【文档说明】山东省青岛市即墨区2023届高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.934 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度第一学期教学质量检测高三数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.注意事项：1.答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.选出每小题答案前，用2B铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数2i1imz+=+

为纯虚数，则实数m的值为（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据除法运算求出z，再根据纯虚数的定义可得结果.【详解】()()()()()2i1i22i2i1i1i1i2mmmmz+−++−+===++−,因为z为纯虚数，所以2020mm+=−

，得2m=−.故选：D2.已知向量()1,2a=r，()0,2b=−，()1,c=−，若()2abc−⊥，则=（）A.3B.13C.2D.12【答案】B【解析】【分析】先求出2ab−的坐标，再由()2abc−⊥，得()20ab

c−=可求出的值【详解】因为()1,2a=r，()0,2b=−，所以2(2,4)(0,2)(2,6)ab−=−−=，因为()2abc−⊥，()1,c=−，所以()2260abc−=−+=，解得13=

，故选：B3.如图，在ABC中，2ANNC=，P是BN上一点，若12APtABAC=+，则实数t的值为（）A.16B.13C.14D.12【答案】C【解析】【分析】由题意设BPBN=，由向量的线性运算可得()213ABAACP−+=，再根据已知列等式计算即可求出t.

【详解】由题意，P是BN上一点，设BPBN=，则()()1APABBPABBNABANABABAN=+=+=+−=−+，又2ANNC=，所以23ANAC=，所以()22113ABACAPtABAC−+==+，所以12132t−=

=，解得14t=.故选：C4.若12cos13=，且为第四象限角，则tan的值为（）A.125B.125−C.512D.512−【答案】D【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得

正确答案.【详解】由于12cos13=，且为第四象限角，所以25sin1cos13=−−=−，sin5tancos12==−.故选：D5.要得到cos(2)3yx=−的图像，只需将函数sin2yx=的图像（）A.向左平移12个单位

B.向右平移12个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位【答案】A【解析】【分析】化简函数cos2sin2312yxx=−=+，即可判断.【详解】cos2sin2sin2sin2332612yxxxx=−

=−+=+=+，需将函数sin2yx=的图象向左平移12个单位.故选：A.6.在各项均为正数的等比数列na中，174528216aaaaaa++=，则45aa的最大值为（）A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】【

分析】首先根据等比数列的性质求得454aa+=，再根据基本不等式245452aaaa+，即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，2174aaa=，2285aaa=，所以224455216aaa

a++=，即()24516aa+=，得454aa+=，且0na，所以2454542aaaa+=，当且仅当45aa=时，等号成立，所以45aa的最大值为4.故选：C7.已知ABC外接圆圆心为O，且2AOABAC=+，3CAOA=，则向量CA在向量CB上的投影向量为

（）A.34CBB.12CBC.13CBD.14CB【答案】A【解析】【分析】根据条件作图可得ABC为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可【详解】2AOABAC=+所以ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以90BAC=,12OACB=

如图：因为3CAOA=，所以32CACB=，即32CACB=，所以30ACB=，向量CA在向量CB上的投影数量为：3cos304CBCACBCB=故选：A8.已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为（）A.18B.643C.

814D.27【答案】B【解析】【分析】先求出外接球的半径，再根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可得22232(3)ah=+−，进而由体积公式转化为关于h的函数，利用导数可求出函数的最值

.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长2ABa=，高POh=，外接球的球心为M，则2ODa=，因为球的体积为34π36π3R=，所以球的半径为3R=，的在RtMOD△中，222MDODOM=+，即22232(3)ah=+−，所以正四棱锥的体积为22

11249(3)333VShahhh===−−整理得3224(0)3Vhhh=−+，则2282(4)Vhhhh=−+=−−，当04h时，0V，当4h时，0V，所以3224(0)

3Vhhh=−+在(0,4)上递增，在(4,)+上递减，所以当4h=时，函数取得最大值3226444433−+=，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.9.下列关于平面向量的命题正确的是()A.若a∥b，b∥c，则a∥cB.两个非零向量,ab垂直的充要条件是：0ab=C.若向量ABCD=，则,,,ABCD四点必在一条直线上D.向量()0aa与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba=【答案】BD【解析】【分析】

根据向量共线的概念判断A，根据向量垂直的性质判断B，根据向量相等和向量概念判断C，根据向量共线定理判断D．【详解】对于A，当0b=时，不一定成立，A错误；对于B，两个非零向量,ab，当向量,ab垂直可得0ab=，反之

0ab=也一定有向量,ab垂直，B正确；对于C，若向量,ABCDAB=与CD方向和大小都相同，但,,,ABCD四点不一定在一条直线上，C错误；对于D，由向量共线定理可得向量()0aa与向量b共线的充要

条件是：存在唯一一个实数，使,ba=D正确．故选：BD．10.设函数()cos3sinfxxx=−，则下列结论正确的是（）A.()fx的周期是2πB.()fx的图象关于直线π6x=对称C.()fx在2π0,3单

调递减D.()fx在0,π上的最小值为2−【答案】ACD【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的图象和性质得出结论.【详解】函数()cos3sin2coπs3fxxxx=−=+，()fx的最小正周期为221ππ=，故A正确；令π6x=，求得(

)0fx=，不是最值，可得()fx的图象不关于直线π6x=对称，故B错误；2π0,3x时，,ππ33πx+，函数()fx单调递减，故C正确；0,πx时，ππ4π,333x+，故当ππ3x+=即2π3x=时，函数

()fx取得最小值为2−，故D正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCDABCD−，则下列结论正确的是（）A.平面1ACD与直线11AC平行B.平面1ACD与直线1AD垂直C.平面1ACD与平面11ACB平行D.平面1ACD与平

面1BDC垂直【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据平行四边形可证11AC∥AC，进而结合线面平行的判定定理分析证明；对于B：根据线面垂直的判定定理分析证明；对于C：根据面面平行的判定定理分析证明；对于D：可证1AC⊥平面1BDC，根据面面垂直的判定

定理分析判断.【详解】对于选项A：因为1AA∥1CC，且11AACC=，则11AACC为平行四边形，可得11AC∥AC，且11AC平面1ACD，AC平面1ACD，所以11AC∥平面1ACD，故A正

确；对于选项B：因为11AADD为正方形，则11ADAD⊥，又因为AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，则1ABAD⊥，1ADABA=，1,ADAB平面11ABCD，所以1AD⊥平面11ABCD，因为

1DCI平面111ABCDD=，所以1AD与1DC不垂直，所以平面1ACD与直线1AD不垂直，故B错误；对于选项C：因为AB∥11CD，且11ABCD=，则11ABCD为平行四边形，可得1AD∥1BC，且1BC平面1ACD

，1AD平面1ACD，所以1BC∥平面1ACD，由选项A可知：11AC∥平面1ACD，1111BCACC=，111,BCAC平面11ACB，所以平面11ACB∥平面1ACD，故C正确；对于选项D：因为ABCD为正方形，则ACBD⊥，又因为1AA⊥平面ABCD，BD平面11AADD

，则1AABD⊥，1AAACA=，1,AAAC平面11ACCA，所以BD⊥平面11ACCA，且1AC平面11ACCA，可得1BDAC⊥，同理可证：11DCAC⊥，1BDDCD=，1,BDDC平面1BDC，所以1AC⊥平面1BDC，又因为1AC平面

1ACDC=，所以平面1ACD与平面1BDC不垂直，故D错误；故选；AC.12.数列na依次为1,13,13,13,15,15,15,15,15,17,17,17,17,17,17,17,19,19…,其中第一项为1,接下来三项为13,再五项为15,依次类推,

记na的前n项和为nS,则下列说法正确的是（）A.64117=aB.21na为等差数列C.2=nSnD.121−nan对于任意正整数n都成立【答案】BCD【解析】【分析】根据数列的规律可求出64a判断A；根据等差数列的

定义可判断B；根据数列求和可判断C；根据不等式的性质可判断D.【详解】设分母为1的数为第一组,分母为3的数为第二组，…,分母为21n−的数为第n组,则前n组数共有213521nn++++−=个数,对于A,令264n=,可得8n=,所以64a为第8组最后一个数,则

64115a=,故A错误;对于B,因为前n组数共有2n个数,所以数列21na的项为na每一组的最后一个数的倒数,即1,3,5,7,,21,n−,故B正确;对于C,因为前2n项共有n组数,又每组数的和为1,所以前n组数的和为n,即2=nSn,故C正确;对于D,根

据已知设()()221,Nmkmk+,因为ka为定值,即121kam=+,因为()()221,Nmkmk+,所以1mkm+,则111212121mmk+−−,因为121kam=+,所以112121kamk−−,即1

21−nan,故D正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知复数()()3i2izm=+−+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.【答案】213m【解析】【分析】

首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数m的取值范围.【详解】复数()()321izmm=−+−，因为复数对于的点在第四象限，所以32010mm−−，解得：213m.故答案为：213m14.已知非零单位向量

a，b满足2abab+=−，则a与ba−的夹角余弦值为______.【答案】55−##155−【解析】【分析】由已知两等式平方后可解得得ab，进而可求解.【详解】2abab+=−，22222484aabbaabb++=−+rrrrrrrr，

又1,1ab==，121484abab++=−+rrrr，35ab=rr，()222642211555bababaab−=−=+−=+−==，设a与ba−的夹角为，则()23155cos2515abaabaabaaba−−−====−−−

rrrrrrrrrrrr故答案为：55−15.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则sin=______.【答案】1

2##0.5【解析】【分析】首先得到60,60OAOB==，然后在OBC△中，由余弦定理得求出OC，可求出tan，即可求出sin.【详解】如图，O为楼脚，OP为楼高，则60OP=，45OAP=，所以60OA=，又因为60AB=，45OB

P=，所以60OB=，所以60OAABOB===，所以60OBA=，所以120OBC=又因为60BC=，所以在OBC△中，2222212cos606026060108002OCBCOBBCOBOBC=+−=+−−=，

所以603OC=，故603tan3603POOC===.，所以π6=，所以1sin2=.故答案为：12..16.已知四边形ABCD，()*NnFn为边BC边上一点，连接nAF交BD于()*NnEn，点nE满足()()

1212nnnnnnaEFECaEB++−=−，其中na是首项为1的正项数列，nnBCBF=，则n的前n项nT=______.【答案】3248nn+−−【解析】【分析】由()()1212nnnnnnaEFECaEB++−=−结合共线向量定理的推论可

得132(3)nnaa++=+，则可求得123nna+=−，再由nnBCBF=可得(1)nnnnnnECEFEB=+−，从而得12(1)12nnnnaa+=+−=−，则得224nn+=−，然后利用分组求和法可求得结

果.【详解】因为()()1212nnnnnnaEFECaEB++−=−，所以()()1212nnnnnnECaEFaBE+=++−，因为,,nBFC三点共线，所以12(1)(2)1nnaa+++−=，所以132(3)nnaa++=+，因为134a+=，所以3na+是以4为首项，2为公比等比数

列，所以113422nnna−++==，所以123nna+=−，因为nnBCBF=，所以()nnnnnnECEBEFEB−=−，所以(1)nnnnnnECEFEB=+−，因为()()1212nnnn

nnECaEFaBE+=++−，所以12(1)12nnnnaa+=+−=−因为123nna+=−，所以122(123)24nnn++=+−=−，的所以3422224nnTn+=+++−38(12)424812nnnn+−=−=−−−，故答案为：3248nn

+−−【点睛】关键点点睛：此题考查向量共线定理的应用，考查数列的分组求和法，考查等比数列的应用，解题的关键是将已知式子变形结合共线向量定理推论化简求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bca+=，5sin3sincBaC=.（1）求cosB的值；（2）求πsin6B−的值.【答案】（1）1314（2）17−【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理得到,,abc的比例关系，然后利用余

弦定理可得cosB的值；（2）利用同角基本关系式得sinB的值，然后利用两角和的正弦公式可得πsin6B−的值.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC=得sinsinbCcB=，又由5sin3sincBaC=，得5sin3sinbCaC=，又

因为C为三角形内角，则sin0C，则53ba=.又因为2bca+=，得到35ba=，75ca=.由余弦定理可得222cos2acbBac+−=22249925257115342aaaaa+−==.【小问2详解】在三角形中，()0,πB由（1）可得233sin1cos14BB

=−=,πππ3331311sinsincoscossin6661421427BBB−=−=−=−.18.已知数列na，nS为na的前n项和，13nnaSn+=−+，*Nn，13a=.（1）证明：1na−是等比数列；（2）设()*N2nnnbnSn=−+，求

数列nb的前n项和为nT.【答案】（1）证明见解析（2）11(1)()22nnnT=−+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义得数列1na−为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得12nnnb+=运用

错位相减法可得.【小问1详解】当1n=时，21135aS=−+=，当2n时，由13nnaSn+=−+，可得14nnaSn−=−+，两式相减可得，11nnnaaa+−=−，即有()1121nnaa+−

=−，即为数列1na−为第二项起为等比数列,又123,5aa==1212(1)aa−=−数列1na−为以2为首项，等比数列为2的等比数列.【小问2详解】由（1）得()111212nnnaa−−=−=，13nna

Sn+=−+，可得122nnSn+=+−，则122nnnnnbSn+==−+,,即有前n项和为23411232222nnnT+=++++，4325112322222nnnT+=++++，,两式相减可得，2431211111222222nnnnT++

=++++−，()2322211111222112222122nnnnnTn+++−=+−=−+−化简可得11(1)()22nnnT=−+.19.如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PAPB⊥，E是AD的中点，M是PB的中点.（1）证明：//EM平面PC

D；（2）若PAAD=，2ABAD=，求平面PCE与平面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用中位线定理证得四边形DEMN为平行四边形，从而利用线面平行判定定理即可得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得平面PCE

与平面PBC的法向量，进而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】取PC中点N，连接,MNDN，,MN分别为,PBPC的中点，//MNBC，12MNBC=，因为四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，所

以//DEBC且12DEBC=，故//DEMN且MNDE=，则四边形DEMN为平行四边形，的//EMDN，又EM面PCD，DN平面PCD，所以//EM平面PCD.【小问2详解】设2AD=，则2,22PAAD

AB===，因为PAPB⊥，所以由勾股定理得2PB=，则PAB是等腰直角三角形，又AD⊥平面PAB，故以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则(2,0,0)P

，(0,2,2)C，(0,2,1)E−，(0,2,0)B，则(2,2,2)PC=−uuur，(2,2,1)PE=−−，(2,2,0)PB=−uur，设1(,,)nxyx=是面PCE的一个法向量，则有112220220

PCnxyzPEnxyz=−++==−−+=，取3x=−，则1,22yz==−，故1(3,1,22)n=−−，设2(,,)nabc=是面PBC的一个法向量，则有222220220PCnabcPBnab=−++==−+=，取1a=，则1,0bc

==，故()21,1,0n=，记平面PCE与平面PBC夹角为，则121212311coscos,3182nnnnnn−+====，所以平面PCE与平面PBC夹角的余弦值13.20.已知函数π()sin()10,2fxx

=++的图象经过7π,112，周期为π.（1）求()fx解析式；的（2）在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，ACB的角平分线交AB于D.若()fC恰为()fx的最

大值，且此时()CDfC=，求4ab+的最小值.【答案】（1）π()sin(2)16fxx=−+（2）63【解析】【分析】（1）由周期可求出，再将7π,112坐标代入函数中可求出，从而可求出()fx的解析式；（2）(

)fC恰为()fx的最大值，且此时()CDfC=，可得π3C=，2CD=，再由题意得+=ACDBCDABCSSS，化简可得1132ab+=，则1124(4)()3ababab+=++，化简后利用基本不等式可求得结果.【小问1详解】周期为π，2=，图象经过7π,112

，7πsin()06+=，7ππ,Z6kk+=，又π||2，∴π6=−π()sin(2)16fxx=−+，【小问2详解】()fx的最大值2，π()sin(2)126fCCCD=−+==，得πsin(2)16C−=，∵()0,πC，∴ππ11

π2,666C−−，∴ππ262C−=，π3C=∴，ACDBCDABCSSS+=，1π1π1π2sin2sinsin262623baab+=，即32abab+=，∴1132ab+=，1124(

4)()3ababab+=++42(5)3baab=++2(54)633+=，当且仅当4baab=，即2ba=时取等号，又32abab+=，即当且仅当23b=，3a=时取等号，所以4ab+的最小值

为63.21.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PAB为等边三角形，面PAB⊥底面ABCD，E为AD的中点.（1）求证：ACPE⊥；（2）在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为55.①确定点F的位置；②求点C

到平面PEF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①点F的位置是线段BD上靠近B的三等分点；②355【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质定理，即可证明线线垂直；（2）①根据（1）的证明过程，以点O为原点，建立空间直角坐标系，以线面角的向

量公式求点P的位置；②根据①的结果，结合点到平面的距离的向量公式，计算结果.【小问1详解】取AB中点O，连接OE，PO,PAB△为等边三角形,POAB⊥,面PAB⊥底面ABCD，面PAB底面ABCDAB=，PO面PAB，PO⊥面ABCD，POAC⊥，ACBD^，//

BDOE，ACOE⊥又POOEO=，AC⊥面POE，PEQ面POE，ACPE⊥，【小问2详解】①如图以O为原点，OP为z轴，OB为x轴建立空间直角坐标系.设2BCBP==，()0,0,3P，()1,0,0A−，()1,0,0B，()1,2,0D−,()

1,1,0E−,(1,0,3)AP=，()1,0,3PB=−，(1,1,3)PE=−−，(2,2,0)BD=−，(2,2,0)BFBD==−，(12,2,3)PFPBBF=+=−−设1(,,)n

xyz=是平面PEF的一个法向量则有()3012230xyzxyz−+−=−+−=，令3z=解得：1(36,66,3)n=−−12226633cos,23(36)(66)7210848APn−−==+−+−−+因为直线AP与平面PEF所成

角的正弦值为5512335|cos,|||52182712APn−==−+即229(1)172108485−=−+解得13=，所以点F的位置是线段BD上靠近B的三等分点，②()1,2,0C，()1,1,

0E−，(2,1,0)EC=1(1,4,3)n=，11143(,,)||202020nn=点C到平面PEF的距离11243||5||52020ndECn==+=.22.已知正项数列na满足222log(1)log1nnnaa++−=，且11a=，22a=.（1）已知21nnba−=，求

nb的通项公式；（2）求数列na的前2023项和2023S.【答案】（1）12nnb−=（2）101221516+【解析】【分析】（1）由222log(1)log1nnnaa++−=可得21221221log(1)log1nnnaa−

+−+−=，从而得到12nnbb+=，进而得到nb是以1为首项，公比为2的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；（2）由222log(1)log1nnnaa++−=可得()222222log1log1nnnaa++−=，从而有222=2nnaa+

，得到数列2na偶数项具有周期性，最后根据20231352023242022()()Saaaaaaa=++++++++分组求和即可.【小问1详解】21nnba−=，121nnba++=，222log(1)log1nnnaa+

+−=，21221221log(1)log1nnnaa−+−+−=，即212loglog1nnbb+−=，12log1nnbb+=，即12nnbb+=，nb是以1为首项，公比为2的等比数列，12nnb−=.【小问2详解】2023135202

3242022()()Saaaaaaa=++++++++，又1352023121012aaaabbb++++=+++()101210121122112−==−−，222log(1)log1nnnaa

++−=，()222222log1log1nnnaa++−=，22222loglog1nnaa++=，即222=2nnaa+，24681021,2,1,2aaaaa=====，，即数列2na偶数项具有周期性，24202210103215172aaa++

+=+=，所以101220231352023242022()()21516Saaaaaaa=++++++++=+·获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com