【文档说明】【精准解析】山西省实验中学2020届高三下学期3月开学摸底数学（文）试题.pdf，共(23)页，356.193 KB，由小赞的店铺上传

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-1-山西省实验中学高三年级开学摸底考试数学试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2|log1Mxx，2|20Nxxx

，则RMNð（）A.(2,2)B.[2,2)C.(0,1]D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】求出集合,MN，再由集合的运算计算．【详解】由题意2log102xx，220(1)(2)021xxxxx，∴(0,2)M，(,2)(1,)N

，2{|20}[2,1]RNxxxð，∴()[2,2)RMNð．故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，考查解对数不等式及一元二次不等式，掌握对数函数的性质是解题关键．2.已知i是虚数单位，则复数4334izi的共轭复数的虚部是（）A.iB

.iC.1D.1【答案】C【解析】【分析】由复数除法求出复数z，再写出共轭复数，得其虚部．【详解】由题意243(43)(34)121691234(34)(34)25iiiiiiziiii，zi

，虚部为1．故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及复数的概念．解题关键是掌握复-2-数除法法则．3.向量a（1，﹣2），b（2，﹣1），则2aba（）A.9B.11C.13D.1

5【答案】C【解析】【分析】先得出25,4ab，再根据向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】由题意25,4ab，则2514213aba.故选：C.【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标表示，属于

基础题.4.已知各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS，且满足6a，43a，5a成等差数列，则42SS()A.3B.9C.10D.13【答案】C【解析】【分析】设na的公比为0q，由645,3,aaa成等差数列，可得260,0qqq，解得q，再

利用求和公式即可得结果.【详解】设各项均为正数的等比数列na的公比为0q，满足645,3,aaa成等差数列，2465446,6,0aaaaaqqq，260,0qqq，解得3q，则4124221313131103131aSSa

，故选C.-3-【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃

而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.现有甲班,,ABC三名学生，乙班,DE两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（）A.15B.310C.25

D.35【答案】D【解析】【详解】解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，基本事件总数n25C10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m2232CC4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P4311105mn．故选D【点睛】本题考查概

率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.函数1lnsin1lnxyxx的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】-4-设1ln()sin1lnxfxxx，由1ln0x得1xe，则函数的定义域为1111(,

)(,)(,)eeee．∵1ln1ln()sin()sin()1ln1lnxxfxxxfxxx，∴函数()fx为奇函数，排除D．又11e，且(1)sin1>0f，故可排除B．211ee，且2222211ln11(2)11()sinsin

3sin01121lnefxeeee，故可排除C．选A．7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若

输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为（）A.64B.68C.72D.133【答案】B-5-【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得：n＝5，x＝2，v＝1，m＝2，满足进

行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝1224，m＝1，n＝4，满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝4219，m＝0，n＝3，满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝92018，m＝﹣1，n＝2，满足进行循环

的条件n＞0，执行循环体，v＝182135，m＝﹣2，n＝1，满足进行循环的条件n＞0，执行循环体，v＝352268，m＝﹣3，n＝0，不满足进行循环的条件n＞0，退出循环，输出v的值为6

8．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．8.对于函数3()cossin22fxxx，给出下列四个结论：①函数fx的最小正周期为；②若12fxfx，则12xx；③

fx的图象关于直线4x对称；④()fx在上3[,]44是减函数，其中正确结论的个数为（）A.2B.4C.1D.3【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及倍角公式化简函数解析式，根据周期公式判断①；举

反例判断②；根据正弦函数的对称轴判断③；根据正弦函数的单调性判断④.【详解】解：根据题意得：函数31()cossin(sin)(cos)sincossin2222fxxx-6-①根据周期公式可得：1

()sin22fxx的周期为．所以①正确；②2()()63ff，但是不满足12xx，所以②错误；③1()sin22fxx的所有对称轴为24kx，kZ显然③正确；④1()sin22fx

x的单调减区间为3[,],()44kkkZ，显然④正确，则其中正确结论的个数为3．故选：D【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期，对称轴，单调性，属于中档题.9.已知函数22log1fxxx，若对任意的正数,ab，满足

310fafb，则31ab的最小值为（）A.6B.8C.12D.24【答案】C【解析】【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31ab，最后根据基本不等式求最值.【详解】因为2210,xxxxxx所以定义域为R，因为221l

og1fxxx，所以fx为减函数因为221log1fxxx，22log1fxxx,所以fxfxfx，为奇函数，因为310fafb，所以1313fafbab，，即31ab

，所以3131936baabababab，因为9926babaabab，-7-所以3112ab（当且仅当12a，16b时，等号成立），选C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求

最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10.已知以圆22:14Cxy的圆心为焦点的抛物线1C与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线：2:C28xy上任意一点，BM与直线2y垂直，垂足为M，则BMAB

的最大值为()A.1B.2C.1D.8【答案】A【解析】分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线1C方程，利用运用抛物线的定义可得1BMABBFABAF，从而可得结果.详解：因为22:14Cxy的圆心1,0所以，可得以1,0为焦点的

抛物线方程为24yx，由222414yxxy，解得1,2A，抛物线22:8Cxy的焦点为0,2F，准线方程为2y，即有1BMABBFABAF，当且仅当,,(ABFA在,BF

之间）三点共线，可得最大值1，故选A.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线

距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.11.如图，正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上存在一动点P，过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于,MN两点.设BPx，BMN的面积为S，则当点P由点B运动到1BD的

中点时，函数Sfx的图象大致是（）-8-A.B.C.D.【答案】D【解析】设2MNy，而P由B运动到1BD的中点的过程中，tan12BPBPxBMPMPyMN，由相似三角形，可知tanBM

P为定值，设正方体的边长为a，当P为线段1BD的中点时，362tan222aBMPa，则6,3yxBMN的面积为12SMNBP2212660233xxx，故选D.12.已知xxfxxee，若不等式()()12faxfx->-在3,4x

上有解，则实数a的取值范围是（）A.2-03，，B.12--43，，C.13--44，，D.3-04，，【答案】A【解析】【分析】-9-利用导数分析函数单

调性，再利用单调性求解不等式即可.【详解】因为xxxxfxeexee在区间3,4上0fx故fx是增函数，又fxfx，则该函数为偶函数，则不等式()()12faxfx->-等价于12

axx在3,4区间有解等价于12axx在区间3,4有解即：12axx或12axx等价于11ax，或31ax在区间3,4有解等价于11minax或31maxax解得23a或0a故2,0,3a

故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性奇偶性解不等式，涉及用导数判断函数单调性.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数,xy满足约束条件410,14xyyxy，则lnlnzyx的最小值是_

___.【答案】－ln3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，目标函数z＝lny﹣lnx＝lnyx，由图求出yx的最大值即可．【详解】由实数x，y满足约束条件410,{14xyyxy作出可行域如图所示，联立4{1xyy，解得B（3,1），-10-由目

标函数z＝lny﹣lnx＝lnyx，而yx的最小值为OBk＝13，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．故答案为﹣ln3．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．14.已知点,PQ分别是圆22:(2)(1)1

Cxy及直线:340lxy上的动点，O是坐标原点则||OPOQ最小值为_____.【答案】1【解析】【分析】因为||||OPOQQP，表示圆上的点到直线上点

的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.【详解】因为||||OPOQQP，表示两点间的距离，又因为,PQ分别是圆22:(2)

(1)1Cxy及直线:340lxy上的动点，所以||||OPOQQP的最小值为圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离1025d所以圆上的点到直线的最小值为1dr所以||OPOQ

最小值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思-11-想和运算求解的能力，属于中档题.15.若侧面积为4的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得

最小值时，圆柱的表面积为_______.【答案】6【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则球的半径222hRr（），由圆柱的侧面积，求得12hr，得出221Rrr，得到R得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则球的半径222h

Rr（）.因为球体积343VR，故V最小当且仅当R最小.圆柱的侧面积为24rh，所以2rh，所以12hr，所以2212Rrr，当且仅当221rr时，即1r时取“=”号，此时R取最小值，所以12rh，,圆柱的表面积为22126

.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.已知数列na的前

n项和122nnnSa，若不等式223(5)nnna，对nN恒成立，则整数的最大值为______．【答案】4【解析】【详解】当1n时，21122Sa，得14a，当2n时，122nnnSa，又122nnnSa，两式相减得1222nnnnaaa

，得122nnnaa，-12-所以11122nnnnaa．又1122a，所以数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列，12nnan，即(1)2nnan．因为0na，所以不等式223(5)nnna，等

价于2352nn．记122311,,224nnnbbb，2n时，112121223462nnnnnbnnbn．所以3n时，11,nnbb综上，max33()8nbb，所以33375,5888，所以整数的最大值为4

．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且sin2cA是cosaB与cosbA的等差中项.（1）求角A；（2）若2abc，且ABC的外接圆半径为1，

求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）334.【解析】【分析】（1）由题意，得2coscoscoscAaBbA，由正弦定理，化简2sincossinCAC，进而得到cosA，即可求解；（2）设ABC的外接圆半径为R

，求得2sin3aRA，利用余弦定理求得3bc，进而利用面积公式，即可求解．-13-【详解】（1）因为sin2cA是cosaB与cosbA的等差中项.所以2coscoscoscAaBbA.由正弦定理得2sincossincossi

ncosCAABBA，从而可得2sincossinCAC，又C为三角形的内角，所以sin0C，于是1cos2A，又A为三角形内角，因此3A.（2）设ABC的外接圆半径为R，则1R，2sin3aRA，由余弦定理得

22222cos33abcbcbcbc，即3123bc，所以3bc.所以ABC的面积为133sin24SbcA.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般

地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机

”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组16

0,164，第2组164,168，…，第6组180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.-14-（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）试估

计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.【答案】（1）0.32；（2）众数是170，中位数是168.25；（3）45【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图能求

出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数；（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．【详解】（1）被采访人拾好在第2组或第

6组的概率40.0740.010.32p.（2）众数：1681721702；设中位数为x，则0.0540.0741680.080.20.281680.080.5xx∴中位数0.50.48168168.250.08x

.（3）共500.126人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，则任选2人，-15-可能为,ab，,ac，,ad，,ae，,af，,bc，,bd，,be，,bf，,cd，,ce，,cf，,de，,df，,e

f，共15种，其中两个全是男生的有,ab，,ac，,bc，共3种情况，设事件A：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率341155PA.【点睛】本题考查概率、众数、中位数的求

法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为23的菱形，60BAD，点E是棱BC的中点，DEACO，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．(1)求证：平面PED平面BCF；(2)若BF//平面PDE

，PO=2，求四棱锥F-ABED的体积．【答案】（1）见解析；（2）332【解析】【分析】（1）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF；（2）取AD的中点G，连结BG，F

G，从而BG∥DE，进而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四棱锥F﹣ABED的体积．【详解】证明：1PO平面ABCD，BC平面ABCD，BCPO，依题意BCD是等边三角形，E

为棱BC的中点，BCDE，又PODEO，PO，DE平面PED，BC平面PED，BC平面BCF，平面PED平面BCF．-16-解：(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，底面ABCD是菱形，E是

棱BC的中点，//BGDE，BG平面PDE，DE平面PDE，//BG平面PDE，//BF平面PDE，BFBGB，平面//BGF平面PDE，又平面BGF平面PADGF，平面PDE平面PADPD，//GFPD，F为PA的中点，31932323sin60222ABED

S四边形，点F到平面ABED的距离为12POd，四棱锥FABED的体积：11933313322FABEDABEDVSd四边形．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知,QR是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且12PQRHkk.（1）若椭圆C经过圆22(1)4xy的圆心，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，

若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交于不同的,AB两点，设P为椭圆C上一点，且满足OAOBtOP（O为坐标原点），当25||3AB时，求实数t的取值范围.【答案】（1）2212xy（2）2623t或2

623t-17-【解析】【分析】（1）设(,)Pxy，由P在椭圆上求出2222212PQRHybkkaxa，再由椭圆过点(0,1)得21b，从而可得2a，得椭圆方程；（2）由题意可知直线A

B的斜率存在，设:(2)ABykx，11,Axy，22,Bxy，00,Pxy，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得1212,xxxx，同时注意，由弦长公式表示出AB后可得k的取值范围，由向量线性

运算求出P点坐标，交代入椭圆方程得出,tk的关系，从而得t的范围．【详解】（1）设(,)Pxy，因为(,0),(,0)QaRa，则点P关于x轴的对称点(,)Hxy.PQykxa，RHykax，又由椭

圆的方程得222222221xbybaxaa，所以2222212PQRHybkkaxa，又椭圆C过圆22(1)4xy的圆心(0,1)，所以22a，21b，所以椭圆C的标准方程为2212xy；（2）由题意可知直线AB的斜率存在，设:(

2)ABykx，11,Axy，22,Bxy，00,Pxy由22(2)12ykxxy得：2222128820kxkxk由42264421820kkk

，得：21(*)2k2122812kxxk，21228212kxxk.25||3AB，222121212251143kxxkxxxx-18-4222226482201412912kkkkk

，214k，结合（*）得：21142k.OAOBtOP，121200,,xxyytxy.从而21202812xxkxttk，12012214412yyk

ykxxktttk.∵点P在椭圆上，2222284221212kktktk，整理得：2221612ktk即228812tk，2843t，2623t或2623t.【点

睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得1212,xxxx，并把这个结论代入题中其他条件中求解．2

1.已知函数ln1fxxax，aR在点1,1f处的切线与x轴平行.（1）求fx的单调区间；（2）若存在01x，当01,xx时，恒有212122xfxxkx成立，求k的取值范围.【答案】(1)增区间01)（，减区间(1,)(2)(,1).

【解析】试题分析：1先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造新函数21ln122xgxxxkx，求导，分类讨论k的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得fx的定义域为0,.-19-1,fxa

x110,fa1.a111,xfxxx001,fxx令得01,fxx令得011+.fx的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（2）不等式212122xfxxkx可化为21ln122xxxkx

，21ln1,(1),22xgxxxkxx令21111,xkxgxxkxx令1,x211,hxxkx令1,2khxx的对称轴为111,2kk当时，即01),hxx易知在（，上单调递

减11,hxhk1,0,khx若则0,gx01),gxx在（，上单调递减10gxg，不适合题意.-11,10,kh若则001)0,xxxgx必存

在使得（，时01),gxx在（，上单调递增10,gxg恒成立适合题意.111,2kk当时，即001),xhxx易知必存在使得在（，上单调递增110,hxhk0,gx01),gxx在（，上单调递增

10,gxg恒成立适合题意.综上，k的取值范围是,1.点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围请考生在第22、23题中任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos(2sinxttyt为参数），以坐标原点为极-20-点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，直线l的直角坐标方程为3yx．（1）求曲线

1C的极坐标方程；（2）若曲线2C的极坐标方程为8cos0，与直线l在第三象限交于A点，直线l与1C在第一象限的交点为B，求AB．【答案】（1）2221sincos4；（2）4747.【解析】【分析】（1）先将1C化为普通方程，再由cossinxy

，即可得到极坐标方程.（2）根据题意求得A、B两点的坐标，得到极径,AB，再由ABAB可得结果.【详解】（1）由题意知1C的直角坐标方程为2214yx，由cossinxy，可得1C的极坐标方程为2222sincos14

，化简整理得222sin1cos4.（2）由题意得直线l的极坐标方程为3，所以38cos0可得(4,)3A．同理2223sin1cos4可得47(,)73B

，4747ABAB.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标方法求两点间的距离，需熟记公式，考查学生化简计算的能力，属基础题．23.已知函数()|||22|(0)fxxmxmm（1）当12m时，求不

等式1()2fx的解集；（2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式()|3||4|fxtt成立，求实数m的取-21-值范围．【答案】（1）113xx；（2）70,2.【解析】【分

析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式3443fxttfxtt，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解maxmaxfxgt即可．【详解】因为0m，所以3,223,3,xmxmfxxmx

mxmmxmxmxm．（1）当12m时，31,221113,,22231,22xxfxxxxx所以由12fx，可得31,2212xx

或113,221122xx或312212xx，解得1132x或112x，故原不等式的解集为113xx．（2）因为3443fxttfxtt，令43gttt，则由题设

可得maxmaxfxgt，由3,3,3,xmxmfxxmmxmxmxm，得max2fxfmm．因为43437tttt，所以77gt．-22-

故max7gt，从而27m，即72m，又已知0m，故实数m的取值范围是70,2．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思

路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.-23-