【文档说明】河北省衡水中学2025届高三上学期综合素质评价二 数学答案.pdf，共(21)页，1.426 MB，由小赞的店铺上传

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第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司2024-2025学年度高三年级上学期综合素质评价二数学学科主命题人：刘建会一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2230,1,2,3,4Axxx

B∣，则AB（）A.1,2B.1,2,3C.3,4D.4【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式，确定集合A，再根据交集的定义求两个集合的交集.【详解】因为2230xx310xx3x或1x，所以,13,A

，又1,2,3,4B，所以4AB.故选：D2.下列函数中在ππ,42上单调递增，周期为π且为奇函数的是（）A.πcos22yxB.sin2yxC.tanyxD.πsin22yx【答案】A【解析】【分析】对

于AB：整理可得πcos2sin22yxx，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得πsin2cos22yxx，根据余弦函数性质

分析判断.【详解】对于选项A：因为πcos2sin22yxx，易知其为奇函数，其最小正周期2ππ2T，第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司若ππ,42x，则π2,π2x

，且sinyx在π,π2内单调递减，则sin2yx在ππ,42上单调递减，所以sin2yx在ππ,42上单调递增，故A正确；对于选项B：由选项A可知：sin2yx在ππ,42上单调递减，故B错误；对于选项C

：若ππ,42x，则π2,π2x，且tanyx在π,π2内单调递减，所以tanyx在ππ,42上单调递减，故C错误；对于选项D：因为πsin2cos22yxx，若ππ,42x，则π2

,π2x，且cosyx在π,π2内单调递减，所以cos2yx在ππ,42上单调递减，故D错误；故选：A.3.已知3log2a，4log3b，1.20.5c，比

较a，b，c的大小为（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,ab的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,ac大小，即可求解.【详解】2ln2ln3ln2ln4(ln3)ln3ln4

ln3ln4ab，因为ln2,ln40，第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司所以ln2ln42ln2ln4，即22211ln2ln4ln8ln9ln344，所以2ln2ln4ln3，且ln3ln40，所以ab

，又因为1.21331log2log32,0.50.521ac，所以ac，综上，bac，故选：D.4.已知函数π2sin34fxx（0）在π0,2上有三个零点，则的取值范围为（）A.2529,

66B.2331,66C.2529,66D.2331,66【答案】A【解析】【分析】由条件结合零点的定义可得π3sin42x在π0,2上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.【详解】令

π2sin304fxx，则π3sin42x，当π0,2x时，则π4xπππ,424，因为函数π2sin34fxx在π0,2上有三个零点，所以7πππ8π3243≤

，∴252966≤，第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司故选：A.5.已知等比数列na的前n项和为nS，若1231117aaa，212a，则3S=（）A.78B.74C.72D.7【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得公比q，从而求得正确答案.【详解】设

等比数列na的公比为,0qq，依题意，1231117aaa，212a，即2222221111117qaaaaaaqqq，所以22227,2520qqqq，解得2q=或12q，所以12311,,142aaa或123111,,24

aaa，所以31171424S.故选：B6.定义在(0,)上的函数()fx满足1x，2(0,)x且12xx，有12120fxfxxx，且()()()fxyfxfy，2(4)3f，则不等式(2)(3)1fxfx

的解集为（）.A.(0,4)B.(0,)C.(3,4)D.(2,3)【答案】C【解析】【分析】先根据()()()fxyfxfy以及2(4)3f求出81f，再根据函数的单调性以及定义

域即可求解.第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：()()()fxyfxfy2(4)22223ffff，即123f，18424232313fffff，(2)(3)1fxfx，可转化为：

(2)(3)8fxfxf，即(2)8(3)fxffx，即(2)83824fxfxfx，()fx满足1x，2(0,)x且12xx，有12120fxfxxx，()fx\在0,

上单调递增，即20302824xxxx，解得：34x，即不等式(2)(3)1fxfx的解集为：34，.故选：C.7.已知角，满足tan2，2sincos()sin

，则tan（）A.13B.17C.16D.2【答案】B【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan，故3tan()tan32，利用正切和角公式得到方程，求出1tan7.【详解】因为sinsi

nsin()coscos()sin，2sincos()sin，所以2sin()cos2cos()sincos()sin，第6页/共21页学科

网（北京）股份有限公司即2sin()cos3cos()sin，则2tan()3tan，因为tan2，所以3tan()tan32，其中tantan2tantan()31tantan12tan，故2ta

n36tan，解得1tan7.故选：B.8.已知0x，0y，且2elnxxy，则（）A.2eyB.22exyC.2elnxyD.22e1x【答案】B【解析】【分析】根据选项

合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.【详解】对于A选项：令2exfxx，0x，e2xfxx，令e2xhxxe2xhx，令0hx，则ln2x，即0,ln2x时，ℎ′���<

0，ℎ���单调递减，���′���单调递减，即ln2,x时，ℎ′���>0，ℎ���单调递增，���′���单调递增，���′���有最小值ln2minln2e2ln222ln20fxf，所以fx在0,+∞单调递增，故020e01

fxf，所以ln1y即ey，故A选项错误；对于B选项：由A可知：2lnexyx，要证22exy，即需要证明：22lnlnexy，即2ln2yx，即22e2xxx，22e220xxx，令22e22xhxxx

，2e41xhxx，令2e41xtxx第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司2e4xtx，令0tx，则ln2x，即0,ln2x时，0tx，tx单调递减，hx

单调递减，即ln2,x时，0tx，tx单调递增，hx单调递增，所以hx有最小值ln2minln22e4ln2144ln210hxh，所以ℎ���在0,+∞单调递增，故0202e20020hxh，所以22

exy成立，故B选项正确；对于C选项：由2elnxxy得2elnxyx，因为0x，所以0eelneln1lnlnelnlnxyyyyy，所以2elnxy，故C选项错误，对于D选项：令22e1(0)fxxx，因为

20fxx，所以fx在0,+∞上单调递增，所以201e0fxf，所以存在���∈0,+∞使得0fx，即22e1x，故D选项错误；故选：B.二、选择题：本题共3小题，

每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列na的前n项和为nS，且公差15180,224daa.则以下结论正确的是（）A.168a

B.若910SS，则43dC.若2d，则nS的最大值为21SD.若151618,,aaa成等比数列，则4d【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.第8页/共21页学科网（

北京）股份有限公司【详解】由1518224aa可得112141724adad，故1158ad，所以168a，故A正确，由910SS可得101606aad，故43d，故B正确，若2d，则201640aad，且������单调递减，故nS的最大值为20

S或19S，故C错误，若151618,,aaa成等比数列，则16161518aaaa，即64882dd，解得4d或0d（舍去），D正确，故选：ABD10.已知32231fxxxaxb

，则下列结论正确的是（）A.当1a时，若fx有三个零点，则b的取值范围是0,1B.当1a且0,πx时，2sinsinfxfxC.若fx满足12fxfx，

则22abD.若fx存在极值点0x，且01fxfx，其中10xx，则01322xx【答案】AD【解析】【分析】对于A，将1a代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于

零即可；对于B，利用sinyx的性质，得到20<sin1,0<sin1xx且2sinsinxx，再利用fx在区间0,1上的单调性，即可求解；对于C，根据12fxfx，推断函数的对

称性，进而可以求得22ba，即可判断结果；对于D，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a，进而可得200661axx，令012xxt，结合01fxfx，再化简即可得到答案.【详解】对于选项A，当1a时，3223f

xxxb，2666(1)fxxxxx，由6(1)0fxxx，得到0x或1x，由6(1)0fxxx，得到01x，所以3223fxxxb单调递增区间为,0，1,；减区间为0,1，故f

x在0x处取到极大值，在1x处取到极小值，若fx有三个零点，则(0)0(1)10fbfb，得到01b，故选项A正确，第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司对于选项B，当0,πx时，20<sin1,0<sin1xx，又2si

nsinsin(1sin)0xxxx，即2sinsinxx，由选项A知，fx在区间0,1上单调递减，所以2sinsinfxfx，当π2x时，等号成立，故选项B错误，对于选项C，因为12fxfx

，即12fxfx，所以fx关于点1,12中心对称，又32231fxxxaxb的定义域为R，所以111123112842fab，整理得到22ba，所以选项C错误，对于选项D，因为

32231fxxxaxb，所以2661fxxxa，由题有3624(1)0a，即12a，由20006610fxxxa，得到200661axx，令012

xxt，则102xtx，又01fxfx，所以002fxftx，得到32320000002312(2)3(2)12()xxaxbtxtxatxb

，整理得到220000(3)(626391)0xtxttxtxa，又200661axx，代入化简得到20(3)(23)0xtt，又012xxt，10xx，所以00130xtxx

，得到230t，即01322xxt，所以选项D正确，故选：AD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a，进而可得200661axx，再通过令012xxt，结合条件得到

002fxftx，再代入32231fxxxaxb，化简得到20(3)(23)0xtt，从而解决问题.11.设定义在R上的可导函数fx和gx的导函数分别为fx和gx，满足11,3gxfxfxgx

，且1gx为奇函数，则下列说法正确的是（）A.00fB.gx的图象关于直线2x对称C.fx的一个周期是4D.202510kgk第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司【答

案】BCD【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数gx的图象关于点2,0对称，从而可得gx的图象关于���=2对称，所以gx是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为130gg，且20gg，所以

12340gggg，所以202515061234202510kgkgggggg，可判断D项.【详解】因为1gx为奇函数，所以11gxgx，所以gx的图象关于

1,0中心对称，11gxgx两边求导得：11gxgx，所以gx的图象关于���=1对称，因为11gxfx，所以10gxfx；所以10gxfx，又3fxgx，所以130gx

gx，所以函数gx的图象关于点2,0对称；所以gx的图象关于���=2对称，故B正确；所以22gxgx，即13gxgx，又11gxgx，所以13gxgx，即2gxgx，所以4gxgx

，所以gx是周期函数，且4是一个周期，又因为11gxfx，所以11fxgx，所以fx是周期函数，且4是一个周期，故C正确；因为1gx为奇函数，所以gx过1,0，所以10g，令���=0，代入11

fxgx，可得0111fg，故A错误；令���=0代入13gxgx，可得130gg，第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司令���=1，代入11gxgx

，可得20gg，又因为gx的周期为4，所以04gg，所以240gg，所以12340gggg，所以20251506123420255064110kgkggggggg

，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若fxafxa，则fx关于xa对称，两边同时求导得：fxafxa，则fx关于,0a中心对

称；2.若fxafxa，则fx关于,0a中心对称，两边同时求导得：fxafxa，则fx关于xa对称；3.若()()fxTfx+=，则fx为周期函数且周期为T；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列

������满足35a，221nnaa，*122nnnaaanN，设������的前n项和为nS，则nS________.【答案】2n【解析】【分析】根据题意122nnnaaa可得数列na为等差数列，设出公差及首项，再结合221nnaa与3125

aad，从而可求解.【详解】由122nnnaaa，所以121nnnnaaaa，所以数列na为等差数列，并设其公差为d，首项为1a，又因为221nnaa，即11

21211andand，解得11da，因为3125aad，所以11a，1d，所以2122nnnSnn.第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司故答案为：2n.13.函数yfx的图象与2xy的图象关于直线yx

对称，则函数24yfxx的递增区间是_________．【答案】(0,2)【解析】【详解】【分析】试题分析：2222()log(4)log(4)fxxfxxxx定义域为(0,4)增区间为(0,2).考点：1、复合函数；2、反函数；

3、函数的单调性.【方法点晴】本题考复合函数、反函数、函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型.根据两函数关于直线yx对称可得两函数互为反函数2222()

log(4)log(4)fxxfxxxx定义域为(0,4)增区间为(0,2).14.若正实数a，b满足1lnlnaabaabe，则1ab的最小值为______.【答案】e4【解析】【分析】由不等式1(lnl

n)eaabaab变形为11lnee10aabbaa（），通过换元1eabta，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把1ab表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】因为1(lnln)eaabaab，所以1lnl

neabbaaa，所以11lnlne1eaabbaa，即11lnee10aabbaa（）令1eabta，则有ln10tt(0t)，设()ln1fttt，则1()1ft

t，由()0ft得1t当01t时，()0ft，()ft单调递增，当1t时，()0ft，()ft单调递减，所以max()(1)0ftf，即ln10tt，又因为ln10tt，所以ln10tt，当且

仅当1t时等号成立所以1e1abta，从而111eaba，所以121eaaba(0a)第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司设12e()xgxx(0x)，则13(2)e()xxgxx，由()0gx得2

x当02x时，()0gx，()gx单调递减，当2x时，()0gx，()gx单调递增，所以21min2ee()(2)24gxg，所以1ab的最小值为e4．故答案为：e4．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．（13

+15+15+17+17）15.记ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知bcabcabc.（1）求A；（2）若D为BC边上一点，3,4,3BADCADACAD，求sinB.【答案】（1）2π3A（2）217

【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222bcabc，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出7CD，结合正弦定理即可求得3sin27C，最后根据sinsinBAC即可得解；法②：由法①得7CD，在

ACD中由正弦定理得2sin7ADC，又π2ADCB，从而得解21sin7B；法③：由法①得7CD，在直角ABD△中237ac，由（1）问知222abcbc，代入建立关于c的方程，解方程得2c，从而得出217,sin7ADBDBBD；法④：

由等面积法得ABCABDACDSSS，建立关于c的方程，求得2c，代入222abcbc求得a，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】22222()2bcabcabcabbccab

c，则222bcabc，第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司所以2221cos22bcaAbc，因为0πA，所以2π3A.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A，因为3B

ADCAD，所以π6CAD，如图在ACD中，由余弦定理2222cosCDADACADACDAC331623472，即7CD，在ACD中由正弦定理sinsinCDADDACC，即731sin2C，所以3sin27C，因为π03C

，故25cos1sin27CC，在ABCV中351321sinsinsincoscossin2272727BACACAC.法②：同解法①7CD，在ACD中由正弦定理sinsinCDACDACADC，即741sin2ADC，所以2321si

n,cos777ADCADC，又因为π2ADCBADBB，即π21cos27B，所以21sin7B.法③同上7CD，在直角ABD△中23BDc，所以237ac，由（1）问知222abcbc

，所以22237416ccc，即22227310416cccc，第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司得27323,cc即2440cc，所以2c，217,sin7ADBDBBD.法④如图由（1）知2π3A，则π

6CAD，因为ABCABDACDSSS，所以12π11π4sin343sin23226cc，即3332cc，解得2c，所以222164828abcbc，即27a，在ABCV中，由正弦定理sinsinabAB，即274sin

32B，解得321sin77B.16.已知函数3ln2(1)2xfxxxx.（1）证明：曲线yfx是中心对称图形；（2）若214fmfm，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,12【解析】【分析】（1）由函数fx的

定义域0,2，计算2fxfx的值判断对称中心；（2）利用导数判断fx的单调性，结合函数对称性列不等式求实数m的取值范围.【小问1详解】函数3ln2(1)2xfxxxx，定义域为0,2，

3322ln2(1)ln22(1)2xxfxfxxxxxxx332ln222(1)(1)2xxxxxxxx0404所以曲线yfx关于点1,2对称.【小问2详解】第16页

/共21页学科网（北京）股份有限公司2211223(1)23(1)22fxxxxxxx，因为0,2x，202xx，所以2223(1)02fxxxx，所以fx在定义域0,2上单调递增.（

方法一）又fx关于点1,2对称，214fmfm，所以212,0212,02,mmmm解得112m.（方法二）因为fx关于点1,2对称，所以12gxfx

是奇函数，且在区间1,1上单调递增.由214fmfm，即2122fmfm，即221gmgm，所以221gmgm，所以221,

1221111,mmmm解得112m.所以实数m的取值范围为1,12.17.已知数列na，nb，(1)2nnna，1(0)nnnbaa

，且nb为等比数列.（1）求的值；（2）记数列2nbn的前n项和为nT.若*2115NiiiTTTi，求i的值.【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）计算出11a，25a，37a，417a.，进而得到123,,bbb，根

据等比数列得到方程，求出2，验证后得到答案；第17页/共21页学科网（北京）股份有限公司（2）求出223(1)nnbnn，分n为偶数和n为奇数时，得到nT，20iiTT，又2115iiiTTT，故10iT，所以i为偶数，从而得到方程，求出

2i.【小问1详解】因为(1)2nnna，则11a，25a，37a，417a.又1nnnbaa，则1215baa，23275baa，343177baa

.因为������为等比数列，则2213bbb，所以2(75)(5)(177)，整理得220，解得1或2.因为0，故2.当2时，1112(1)22(1)2nnnnnnnbaa11(1

)(1)22(1)23(1)nnnnn.则113(1)13(1)nnnnbb，故������为等比数列，所以2符合题意.【小问2详解】223(1)nnbnn，当n为偶数时，222222223123456(1)nTnn

33(12)(1)2nnn；当n为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22nnnTTbnnnnnn.综上，3(1),21,N23(1),2,N2nnnnkkTnnnkk

，因为20iiTT，又2115iiiTTT，故10iT，所以i为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222iiiiii，整理得23100ii

，解得2i或5i（舍），所以2i.第18页/共21页学科网（北京）股份有限公司18.已知函数2e31,xafxaxaxaR．（1）当1a时，试判断fx在1,上零点的个数，并说明理由；（2）当0x

时，0fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1个，理由见解析（2）,1【解析】【分析】（1）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断；（2）根据题意，分1a与1a讨论，利用导数判断函数的单调性，

然后再由(0)e3afa的正负分情况讨论，代入计算，即可求解.【小问1详解】11e21afa，令e23xaamfxaxx，则11eafa，当1a时，e2

0xamxa，则fx在(1,)上单调递增.因为1111ee10afa，21232110faaaaa，所以存在唯一的01,xa，使得00fx.当01,xx时，0fx，所以fx在0

1,x上单调递减；当0,xx时，0fx，所以fx在0,x上单调递增.又10(1)e21e210afa，所以0(1)0fxf，又3(3)e10af，所以当1a时，fx在1,上有且只

有一个零点.【小问2详解】①当1a时，10(1)e21e210afa，与当0x时，()0fx矛盾，故1a不满足题意.②当1a时，0e10af，e23xafxaxa，令mxfx，则

e2xaamx，0e2ama.记函数()e2xqxx，1x，则e2xqx，第19页/共21页学科网（北京）股份有限公司当ln2,1x时，0qx，所以qx在ln2,1单调递增；当,ln2x时，

0qx，所以qx在,ln2单调递减，所以ln222ln20qxq，所以00m.又因为mx在0,上单调递增，所以00mxm，所以fx在

0,上单调递增.（i）若(0)e30afa，则(0)0fxf，所以fx在0,上单调递增，则()(0)0fxf，符合题意；（ii）若0e30afa，则00,1a，使得00e30aa

，即0,1aa，使得0e30afa，因为11e0afa，且fx在0,上单调递增，所以存在唯一的10,1x，使得10fx.当10,xx时，0fx，所

以fx在10,x上单调递减，当1,xx时，0fx，所以fx在1,x上单调递增，其中10,1x，且11e230xaaxa.所以12111()e31xafxfxaxax

22211111113231531531aaxaxaxaxaxaaxx，因为10,1x，所以211531,3xx.又因为0,1aa，所以211531axx

，所以()0fx，满足题意.结合①②可知，当1a时，满足题意.综上，a的取值范围为,1.【点睛】关键点点睛：第二问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为第20页/共21页学科网（北京）股份有限公司解

决本问的关键.19.若存在常数(0)kk，使得对定义域D内的任意1212xxxx，，都有1212fxfxkxx成立，则称函数fx在其定义域D上是"k-利普希兹条件函数".（1）判断函数������=1���是否是区间1，上的"1-利普希兹条件函数"？并说明理

由；（2）已知函数3fxx是区间0(0)aa，上的"3-利普希兹条件函数"，求实数a的取值范围;（3）若函数fx为连续函数，其导函数为fx，若,fxKK，其中01K，且01f.定义数列11

:0nnnxxxfx，，证明:11nfxK.【答案】（1）是的，理由见解析（2）0,1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义只需证明1212fxfxxx即可判断；（2）将不等式变为关于12,xx的不等式,结合定义域即可求得

参数；（3）先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.【小问1详解】依题意，1212121212111,1,xxfxfxxxxxxx，，注意到12,1,xx，因此121xx，从而1211xx，故121212121fxfx

xxxxxx，即fx是区间1,上的"1一利普希兹条件函数".【小问2详解】依题意，12,0,xxa，均有12123fxfxxx，不妨设21xx，则212133fxfxxx，即221133fxxfxx，设

333pxfxxxx，则px单调递减，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司故2330,0,pxxxa恒成立，即2033a，因此0,1a.【小问3详解】因为,fxKK，

设gxfxKx，则0gxfxK，故gx为单调递增函数，则12xx，恒有12gxgx，即11221221fxKxfxKxfxfxKxx，设hxfxKx，则0hxfxK

，故ℎ���为单调递减函数，则12xx，恒有12hxhx，即11222121fxKxfxKxKxxfxfx，综上可知，1212fxfxKxx，则212121fxfxKxxKxKfxK，当2n时，

2111212nnnnnnnnfxfxKxxKfxfxKxx2112121nnnKfxfxKxxK，则112211nnnnnfxfxfxfxfxfxfxfx

1211221111111nnnnnnnKfxfxfxfxfxfxfxKKKKK，综上可知，11nfxK.【点睛】关键点点睛：第（3）问先根据导函数得出函数得最大值，

多次应用新定义结合累加法即可得出答案.