221ab+++的最小值为（）A.78B.109C.910D.89【答案】C【解析】【分析】由26ab+=，得到22210ab+++=，再利用“1”的代换求解.【详解】解：因为26ab+=，所以22

210ab+++=，所以()()421211412292225221102221022210ababababab+++=+++++=++++++，当且仅当()2222ba+=+

，即43a=，73b=时，等号成立．故选：C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则xy的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为x＞0，y＞0所以2xyxy+即2

2xy，解得1xy，当且仅当1xy==时等号成立.则xy的最大值为1.故答案为：1.12.若不等式20axbxc−−的解集是{23}xx∣，则不等式20cxbxa−−的解集为__________．【答案】1123xx−−【解析】【分析】根据不等式的解集与

对应方程的关系，结合韦达定理，求,,abc的关系，代入所求不等式，即可求解.【详解】由题意可知，0236abaca=+−=，5ba=，6ca=−，则220650cxbxaaxaxa−−−−−，即26510xx++，即()()21310xx++，

解得：1123x−−，所以不等式的解集为1123xx−−.故答案为：1123xx−−13.某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知

购买x台机器人的总成本为21()150600Pxxx=++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________台.【答案】300【解析】【分析】由总成本表示出平均成本，利用

基本不等式求最小值和取最小值时x的值.【详解】购买x台机器人的总成本为21()150600Pxxx=++，则平均成本()1501501122600600Pxxxxxx=+++=，当且仅当150600xx=，即300x=时

，平均成本最低为2万元.故答案为：300.14.已知1x，则11yxx=+−的最小值为_____，当y取得最小值时x的值为______.【答案】①.3②.2【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值以及y取得最小值时x的值．【详解】

10x−，()111112113111yxxxxxx=+=−++−+=−−−当且仅当2x=时取等号故答案为：3;215.设S为非空数集，若,abS，都有ab+，ab−，abS，则称S为封闭集.下列命题：①整数集是封闭集；②自然数集是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，

则一定有0S.其中所有真命题的序号为_______________.【答案】①④##④①【解析】【分析】根据集合新定义进行验证即可．【详解】解：对于①，当aZ，bZ时，ab+，ab−，abZ，即整数集是封闭集，故

①正确；对于②，当2a=，3b=时，1Nab−=−，自然数集不是封闭集，故②错误；对于③，当0ab==时，0是封闭集，但不是无限集，故③错误；选项④，当ab=时，0ab−=，故0S，，故④正确；故答案为：

①④.三、解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设集合()222320,2150AxxxBxxaxa=−+==+++−=．（1）若2AB=，求实数a的值；（2）若ABA=，求实数

a的取值范围.【答案】（1）1−或3−.（2）3a−【解析】【分析】（1）由题可知2B，将其代入集合B中的方程求出a，然后检验是否满足题意即可；（2）由题可知BA，因此根据判别式讨论集合B中元素的个数即可.【小问1详解】由2320xx−+=得𝑥=1或�

�=2，故集合1,2.A=2,2ABB=，代入B中的方程,得2430aa++=，解得𝑎=−1或3a=−；当𝑎=−1时，2402,2Bxx=−==−∣，满足条件；当3a=−时，24402Bxxx=−+==∣，满足条件；综上可得，a的值

为1−或3−.【小问2详解】对于集合B中的方程，()()22Δ4(1)4583aaa=+−−=+,ABABA=,①当Δ0，即3a−时,B=满足条件;②当Δ0=,即3a=−时，2B=，满足条件；③当Δ0，即3a−时,1,2BA==才能

满足条件,则由根与系数的关系得：()21221125aa+=−+=−解得2527aa=−=，所以a无解,综上可得，a的取值范围是3a−.17.已知集合2340,{0}AxxxBxxa=−−=−∣∣．（1）当4

a=时，求AB；（2）若()AB=Rð，求实数a的取值范围．【答案】（1）1ABxx=−（2）1a−【解析】【分析】（1）化简集合,AB，直接利用并集运算求解即可；（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【小问1详解】由题知，234014Axxxxx=−−=−∣，

{0}Bxxaxxa=−=∣，因为4a=，所以4Bxx=，所以1ABxx=−.【小问2详解】因为()AB=Rð，且14Axx=−，RBxxa=ð，所以1a−.18.解关于x的不等式：()2330axax−++．

【答案】答案见解析.【解析】【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得.【详解】不等式()2330axax−++化为(3)(1)0axx−−，当0a=时，解得1x；当0a时，不等式化为3()(1)0xxa−−，解

得3xa或1x；当0a时，不等式化为3()(1)0xxa−−，若0<<3a，即31a，解得31xa；若3a=，解得1x=；若3a，即31a，解得31xa，所以当0a=时，原不等式的解集为{|1}xx；当0a时，原不等式的解集为3{|1}xxaa

或；当0<<3a时，原不等式的解集为3{|1}xxa；当3a=时，原不等式的解集为{1}；当3a时，原不等式的解集为3{|1}xxa.19.（1）已知3x，求43xx+−的最小值．（2）已知10

2x，求()12xx−的最大值．【答案】（1）7；（2）18．【解析】【分析】（1）配凑后根据基本不等式求出和的最小值即可；（2）变形后根据基本不等式求出积的最大值即可.【详解】（1）因3x，所以30x−，所以()

443333xxxx+=+−+−−∵()432443xx+−=−∴473xx+−（当且仅当5x=时等号成立），所以所求最小值为7．（2）因为102x，所以120x−，所以()()()2212111122122248xxxxxx−−=+−=，当且仅当212

xx=−，即14x=时等号成立，所以所求最大值为18．20.已知:pxA，且|11Axaxa=−+；:qxB，且2|430Bxxx=−+.（1）是否存在实数a，使得AB=，AB=R，若存在求出实数a的值，若不存在，说明理由；（2）若p是q的充分条件，求实数a的

取值范围.【答案】（1）存在，2a=（2）(),04,−+U【解析】【分析】（1）化简集合B，假设存实数a满足条件，由此可列不等式求a；（2）结合充分条件定义可得AB，根据集合包含关系列不等式求a的取值范围.【小问1详解】为在解不等式2430xx−+，得3

x或1x，故|3Bxx=或1x假设存a，使得AB=，AB=R，则有13a+=且11a−=，解得2a=，所以当2a=时满足题意；【小问2详解】若p是q的充分条件，则AB，则11a+，或13a−解得0a，或4a，所以a的取值范围为(),04,

−+.21.设()12,,,0,1,1,2,,nniSxxxxin==（n为正整数），对任意的()12,,,nxxx=，()12,,,nyyy=，定义1122nnxyxyxy=+++（1）当3n=时，()1,1,0

=，()1,0,1=，求；（2）当3n=时，集合nAS，对于任意，A，均为偶数，求A中元素个数的最大值；（3）集合nAS，对于任意，A，，均有0，求A中元素

个数的最大值．【答案】（1）1（2）4（3）12n−【解析】【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）当3n=时，集合nAS，对于任意，A，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值；（

3）由()12,,,nxxx=得到()121,1,,1nxxx=−−−，再根据0=且0，得到A，由此即可判断A中个数.【小问1详解】当3n=时，1122331110011xyxyxy=++=++=；在【小问2详解】因为1122

33xyxyxy=++均为偶数，所以结果为0或2，若0=，则A中的任意两个元素乘积为0，即()()()()0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0共有四个元素，若2=，则A中必有两个位置为1，即()()0,

1,1,1,1,1，所以A中元素个数的最大值为4;【小问3详解】()12,,,nxxx=，中的“1”变为“0”，“0”变为“1”，得到()121,1,,1nxxx=−−−，可得0=，因0，A，所以A，因为nS中

有2n个元素，则A中元素个数最多有1222nn−=个，所以A中元素个数的最大值为12n−.【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行

讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解.为