【文档说明】《精准解析》湖南省益阳市六校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1018.302 KB，由小赞的店铺上传

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益阳市2022-2023学年六校期末联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.（选择性必修1+选择性必修2数列部分）一、选择题（共40分）1.已知向量()()()1,2,2,3,6,6,2

,1,2abc=−=−−=，则它们的位置关系是（）A.a∥b，a∥cB.ab⊥，ac⊥C.ab⊥，b∥cD.a∥b，bc⊥【答案】D【解析】【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.【详解】由题可知：3ba=−得//ab，2240acac=+−=⊥66120bcbc=−−+=⊥故选：D.

2.在三棱锥−PABC中，CP、CA、CB两两垂直，1ACCB==，2PC=，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是（）A.11,1,2B.()1,2,1C.()1,1,1D.()2,2,1−【答案】A【解析】【分析

】设平面PAB的一个法向量为(),,1nxy=，利用00nPAnAB==，求出x、y的值，可得出向量n的坐标，然后选出与n共线的向量坐标即可.【详解】()1,0,2PA=−，()1,1,0AB=−，设平面PAB的一个法向量为(),,1nxy=，由00nPAnAB==则200xx

y−=−+=，解得22xy==，()2,2,1n=r．又111,1,22n=，因此，平面PAB的一个法向量为11,1,2.故选：A.【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题

.3.已知等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若2q=，26S=，则3S=（）A.8B.10C.12D.14【答案】D【解析】【分析】由等比数列的基本量运算求得1a后求得3a，从而易得3S．【详解】由题意21126Saa=+=，12a=，所以23228a==，3236814SSa=

+=+=．故选：D．4.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n个图形的边长为na，则数列na的通项公式为A.13nB.131n−C.13nD.113n−【答案】D【解析】【分析】观察得到

从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以13为公比的等比数列，根据等比数列的通项写出na即可.【详解】由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以13为公比的等比数列，所以第n个图形的边长为na=1111133nn−−=.故选：D.5.数学

家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC的顶点()()2,0,0,4AB，若其欧拉线的方程为20xy−+=，则顶点C的坐标为A.()4,0−B.()3,1−−C.()5,0−D.()4,2−−【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由

重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为24,33m

n++代入欧拉线方程得：242033mn++−+=整理得：m-n+4=0①AB的中点为（1，2），40202ABk−==−−AB的中垂线方程为()1212yx−=−，即x-2y+3=0．联立23020xyxy−+=−+=解得11xy=−=∴△A

BC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方

程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．6.已知定点(3,0)B，点A在

圆22(1)4xy++=上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A.22(1)1xy++=B.22(2)4xy−+=C.22(1)1xy−+=D.22(2)4xy++=【答案】C【解析】【分析】设(,)Mxy再表达出A

的坐标代入圆方程22(1)4xy++=化简即可.【详解】设(,)Mxy，则(),AAAxy满足3,(,)22AAxyxy+=.故232AAxxyy=−=.故23(2),Axy−.又点A在圆22(1)4xy

++=上.故2222(231)(2)4(1)1xyxy−++=−+=.故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.7.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=，1F，2F分别是双曲线的左､右焦点，M

是双曲线右支上一点连接1MF交双曲线C左支于点N，若2MNF是以2F为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于a，c的齐次方程，即可求出离心率【详解】设2MFm

=，则2NFm=，2MNm=，12NFma=−，122MFmam=−+，因为122MFMFa−=，所以222ama−+=，故22ma=，在12NFF△中，由余弦定理可知()()2222422282222222caaaaaa=−+−−−，整理得22412ca

=，即23e=，所以3e=.故选：B8.已知F1，F2分别为双曲线C：22126xy−=的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是A.[22,4)B.4

62,3C.43,223D.4622,3【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知,HG的横坐标都是a，得到HGx⊥轴，设直线AB的倾斜角为，2RtHMF和2Rt

GMF分别表示HM和GM，根据(60,90，将HG表示为的三角函数求最值.【详解】12AFF内切圆与各边相切于点,,PQM，有,HM的横坐标相等，APAQ=，11FPFM=，22FQFM=121222AFAFaMFMFa−=−=，M在双曲线上，即M是双曲线的顶点

，HG与双曲线相切于顶点（如图）,HG的横坐标都是a，设直线AB的倾斜角为，那么22OFG=,222HFO=−2HFG中，()()sincos22tantan222cossin22HGcaca=−+−=−+

()()22sincos222sinsincos22caca+=−=−双曲线22:126xyC−=，2,6,22abc===，可得22sinHG=，60903sin12，HG的范围是4622,3故选D.【点睛】本

题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定,HG的横坐标都是a，2.设倾斜角为，将HG表示为的三角函数.二、多选题（共20分）9.已知点P是平行四

边形ABCD所在的平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)ABADAP=−−==−−，下列结论正确的有（）A.APAB⊥B.⊥APADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.APBD∥【

答案】ABC【解析】【分析】由0APAB=，可判定A正确；由0APAD=，可判定B正确；由APAB⊥且⊥APAD，可判定C正确；由AP是平面ABCD的一个法向量，得到APBD⊥，可判定D不正确.【详解】由题意，向量(2,1,4),(4,2,0),(

1,2,1)ABADAP=−−==−−，对于A中，由2(1)(1)2(4)(1)0APAB=−+−+−−=，可得APAB⊥，所以A正确；对于B中，由(1)422(1)00APAD=−++−=，所以APAD⊥，所以B正确；对于

C中，由APAB⊥且⊥APAD，可得向量AP是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；对于D中，由AP是平面ABCD的一个法向量，可得APBD⊥，所以D不正确.故选：ABC10.数列{an}的前n项和为Sn，()*111,2Nn

naaSn+==，则有（）A.Sn＝3n－1B.{Sn}为等比数列C.an＝2·3n－1D.21,123,2nnnan−==【答案】ABD【解析】【分析】根据11,1,2nnnSnaSSn−==−求得na，进而求得nS以及判断出nS是等比数列.【详解】依题意()*1

11,2NnnaaSn+==，当1n=时，2122aa==，当2n时，12nnaS−=，11222nnnnnaaSSa+−−=−=，所以13nnaa+=，所以()2223232nnnaan−−==，所以21,123,2nnn

an−==.当2n时，1132nnnaS−+==；当1n=时，111Sa==符合上式，所以13nnS−=.13nnSS+=，所以数列nS是首项为1，公比为3的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD11.已知双曲线

C过点()3,2，且渐近线方程为33yx=，则下列结论正确的是（）A.C的方程为2213xy−=B.C的离心率为3C.曲线21xye−=−经过C的一个焦点D.直线210xy−−=与C有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为33yx=，设出双曲线方程，代入已知点的坐标

，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；联立方程组判断D．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33yx=，可设双曲线方程为223xy−=，把点(3,2)代入，得923−=，即1=．双曲线C的方程为2213xy−=，故A正确；由23a=，21b=，得222cab=+=，双

曲线C的离心率为22333=，故B错误；取20x−=，得2x=，0y=，曲线21xye−=−过定点(2,0)，故C正确；联立2221013xyxy−−=−=，化简得22220,0yy−+−==，所以直线210xy−−=与C只有一个公共点，故D不正确．故选：AC．12.定

义点()00,Pxy到直线l:()2200axbycab++=+的有向距离为0022++=+axbycdab.已知点12,PP到直线l的有向距离分别是12,dd.以下命题不正确的是（）A.若121dd=

=，则直线12PP与直线l平行B.若11d=，21d=−，则直线12PP与直线l垂直C.若120dd+=，则直线12PP与直线l垂直D.若120dd，则直线12PP与直线l相交【答案】BCD【解析】【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直

线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可【详解】设()111,Pxy,()222,Pxy,选项A,若121dd==,则221122axbycaxbycab++=++=+,则点12,PP在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP与直线l平行,所以正确;选项B

,点12,PP在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线12PP不一定与l垂直,所以错误;选项C,若120dd==,满足120dd+=,即11220axbycaxbyc++=++=,则点12,PP都在直线l上,

所以此时直线12PP与直线l重合,所以错误;选项D,若120dd,即()()11220axbycaxbyc++++,所以点12,PP分别位于直线l的两侧或在直线l上,所以直线12PP与直线l相交或重合,所以错误.故选：BCD三、填空题（共20分）13.如下图，

以长方体1111ABCDABCD−的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为(432)，，，则1BD的坐标为_________.【答案】(4,3,2)−−【解析】【分析】根据题意推

导出1,DB的坐标,从而得出1,DB的坐标,进而得出结论.【详解】因为1DB的坐标为(432)，，,(0,0,0)D,则1(4,3,2)B,所以1(4,3,0),(0,0,2)BD,因此1(4,3,2)BD=−−,故答案为:(4,3,2)−−.【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础

题.14.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】2220xyx+−=【解析】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220xyDxEyF++++=，圆经过三点（0，0），（1，1

），（2，0），则：01104020FDEFDF=++++=+++=，解得：200DEF=−==，则圆的方程为2220xyx+−=.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一

些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和

半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．15.已知等差数列na中，24a=，616a=，若在数列na每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为___．【答案】31【解析】【分析】先计算出等

差数列na的公差，进而得到新的等差数列nb的公差，从而求出nb的通项公式，求出新数列的第41项.【详解】设等差数列na的公差为d，则62123624aad−===−，在数列na每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列nb的公差为

344d=，故新数列的首项为431−=，故通项公式为()33111444nbnn=+−=+，故4131413144b=+=.故答案为：3116.设抛物线24xy=，点F是抛物线的焦点，点()0,Mm在y轴正半轴上（异于F点），动点N在抛物线上，若FNM是锐角，则m的范围为__

________．【答案】()()0,11,9U【解析】【分析】设()24,4Ntt，由FNM是锐角得到()4286202mtmt+−+对任意tR恒成立.令20xt=，则()()286202mfxxmx=+

−+对任意)0,x+恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围.【详解】设()24,4Ntt，可知()0,1F，0m且1m，所以()24,14NFtt=−−uuur，()24,4NMtmt=−−uuuur，因为FNM是锐角，所以0NF

NMuuuruuuur，即()()222161440ttmt+−−，整理得()42161240tmtm+−+，等价于()4286202mtmt+−+对任意tR恒成立；令20xt=，则()()286202mfxxmx=+−+对任意)0,

x+恒成立；因为()fx的对称轴为38mx−=−，故分类讨论如下：（1）308m−−，即03m时，()()min002mfxf==，所以03m；（2）308m−−，即3m时，应有()2624802mm=−−，得39m；综上所述：()()0,11,9mU.【点

睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（共70分）17.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面ABC，90CAB=，2ABAC==，13AA=，M为BC的中点，P为侧棱1BB上的动点

．（1）求证：平面APM⊥平面11BBCC；（2）试判断直线1BC与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不能垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）利用AMBC⊥，1AMBB⊥推出AM⊥平面11BBCC，即可证明面面垂直

；（2）建系，写出1,,BCA的坐标，设()03BPtt=，利用直线1BC与AP能垂直，数量积为零，求出433t=，1433tBB=，不能垂直.【小问1详解】因为在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面ABC，90CAB=，2ABAC==，13AA=，M为BC的中点，P为侧棱

1BB上的动点．所以AMBC⊥，1AMBB⊥，因为1BCBBB=，1,BCBB平面11BBCC所以AM⊥平面11BBCC，因为AM平面APM，所以平面APM⊥平面11BBCC．【小问2详解】以A为原点，

AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，()020B，，，()12,0,3C，()000A，，，设()03BPtt=，则()()()10,2,,2,2,3,0,2,PtBCAPt=−=，若直线1BC与AP能垂直，则10430BC

APt=−+=，解得433t=，因为14333tBB==，所以直线1BC与AP不能垂直．18.设数列na满足()21112,32nnnaaanN−++==+.（1）求2a和3a的值.（2）求数列na的通项公式.（3）令nnbna=，求数列

nb的前n项和nS.【答案】（1）238,32aa==；（2）()212nnnNa−+=；（3）21(31)229nnnS+−+=.【解析】【分析】（1）根据递推公式，逐项计算，即可求解；（2）由21132nnnaa−+=+，结合叠加法，利用等比数列的求和公式，即可求解；

（3）根据212nnnnbna−==，结合乘公比错位相减求和，即可求解.【详解】（1）当1n=时，121328aa=+=，当2n=时，3323232aa=+=，所以238,32aa==.（2）由数列na

满足21112,32nnnaaa−+==+.可得12132aa−=，33232aa−=，54332aa−=，L，23132nnnaa−−−=，相加可得13523132323232nnaa−−=++++()1321414n−−=−2

122n−=−，所以2121211222222nnnnaa−−−=−+=−+=，所以数列na的通项公式为()212nnnNa−+=.（3）由212nnnnbna−==，可得1352321122232(1)22nnnSnn−−=++++−+，

则35721214122232(1)22nnnSnn−+=++++−+，两式相减，可得135721213222222nnnSn−+−=+++++−，()21214214nnn+−=−−212122233nnn++=−−，所以2

1(31)229nnnS+−+=.19.已知各项都为正数的等比数列na的前n项和为nS，数列nb的通项公式()*,1,nnnbnnn=+N为偶数为奇数，若351Sb=+，4b是2a和4a的等比中项．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nnab的前n项

和nT．【答案】（1）12nna−=（2）()*1222,332222,33nnnnnTnnn−−+=−+N为偶数为奇数【解析】【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由2311151Saaqaqb=++=+，()222231

244aaqaab===，结合题设条件，即可求解；（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.小问1详解】∵数列nb的通项公式()*,1,nnnbnnn=+N为偶数为奇数，∴546,4bb==，设各项都为正数的等比数列na的公比为q，则0q，∵3517S

b=+=，∴21117aaqaq++=，①∵4b是2a和4a的等比中项，∴22324416aaab===，解得2314aaq==，②由①②得23440qq−−=，解得2q=或23q=−（舍去），∴111,2nnaa−==；【小问2详解】()()1*12

,12,nnnnnnabnnn−−=+N为偶数为奇数当n为偶数时，()()()()012342111222312425121122nnnTnn−−=+++++++++−++()()0123102222232422222nnn−−

=+++++++++，设0123122232422nnHn−=+++++，③则234222232422nnHn=+++++，④③减④，得()0123112222222212112nnnnnnHnnn−−−=+++++−

=−=−−−，∴()121nnHn=−+，∴()2142212121433nnnnTnn−=−++=−+−，当n为奇数，且3n时，()()11111522212212223333nnnnnnTTnnnn−−−−−

=++=−+++=−+，经检验，1112Tab==符合上式，【∴()*1222,332222,33nnnnnTnnn−−+=−+N为偶数为奇数20.已知直线l

：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案

】（1）证明见解析；（2）[0,)+；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【解析】【分析】（1）直线方程化y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面

积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋

1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则0120kk+解得k≥0，故k的取值范围是[0,)+．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为12kk+−，在y轴上的截距为1＋2k，∴A12,0kk+−，B（0，1＋2k）．又120kk+−

且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝12|OA||OB|＝12×12kk+×（1＋2k）＝1214+4kk+≥12×（4＋124kk）＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，取等号．故S最小值为4，

此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．21.已知圆C过点(02)(31)MN−，，，，且圆心C在直线210xy++=上．为的（1）求圆C的标准方程．（2）设直线10axy−+=与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点(20)P，的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数

a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()22329xy−++=（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设圆的方程220xyDxEyF++++=，由题意列出方程组，解方程组求得答案；（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心(32)C−，必在直线l上，结

合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线10axy−+=交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.【小问1详解】设圆C的方程为220xyDxEyF++++=，则有1024201030DEEFDEF−−+=−+=+++=，解得644DEF=−=

=，所以圆C的方程为226440xyxy+−++=，化为标准方程，得()()22329xy−++=．【小问2详解】假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心(32)C−，必在直线l上，所以直线l的斜率2223PCk==−−，又1ABPCkak==−，所以12a=

．将10axy−+=与圆C的方程联立，整理得()()2216190axax++−+=，由于直线10axy−+=交圆C于A，B两点，故()()223613610aa=−−+，解得a<0，与12a=矛盾，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．2

2.已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为()2,0A−，()2,0B.（1）求椭圆C方程；（2）过点()1,0的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线4x=交于点Q，求证：MBN

MBQBNSSBQ=.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得2a=，再根据离心率求出c，最后根据222abc=+，求出b，即可求出椭圆方程；（2）设直线l的方程为1xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立直线与椭圆方程，消元

、列出韦达定理，在表示出直线AM的方程，即可求出Q点坐标，再表示出NBk、BQk，即可得到NBBQkk=，即N、B、Q三点共线，即可得证；【小问1详解】解：由长轴的两个端点分别为()2,0A−，()2,0B，可得2a=，由离

心率为32，可得32ca=，所以3c=，又222abc=+，解得1b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=；小问2详解】解：设直线l的方程为1xmy=+，由22114xmyxy=++=得()224230mymy++−=设()11,Mxy

，()22,Nxy，则12224myym+=−+，12234yym−=+的【所以112AMykx=+，直线AM的方程为()1122yyxx=++，所以1164,2yQx+所以2222022NByykxx−==−−，1111110466223222BQyyxxyxk

−===+−++所以()()()()()()()()21122112212121212323313222222NBBQyxyxymyymyyykkxxxxxx+−+−−−=−=−=−+−+−+()()()12

122123022myyyyxx−++==−+，即NBBQkk=，所以N、B、Q三点共线，所以MBNMBQBNSSBQ=；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com