【文档说明】高中数学人教版必修1教案：1.2.1函数的概念 （系列五）含答案【高考】.doc，共(6)页，1.951 MB，由小赞的店铺上传

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11.2.1函数的概念1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x

)，xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数y＝f(x)的值域，则值域是集合B的子集．注意：(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出

了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要

有一个不满足便不能构成函数．2．常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数y＝kx(k≠0)____R反比例函数y＝kx(k≠0){x|____}{y|y≠0}一次函数y＝kx＋b(k≠0)R____二次函数y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)Ra＞0{y|y≥}a＜0yy≤4ac－b24a有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．例如函数y＝x的定义域为[0，＋)，函数y＝1x＋1的定义域为(－，－1

)(－1，＋)．（1）函数y＝f(x)的定义域为P，值域为Q，对于mP，与m对应的函数值为n，则有2()．A．nPB．m＝nC．nPQD．n唯一（2）函数y＝5－2x的定义域是()．A．RB．QC．ND．（3

）函数y＝2x2－x的值域是__________．3．区间与无穷大(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半闭半开区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．并不是所

有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．(2)无穷大．“”读作“无穷大”，“－”读作“负无穷

大”，“＋”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－，＋)（1）集合{x|x≥1}用区间表示为()．A．(－，1)B．(－，1]C．

(1，＋)D．[1，＋)（2）区间[5,8)表示的集合是()．A．{x|x≤5，或x＞8}B．{x|5＜x≤8}C．{x|5≤x＜8}D．{x|5≤x≤8}4．函数相等一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函

数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．函数符号f(x)的意义3剖析：(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；

当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再

加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.题型一函

数关系的判断【例1】下列式子能否确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B必须是非空数集；②

A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．题型二求函数

值【例2】已知f(x)＝11＋x(xR，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(xR)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值．题型三求函数的定义域【例3】求函数y＝－2x＋1－1－x的定义域．反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)

如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的4集合(即求各部分自变量取值

集合的交集)．(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．题型四判断函数相等【例4】判断下列各组函数是否是相等函数：(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－4x－2；(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.反思：判断两

个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．题

型五易混易错题易错点求函数定义域时先化简函数关系式【例5】求函数y＝x－2x＋1x－2x＋3的定义域．答案：【例1】解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1.所以当x在{x|

x≥1}中任取一个值时，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数．(3)因为不等式组x－2≥0，1－x≥0的解集是∅，即x取值的集合是，故y不是x的函数．【例2】解：(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g

(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.5【例3】解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≠0，1－

x≥0，解得x≤1，且x≠－1，即函数的定义域是{x|x≤1，且x≠－1}．【例4】解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是相等函数．(2)f(x)的定义域为R，g(x)

的定义域为R，即定义域相同．由于f(x)与g(x)的表达式不相同，故f(x)与g(x)不是相等函数．(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．【例5】要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，故所求函数的定义

域为{x|x≠2，且x≠－3}．1函数y＝1xx−+的定义域为()．A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1，或x≤0}D．{x|0≤x≤1}2下列式子中，y不是x的函数的是()．A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝y3

已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__________.4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．(1)y＝x－1，xR与y＝x－1，xN；(2)y＝2x与y＝xx；(3)y＝1＋1x与y＝1＋1u.5已知函数f(x)＝x2＋1，x

R.(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．6答案：1．D要使函数有意义需10,0,xx−解得0≤x≤1.

2．A选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．3．5∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.4．解：(1)前者的定义

域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12

＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题

意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．故对任意xR，总有f(x)＝f(－x)．