【文档说明】湖南省益阳市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，1.896 MB，由小赞的店铺上传

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益阳市2019年下学期普通高中期末考试试卷高三理数第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|5,|39xAxxBx==，则AB=（）A.(,2−B.(,5]−C.(2,5

]D.(,2)(2,5)−【答案】B【解析】【分析】解指数不等式求得集合B，由此求得AB【详解】由2339x=，解得2x，即|2Bxx=，所以(,5]AB−=.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合并

集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.2.已知复数112iz=−，121zz=，则复数2z的虚部为（）A.25B.25−C.15D.15−【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算求得复数2125iz−=，从而得到复数2z的虚部。【详解】因为112zi=+，121zz=，所以

21121212(12)(12)5iiziii−−===++−，所以其虚部为25−.故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部的概念，考查对概念的理解与应用。3.已知函数()2()1xfxxxe=++，则()fx在(0,(0))f处的切线方程为（）A.10xy++=B.10xy−+=C.2

10xy++=D.210xy−+=【答案】D【解析】【分析】对函数求导得()2()32xfxexx=++，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程求得答案。【详解】因为()2()32xfxexx=++，所以(0)2f=，又因为(0)1f=，所以切点为(

0)1，，所以曲线()fx在(0,(0))f处的切线方程为210xy−+=.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查数形结合思想和运算求解能力。4.设x，y满足约束条件262220xyxyy+−−，则2zxy=−的最大值是（）A.

2B.6C.10D.14【答案】C【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，利用直线在y轴截距的几何意义，即可求得答案。【详解】不等式组表示的可行域为如图所示的ABC的内部（包括边界），易得(4,1)A，

(2,2)B，()6,2C，当2zxy=−过点C时，取得最大值，所以max26210z=−=.故选：C.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意将问题转化为直线在y轴上截距的最值问

题。5.已知函数()2sin[cos()cos]3fxxxx=−+，则函数()fx的最小正周期是（）A.2B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】将函数化为sin()yAx=+的形式，即可求函数()f

x的最小正周期.【详解】解：1333()2sincossincossin2(1cos2)2222fxxxxxxx=++=+−33sin262x=−+，所以()fx的最小正周期为，故选：B.【点睛】本题

考查三角恒等变形，考查三角函数的周期，是基础题.6.若输入x的值为7.则输出结果为（）A.74B.34C.78D.32【答案】B【解析】【分析】直接根据程序框图，一步一步往下执行，直到终止循环，即可得到答案。【详解】第一次循环：7y=，60x=，是，72x=；第二次循环：72y=，502x

=，是，74x=；第三次循环：74y=，304x=，是，78x=；第四次循环：78y=，108x=−，否，34zxy=+=.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，求解时注意何时终止循环，属于基础题。7

.如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABCABC−中，P，E，F分别是1AA，11AC，AC的中点.则四棱锥1PEFBB−的体积为（）A.33B.32C.233D.433【答案】C【解析】【分析】先证明AC⊥平面1EFBB，从而得到

P到平面1EFBB的距离为1AF=，再利用四棱锥的体积公式，即可得到答案。【详解】因为ACBF⊥，ACEF⊥，=BFEFF，所以AC⊥平面1EFBB，所以P到平面1EFBB的距离为1AF=，又因为123EFBBS=，所以112312333PEFBBV−==.故选：C.【点睛】本题考查四

棱锥体积的求解，求解时注意先证明线面垂直，找到高，再代入体积公式求得答案，考查空间想象能力和运算求解能力。8.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若32,26,4bcC===，则ABC的面积为（）A.2B.22C.3D.32【答案】A【解析】

【分析】由余弦定理算出a的值，然后利用三角形的面积公式求面积即可.【详解】解：由余弦定理得223(26)222cos4aa=+−，整理得22240aa+−=，解得4a=，所以ABC的面积为1242222ABCS==，

故选：A.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，是基础题.9.51(3)xxx+−展开式中含x的项的系数为（）A.-112B.112C.-513D.513【答案】C【解析】【分析】项(1)xx+出x时，项5(3)x−出50

55C(3)x−；项(1)xx+出1x时，项5(3)x−出3235C(3)x−；从而求得含x的项的系数。【详解】当项(1)xx+出x时，5个括号(3)x−均出(3)−；当项(1)xx+出1x时，5个括号

(3)x−有2个出x，3个出(3)−；所以展开式中含x的项为：505323551(3)(3)513xCxCxxx−+−=−.所以含x的项的系数为513−.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求解展开式中指定项的系，考查逻辑推理能力

和运算求解能力。10.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是C的右支上一点，连接1PF与y轴交于点M，若12||FOOM=（O为坐标原点），12PFPF⊥，则双曲线C的渐近线方程为（）A.3yx=B.3yx=C.2yx=

D.2yx=【答案】C【解析】【分析】利用三角形1OMF与2PFF相似得122PFPF=，结合双曲线的定义求得,,abc的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设1(,0)Fc−，2(,0)Fc，由12||FOOM=，1OMF与2PFF

相似，所以1122||PFFPOMFO==，即122PFPF=，又因为122PFPFa−=，所以14PFa=，22PFa=，所以2224164caa=+，即225ca=，224ba=，所以双曲线C的渐近线方程为2yx=.故选：C.【点睛】本题考

查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。11.已知三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，23ABC=，4PA=，若三棱锥PABC−外接球的表面积为32，则直线PC

与平面ABC所成角的正弦值为（）A.77B.66C.277D.27【答案】C【解析】【分析】设1O为ABC的外心，O为三棱锥PABC−外接球的球心，利用三棱锥PABC−外接球的表面积为32，求得ABC外接圆的半径为1

2rAO==，找出直线PC与平面ABC所成角为PCA，从而求得其正弦值。【详解】如图所示，设1O为ABC的外心，O为三棱锥PABC−外接球的球心，由PA⊥平面ABC，1OO⊥平面ABC，知1PAOO∥，取PA的中点D，由三棱锥PABC−外接球的表面积为32，得

22OPOA==，知四边形1DAOO为矩形，又4PA=，所以12DAOO==，ABC外接圆的半径为122(22)22rAO=−==，在ABC中，由2sin=ACrABC，得22sin12023AC=

=，27PC=，由PA⊥平面ABC，所以PCA是直线PC与平面ABC所成的角，27sin7PAPCAPC==.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、线面角的正弦值，考查空间想象能力和运算求解能

力，求解的关键是先找到外接球的球心，再根据外接球的体积求出球的半径和底面外接圆的半径。12.已知定义在R上的奇函数()fx恒有(1)(1)fxfx−=+，当[0,1)x时，21()21xxfx-=+，则当函数1()()3gxfxkx=−−在[0,7]上有三个零点时，k的取值范围是（）A.12,

415−−B.22,915−−C.22,915−−D.221,9153−−−【答案】D【解析】【分析】由题意得函数的周期为2，2()121xfx=−+在(1,1)−上单调递增，且为奇函数，从而得到函数的图象，从

而根据直线与函数图象的交点情况，得到k的取值范围。【详解】因为(1)(1)fxfx−=+，所以()fx的周期为2，又因为()fx为奇函数，()()fxfx=−−，令1x=，得(1)(1)ff=−−，又(1)(1)ff−=，所以(1)(1)0ff=−=，当(

1,1)x−时，212()12121xxxfx−==−++，由221xy=+单调递减得函数()fx在(1,1)−上单调递增，所以(1)()(1)ffxf−，得11()33fx−，作出函数图象如

图所示，由图象可知当13ykx=+经过点13,3−时，29k=−，当13ykx=+过点15,3−时，215k=−，当13ykx=+经过点(1,0)时，13k=−，所以当函数1()()3gxfxkx=−−在[0,7]上有三个零点时

，22915k−−或13k=−.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点、函数的周期、奇偶性、单调性等知识的综合，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过解析式的性质，作出函数的图象。第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知在平行四边形ABCD中，1,3BEBCAExBDyBC==+，则xy−=_______.【答案】73−【解析】【分析】根据平面向量的基本定理,将AE转换为用,BDBC表示,进而得到41,3xy=−=再求解即可.【详解】因为13AEABBEABBC

=+=+,ABDCBCBD==−所以13AEBCBDBC=−+=43BDBC−+，由AExBDyBC=+，得41,3xy=−=，所以73xy−=−故答案为：73−【点睛】本题主要考查了利用平面向量的基底向量用法,属于基础题型

.14.已知是第四象限角，且满足29cossin217+=，则tan=___________【答案】29−【解析】【分析】将2cossin2+转化为22tan11tan++，解方程求出tan.【详解】解：由已知得2

22222sincoscos2tan19sin2cossincos1tan17+++===++，解得tan4=或2tan9=−，因为是第四象限角，故2tan9=−，故答案为：29−.【点睛】本题考查三角恒等变形，考查正，余弦齐次式的变形

与求值，是基础题.15.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球

的概率是________.【答案】15128【解析】【分析】先定义事件A，A，B，B，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件(),,AAABBAABAABAA+，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为A，则1()4PA=，“甲摸到红球

”的事件为A，则3()4PA=，设“乙摸到绿球”的事件为B，则1()4PB=，“乙摸到红球”的事件为B，则3()4PB=，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是(),,AAABBAABAABAA+，所以113

133114444444P=++3311154444128=.故答案为：15128【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。16.已知抛物线2:4Cyx=的准线为l，过点(1,0)−作斜率为正值的直线l交

C于A，B两点，AB的中点为M.过点A，B，M分别作x轴的平行线，与l分别交于D，E，Q，则当||||MQDE取最小值时，||AB=________.【答案】43【解析】【分析】不妨设直线AB方程为(1)(0)ykxk=+

，()11,Axy，()22,Bxy，借助,AB的坐标和韦达定理，将||||MQDE表示成关于k的函数，从而得到||||MQDE取最小值时，对应k的值，再利用弦长公式求得||AB的值。【详解】不妨设直线AB方程为(1)(0)ykxk=+，()11,

Axy，()22,Bxy，代入抛物线24yx=，整理得()2222240kxkxk+−+=，则12242xxk+=−，121=xx，由()2242440kk=−−，得01k，所以122||||1

12||22ADBExxMQk++++===，因为1212||||||DEyykxx=−=−()221212414kkxxxxk==−+−，所以()222||11||2121MQDEkkkk==−−，当212k=时

，||||MQDE取得最小值.此时126xx+=，121=xx，21164432||AB+−==.故答案为：43【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，函数最值，考查转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，求解的关键是要有函数意识，将最值问题转化为函数问题进行研究。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为112a=，()1122nnnSa++=−.（1）求2a及数列na的通项公式；（2）若()1122lognnbaaa=，11nnn

cab=+，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）214a=，12nna=（2）1221nnTn+=−+【解析】【分析】（1）利用临差法将递推关系转化成2112nnaa++=，同时验证2112aa=，从而证明数列na为等比

数列，再利用通项公式求得na；（2）利用对数运算法则得11221nncnn=+−+，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得nT。【详解】（1）因为122Sa=，所以214a=，因为()1122nnnSa++=−，所以()2122

2nnnSa+++=−，所以()()211212222nnnnnaaa+++++=−−−，整理得2112nnaa++=，又因为112a=，2112aa=，所以数列na是首项为12，公比为12的等比数列，所以111

1222nnna−==（2）()112121221111(1)loglog22222nnnnnnbaaa−+===，1111221nnnncabnn=+=+−+，2111111122221223341nnTnn=++++−

+−+−++−+()1212122121211nnnn+−=+−=−−++.【点睛】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前n项和、裂项相消法求和，考查转化与化归思想、方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解

能力，求解时注意数列下标的限制。18.某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一

次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（

同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判

断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）【答案】（1）19.8万件（2）①0.6②乙方案.【解析】【分析】（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；（2）①由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中

，估计年销售利润不低于270万的概率；②分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。【详解】（1）年销量的平均数0.05120.35160.3200.2240.12819.8x=+++++=（万件）.（2）①该产品的销售利润为15元/件，由题

意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，所以年销售利润不低于270万的概率0.30.20.10.6P=++=.②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望()19.8EX=，所以甲方案6年的净利润的期望值为19.81561000782−=（

万元）.设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为Y121620P0.050.350.6所以乙方案的年销售量期望()0.05120.35160.62018.2EY=++=（万件），所以乙方案6年的净利润的期望值为18.2156700938−=（万元），因为乙方

案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值,所以企业应该选择乙方案.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望、频率分布直方图、频率估计概率、及利用期望进行决策等知识，考查数据处理能力和逻辑推理能力，求解的关键是读懂频率分布直方图是将两种方案的销售量整合在一张图里，所以在判断乙方案时，要注意年

销售量为Y只能取12，16，20.19.如图1所示，在直角梯形DCEF中，DFCE，FDDC⊥，ABCD∥，224BEABAFAD====，将四边形ABEF沿AB边折成图2.（1）求证：AC平面DEF；（2）若23EC=，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值.【答案】（

1）见解析（2）28519【解析】【分析】（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG，证明ACFG∥，再利用线面平行判定定理，即可证得AC平面DEF；（2）以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面DEF

的法向量(23,3,2)m=−，平面EAC的法向量(2,1,0)n=−，求出两个法向量夹角的余弦值，从而求得平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值。【详解】（1）连接BD,交AC于点O,取DE的中点为G,连接FG，OG,则OGBE∥，12OGBE=，又因为AFBE，12AFB

E=，所以AFOG∥，且AFOG=，所以四边形AOGF是平行四边形，所以ACFG∥，又FG平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.（2）因为23EC=，4BE=，2BC=，所以222BEECBC=+，所以ECBC⊥，因为23EC=，25AC

=，42AE=，所以222AEECAC=+，所以ECAC⊥，因为ACBCC=，所以EC⊥平面ABCD，所以CB，CD，CE两两垂直，以C为坐标原点，CB，CD，CE所在直线分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C，(0,4,0)D，(0,0,23)E，(2,

4,0)A，(2,0,0)B，由12AFBE=，得(1,4,3)F，设平面DEF的法向量为()111,,mxyz=，因为(0,4,23)DE=−，(1,0,3)DF=，所以由0mDE=，0mDF=，得11114

23030yzxz−+=+=，令12z=，得123x=−，13y=，所以(23,3,2)m=−，设平面EAC的法向量()222,,nxyz=，因为(0,0,23)CE=，(2,4,0)CA=，所以由0nCE=，0nCA=，得222230240zxy=+

=，令21y=，得(2,1,0)n=−，设平面DEF与平面EAC所成的锐二面角为，所以||53285cos19||||519mnmn===，所以平面DEF与平面EAC所成的锐二面角的余弦值为28519.【点睛】本题考查线面平行判定定理的应用、向量法求二面角的余弦值，考查空间

想象能力和运算求解能力，证明线面平行时，要注意判定定理条件的完整性，不能把线在面外这一条件漏掉；建系之前，对于两两互相垂直的三条直线要给予证明。20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，点(4,1)

在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线上:3lykx=−与C交于A，B两点，是否存在l，使得点(0,1)M在以AB为直径的圆外.若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221205xy+=（2）存在，552,,255−−

【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为32，过点(4,1)，可得到关于,,abc的方程，解方程可得,,abc的值，从而得到椭圆的方程；（2）由点(0,1)M在以AB为直径的圆外，得0MAMB

，设()11,Axy，()22,Bxy，将向量的数量积用直线的斜率k进行表示，解不等式和判别式在于0，取交集可得k的取值范围。【详解】（1）由题意知32ca=，得32ca=，所以222214baca=−=，将点(4,1)代入C得2216

11ab+=，解得25b=，220a=，所以椭圆C的标准方程为221205xy+=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy由题意知0k，由223420ykxxy=−+=，得()221424160kxkx+−+=，由()22(24)416140kk=−−+，

得55k或55k−，所以1221614xxk=+，1222414kxxk+=+，因为点(0,1)M在以AB为直径的圆外，所以0MAMB，即()()()()11221212,1,144xyxyxxkxkx−−=+−−

()()2121214160kxxkxx=+−++，所以()22221614241601414kkkk+−+++，解得22k，所以k的取值范围为552,,255−−.【点睛】本题考查椭圆的

离心率、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积等知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意隐含条件判别式大于0的运用。2

1.已知1()lnmfxxmxx−=+−，mR.（1）讨论()fx的单调区间；（2）当202em时，证明：2()1xexxfxm−+−.【答案】（1）()fx在(1,1)m−上单调递减；在(0,1)和(1,)m−+上单调递增.（2）见解析【解析】【分析】（1

）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()xxmfxx−−−=，对m分成1m£，12m，2m=三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xexxfxm−+−，等价于证明lnxemxx，再对x分01x，1x两种情况讨论；证明当1x时，不等式成立，可先利用放缩法将参

数m消去，转化成证明不等式2ln2xeexx成立，再利用构造函数22()lnxegxxx−=−，利用导数证明其最小值大于0即可。【详解】（1）()fx的定义域为(0,)+，221(1)[(1)]()1mmxxmfxxxx−−

−−=+−=，当1m£时，由()0fx，得1x；由()0fx，得01x，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增；当12m时，由()0fx，得1x或01xm−；由()0fx

，得11mx−；所以()fx在(1,1)m−上单调递减，在(0,1)m−和(1,)+上单调递增；当2m=时，由22(1)()0xfxx−=，得()fx在(0,)+上单调递增；当2m时，由()0fx

，得1xm−或01x；由()0fx，得11xm−；所以()fx在(1,1)m−上单调递减；在(0,1)和(1,)m−+上单调递增.（2）由2()1xexxfxm−+−，得lnxemxx

，①当01x时，e1x，ln0mxx，不等式显然成立；②当1x时，ln0xx，由202em，得20lnln2emxxxx，所以只需证：2ln2xeexx，即证22ln0xexx−−，令22()lnxegxx

x−=−，则222(1)()xexxgxx−−−=，1x，令2()2(1)xhxexx−=−−，则2()21xhxxe−=−，令()()hxx=，则2()2(1)0xxxe−=+，所以()hx在(1,)+上为增函数，因为2(

1)10he=−，(2)30h=，所以存在0[1,2]x，()00hx=，所以()hx在)01,x上单调递减，在)0,x+上单调递增，又因为(1)10h=−，(2)0h=，当[1,2)x时，

()0gx，()gx在[1,2)上单调递减，当[2,)x+时，()0gx，()gx在[2,)+上单调递增，所以()(2)1ln20gxg=−，所以()0gx，所以原命题得证【点睛】本题考查含参数函数的单调

性、放缩法证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，在分类讨论时要做到不重不漏，在运用放缩法时，要注意合理进行消参。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按

所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为35cos45sinxy=+=−+（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点(2,0)P，倾斜

角为4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求11||||PMPN+的值.【答案】（1）6cos8sin=−，（2）528【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方

程，再运用cosx=，siny=，222xy=+将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数

方程为35cos45sinxy=+=−+，（为参数），所以曲线C的直角坐标方程为222(3)(4)5xy+=−+，即22680xxyy−++=，将cosx=，siny=，222xy=+，代入上式得6cos8sin=−.（2）直

线l的参数方程为22222xtyt=+=，（t为参数），将22222xtyt=+=代入22680xxyy−++=，整理得23280tt+−=，设点M，N所对应的参数分别为1t，2t，则1232tt+=−，128tt=−，1832500=+

=，因为1t，2t异号，所以()21212121212124111152||||8ttttttPMPNtttttt+−−+=+===.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考

查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()|4||2|fxxax=+−−.（1）当2a=时，解不等式()3fxx；（2）当12x时，不等式2()4fxx−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,2

−，（2）5,2212+【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.【详解】（1）当2a=时，不等式()3fxx，即为|224||3|xxx−+−

，当4x−时，由4223xxx−−+−，得3x−，所以4x−，当41x−时，由4223xxx++−，得20，所以41x−，当1x时，由4223xxx+−+，得32x≤，所以312x，故不等式()3fxx的解集为3,2−

.（2）当12x时，22()4|2|fxxaxxx−−+，由2|2|axxx−+，得2211xaxxx−+−++，当12x时，由基本不等式得21221xx+++，当且仅当2xx=，即2x=时取等号，因为函数21y

xx=−+−在1,2+上单调递减，所以当12x=时，21yxx=−+−取最大值为52，故实数a的取值范围是5,2212+.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值

，属于中档题.