【文档说明】四川省成都市成都外国语学校2022-2023学年高三上学期期末数学文科试题 含解析.docx，共(27)页，2.028 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度上期高2023届高三期末考试数学试题（文科）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目

要求的.1.设集合2Z340Axxx=−−，2e1xBx−=，则以下集合P中，满足()RPABð的是（）A.1,0,1,2−B.1,2C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法

，结合指数函数的单调性、集合补集、交集、子集的定义进行求解即可.【详解】由234014xxx−−−，所以R1,0,1,2,3,4A=−ð，由2e1202xxx−−，所以()R1,0,1AB=−ð，显然只有选

项C中集合1是集合()ABRð的子集，故选：C2.已知2ii(,R)1inmnm−=+，则mn=（）A.3B.3−C.2−D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算和复数相等的概念求解.【详解】由2i

i(,R)1inmnm−=+可得2iinm−=−+，所以21mn−=−=解得21mn=−=−，所以2mn=，故选:D.3.某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到

如下图表：某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（）A.8月每天最高气温的平均数低于35℃B.8月每天最高气温的中位数高于40℃C.8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D.8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差【答案】D【解析

】【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方差的意义逐项分析判断作答.【详解】由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，对于A，8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃，25日至28日的每天最高气温的平均数大于35℃，29日至3

1日每天最高气温大于20℃小于25℃，与35℃相差总和小于45℃，而每天最高气温不低于40℃的有7天，大于37℃小于40℃的有8天，它们与35℃相差总和超过45℃，因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃，A不正确；对于B，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它

都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月每天最高气温的中位数低于40℃，B不正确；对于C，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C不正确；对于D，8月每天

最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D正确.故选：D4.已知直线l是圆2225xy+=在点()3,4−处的切线，则直线

l的方程为（）A.34250xy+−=B.3470xy++=C.3470xy−−=D.34250xy−+=【答案】D【解析】【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：3x=−，此时，圆心到直线

的距离为3<5,不合题意；当直线的斜率存在时，可设直线l：()43ykx−=+，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即23451kk+=+，解得：34k=，所以直线l：()3434yx−=+，即3

4250xy−+=.故选：D【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．5.若不等式组0,2,35,xxyxy++所表示的平面区域被直线(2)xmy=−分成面积相等的两部分，

则实数m的值为（）A.1B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示平面区域,利用三角形面积公式，选择同一条边为底，高为一半即可.【详解】如图所示，不等式组0,2,35,xxyxy++所表示的平面区域为ABC，M为BC的

中点，的解得：()0,2A、31,22B、()0,5C、311,44M(2)xmy=−，此直线过定点A.只要直线(2)xmy=−过点M，就可以将ABC分成面积相等的两部分.设直线的斜率为k，则112

4134k−==，即11m=，解得1m=.故选：A.6.三棱锥−PABC的底面ABC为直角三角形，ABC的外接圆为圆,OPQ⊥底面ABC，Q在圆O上或内部，现将三棱锥的底面ABC放置在水平面上，则三棱锥−PABC的俯视图不可能是（）A.B.C.D.【

答案】D【解析】【分析】根据题目信息可画出三棱锥−PABC的直观图，改变Q点位置，即可对所有可能的俯视图做出判断，得出答案.【详解】由三棱锥−PABC的结构特征，底面ABC为直角三角形，不妨设90ABC=，则ABC的外接圆圆心O即为AC的中点；又Q在圆O上或内部，当Q点与C点重合时，三棱锥如下图

所示，由PQ⊥底面ABC可知，此时三棱锥−PABC的俯视图为A选项；当Q点满足BQ为外接圆直径时，三棱锥如下图所示，由PQ⊥底面ABC可知，此时三棱锥−PABC的俯视图为B选项当Q点与圆心O重合时，三棱锥如下图所示，由

PQ⊥底面ABC可知，此时三棱锥−PABC的俯视图为C选项；因此，选项ABC均有可能，俯视图不可能为选项D.故选：D.7.将函数()1πsin(0)23fxx=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，

纵坐标不变，得到函数()gx的图象，直线l与曲线()ygx=仅交于()()1122,,,AxyBxy，ππ,66Pg三点，π6为12,xx的等差中项，则的最小值为（）A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换可得()πsin

3gxx=+，由题意推得ππ,66Pg必为函数()gx的对称中心，可得62,Zkk=−，即可求得答案.【详解】由题意将函数()1πsin(0)23fxx=+图象

上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，则()πsin3gxx=+，因为直线l与曲线()ygx=仅交于()()1122,,,AxyBxy，ππ,66Pg三点，π6为12

,xx的等差中项，由于()()1122,,,AxyBxy，ππ,66Pg在直线l上,故π6g为12,yy的等差中项，不妨设21ππ,66xx==−+，则ππππππsin()sin()2

sin()636363−++++=+，即ππππ2sin()cos()2sin()6363+=+，若ππsin()063+，则)os(c1=，即2π,Zkk=，此时直线l

与曲线()ygx=不止三个交点，不合题意；故ππsin()063+=，结合()πsin3gxx=+的对称性，可得有直线l与曲线()ygx=仅有3个交点，即ππ,66Pg必为函数()gx的对称中心，即ππ66πsin03g=+=

，故πππ,Z,62,6Z3kkkk+==−，因为0，故1k=时，的最小值为4，故选：C8.已知数列na的前n项和nS，且满足1nnaS+=，39121239SSSSaaaa++++=（）A.1

012B.1013C.2021D.2036【答案】B【解析】【分析】由1nnaS+=，推得11(2)2nnana−=，得到数列na表示首项为12，公比为12的等比数列，求得na和nS，进而得到21nnnSa=−，再结合等比数列求和公式，即可求解.【详解】由数列na的前

n项和nS，且满足1nnaS+=，当2n时，111nnaS−−+=，两式相减，可得111()20nnnnnnaaSSaa−−−−+−=−=，即11(2)2nnana−=，令1n=，可得11121aSa+==，解得11

2a=，所以数列na是首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2nna=，则11[1()]1221()1212nnnS−==−−，所以11()2211()2nnnnnSa−==−，所以()293912123922219SSSSaaaa+++

+=+++−()9102129211101312−=−=−=−.故选：B【点晴】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于nnab型数列，其中na是等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nn

ab+型数列，利用分组求和法；（4）对于11nnaa+型数列，其中na是公差为()0dd的等差数列，利用裂项相消法求和.9.若函数()fx，()gx的图象都是一条连续不断的曲线，定义：()()()min,dfgfxgx=−.若函数(

)fxxa=+和()lngxx=的定义域是()0,+，则“2a”是“(),2dfg”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】令()lnhxxx=−,求导可得函数的单调性，进而可得())

+1+hxaa+，，由(),2dfg可得1a，即可得出结果.【详解】令()lnhxxx=−，则11()1=xhxxx−=−，当01x时，()0hx，()hx单调递减，当1x时，()0hx，()hx单调递增，()()min

11hxh==，())1+hx，())+1+hxaa+，，()()()min,2dfgfxgx=−，即12,1aa+.“2a”是“(),2dfg”的充分不必要条件.故选：A.10.把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数n为同

余数，则称n为整同余数.在ABC中，π2C=，ABC绕AC旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为54，若ABC的面积n为整同余数，则n的值可以为（）A.5B.6C.8D.12【答案】B【解析】【分析】

ABC绕AC旋转一周，所成几何体的为圆锥，求出圆锥侧面积、圆锥的体积，利用54SV=得125ABBCAC=?，逐项检验可得答案.【详解】ABC绕AC旋转一周，所成几何体的为圆锥，则圆锥侧面积为πSBCAB=创，圆锥的体积为21π3VBCAC=创，所以2π3514π3

SBCABABVBCACBCAC创===´创，可得125ABBCAC=?，12ABCSBCAC=?，对于A，若5n=，则152BCAC?，可得10BCAC?，12550ABBCAC=?，可得5025126AB==，由2210256BCACABBCAC==+=可得4

2625100036BCBC-+=，因为26251277754000363636骣-琪-=<琪琪桫´，所以42625100036BCBC-+=无解，故A错误；对于B，若6n=，则162BCAC?，可得12BCAC?，12560ABBCAC=?，可得5AB=，由2

2125BCACABBCAC==+=解得34BCAC==或43BCAC==，即ABC的三边都是有理数，故B正确；对于C，若8n=，则182BCAC?，可得16BCAC?，12580ABBCAC=?，可得8020123AB==，由2216203BCACABBCAC==

+=可得()240029BCACBCAC+-?，所以()26889BCAC+=，即4433BCAC+=，解得24327332432733BCAC=−=+，或24327332432733BCAC=+=−，所以BC、AC是无理数

，故C错误；对于D，若12n=，则1122BCAC?，可得24BCAC?，125120ABBCAC=?，可得10AB=，由222410BCACABBCAC==+=可得()22100BCACBCAC+-?，所

以()2148BCAC+=，即237BCAC+=，解得37133713BCAC=−=+，或37133713BCAC=+=−，所以BC、AC是无理数，故D错误.故选：B.11.已知抛物线2:12Cyx=−的焦点为F，动点M在C上，圆

M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则FMFN的最小值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】由题作图，由图可得21FMFNFM=−，根据抛物线定义可得FM等于点M到准线3x=的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得FMFN的最小值.【详解】解：因为

抛物线2:12Cyx=−，所以焦点坐标为()3,0F−，如下图所示：连接MN，过M作MQ垂直准线3x=于Q，则在直角NFM△中，cosFNNFMFM=，所以2222cos1FNFMFNFMFNNFMFMFNFNFMMNFMFM===

=−=−，由抛物线的定义得：FMMQ=，则由图可得MQ的最小值即抛物线顶点O到准线3x=的距离，即min3MQ=，所以()min8FMFN=.故选：B.12.设120231e2023a=，2024ln2

023b=，sin(0.2023)c=，则（）A.cabB.abcC.bacD.cba【答案】A【解析】【分析】构造函数()()()eln1,0,1xfxxxx=−+，利用导数确定函数

的单调性可得()12023111eln100202320232023ff=−+=，即可判断,ab大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1esin6,0,1000

xhxxxx=−，利用导数确定单调性可得()12023111esin600202320232023hh=−=，从而结合正弦函数的单调性可比较,ac大小，即可得结论．【详解】解：设()()()eln1,0,1xf

xxxx=−+，则()()11e1xfxxx=+−+，设()()()11e1xgxfxxx==+−+，则()()()212e01xgxxx=+++恒成立，所以()fx在()0,1上单调递增，所以()()00fxf=恒成立，则()fx在(

)0,1上单调递增，故()12023111eln100202320232023ff=−+=，即12023112024eln1ln202320232023+=，所以ab；因为10.000494322023，0.2023π0.20230.00353

08160.00049432180=，则10.202362023，设()1esin6,0,1000xhxxxx=−，则()()1e6cos6xhxxx=+−，又设()()()1e6cos6xmxhxxx==−+，故()()2e12sin60

xmxxx=++恒成立，所以()hx在10,1000x上单调递增，所以()110001111e6cos0100010001000hxh=+−恒成立，则()hx在10,1000上单调递减，则()

12023111esin600202320232023hh=−=，1202311esin620232023又()1sin6sin0.20232023，则()12

0231esin0.20232023，即ca；综上，cab.故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.设向量()(),2,2,1amb==，且222||abab+=+,则m=_________．【答案】1−【解析】【分析】根据向量模

长的坐标公式即可代入求解.【详解】由()(),2,2,1amb==得()2,3abm+=+，根据222||abab+=+得()2222925mm++=++，解得1m=−，故答案：1−14.近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万

之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：年份20182019202020212022年份序号x12345报考人数y（万人）1.11.622.5m

根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为ˆ0.430.71yx=+，则m的值为___________.【答案】2.8【解析】【分析】求出x的值，以及用m表示出y，代入线性回归方程得到关于m的方程，解出即可.【详解】12

34535x++++==，1.11.622.57.255mmy+++++==，0.430.71yx=+，7.20.4330.715m+=+，解得2.8m=.故答案为：2.8.15.ABC中，2BC=，3AC=，2AB=，D是BC上一点且ADAC⊥，则ACD的面积为__

____.【答案】3210【解析】【分析】根据正弦定理sinsinBCACAB=，2AB=求出sin,cosBB的值，由2倍角公式求出BAC的正余弦值，根据诱导公式求出BAD的正余弦值，根据()sinsinADCBADB=+求出ADC的正余弦，再求ADC

的正切值，在直角三角形ADC中求出AD的长，最后求面积.为【详解】由正弦定理得：sinsinBCACAB=，又因为2AB=所以sinsin22sincosABBB==，且3AC=，2BC=即232sincossinBBB=，所以

1cos3B=，又由22cossin1BB+=且0,2B所以2sin3B=，而21coscos22cos13ABB==−=−所以()coscos90sinBADAA=−=，又因为22sincos1AA+=，所以2

2sin3A=所以22cos3=BAD，而()1sinsin90cos3BADAA=−=−=又因为ADCBBAD=+，所以()sinsinsincoscossinADCBADBBADBBADB=+

=+112225533393333=+==又因为22sincos1ADCADC+=，且ADC为锐角，所以6cos9ADC=即sin5tancos2ADCADCADC==，在直角三角形A

DC中5tan2ACADCAD==,并且3AC=，所以65AD=，所以ACD的面积为：11632322510ACAD==.故答案为：321016.已知棱长为8的正方体1111ABCDABCD−中，点E为棱BC上一点，满足14BEBC=，以点E为球心，10为半径的球面与对角面11BDD

B的交线长为___________.【答案】42π3【解析】【分析】过点E作EOBD⊥于O，确定P的轨迹是以O为圆心，22为半径的圆的一部分，计算得到答案.【详解】如图所示：过点E作EOBD⊥于O，P为球面与对角面11BDDB的交线上一点，1DD⊥平面ABCD，OE平面

ABCD，故1DDOE⊥，EOBD⊥，且1BDDDD=，1,BDDD平面11BDDB，故EO⊥平面11BDDB，124BEBC==，故2OE=，10PE=，则10222OP=−=，故P的轨迹是以O为圆心，22

为半径的圆的一部分，如图所示：2OB=，22ON=，故π3NOB=，交线长为：242π22π33=.故答案为：42π3三、解答题：本大题共6小题，合计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选

考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取200件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为40,100.根据该产品的质量标准，规定质量指标值在(80,100内的产品为“优等品

”，否则为“非优等品”.抽样统计后得到的数据如下：质量指标值40,50(50,60(60,70(70,80(80,90(90,100甲生产线生产的产品数量4915327664乙生产线生产的产品数量6722456

753（1）填写下面的22列联表，计算2K，并判断能否有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；优等品非优等品合计甲生产线生产的产品数量乙生产线生产的产品数量合计（2）由于样本中来自乙生产线“非优等品”个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出的“非优等品”中，按

甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出7件产品，然后再从中随机抽出2件产品进行全面分析，求其中至少有1件是乙生产线生产的产品的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.()2PKk0.0500.0100.005k3.8416.6357.

879【答案】（1）答案见解析，理由见解析（2）67【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22列联表，计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知甲生产线应抽出3件产品，分别记为a、b、c，乙生产

线应抽出4件产品，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.的【小问1详解】解：依题意可得22列联表如下表所示：优等品非优等品合计甲生产线生产的产品数量14060200乙生产线生产的产品数量1208020

0合计260140400所以，()2240014080120604.3966.635200200260140K−=，所以，没有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关.【小问2详解

】解：由列联表可知，甲、乙生产的“非优等品”之比为3:4，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出7件产品，则甲生产线应抽出3件产品，分别记为a、b、c，乙生产线应抽出4件产品，分别记为A、B、C、D，从随机抽出2件产品，所有的情况为：a

b、ac、aA、aB、aC、aD、bc、bA、bB、bC、bD、cA、cB、cC、cD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共21种，其中，至少有1件是乙生产线生产的产品所包含的情况有：aA、aB、aC、aD、bA

、bB、bC、bD、cA、cB、cC、cD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共18种，故所求概率为186217P==.18.已知nS为数列na的前n项和，22nnSa+=.（1）求数列na的通项公式

；（2）记2,log,nnnanban=为奇数为偶数，求nb前12项的和.【答案】（1）2nna=（2）2772【解析】【分析】（1）由题知数列na是等比数列，公比为2，首项为12a=，进而得2nna=；（2）结合（1）得2,,nnnbnn=

为奇数为偶数，进而分组求和即可.【小问1详解】解：因为22nnSa+=，所以，当1n=时，111222Saa+=+=，解得12a=，当2n时，22nnSa+=，1122nnSa−−+=，所以122nnnaaa−=−，即12nnaa−

=，所以，数列na是等比数列，公比为2，首项为12a=，所以，数列na的通项公式为2nna=.【小问2详解】解：由（1）知2nna=，所以2,,nnnbnn=为奇数为偶数，记nb前12项的和为12S，所以，()

()13579111222222224681012S=+++++++++++()()1222122126122−+=+−13224227723−=+=.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧

面11AABB为正方形，1AA⊥平面ABC，2ABBC==，120ABC=，E，F分别为棱AB和1BB的中点.（1）在棱1AA上是否存在一点D，使得1//CD平面EFC？若存在，确定点D的位置，并给出证明；若不存在，试说明理

由；（2）求三棱锥1AEFC−的体积.【答案】（1）答案见解析；（2）32.【解析】【分析】（1）1AA的中点D，11AB的中点M，可证明//DMEF，1//MCEC，根据面面平行的判定定理可得平面1MDC//平面EFC，即可证明1//CD平面EFC；（2

）点C到AB的距离为h，根据等面积法可求3h=，由面面垂直的性质可得点C到AB的距离即为点C到平面11ABBA的距离，利用11113AEFCCAEFAEFVVSh−−==△可求解.【小问1详解】存在点D，使得1//CD平面EFC.取1AA的中点D，11AB的

中点M，连接1,DMAB,则1//DMAB.因为E，F分别为棱AB和1BB的中点，所以1//EFAB,所以//DMEF.连接1MC,则1//MCEC.因为11,,DMMCMDMMC=平面1MDC，,,EFECE

EFEC=平面EFC，所以平面1MDC//平面EFC.因为1CD平面1MDC,所以1//CD平面EFC.所以存在D(D为1AA中点)，使得1//CD平面EFC.【小问2详解】求三棱锥1AEFC−的体积相当于求三棱锥1CAEF−的体积.因为1AA⊥平面ABC，1AA

平面11ABBA，所以平面11ABBA⊥平面ABC.设点C到AB的距离为h，则有11sin12022ABhABBC=，其中2ABBC==，解得3h=.因为平面11ABBA⊥平面ABC，平面11ABBA平面ABC=

AB,所以点C到AB的距离即为点C到平面11ABBA的距离,为3h=.在正方形11ABBA中，2AB=，则2222112EFBEBF=+=+=，222211125AEAEAA=+=+=,22221111125AFBFA

B=+=+=.取EF的中点N，连接1AN,则1ANEF⊥，所以()222211232522ANAFNF=−=−=.所以111132322222AEFSEFAN===△,所以111113333322AEFCCAEFAEFVVSh−−====△.所以

三棱锥1AEFC−的体积为32.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为12，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为43.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点F为E的右焦点，()2,0A−，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线,,lAPAQ

的斜率分别为12kkk，，，若1230kkkk++=，求△FPQ的周长【答案】（1）22143xy+=；（2）8【解析】【分析】（1）由题设可得基本量的方程组，求出其解后可得椭圆的方程；（2）设直线:lykxm=+，由题设条件可证明该直线过定点()1,0−，根据椭圆的定义可求周长.【小

问1详解】因为椭圆的离心率为12，故2212aba−=，故32ba=，因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为43，故122432ab=，所以23=ab，故2,3ab==，故椭圆方程为：22143

xy+=.【小问2详解】设直线:lykxm=+，()()1122,,,PxyQxy，则1112ykx=+，2222ykx=+，故12121212122222yykxmkxmkkxxxx+++=+=+++++，故()()()()()()()12211212223322kxm

xkxmxkkkkxx+++++++=+++()()121212122(2)4324kxxkmxxmkxxxx++++=++++，由22143xyykxm+==+可得()2223484120kxkmxm+++−=，故()()2222226

4434412144481920kmkmmk=−+−=−+，整理得到22340mk−+，又21212224128,3434mkmxxxxkk−−=+=++，故()2221222241282(2)434343341282434

34mkmkkmmkkkkkkmkmkk−−+++++++=+−−++++22()(2)041616mkmkmkmk−−==−+，故mk=或2mk=，此时均满足0.若2mk=，则直线:2lykxk=+，此时直线恒过()2,0

−，与题设矛盾，若mk=，则直线:lykxk=+，此时直线恒过()1,0−，而()1,0−为椭圆的左焦点，设为1F，故PFQ的周长为11428PFFQPQPFFQPFQF++=+++==.21.已知函数()2ln(

R)2afxxxxxaa=−−+在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点为12,xx，且12xx.若1，证明：112exx+.【答案】（1）10,e（

2）证明见解析【解析】【分析】（1）将ln0xax−=在(0,)+有两个不同根转化为方程lnxax=在(0,)+有两个不同根，再构造函数ln()xgxx=，利用导数研究函数()gx的单调性和最值，进而求出a的取值

范围；（2）两边取对数，将证明112exx+转化为证明121lnlnxx++，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明(1)(1)lnttt+−+恒成立，再通过求其最值进行证明.【小问1详解】由

题意知，函数()fx的定义域为(0,)+，()lnfxxax=−，方程()0fx=(0,)+有两个不同根，即方程ln0xax−=在(0,)+有两个不同根，即方程lnxax=在(0,)+有两个不同根，在令ln()xgxx=，,()0x

+，则()21lnxgxx−=，则当0ex时，()0gx，ex时，()0gx，则函数ln()xgxx=在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，所以max1()(e)egxg==，又因为(1)0g=，当1x时，()0gx，当01x时，()

0gx，所以a的取值范围为10,e；【小问2详解】要证112exx+，两边取对数，等价于要证121lnlnxx++，由（1）可知1x，2x分别是方程ln0xax−=的两个根，即11ln

xax=，22lnxax=所以原式等价于12121()axaxaxx++=+，因为0，120xx，所以原式等价于要证明121axx++又由11lnxax=，22lnxax=作差得，112

2ln()xaxxx=−，即1212lnxxaxx=−.所以原式等价于121212ln1xxxxxx+−+，令12xtx=，(0,1)t，则不等式(1)(1)lnttt+−+在(0,1)t上恒成立.令(1)(1)()lnthttt+−=−+，(0,1)t，又222

21(1)(1)()()()()tthttttt+−−=−=++，当1时，可见(0,1)t时，()0ht，所以()ht在(0,1)t上单调增，又(1)0h=，()0ht，.所以112212(1)()lnxxxxxx

+−+在(0,1)t恒成立，所以原不等式恒成立.【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.（2）

函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4－4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，

直线1l的参数方程为()1(1xmmykm=−=−为参数)，直线2l的参数方程(2xnnnyk==+.为参数).若直线12,ll的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线.C（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：()

26cos−=，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为12,dd，求12dd+的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)xyx+−=；（2）最大值72.【解析】【分析】（1）消参得到直线1l直线2l普通方程，再联立消参得到交点轨迹方程（

2）求得直线l的直角坐标方程为：13222yx+=，由()()22110xyx+−=设点P坐标为()cos,1sin+，由点到直线距离公式再利用辅助角公式得解.【详解】（1）2ykxxyk=−−=(k为参数，0k)，消去参数k，得曲线C的普通方程为2(2)yy

x−=−整理得22(1)1(0)xyx+−=（2）由l：cos()24−=得，13sincos222+=；因为cossinxy==，代入直线l的直角坐标方程为：13222yx+

=，即为34yx+=由()()22110xyx+−=得，圆C的参数方程为cos1sinxy==+(为参数，且+,2kkZ)（2）设点P坐标为()cos,1sin+则()()1223cos1sin43

cossin3133cossin2231d++−+−===−−+又21sind=+那么125135sincossin()22232dd+=+−=−+当56=时，12dd+取得最大值72.【选修4－5：不等式

选讲】23.设函数()12xfx-=.（1）若()()fxfxm+的解集为{0}xx∣，求实数m的值；（2）若0ab，且()()fafb=，求411ab+−的最小值.【答案】（1）2m=;（2）9.【解析】【分析】(1)由()()fxfxm+可得11xxm−+−，两边同时

平方可得：222mxmm−，于是得12mx−，进而有102m−=，求解即可；(2)由()()fafb=可得11ab−=−，又由于()yfx=关于直线1x=对称，所以01ab，进而得2ab+=，再由411ab+=−41[(1)]1abab++−−，利用基本不等式求解即可.【小

问1详解】解：不等式可化为1122,xxm−+−11xxm−+−，两边同时平方可得：222mxmm−.原不等式解集为{0},xx∣0m，即12mx−.10,22mm−==；【小问2详解】解：因为()(),f

afb=1122,ab−−=即11ab−=−，因为()()121,xfxfx+==−()yfx=关于直线1x=对称，01ab，11ab−=−，即2ab+=.所以()4141[(1)]5524911baababab−++−=+++=−−…，当且仅当()411baab−

=−，即24,33ab==时取"",=所以411ab+−的最小值为9.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com