【文档说明】北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习（二）数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，2.665 MB，由小赞的店铺上传

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北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一

部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,2,3UAB===，则()()UUAB=痧（）A.

3B.1,2C.4,5D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】由补集和交集的定义求解.详解】集合1,2,3,4,5,1,3,2,3UAB===，2,4,5UA=ð，1,4,5UB=ð，()()4,5UUAB

=痧.故选：C2.在复平面内，复数z的对应点为(1,1)−，则z=（）A.1i+B.1i−+C.1i−D.1i−−【答案】A【解析】【分析】依据题意可得复数z，然后根据共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数

z的对应点为(1,1)−，则1zi=−所以1zi=+故选：A【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.3.已知数列na对于任意*,pqN，都有pqpqaaa+=，若12a=，则4a=

（）A.2B.22C.4D.42【答案】C【【解析】【分析】根据题意，分别取1pq==，2pq==然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为数列na对于任意*,pqN，都有pqpqaaa+=，取1pq==，则211222aaa===，取2pq==，则4222

24aaa===，则44a=.故选：C4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,+上单调递增的是（）A.()1||fxx=B.()22xxfx−=+C.()sinfxx=D.()tan=fxx【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD选项，利

用()0fx判断B选项即可.【详解】对于A，因为()()11fxfxxx−===−，所以是偶函数，当()0,x+时，()11fxxx==，是反比例函数，在()0,+上单调递减，故A错误；对于B，因为()()22xxfxf

x−−=+=，所以是偶函数，当()0,x+时，()()22ln2xxfx−=−，0,21,021xxx−，()0fx，()fx在()0,+上单调递增，故B正确；对于C，因为()()()sinsin=fxxxfx−=−=−−，所以是奇函数，

当()0,x+时，()sinfxx=不单调，故C错误；对于D，因为()()()tantanfxxxfx−=−=−=−，所以是奇函数，当()0,x+时，()tanfxx=不是单调递增函数，故D错误；故选：B.5.若,abR，且ab，则（）A.221111ab++B.22ababC.2

2aabbD.2abab+【答案】D【解析】【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于ab，取1,1ab==−，22111112ab=++=，221abab==，

无法得到221111ab++，22abab，故AB错误，取0,2ab==−,则220,0,4aabb===，无法得到22aabb，C错误，由于ab，则22abab+，所以2abab+

，故选：D6.已知,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，能使mn⊥成立的一组条件是（）A.,,mn⊥⊥∥B.,,mn⊥∥C.,,mn⊥⊥∥D.,,mn⊥∥【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到nm，判断A，利用给定条件得到mn⊥判断

B，举反例判断C，D即可.【详解】对于A，若,,mn⊥⊥∥，则nm，故A错误，对于B，若,,mn⊥∥，则mn⊥，故B正确，对于C，若,,mn⊥⊥∥，则,mn可能相交，平行或异面，故C错误，对于D，若,,mn⊥∥，则,m

n可能相交，平行或异面，故D错误.故选：B7.已知函数()()ππsin0,22fxx=+−的导函数是()fx，如果函数()()yfxfx=−的图像如图所示，那么,的值分别为（）A.1，0B.π1,4−C.π1,4D.π2,4−【答

案】A【解析】【分析】根据题意，求导可得()()cosfxx=+，从而可得()()yfxfx=−的解析式，再结合函数图像代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()ππsin0,22fxx=+−，则()()cosfxx=+，则()()()

()cosinsyfxfxxx=+=−+−()21sinx=+−+，其中tan1==，由图像可知，函数的最大值为2，即212+=，且0，所以1=，π4=，即π2sin4yx=+−，又函数过点()0,1−，将点()0,1−

代入可得π12sin4−=−，即ππ32,2kk=+Z，或2π2π,kk=+Ζ，又ππ22−，则当ππ32,2kk=+Z时，无解，当2π2π,kk=+Ζ时，1k=−，则0=，所以1=，0=.故选：A

8.已知曲线2:1Cyx=+与直线:lykxb=+，那么下列结论正确的是（）A.当1k=时，对于任意Rb，曲线C与直线l恰有两个公共点B.当1k=时，存在Rb，曲线C与直线l恰有三个公共点C.当2k=时，对于任意的Rb，曲线C与直线l恰有两个公共点D.当2k=时，存在Rb

，曲线C与直线l恰有三个公共点【答案】C【解析】【分析】根据曲线C的对称性，分别讨论当直线l与曲线C的上、下半部分相切时b的取值即可求解.【详解】曲线2:1Cyx=+的图象如图所示，若1k=，当直线l与曲线上半部分相切时，由21yxyxb=+=+整理得210xxb−+−=，由(

)()2Δ14110b=−−−=得34b=，当直线l与曲线下半部分相切时，由21yxyxb=−−=+整理得210xxb+++=，由()2Δ1410b=−+=得34b=−，结合曲线C图象的对

称性可得，当34b=或34b=−时，曲线C与直线l有一个交点，当3344b−时，曲线C与直线l没有交点，当34b或34b−时，，曲线C与直线l有两个交点，AB说法错误；若2k=，当直线l与曲线上半部分相切时，由212yxyxb=+=+整理

得2210xxb−+−=，由()()2Δ24110b=−−−=得0b=，当直线l与曲线下半部分相切时，由212yxyxb=−−=+整理得2210xxb+++=，由()2Δ24110b=−+=

得0b=，的结合曲线C图象的对称性可得，对于任意的Rb，曲线C与直线l恰有两个公共点，C说法正确，D说法错误，故选：C9.已知等差数列n的公差为d，首项1π0,2，那么“πd=”是“集合*sin,nSxxn==

N恰有两个元素”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】对于充分性，已知等差

数列n的公差为d，首项1π0,2，当“πd=”时，集合*sin,nSxxn==N恰有两个元素11sin,sinS=−，故充分性成立，对于必要性，当3πd=时，“集合*sin,nSxxn==N也恰有两个元素

”，故必要性不成立，故“πd=”是“集合*sin,nSxxn==N恰有两个元素”的充分而不必要条件.故选：A10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理

，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等边三角形，椭圆1O所在平面为,PB⊥，则椭圆1O的离心率为（）【A.3

2B.63C.22D.33【答案】D【解析】【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得134POPQ=，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的,,abc，结合椭圆的离心率即可得到结果.【详解】设2ABr=，由于PB⊥，所以

PBAM⊥，在等边三角形PAB中，点M为PB的中点，于是3AMr=，在平面中，由椭圆的对称性可知，1132AOMOr==，连接11,OOPO，延长1PO与AB交于点Q，由于1,OO为中点，所以在ABM中，13,2PMrMOr==，由勾股定理可得22221137

22POPMMOrrr=+=+=，在PQO中，3POr=，172POr=，112OOr=，由余弦定理可得222222111171332144cos2147232rrrPOPOOOOPOPOPOrr+−+−===，在RtPQO△中，由于1cosPOOPOPQ=，所以132

7cos332114POrPQrOPO===，于是有17324273rPOPQr==，设椭圆1O短轴的两个顶点为,GH，连接,PGPH分别交圆锥于,EF，由于PGHPEF∽，所以134PGPOPEPQ==，由于PE为圆锥母线，所以2PEPAr==，从而有3

332442PGPErr===，在1RtPGO中，由勾股定理可得222211372222GOPGPOrrr=−=−=，所以在椭圆1O中，132aMOr==，122bGOr==，则2222321222ca

brrr=−=−=，则离心率为11323332rcear====.故选：D【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及

余弦定理代入计算，分别求得,ab，从而得到结果.第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log1xfxgxx==+，那么()()0fg=______．【答案】1【解析】【分析】先求出()0g，再求()()0fg即可.

【详解】易知()()20log010g=+=，故()()()00021fgf===，故答案为：112.若()421172a+=+，则=a______．【答案】12【解析】【分析】根据题意，将()421+展开计算，即可得到结果.【详解】()()422

132217122172a+=+=+=+，所以12a=.故答案为：1213.如图，在正方形ABCD中，2AB=，点,EF分别为,BCCD的中点，点G在BF上，则AEAG=______．【答案】4【解析】【分析】根据向量的线

性运算可得11,122AEABADAGABAD=+=−+，即可利用数量积的运算律求解.【详解】设BGBF=,则()1111122222AEAGABADABBFABADABADABABADABAD

=++=++−=+−+2211311111444224222ABABADAD=−+++=−+=.故答案为：414.如图，正方

体1111ABCDABCD−的棱长为2，,MN分别为11,BBDD的中点，为过直线MN的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题

（填“真”或“假”）．①平面截该正方体所得截面面积的最大值为33；②若正方体的12条棱所在直线与平面所成的角都等于，则3sin3=．【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）【解析】【分析】选①，根据四边形11BD

DB的面积即可判断，选②，根据三棱锥111AADB-为正三棱锥，利用等体积法求解1AA与平面11ADB所成角的正弦值即可求解②.【详解】若选①，平面11BDDB是过直线MN平面．此时四边形11BDDB即为该平面截正方体所得截面，由于四边形11BDDB的面积为14233BDBB

=,故①为假命题，若选②，由于三棱锥111AADB-为正三棱锥，所以1111,,AAABAD与平面11ADB所成角均相等，故平面//平面11ADB，设1A到平面11ADB的距离为h，则1111111111111111111222·22··133222222ADAAADBBA

DAADBADAADBSABVVShSABhS−−=====所以1AA与平面11ADB所成角的正弦值为133hAA=，故3sin3=，②为真命题故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）15.设函数(),0,2,0.2xmxfxmxx+=−给出下列四个结论：①当0

m=时，函数()fx在(),−+上单调递减；②若函数()fx有且仅有两个零点，则0m；③当0m时，若存在实数,ab，使得()()fafb=，则ab−的取值范围为()2,+；④已知点(),0Pm−，函数()fx的图象上存在两点()()()11122212,,,0QxyQxyxx

，12,QQ关于坐标原的点O的对称点也在函数()fx的图象上．若12322PQPQ+=，则1m=．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】根据0x时，()0fx=即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时2ab−→，即可求解③，

根据函数图象的性质可先判断0m，继而根据对称性联立方程得21214222mmmx++−=，22214222mmmx−++−=，根据12322PQPQ+=可得2132xx−=，代入即可求解④.【详解】当0m=时，0x时，()0fx=，故在

(),−+上不是单调递减，①错误；对于②，当0m=显然不成立，故0m，当0x时，令()0fx=，即202mx−=，得0x=，0,0xxmxm+==−，要使()fx有且仅有两个零点，则0m−，故0m，②正确，对于③,当0m时,(

),0,2,0.2xmxfxmxx−−=−,此时()fx在(),0−单调递减，在[0,+）单调递增，如图：若()()fafb=，由222mmxx−=−=，故2ab−，所以ab−的取值范围为()2,

+；③正确对于④,由①③可知：0m时，显然不成立,故0m，要使()()()11122212,,,0QxyQxyxx，12,QQ关于坐标原点O的对称点也在函数()fx的图象上，则只需要0,xyxm=−−的图象与

()20,2mxfxx=−有两个不同的交点，如图：故120xmx−，()()12121221323222222PQPQmxxmmxxmxx+=−−++=−+++=−=，由对称可得()111122mfxxxmxm−=−−=−−−=+，化简可得11202mxmx++

−=，故()22111214222022mmmmxxmx+−−−−=−=，()222222mfxxxmxm−=−−=−−−=−−，化简得()222202mxxm−+−−=所以22214222mmmx−+−=由于12,xx−−均大于0，

所以21214222mmmx++−=，22214222mmmx−++−=，因此()()2222222112212144222222mmmmmmxxxx++−++−=−−−=−2

432121442222mmmmm=+=+由于0m，()43142fmmm=+为()0,+单调递增函数，且()912f=，此时43212134222xxmm−=+=，因此1m=，④正确，故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的

不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16

.已知ABC满足3sincos2AA+=．（1）求A；（2）若ABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC的面积．条件①：2ab−=；条件②：7cos14B=；条件③：8c

=．【答案】（1）π3（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据辅助角公式可得πsin16A+=，即可求解π3A=，（2）选择①②，根据正弦定理可得37baa=与2ab−=矛盾，即可求解，选择②③，根据

71cos142B=,故π3B，ab，这与2ab−=矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，根据余弦定理可得5b=，7a=，即可由面积公式求解.【小问1详解】由3sincos2AA+

=得π2sin26A+=，所以πππ2π2π,Z623AkAkk+=+=+,由于()0,πA，所以π3A=【小问2详解】若选①2ab−=，②7cos14B=，则27π321cos0,sin1cos14214BBBB=

−=，，=,由正弦定理可得32133sinsin1427ababbaaAB===，这与2ab−=矛盾，故不可以选择①②，若选①2ab−=，③8c=，由余弦定理可得()222222821cos2216bbcbaAbcb+−++−

===，解得5b=，7a=，此时2224964257cos227814acbBac+−+−==，不满足②，符合题意；此时113sin58103222ABCSbcA==创?△，选②7cos14B=，③8c

=，由于7πcos0,142BB=，,又71cos142B=,故π3B，而π3A=，故ab，这与①2ab−=矛盾，因此可以选择②③；则2321sin=1cos14BB−=，()21sin=sinsincoscos

sin7CABABAB+=+=，由正弦定理可得38sin2=47sin217cAaC==，所以11sin8243223214714ABCSacB△==创?.17.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1,ABE=为1B

B中点，直线11BC与平面1ADE交于点F．（1）证明：F为11BC的中点；（2）若直线AC与平面1ADE所成的角为π3，求二面角11AADF−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据线面

平行的性质定理判断；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定E点位置，再由空间向量法求二面角．【小问1详解】如图，连接1BC，1,FEFD，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，由AB与11

CD平行且相等得11ABCD是平行四边形，所以11//BCAD，又1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，所以1//BC平面1ADE，1BC平面11BCCB，平面1ADE平面11BCCBEF=，所以1//BCEF，E是1BB中点，所以F是11BC的中

点；【小问2详解】以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，设1AAm=（0m），则(1,0,0)A，(0,1,0)C，1(0,0,)Dm，(1,1,)2mE，(1,1,0)AC=−，1(1,0,),(0,1,)2mADmAE=−=，设平面1ADE的一

个法向量是(,,)txyz=，则1002tADxmzmtAEyz=−+==+=，取1z=，得(,,1)2mtm=−，因为直线AC与平面1ADE所成的角为π3，所以2π2cos,sin35124mmtACtACtACm−−===+，解得2m=（负值舍去）

，所以(2,1,1)t=−，平面11AAD的一个法向量是(0,1,0)n=，平面1ADF即平面1ADE，则16cos,66tntntn−===−，二面角11AADF−−为锐角，因此其余弦值为66．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特

定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振0123

为状态解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同

的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X，求X的分布列和数学期望()EX；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的

偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a，有两种偏振状态的可能性为b，有三种偏振状态的可能性为c，试比较,,abc的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）分布列见解析，()1E

X=（3）acb【解析】【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.（3）依据贝叶斯公式得出结论即可.【小问1详解】设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立

作为事件A，易知共有3个基本事件，则1()3PA=．【小问2详解】X的可能取值为0,1,2,3.328(0)()327PX===，123124(1)C()339PX==创=，223122(2)C()339PX==创=，33311(3

)C()327PX==?，所以，X的分布列如下：X0123P82749291278421()01231279927EX=+++=．【小问3详解】结论：acb证明：由窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1可得原始信息只能包含

0，1，2，设原始信息的单光子只有一种偏振状态为事件A，有两种偏振状态为事件B，有三种偏振状态为事件C，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1为事件M,则()()()12133323333CCC3122,,393339APAPBPC======，()()()3

13PMAPMBPMC===,()()()()()()()313PMPAPMAPBPMBPCPMC=++=易知()()()()19PAPMAaPAMPM===，()()()()29PCPMCcP

CMPM===，()()()()23PBPMBbPBMPM===，故acb得证.19.已知函数()()222ln0fxaxaxxa=+−．（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若函数()fx有两个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）3y=（2）340ea−或20a−【解析】【分析】（1）求导，代值可得()()10,13ff==，即可求解切线，（2）求导得()()()21xxaafxx+−=，对a分类讨论，求解函数的单调性，即

可根据最小值为负求解.【小问1详解】当1a=时，()22lnfxxxx=+−，则()121fxxx=+−，所以()()10,13ff==，故()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为3y=【小问2详解】()()()()()22202102xx

xaaaafxaaxxxxaxx+−+−=+−==，当0a时，则20ax+，令()0,fx则21xa，令()0,fx则210xa，故()fx在21,a+单调递增，在210,a

单调递减，故当21xa=，()fx取极小值也是最小值，则22222111122ln34lnfaaaaaaa=+−=+，又当(),,xfx→+→+且()0,xfx→→+，故要使函数()fx有两个零点，只需要()min34ln0fxa=+，解得34

0ea−；当0a时，则10ax−，令()0,fx则24xa，令()0,fx则240xa，故()fx在24,a+单调递增，在240,a单调递减，故当24xa=，()fx取极小值也是最小值，则22222224444422ln2ln4ln22lnf

aaaaaaaa=+−=−=−+，又当(),,xfx→+→+且()0,xfx→→+，故要使函数()fx有两个零点，只需要()2min4ln22ln0fxa=−+，解得20a−；综上可得340ea−或20a−.20.已知两点()()121,0,1

,0FF−，曲线Ω上的动点M满足12122MFMFFF+=，直线2MF与曲线Ω交于另一点N．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x轴的交点分别为,AB（点A在点B的左侧，且M不与,AB重合），直线AM与直线BN交于点P．当点B为线段NP的中点

时，求点N的横坐标．【答案】（1）22143xy+=（2）0【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理12122269,3434tyyyytt−−+==++，即可根据中点关

系以及向量共线得2135yy−=，代入韦达定理中即可求解213t=，进而可求解.【小问1详解】由于121212242MFMFFFFF+===，所以M是以()()121,0,1,0FF−为焦点，以4为长轴长的椭圆，故2,13===acb，故椭圆方程为22143xy+=.【小问2详解

】由于MN斜率不为0，故设直线MN方程为：1xty=+，联立()2222134690143xtytytyxy=+++−=+=，设()()1122,,,MxyNxy,则12122269,3434tyyyytt−−+==++，()2,0,(2

,0)AB−,由于点B为线段NP的中点，则()224,Pxy−−，又P是直线AM与直线BN的交点，所以//APAM,()()22116,,2,APxyAMxy=−−=+,故()()212162xyyx−=−+，()()22121121353535ytyyytyyyy−−=−+=

−=，将2135yy−=代入12122269,3434tyyyytt−−+==++可得22222223235569,35434tyytyyt−−=−==−+++，故2225695234343ttt−−−=++

，解得213t=，故222953343yt−−==+，由2222143xy+=可得20x=，故点N的横坐标为0.21.将数列0:1,2,3,4,N中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A，此时数列0N中剩下的项构成数列1:2,3,5,6

,N；再将数列1N中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A，剩下的项构成数列2N；…．如此操作下去，将数列()*1kNk−N中项数为平方数的项依次选出构成数列kA，剩下的项构成数列kN．（1）分别写出数列34,AA的前2项；（2）记数列mA

的第n项为(),fmn．求证：当2n时，()(),,122fmnfmnnm−−=+−；（3）若(),108fmn=，求,mn的值．【答案】（1）3A的前2项为3，8；4A的前2项为5，11；（2）证明见解析；（3）6,8.mn==【解析】

【分析】（1）直接利用数列定义求解；（2）证明(,)(,1)fmnfmn−−为等差数列即可求解；（3）先利用数学归纳法证明22(22,1)1,(212,1)1.fniinifniinni−+=+++−+=+++进而求得(,)fmn的表达式，利用累加法再解方程求解【小问1详解】数列3A的前2项为

3，8；数列4A的前2项为5，11；【小问2详解】首先2(1,)fnn=，当2n时，(1,)(1,1)21fnfnn−−=−结论成立；当2m时，对于相邻的两个数列：1:(1,1),(1,2),,(1,1),

(1,),,:(,1),(,2),,(,1),(,),,mmAfmfmfmnfmnAfmfmfmnfmn−−−−−−−149162536496426122030425672381524354863805111929415571897142334476279981018284054

708810813223346617897118172739536987107129因为(,1),(1,)fmnfmn−−都在数列2mN−中，且(,1)fmn−在(1,)fmn−之前，所以(,1)(1,)fmnfmn−−在数列1,mmAA−中，必有(1,)

(,)fmnfmn−，所以(,1)(1,)(,)fmnfmnfmn−−，所以(,)(,1)(1,)(1,1)1fmnfmnfmnfmn−−=−−−−+所以(,)(,1)fmnfmn−−构成首项为(1,)(1,1)21fnfnn−−=−，公差为1的

等差数列，所以(,)(,1)(21)(1)22.fmnfmnnmnm−−=−+−=+−【小问3详解】由各个数列生成的规则知，2221,2,,2nnnn+++中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想：集合2221,2,,2nnnn+++

中的每个元素，且仅是数列2321,,,nAAA+中某个数列的项.具体地可概括成结论P：对任意,nN,1iin−N≤，有22(22,1)1,(212,1)1.fniinifniinni−+=+++−+=+++下面用数学归纳法证明：(i)当1n=时，(2,1)2

,(3,1)3,ff==由题意数列23,AA的首项分别是2,3，结论成立；(ii)假设当N()nkk=时，结论成立，即对N,1iik−≤，22(22,1)1,(212,1)1fkiikifkiikki−+=++

+−+=+++那么由第（2）问的结论知：当N,1iik−时，(22,2)(22,1)2(2)(22)2fkiifkiiiki−+=−++++−−22(1)22(1)2kikki=++++=+++,(212,2)(212,1)2(2)2122fkiifkiiiki+−+=+−++

+++−−2(1)(23)kkik=+++++2(1)(1)2kki=+++++,上式表明，集合222(1)1,(1)2,,(1)2(1)kkkk+++++++中除了22(1)1,(1)(2)kkk+++++的每一个元素都是数列2

321,,,kAAA+中的某个数列的项，还剩下两个元素：22(1)1,(1)(2)kkk+++++，它们必是数列2223,kkAA++的首项，结果只有22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1fkkfkkk+

=+++=++++.根据(1)(2)知，结论P成立.由结论P可得，数列2kA的首项为21k+，21kA+的首项为21kk++，即22221,1,44(,1)(1)111,,1,,424mmmmfmmmmmm++==−−−+++为偶

数，为偶数，为奇数为奇数另一方面，由第（2）问的结论：(,)(,1)22fmnfmnnm−−=+−得：(,2)(,1)2fmfmm−=+，(,3)(,2)4fmfmm−=+，…(,)(,1)22fmnfmnnm−−=+−，相加得：(,)24(22)(1)(1)()(,1)fmnn

nmnnmfm=+++−+−=−++，当1n=时，上式也成立．所以22(1)(1)(),4(,)1(1)(1)(),.4mnnmmfmnmnnmm++−+=−++−+为偶数，为奇数221,211,.24mnnmmnnm+−+=+−+−

为偶数，为奇数令2(1)1082mnn+−+=，则2(1)108,2mnn+−=−所以108(1)2mnn=−−−．由12m得2108nn+≤，所以9n，所以108[99,107)n−，所以10810n−=.所以8n=，此时1088(81)3−−−

=，所以6m=；令21(1)10824mnn+−+−=，有2(22)4334mnn+−=−，433422mnn=−+−．由m1得2108n，所以10n．所以4334(393,429)n−，所以4334*,n−N

无解.综上，当(,)108fmn=时，6,8.mn==【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1fkkfkkk+=+++=++++，进而得到(,)fmn的表达式.