【文档说明】安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高二下学期第四次教学质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，829.097 KB，由小赞的店铺上传

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【新结构】2023-2024学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|03Axx=，220Bxxx=−，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{|0xx或23}

xB.{|2xx或3}xC.|23xxD.|23xx【答案】B【解析】【分析】由韦恩图知图中的阴影部分表示的集合为()ABABð，再利用集合的基本运算求解．【详解】集合|03Axx=，220{|0Bxxxxx=−=或2}x，由韦恩图可

知，图中的阴影部分表示的集合为()ABABð，|23ABxx=，AB=R，(){|2ABABxx=ð或3}{|2xRxx=或3}x.故选：B.2.在一组样本数据为()11,xy，()22,xy，L()()123,2,,,,,nnnxynxxxx不全相等的

散点图中，若所有样本点()(),1,2,,iixyin=都在直线335yx=−+上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.35-B.35C.1−D.1【答案】C【解析】【分析】根据直线方程及相关系数的概念可得相关系数.【详解】由题意可得这两个变量是负相关，故这组样本数据样本相关系数为负值

，且所有样本点()()11,1,2,,xyin=都在直线上，则有1r=，的所以样本相关系数1r=−.故选：C3.下列结论中错误的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；②命题“xR，210x+”是存在量词命题；③命题“x

R，2210xx++”的否定为“xR，2210xx++”；④命题“22acbc是ab必要条件”是真命题．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．【详解】对于①：命题“所有的四边形都是

矩形”是全称量词命题，故①正确；对于②：命题“xR，210x+”是全称量词命题；故②错误；对于③：命题:pxR，2210xx++，则:pxR，2210xx++，故③错误；对于④：当0c=时，ab得不到22acbc，“ab”不是“22acbc”的必

要条件；④错误；即错误的有3个.故选：D.4.若正实数x，y满足31220xyxy+−=，则2xy+的最大值为（）A.427B.13C.227D.127【答案】A【解析】【分析】根据等式计算得出3122yx+=，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值．

【详解】0x>，0y，31220xyxy+−=，3122yx+=，()312131213121271232152222xyxyxyxyyxyxyx+=++=++++=

，的当且仅当312xyyx=，即9x=，92y=时等号成立，2427xy+.故选：A.5.已知等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且335nnSnTn+=+，则526abb=+（）A.1417B.417C.313D.15【答案】C【解析】【分析

】利用等差数列na和nb的前n项和的性质可得：()3nSknn=+，()35nTknn=+，即可得出．【详解】由等差数列前n项和公式可设：()3nSknn=+，()35nTknn=+，0k，从而554402812aSSkkk=−=−=，()()264

43222684252bbaTTkkk+==−=−=，所以5261235213akbbk==+，故选：C6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为13，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为16．现已知某考生答对了

，则他猜对此题的概率为（）A.113B.13C.1116D.1318【答案】A【解析】【分析】设A事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”．表示出()PA，()|PBA，()|PBA，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可

求解．【详解】设A事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”．则()13PA=，()23PA=，()1|6PBA=，()|1PBA=，所以所求概率为()()()()()()()()()11|136|11213||1363PABPAPBA

PABPBPAPBAPAPBA====++.故选：A.7.已知P是函数()2exfxx=+图象上的任意一点，则点P到直线90xy−−=的距离的最小值是（）A.32B.5C.6D.52【答案】D【解析】【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可．【详解】设直线l与直线9

0xy−−=平行，且与函数()2exfxx=+的图象相切，设切点为()2,etQtt+，因为()e2xfxx=+是单调递增函数，直线90xy−−=的斜率为1，所以()e21tftt=+=，解得0=t，即切点为()0,1Q，所以点P到直线

90xy−−=的距离的最小值是点Q到直线90xy−−=的距离，即为019522−−=．故选：D8.将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A.90B.135C

.264D.270【答案】C【解析】【分析】使用间接法结合计数原理可求出结果．【详解】解：根据题意，有且只有1个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选1个，放入与其编号相同的小球，有16C6=种选

法，剩下的5个盒子的编号与放入的小球编号不相同；因为所有排列方法有55A120=种，其中4个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为45C945=种，3个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种

数为35C220=种，2个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为25C110=种，全部都对上的有1种.综上，则不同的放法种数为：()61204520101264−−−−=种放法．故选：C二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设na是各项为正数的等比数列，q是其公比，nT是其前n项的积，且67TT，789TTT=，则下列结论正确的是（）A.01qB.106TT

C.81a=D.7T与8T均为nT的最大值【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案．【详解】根据题意，na是各项为正数的等比数列，q是其公比，nT是其前n项的积，由78TT=可得88

71TaT==，故C正确；由67TT可得71a，则()870,1aqa=，故A正确；na是各项为正数的等比数列，()0,1q，则有12789101aaaaaa=，对于B，()22107891089961TaaaaaaaT===，则有106T

T，故B错误，对于D，1278910TTTTTT=，则7T与8T均为nT的最大值，D正确.故选：ACD10.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A12345aaaaa（例如：若1351aaa===，240aa==，则10101A=

，其中二进制数A的各位数中，已知11a=，()2,3,4,5kak=出现0的概率为13，出现1的概率为23，记12345Xaaaaa=++++，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是（）A.()8481PX==B.()24381PX==C()

83Ex=D.()89Dx=【答案】BD【解析】【分析】先确定X的可能取值，再求出相应取值的概率，进而得到数学期望，即可得到答案．【详解】解：由题意，计算器启动一次，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，则()404111C381PX===，()31141282C338

1PX===，()222412243C3381PX===，()133412324C3381PX===，()4442165C381PX===，()1824321611123458

1818181813EX=++++=，()2222221824321611812345818181818139DX=++++−=综上A，C错误，B，D正确．故选：BD11.偶函数()fx满足对于任意π0,2x，有(

)()cossin0fxxfxx+，其中()fx为()fx的导函数，则下列不等式成立的是（）A.()π203ff−B.ππ336ff.C.ππ3246ff−D.()π204f

f−−−【答案】BC【解析】【分析】构造新函数()()cosfxgxx=，由()()()2cossin0cosfxxfxxgxx+=，可得()gx在π0,2上单调递增，由ππ,

22x−时，()()gxgx−=可得()gx在ππ,22−上是偶函数，然后对选项逐个判断即可．【详解】偶函数()fx足对于任意π0,2x，有()()cossin0fxxfxx+，令(

)()cosfxgxx=则当π0,2x时，()()()()()()22cossincossin0coscosfxxfxxfxxfxxgxxx−=−+=，()gx在π0,2上单调递增，因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，又当ππ,22

x−时，()()()()()coscosfxfxgxgxxx−−===−，故()gx在ππ,22−上是偶函数，()π03gg，即()π03gg−，()π03112ff−，即()π2

03ff−，故A错误；ππ36gg，即ππ361322ff，ππ336ff，故B正确；πππ466ggg=−，即ππ462322ff−，π

π3246ff−，故C正确；()π04gg−，即()π04122ff−，()π204ff−，()π204ff−−−，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题

，每小题5分，共15分.12.设集合12N|Z3Axx=+，则集合A的真子集个数为__________．【答案】63【解析】【分析】依题意求出集合A，即可求得其真子集个数．【详解】由12N|Z3Axx=+可知3x+是12的正因数，即3

x+可取1,2,3,4,6,12，故可得123x+的值依次取12,6,4,3,2,1，即1,2,3,4,6,12A=，故集合A的真子集有62163−=个．故答案为：63.13.以模型2ekxy−=去拟合一组数据时，已知如下数据：6118iix=

=，24123456eyyyyyy=，则实数k的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由题意取对数可得2lnlne2kxtykx−===−，由回归直线过(),xt和已知数据即可得解．【详解】由2ekxy−=两边取自然对数，可得2lnlne2kxykx−==−，令ln2tykx=

=−，因t关于x的回归直线经过(),xt，而61136iixx===，故得32tk=−，又1234561(lnlnlnlnlnln)6tyyyyyy=+++++()1234561ln6yyyyyy=241lne4326k===−，解得2k=故答案为

：2.14.若函数()()22exfxmxx=−在1,3上存在单调递增区间，则m的取值范围是__________【答案】8,15+【解析】【分析】利用参数分离，构造新函数，求得函数最值，进而可得结论．【详解】()

()22exfxmxx=−，即()()2222exfxmxxmx=−+−函数()fx在区间1,3上存在单调递增区间，只需()0fx¢>在区间1,3上有解，即22220mxmxx+−−在区间1,3上

有解，所以()2212xmxx++在区间1,3上有解，所以()2min212xmxx++令1tx=+，2,4t，则()()()22221212212111xxtxxtxtt++===+

−+−−令()1gttt=−，则()gt在2,4上单调递增，所以()()max1154444gtg==−=，即()2min218215xxx+=+，所以815m，所以实数m的取值范围是8,15+.故答案为：8,15+

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在312nxx−的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）235358Tx=，展开式系数和为125

6；（2）41Tx=；7716Tx=.【解析】【分析】（1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三项的绝对值成等差数列可求出n；根据n的值可确定二项式系数最大的项，再令1x=可求各项的和；（2）写出二项展开式通项()24586188311CC22rrrrrrrTxx

x−−+=−=−，再由2456r−为整数确定有理项.【小问1详解】二项式312nxx−展开式的通项为()3561311CC22rrnrnrrrrnnTxxx−−+=−=−，因为前3项的系数的绝对值成等差数列，且前三项系数为0Cn

，11C2n−，21C4n，所以1021CCC4nnn=+，即2980nn−+=，所以1n=（舍去）或8n=，因为8n=，312nxx−所有展开式中二项式系数最大的项为第五项，即43854246358135C28Txx−=−=，令1x=得81112256−=

，即展开式系数和为1256.【小问2详解】由（1）知，二项式通项公式：()24586188311CC22rrrrrrrTxxx−−+=−=−，当0r=、6时对应的项为有理项，有理项分别

为：41Tx=；7716Tx=.16.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使

用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司

机人数女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望．参考数据：()2Pk≥0.150.100.050.0250.0100.00

50.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）表格见解析，有99.5%的把握认为开车

时使用手机与司机的性别有关（2）分布列见解析，98.【解析】【分析】（1）完善列联表，利用卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断；（2）由分层抽样求出对应人数，得X的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望.【小问1详解】由题意得22列联表，如下；开车时使

用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100零假设为0H：开车时使用手机与司机的性别无关联.根据数表，计算()()()()()()222100402520158.2497.87955456040nadbcab

cdacbd−−==++++，则假设不成立，所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.【小问2详解】开车时不使用手机的男性司机人数为：15831525=+人；开车时不使用手机的女性司

机人数为：25515825=+人.由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，()3538C50C28PX===；()123538CC151C28PX===；()213538CC152C56PX===；()33381356CPXC===.则X的分布列为：X0123P528152815561

56则()51515190123282856568EX=+++=.17.已知数列111nnaa+−是以公比为1，首项为3的等比数列，且11a=.（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnnnab

a=−，数列nb的前n项和为nS，若不等式1123nnnS−+−对任意的*Nn恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1231nna−=+，*Nn（2）(),4−【解析】【分析】（1）由11113nnnaa−+−=利用累加法求出1na

的通项公式，进而求出na的通项公式．（2）由1231nna−=+得13nnnb−=，利用错位相减法求出19312223nnSn−=−+，不等式1123nnnS−+−可转化为19

1223n−−，利用191223nnc−=−的单调性求出最小值即可．【小问1详解】数列111nnaa+−是首项为1，公比为3的等比数列，11111133nnnnaa−−+−==，当2n时，11221111111nnnnaa

aaaa−−−−+−++−230333nn−−=++()01131331132nn−−−−==−，即1111312nnaa−−−=，1111131131311222nnnnaa

−−−−−+=+=+=，1231nna−=+，2n，又11a=也满足上式，数列na的通项公式为1231nna−=+，*nN，【小问2详解】由（1），可得()111122312232312231n

nnnnnnnnannba−−−−+====−+−−+，01211233333nnnS−=++++①，123112333333nnnS=++++②，由①-②，得212111133333nnnnS−

=++++−，21111313119312311333322313nnnnnnnnSn−−−−−=++++−=−=−+−，不等式1123nnnS−+−可化为1193112233nnnn−−+

−+−，即191223n−−对任意的*nN恒成立，即转化为1min91223n−−令191223nnc−=−，且易得nc为递增数列，又()1min4ncc==，所以4，综上，的取值范围是(

),4−.【点睛】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点63,2T−

，且半焦距3c=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知5,0,(2,1)2DA，过点(30)B，的直线l与椭圆相交于PQ，两点，直线APAQ，与x轴分别相交于MN，两点，试问·DMDN是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）22163xy

+=；（2）·DMDN为定值，且14·DMDN=．【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可得226a=，进而由已知求得b，得出结果．（2）设直线l的y轴截距式方程：()()11223,,,,xmyPxyQxy=+，结合直线方

程可得()1123,01myMy−−−，()2223,01myNy−−−．联立直线方程与椭圆方程有()222630mymy+++=，结合韦达定理可得1212226322myyyymm

+=−=++，，则·DMDN1212(2)3(2)3551=21214mymyyy−−−−=−−−−为定值.【详解】解：（1）设椭圆C的左、右焦点分别为12FF，，则12(3,0),(3,0)FF−，由椭圆的定义可得2222662(33)(3

3)2622a=++−+−+−=，解得6a=，所以222633bac=−=−=，所以椭圆C的标准方程为22163xy+=．（2）设直线l的方程为()()11223,,,,xmyPxyQxy=+，当直线AP的斜率不存在时，易知直线BP

与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在，故直线AP的方程为1111(2)2yyxx−−=−−，则1112,01yxMy−−，即11(2)3,01myMy−−−，同理22(2)3,01myNy−−−．由223163xm

yxy=++=得2220(6)3mymy+++=，由223612)20(mm=+−得21m，又12122263,22myyyymm+=−=++，所以·DMDN1212(2)3(2)3552121mymyyy−−−−=−−−−()()21

2121212(12)(12)141myymyyyyyy+++++=−++2222236(12)(12)122364122mmmmmmmm+++−+++=++++()22223121261224362mmmmmmm++−−++=

+++()226514465mmmm++==++，故·DMDN为定值，且14·DMDN=．【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的

条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.已知函数21()(21)2ln2fxaxaxx=−++，其中aR.（1）当0a时，讨论函数()fx

的单调性；（2）当0a=时，证明()24xfxex−−（其中e为自然对数的底数）.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，求出函数的单调区间即可.（2）将()24xfxex−−转化为只需证明ln2xe

x+，令()ln2(0)xgxexx=−−，求得函数()gx的最小值，进而可证得结果.【详解】（1）由题意，函数()fx的定义域为(0,)+，22(21)2(1)(2)()(21)(0)axaxaxxfxaxaxxxx−++−−=−++==.当1

02a时，()002fxx或1xa；1()02fxxa；当12a=时，()0()0fxfx；当12a时，1()00fxxa或2x；21()0afxx.综上，

当102a时，()fx在(0,2)，1,a+上单调递增，在12,a上单调递减.的当12a=时，()fx在(0,)+上单调递增；当12a时，()fx10,a，(2,)+上单调递增；在1,2a上单调递减.（2）当0a=时，由()

24xfxex−−，只需证明ln2xex+，令()ln2(0)xgxexx=−−，1()xgxex=−.设()00gx=，则()000101xexx=.当()00,xx时，()0gx，()gx单

调递减；当()0,xx+时，()0gx，()gx单调递增，∴当0xx=时，()gx取得唯一的极小值，也是最小值.()gx的最小值是()0000000111ln2ln220xxgxexxxex=−−=−−=+−成立.故()2

4xfxex−−成立.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：求得()gx的最小值，并证明最小值大于零.在