【文档说明】专题01“将军饮马”模型解决最值问题（解析版）-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）.docx，共(62)页，6.410 MB，由管理员店铺上传

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【实战精例1】（2019•广西）如图，AB为O的直径，BC、CD是O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知25AB=，2BC=，当CEDE+的值最小时，则CEDE的值为()A．910B．23C．53D．255【分析】延长CB到F使得BC

BF=，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CEDEDF+=值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DHOB⊥于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得EFBFDEDH=，便可得解．【解答】解：延长CB到F使得BFBC

=，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，BC是O的切线，ABBC⊥，CEEF=，此时CEDEDEEFDF+=+=值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DHOB⊥于H，BC、CD是O的切线，BCCD=

，OBOD=，OCOC=，()OBCODCSSS，OCBOCD=，OCBD⊥，2BDBG=1122OBCSOBBCOCBG==，OBBCOCBG=，22543OCOBBC=+=+=，253

BG=，4253BDBG==，22222ODOHDHBDBH−==−，22245(5)(5)3BHBH−−=−，859BH=，22209DHBDBH=−=，//DHBF，2920109EFBFEDDH===，910CEDE=，故选：A

．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．【实战精例2】（滨州·中考真题）如图，等边ABC的边长为6，AD是

BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若2AE=，EMCM+的最小值为27．【分析】要求EMCM+的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：法一：连

接BE，与AD交于点M．则BE就是EMCM+的最小值．取CE中点F，连接DF．等边ABC的边长为6，2AE=，624CEACAE=−=−=，2CFEFAE===，又AD是BC边上的中线，DF是BCE的中位线，2BEDF=，//BEDF，又E为AF的

中点，M为AD的中点，ME是ADF的中位线，2DFME=，24BEDFME==，43BMBEMEMEMEME=−=−=，43BEBM=．在直角BDM中，132BDBC==，13322DMAD==，22372BMBDDM=+=，4372732BE==．EMCMBE

+=EMCM+的最小值为27．法二：由题意，本题属于“将军饮马”型最短路径问题，取C点关于AD的对称点B，连接BE，其与AD交点即为M，此时EMCMEMBMBE+=+=，BE的长度就是EMCM+的最小值，作BFAC⊥交AC于点F，则132AFAC==（

三线合一），故321EFAFAE=−=−=，在RtABF中，3sin6332BFABBAF===，2227BEBFEF=+=，EMCM+的最小值为27．【点评】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．一、平移及其性质1

.在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移；2.平移包含两大要素；平移方向以及平移距离；3.平移不改变图形的形状和大小二、“将军饮马”模型问题：如图，在定直线

l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。【简析1】如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。类型一：“两定一动“--和最小【经典剖析1】（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E

分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，6AD=，点F是线段AD上的动点，则BFEF+的最小值为()A．3B．6C．9D．12【分析】连接CE交AD于点F，连接BF，此时BFEF+的值最小，最小值为CE．【解答

】解：连接CE交AD于点F，连接BF，ABC是等边三角形，BFCF=，BFEFCFEFCE+=+=，此时BFEF+的值最小，最小值为CE，D、E分别是ABC中BC、AB边的中点，ADCE=，6AD=，6CE

=，BFEF+的最小值为6，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．【经典剖析2】如图，直线8yx=+分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PCPD

+值最小时，点P的坐标为()A．(4,0)−B．(3,0)−C．(2,0)−D．(1,0)−【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D的坐标，结合点C、D的坐标求出直线CD的解析式，令0y=即可求出x的值，从而得出点P的坐标．

【解答】解：作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PCPD+值最小，最小值为CD，如图．令8yx=+中0x=，则8y=，点B的坐标为(0,8)；令8yx=+中0y=，则80x+=，解得：8x=−，点A的坐标为(8

,0)−．点C、D分别为线段AB、OB的中点，点(4,4)C−，点(0,4)D．点D和点D关于x轴对称，点D的坐标为(0,4)−．设直线CD的解析式为ykxb=+，直线CD过点(4,4)C−，(0,

4)D−，444kbb−+==−，解得：24kb=−=−，直线CD的解析式为24yx=−−．令0y=，则024x=−−，解得：2x=−，点P的坐标为(2,0)−．故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关

键是求出直线CD的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．【经典剖析3】已知(1,1)A−、(2,3)B两点，在y轴上存在点P使得APBP+的值最小，则点P的坐标为()A．1(0,)4B．1(0,)3

C．1(0,)4−D．1(0,)3−【分析】作A点关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点P，当B、P、A共线时，APBP+有最小值，求出直线AB的解析式即可求P点坐标．【解答】解：作A点关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点P，APAP=，APBPAPBPAB+

=+…，当B、P、A共线时，APBP+有最小值，(1,1)A−，(1,1)A−−，设AB的解析式为ykxb=+，123kbkb−+=−+=，4313kb==，4133yx=−+，1(0,)3P，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求

最短距离的方法，待定系数法求函数解析式是解题的关键．【经典剖析4】如图，边长为a的等边ABC中，BF是AC上中线且BFb=，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边ADE，连接EF，则AEF周长的最小值是

()A．1223ab+B．12ab+C．12ab+D．32a【分析】首先证明点E在射线CE上运动(30)ACE=，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E，此时AEFE+的值最小．【解答】解：如图，ABC，

ADE都是等边三角形，ABACa==，ADAE=，60BACDAEABC===，BADCAE=，()BADCAESAS，ABDACE=，12AFCFa==，BFb=，30ABDCBDACE===，BFAC⊥，点E在射线C

E上运动(30)ACE=，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E，此时AEFE+的值最小，CACM=，60ACM=，ACM是等边三角形，AMAC=，BFAC⊥，FMBFb==，AEF周长的最小值12AFFEAEAFFMab=++=+=+，故选：B

．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动(30)ACE=，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．类型二：两定一动“

--差最大--定点同侧类型三：“两定一动“--差最大【经典剖析1】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)A，(2,3)B−，点P为x轴上一点，当||PBPA−最大值时，点P的坐标为(1,0)−．【分析】作点A关

于x轴的对称点A，连接BA延长交x轴于点P，此时||PBPA−的值最大，最大值为AB，求出直线AB的解析式为1yx=−−，与x轴的交点即为所求．【解答】解：作点A关于x轴的对称点A，连接BA延长交x轴于点P，由对称性可

得APAP=，||||||PBPAPBPAAB−=−=，此时||PBPA−的值最大，最大值为AB，(0,1)A，(0,1)A−，设直线AB的解析式为ykxb=+，123bkb=−+=−，11kb=−=−，1yx=−−，令0y=，则1x=−，(1,0)P−，故

答案为：(1,0)−．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，待定系数法求函数解析式是解题的关键．类型四：“两动一定“--最短距离【经典剖析1】如图，四边形ABCD中，130BAD=，90BD=

=，在BC，CD上分别找一点M，N，使AMN的周长最小时，则ANMAMN+的度数为()A．80B．90C．100D．130【分析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时AMN

的周长有最小值，由对称性求出50BAMFAN+=，则有80MAN=，即可求180100ANMAMNMAN+=−=．【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，90BD==，A

NNF=，AMEM=，AMN的周长AMANMNNFMNEMEF=++=++=，此时AMN的周长有最小值，FANF=，EEAM=，180EFBAD+=−，130BAD=，50EF+=，50BAMFAN+=

，1305080MAN=−=，180100ANMAMNMAN+=−=，故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．【经典剖析

2】如图，30ABC=，点D是它内部一点，BDm=，点E，F分别是BA，BC上的两个动点，则DEF周长的最小值为()A．0.5mB．mC．1.5mD．2m【分析】作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，

BH，此时DEF的周长最小，最小值为GH，证明GBH是等边三角形，即可求解．【解答】解：作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，BH，由对称性可知，GEED=，DFFH=，BGBDBH==，EDDFEFG

EEFFHGH++=++=，此时DEF的周长最小，最小值为GH，GBAABD=，DBCCBH=，2GBHABC=，30ABC=，60GBH=，GBH是等边三角形，GHBD=，BDm=，DEF周长的最小值为m

，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．类型五：“两动两定“--最短距离【经典剖析1】（2021春•江岸区校级月考）如图所示，50AOB=，30BOC=，12OM=，4ON=．点P、Q分

别是OA、OB上动点，则MQPQNP++的最小值是413．【分析】寻找对称点，利用“将军饮马”模型去寻找最小值，构造含有特殊角的直角三角形去求解长度．【解答】解：如图，作点N关于OA的对称点N，则NPNP=，作点M关于OB的

对称点M，则MQMQ=，MQPQNPMQPQNP++=++，当NM在同一条直线上时取最小值，连接ON，OM，50AOB=，30BOC=则20NOAAOCAOBBOC==

−=，50BOMBOA==，2203050120NOM=++=，4ONON==，12OMOM==，503020AONAOBBOC=−=−=，先作射线ON

与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知20AON=，PNPN=，同理作射线OM与射线OM关于OB对称，同理50BOM=，QMQM=，当N、P、Q、M四点共线时，MQPQNP++最小，则205050120NOMNOPAOBBPM=

++=++=，作N垂直OM的延长线交于点E，60EON=，4ONON==，在Rt△NOE中，30ENO=，根据30角所对的直角边是斜边的一半可知2OE=，则23EN=，12OMOM==，12214EMOEOM=+=+=，则22221

4(23)413NMNENM=+=+=．故答案为：413．【点评】本题为轴对称−最短路线问题，对称的线段较多，且最后的线段长度较为难求，需要去构造一个合适的含有特殊角的直角三角形，再去利用勾股定理去求解线段的长度．类型六：“两定点一定长①”【类型七】

“两定点一定长②”【经典剖析1】如图，在矩形ABCD中，4AB=，7BC=，E为CD的中点，若PQ、为BC边上的两个动点，且2PQ=，若想使得四边形APQE的周长最小，则BP的长度应为__________.【答

案】103【详解】问题作法图形原理在直线l上求两点M,N（M在N左侧），使MN=a，使AM+MN+NB最短将A向右移a个单位到A’，作A’关于l对称点A’’，连接A’’B与交点即为N，左移a个单位，即为M。BANBMNAM''

a+=++两点之间，线段最短。总结：两定点，一定长问题。将A向右移a个单位到A’，作A’关于l对称点A’’，连接A’’B与交点即为N，左移a个单位，即为M。解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作F

Q的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵E为CD的中点，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴QCE~GHE,∴CQECGHEH=,∴256CQ=，∴CQ=53，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-51033=

．故答案为103．【经典剖析2】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=304，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥

l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF

于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16

．类型一：“两定一动“--和最小【例题1】如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的

最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣B

N﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．【例题2】如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高8AD=，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EBEF+的

最小值，则这个最小值是()A．5B．6C．7D．8【分析】连接CF交AD于点E，连接BE，此时BEEF+的值最小，求出CF即可．【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE，ABC是等边三角形，AD是高，BECE=，BEEFCEEFCF+=+…，此时BEEF+的值最小，F是A

B边上的中点，CFAD=，8AD=，8CF=，故选：D．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．【例题3】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点(1

,2)A−，点(5,6)B−，在x轴上确定点C，使得ABC的周长最小，则点C的坐标是()A．(4,0)−B．(3,0)−C．(2,0)−D．(2.5,0)−【分析】作B点关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点C，连接BC，此时ABC的周长最小，求出直线AB的解析式

24yx=+与x轴的交点即可．【解答】解：作B点关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点C，连接BC，BCBC=，BCACBCACAB+=+…，此时ABC的周长最小，(5,6)B−，(5,6)B−−，设直线AB的解析式为ykxb=+，将点(1,2)A−，(5,6)

B−−代入，得256kbkb−+=−+=−，24kb==，24yx=+，令0y=，则2x=−，(2,0)C−，故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是

解题的关键．【例题4】（2021秋•重庆期末）如图，在ABC中，6ABACcm==，AD，CE是ABC的两条中线，4CEcm=，P是AD上的一个动点，则BPEP+的最小值是()A．3cmB．4cmC．6cmD．10cm【分析】连接CE交AD于点P，则

BPEP+的最小值为CE的长．【解答】解：连接CE交AD于点P，ABAC=，AD是BC的中线，ADBC⊥，BPCP=，BPEPCPEPCE+=+…，BPEP+的最小值为CE的长，4CEcm=，BPEP+的最小值为

4cm，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质是解题的关键．【例题5】（2020秋•自贡期末）如图，在ABC中，ABAC=，6BC=，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边

的中点，点M是线段EF上的一动点，则CDM周长的最小值为()A．8B．9C．10D．11【分析】连接AM，由垂直平分线的性质可得AMCM=，所以CDM周长的最小值为ADCD+的长，分别求出AD、CD的长即可求解．【解答】解：连接AM，EF是AC的垂直平分线，AMCM=，CDM周长CMDM

CDAMMDCDADCD=++=+++…，CDM周长的最小值为ADCD+的长，D是BC的中点，ABAC=，ADBC⊥，6BC=，ABC的面积是24，8AD=，6BC=，D是BC的中点，3CD=，8311ADCD+=+=，CDM周长的最小值为11，故选：D．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．【例题6】（2018秋•滨江区期末）直角坐标系中，点A坐标为(0,1)−，动点B的坐标为(,1)mm−，ABOB+的最小值是()A．5

B．2102+C．3D．12+【分析】方法1：由已知可得2222(2)(1)ABOBmmmm+=+−++−，则ABOB+的最小值可以看作点(,)mm与(2,0)、(0,1)两点距离的最小值；方法2:B所在直线表达式为1xy+=即1yx=−+，题设转化为求原点

(0,0)与点(0,1)A−关于直线1yx=−+的“将军饮马”问题，依此即可求解．【解答】解：方法1：点A坐标为(0,1)−，动点B的坐标为(,1)mm−，则2222(2)(1)ABOBmmmm+=+−++−，ABOB+的最小值可以看作点(,)

mm与(2,0)、(0,1)两点距离的最小值，则最小值为点(2,0)、(0,1)的距离5：；方法2:(,1)Bmm−，B所在直线表达式为1xy+=即1yx=−+，题设转化为求原点(0,0)与点(0,1)A−关于直线1yx=−+的“将军饮马”问题，作原点关于直线1yx=−

+的对称点为(1,1)O，则OA的长度即为所求最小值，最小值是22(10)(11)5−++=．故选：A．【点评】本题考查平面内点的坐标特点，线段的最短距离；将ABOB+的最小值转化为点(2,0)、(0,1)的距离是解题的关键．类型二：“两定一动“-

-差最大类型三：“两动一定“--最短距离【例题1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，

连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠

AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．类型四：“两动两定“--最短距离【例题1】如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一

点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，

OD′．∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．【例题2】如图，在∠MON的边OM

,ON上分别有点A,D，且∠MON＝30º，OA＝10，OD＝6，B，C两点分别是边OM,ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为.【解答】【解析】作点D关于OM的对称点D'，作点A关于ON的对称点A'，连接A'D'，与OM,ON的交点就是点B、C，如图所

示：此时AC＋BC＋BD＝A'C＋BC＋BD'＝A'D'为最短距离。连接OD'，OA'，根据对称性可知：OA＝OA',OD＝OD'，∠AOA'＝60º，∠DOD'＝60º，∴△AOA'和△DOD'是等边三角形，∴OD'＝OD＝6，OA'＝OA＝10，∠A'OD＝90º，根据勾股定理，得

，∴AC＋BC＋BD的最小值为.类型五：“两定点一定长①”【例题1】如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最

小时，试确定Q的位置．【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线O

PQB的长的最小值＝B′O′．∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO

＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；（2）设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+

∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′就是AC的中点O．∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．【例题2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形

APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N

，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．【例题3】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一

条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接

A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线

段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．【例题4】正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N

为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝

EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，

∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++

．故答案为：++．【例题5】如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′

，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．故答案为：8．【变式1】如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A

、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣

2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．【变式2】（2021秋•虎林市校级期末）如图

，等边三角形ABC，BC的高4ADcm=，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BPEP+的最小值4cm．【分析】连接CE，交AD于点P，连接BP，此时PEBP+的值最小，最小值为CE的长．【解答】解：连接CE，交AD于点P，连接BP，ABC是等边三角形，BPCP=，BPPECP

PECE+=+=，此时PEBP+的值最小，ADBC⊥，E是AB的中点，CEAB⊥，CEAD=，4ADcm=，4CEcm=，BPPE+的最小值为4cm，故答案为：4cm．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距

离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．【变式3】（2021秋•天门期末）如图，在ABC中，10ABAC==，12BC=，8AD=，AD是BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则ECEF+的最小值是485．【

分析】作F关于AD的对称点F，由角的对称性知，点F在AB上，当CFAB⊥时，ECEF+的最小值为CF，再利用面积法求出CF的长即可．【解答】解：作F关于AD的对称点F，AD是BAC的平分线，点F在AB上，EFE

F=，当CFAB⊥时，ECEF+的最小值为CF，ABAC=，AD是BAC的平分线，ADBC⊥，1122ABCSBCADABCF==，12810CF=，485CF=，ECEF+的最小值为485，故答案为：485．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性

质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．【变式4】如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PCE的周长最小时，ACP的度数为30．【分析】连接BE交AD于点P，连接

PC，此时PEC的周长最小，再由题意可知APCP=，则可求ACP．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接PC，ABC是等边三角形，ADBC⊥，PBCP=，PEC的周长PEPCECPEBPECBEEC=++=++=+，此时PEC的周长最

小，E是AC的中点，BEAC⊥，APCP=，30CAD=，30ACP=，故答案为；30．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．【变式5】（2021秋•高邑

县期末）如图，等腰三角形ABC的面积为80，底边10BC=，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则CDM的周长最小值为21．【分析】连接AD，AM，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC⊥，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再

根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC=，推出MCDMMADMAD+=+…，故AD的长为BMMD+的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．ABC

是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC⊥，11108022ABCSBCADAD===，解得16AD=，EF是线段AC的垂直平分线，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC=，MCDMMADMAD+=+…，AD的长为CMMD+的最小值，CDM的周长最短11()161

02122CMMDCDADBC=++=+=+=．故答案为：21．【点评】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【变式6】（2021秋•青山区期末）如图，等腰ABC的底边BC的长为6cm，面

积是224cm，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则BDM周长的最小值为11cm．【分析】连接AD交EF于点M，连接BM，此时BMDM+值最小，即BDM周长最小，最

小值为ADBD+．【解答】解：连接AD交EF于点M，连接BM，EF是AB的垂直平分线，AMBM=，BMMDMAMDAD+=+…，此时BMDM+值最小，即BDM周长最小，D为边BC的中点，ADBC⊥，6BCcm=，面积是224cm，8ADcm=，BDM周长8311BMMDBDA

DBDcm==+=+=+=，故答案为：11．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式7】（2021秋•蜀山区期末）在平面直角坐标系中，A、B两点

的坐标分别为(1,2)A、(4,1)B，点P为x轴上一点，当PAPB+最小时，则点P的坐标为(3,0)．【分析】作B点关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点P，连接BP，当A、P、B三点共线时，PAPB+有最小值，求出直线AB的解析式为3yx=−+与x轴的交点即可．【解答】解：作B点

关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点P，连接BP，PBBP=，APPBAPPBAB+=+…，当A、P、B三点共线时，PAPB+有最小值，(1,2)A、(4,1)B，(4,1)B−，设直线AB的解析式为ykxb=+，412kbkb

+=−+=，13kb=−=，3yx=−+，令0y=，则3x=，(3,0)P，故答案为：(3,0)．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键．【变式8】（2021秋•大石桥市期末）已知ABC

的面积是12，5ABAC==，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CPEP+的最小值为245．【分析】过点B作BEAC⊥交AD于点P，连接CP，则CPEP+的最小值为BE的长．【解答】解：过点B作BEAC⊥交AD于点P，连接CP，ABAC

=，AD是BC边上的中线，ADBC⊥，B点与C点关于AD对称，BPCP=，CPEPBPEPBE+=+…，CPEP+的最小值为BE的长，ABC的面积是12，5AC=，1122BEAC=，245BE=，故答案为：245．【点评】本题考

查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．【变式9】（2021秋•西峰区期末）如图，在等边ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若6AD=，则EPCP+

的最小值为6．【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EPCP+的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，B点与C点关于AD对称，BPCP=，EPCPBPCPBE+=+…，EPCP

+的最小值为BE的长，E为AC边的中点，BEAC⊥，6AD=，6BE=，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．【变式10】（2021秋•鸡冠区校级期末）如图，

在ABC中，2ABAC==，90BAC=，M，N为BC上的两个动点，且2MN=，则AMAN+的最小值是10【分析】作A点关于BC的对称点A，连接AM，过N点作//NDMA，过A作//ADMN，连接

AA，当A、D、N三点共线时，AMAN+的值最小，求AD即为所求．【解答】解：作A点关于BC的对称点A，连接AM，过N点作//NDMA，过A作//ADMN，连接AA，四边形MADN是平行四边形，AMAMND==，AMANNDANAD+=+…，

当A、D、N三点共线时，AMAN+的值最小，AABC⊥，AAAD⊥，2ABAC==，90BAC=，22AA=，2MN=，2AD=，在Rt△AAD中，10AD=，AMAN+的最小值为10，故答案为：10．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，构

造平行四边形是解题的关键．【变式11】（2021秋•隆昌市校级期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，6AD=，点F是线段AD上的动点，则BFEF+的最小值为6．【分析】连接CE，交AD于F，连接B

F，则BFEF+最小，证ADBCEB得6CEAD==，即BFEF+的最小值为6．【解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BFEF+最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B

关于AD对称，则BFEFCF+=，等边ABC中，BDCD=，AEBE=，ADBC⊥，CEAB⊥，AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和B关于直线AD对称，CFBF=，即BFEFCFEFCE+=+=，等边ABC中，AEBE=，CEAB⊥，BFE

FCE+=时最小，ADBC⊥，CEAB⊥，90ADBCEB==，在ADB和CEB中，ADBCEBABDCBEABCB===，()ADBCEBAAS，6CEAD==，即BFEF+的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对

称−最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．【变式12】（2021秋•安庆期末）如图，在四边形ABCD中，50BCD=，90BD==，在BC、CD上分别取一点M、N

，使AMN的周长最小，则MAN=80．【分析】要使AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC、CD的对称点1A、2A，由50BCD=，90BD==得出130BAD=

，继而得出1250AA+=，由得出得出2ANAD=，1AMAB=，进一步得出()MANBADNADMAB=−+，即可得出答案．【解答】解：如图，作点A关于BC、CD的对称点1A、2A，连接1A、2A分别交BC、DC

于点M、N，连接AM、AN，则此时AMN的周长最小，50BCD=，90BD==，360909050130BAD=−−−=，1218013050AA+=−=，点A关于BC、CD的对称点为1A、2A，2NA

NA=，1MAMA=，2ANAD=，1AMAB=，1250NADMABAA+=+=，()MANBADNADMAB=−+13050=−80=，故答案为：80．【点评】本题考查了轴对称−最短路线问题，根据已知得出M

、N的位置是解题的关键．【变式13】（2021•临沂模拟）已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且2DM=，N是AC边上的一动点，则DNMN+的最小值是10．【分析】连接BM交AC于点N，当B、N、M三点共线时，DNMN+的值最小，求出BM即为所求．【解答】解：连接BM交

AC于点N，四边形ABCD是正方形，B、D两点关于AC对称，BNDN=，DNMNBNMNBM+=+…，当B、N、M三点共线时，DNMN+的值最小，8BCCD==，2DM=，6CM=，在RtBCM中，222BMCMBC=+，22268100BM=+=，10BM=，DNMN+的值最小

值为10，故答案为：10．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，直角三角形勾股定理是解题的关键．【变式14】（2020秋•黔东南州期末）如图，在边长为4，面积为43的等边ABC中，点D、E

分别是BC、AB边的中点，点F是AD边上的动点，求BFEF+的最小值23．【分析】连接CE，交AD于点F，连接BF，则BFEF+的最小值为CE，再由已知求出CE的长即可．【解答】解：连接CE，交AD于点F，连接BF，ABC是等边三角形，

D是BC边中点，B点与C点关于AD对称，BFCF=，BFEFCFEFCE+=+…，BFEF+的最小值为CE，E是AB的中点，CEAB⊥，4AB=，ABC的面积为43，23CE=，BFEF+的最小值为23，故答案为：23．【点评】本题考查轴对称求

最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键．【变式15】（2021秋•如皋市月考）如图，等边ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BEEF+的最小值为33．【分析】过C点作CFAB⊥交AB于F，交AD于E，连接BE

，BEEF+的最小值为CF，求出CF即可．【解答】解：过C点作CFAB⊥交AB于F，交AD于E，连接BE，AD是等边三角形ABC的高，BECE=，BEEFCEEFCF+=+…，BEEF+的最小值为CF，6BC=，6AB=，3BF=，22226333CFBCBF=−

=−=，BEEF+的最小值为33，故答案为：33．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短是解题的关键．【变式16】（2021秋•融水县期中）如图，RtABC中，90C=，6AC=，8B

C=，10AB=，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则APC周长的最小值为14．【分析】连接BC，由线段垂直平分线的性质可得APBP=，则当P、B、C三点共线时，APC的周长最小，最小值为ACBC+．【解答】解：

连接BC，EF垂直平分AB，APBP=，APC周长APCPACCPBPACBCAC=++=+++…，当P、B、C三点共线时，APC的周长最小，6AC=，8BC=，10AB=，14BCAC+=，

APC周长的最小值为14，故答案为：14．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式17】（2021秋•龙口市期中）如图，点D、E分别是等边ABC中BC，AB边的中点，5AD=，点F是线段AD上的动点，则BFEF+的最小值为5．【分析】如

图，连接CE交AD于F，连接BF，由于C和B关于直线AD对称，则BFEFCFEF+=+，当C、F、E三点在同一条直线上时，BFEFCFEFCE+=+=最小，证明ADBCEB，得5CEAD==，即可得出答案．【解答】解：如图，连接CE交AD于F，连接BF，等边ABC中，BD

CD=，AEBE=，ADBC⊥，CEAB⊥，AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和B关于直线AD对称，CFBF=，BFEFCFEF+=+，当C、F、E三点在同一条直线上时，BFEFCFEFCE+=+=最小，ADBC⊥，CEAB⊥，90ADBC

EB==，在ADB和CEB中，ADBCEBABDCBEABCB===，()ADBCEBAAS，5CEAD==，即BFEF+的最小值为5，故答案为5．【点评】本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到等

边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．【变式18】（2021•成都模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，P为AC上一动点，则PBPE+的最小值为5．【分析】连接DE交AC于

P，由正方形对称性得DPBP=，PBPE+的最小，即是DPPE+最小，此时D、P、E共线，DE的值即是PBPE+的最小值，求出DE的值即可．【解答】解：连接DE交AC于P，如图：正方形ABCD，B、D关于AC对称

，DPBP=，PBPEDPPE+=+，PBPE+的最小，即是DPPE+最小，此时D、P、E共线，DE的值即是PBPE+的最小值，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，1AE=，90DAE=，225DEADAE=+=，故答案为

：5．【点评】本题考查正方形中的最短路径，解题的关键是掌握“将军饮马”模型的解决方法．【变式19】（2021春•海淀区校级期中）已知(0,2)A，(3,1)B，在x轴找一点P，使PAPB+的值最小，则点P的坐标为(

2,0)．【分析】“将军饮马”问题：作A关于x轴的对称点A，连接AB交x轴于P，则P即为所求点，求出A坐标和直线AB解析式，即可得到P坐标．【解答】解：作点A关于x轴的对称点A，连接AB交x轴于P，则P即为所求点，如图：(0,2)A，A关于x轴的对称点A，(0,2

)A−，设直线AB的解析式为ykxb=+，把(0,2)A−，(3,1)B代入得，则213bkb−==+，解得12kb==−，直线AB的解析式为：2yx=−，当0y=时，2x=，点P的坐标

为(2,0)．故答案为：(2,0)．【点评】本题考查线段和的最小值，解题的关键是熟悉“将军饮马问题”模型：作一个点的对称点，连接对称点和另一个点，连线与对称轴交点即为所求点．【变式20】（2020秋•东城区期末）如图，等腰直角ABC中，90ACB=，4ACB

C==，D为BC的中点，25AD=，若P为AB上一个动点，则PCPD+的最小值为25．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DBEB=，DPEP=，45ABCABE==，根据PCPD

PCPE+=+，可得当C，P，E在同一直线上时，PCPE+的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PCPD+的最小值为25．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DBEB=，DPEP=

，45ABCABE==，90CBE=，D是BC的中点，122BDBC==，2BE=，PCPDPCPE+=+，当C，P，E在同一直线上时，PCPE+的最小值等于CE的长，此时，PCPD+最小，4ACBC==，D为BC的中点，CDDBBE==，又90ACDCBE=

=，()ACDCBESAS，25CEAD==，PCPD+的最小值为25．故答案为：25．【点评】此题考查了轴对称−线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来

解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【变式21】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)A，(2,3)B−，点P为x轴上一点，当||PBPA−最大值时，点P的坐标为(1,0)−．【分析】作点A关于x轴的对称点A，连接BA延长交x轴于点P，此时||PB

PA−的值最大，最大值为AB，求出直线AB的解析式为1yx=−−，与x轴的交点即为所求．【解答】解：作点A关于x轴的对称点A，连接BA延长交x轴于点P，由对称性可得APAP=，||||||PB

PAPBPAAB−=−=，此时||PBPA−的值最大，最大值为AB，(0,1)A，(0,1)A−，设直线AB的解析式为ykxb=+，123bkb=−+=−，11kb=−=−，1yx=−−，令0y=，则1x=−，(1,0)P−，故答案为：(1,0)−

．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，待定系数法求函数解析式是解题的关键．【变式22】（2019秋•岳西县期末）已知(3,2)A，(1,6)B−，点P为x轴上一点，当PBPA+最

小时，点P的坐标为(2,0)．【分析】作A点关于x轴的对称点A，连接AB交x轴于点P，连接AP，当A、B、P三点共线时，APBP+有最小值，求出直线直线BA的解析式为24yx=−+，即可求P点坐标．【

解答】解：作A点关于x轴的对称点A，连接AB交x轴于点P，连接AP，APAP=，APBPAPBPBA+=+…，当A、B、P三点共线时，APBP+有最小值，(3,2)A，(3,2)A−，设直线BA的解析式为ykxb=+，326kbkb+=−−+=

，24kb=−=，24yx=−+，当0y=时，2x=，(2,0)P，故答案为：(2,0)．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．【拓展训练1】如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上

的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠A

CB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠

AFB＝105°，故选：B．【拓展训练2】如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD

⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌

△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．拓展提升多变化值讨论【拓展训练3】如图，

已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△AB

E的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积

最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CA

D′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．【拓展训练4】如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以A

B，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上

时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．【拓展训练5】在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，

若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD

中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．【拓展训练6】如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝

3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B

，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'

，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝

DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝18

0°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，【拓展训练7】如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝度

.【解答】30º【解析】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，如图所示：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30º，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30º，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN＋

HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM＋BN＝NH＋BN的值最小，当B，N，H共线时，如图所示：∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45º，∵∠ABD＝60º，∴∠DBM＝15º，∴∠MBN＝45º－15º＝30º，当BM＋BN的值最小时，∠MBN＝30º.【拓展训

练8】（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形ABC的面积是20，最长边10BC=，CD平分ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则APPQ+的最小值为()A．2B．3C．4D．5【分析】作A点

关于CD的对称点A，过A作AQAC⊥交CD于P点，交AC于Q点，此时APPQ+的值最小，由题意可得AC边上的高与AQ相等，再由三角形的面积求出BC边上的高即为所求．【解答】解：作A点关于CD的对称点

A，过A作AQAC⊥交CD于P点，交AC于Q点，APAP=，APPQAPPQAQ+=+=，此时APPQ+的值最小，CD平分ACB，ACAC=，AC边上的高与AQ相等，ABC的面积是2

0，10BC=，BC边上的高是4，4AQ=，APPQ+的值最小为4，故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键．【拓展训练9】（2021秋•罗庄区期末）如图，ABC中，30A=，3BC=，ABC的面积9．点

D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则DEF周长的最小值为()A．5B．6C．8D．10【分析】作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接AG，AH，

AE，当AEBC⊥时，GH最短，此时DEF的周长最小，最小值为AE的长．【解答】解：作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接AG，AH，AE，由对称性可知GDDE=，EFFH=，AGAEAH==，DEF的周长DEDFEFGDDFFHG

H=++=++=，GADDAE=，EACHAC=，2GAHBAC=，30BAC=，60GAH=，GHAE=，当AEBC⊥时，GH最短，此时DEF的周长最小，3BC=，ABC

的面积9，6AE=，DEF的周长最小值为6，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键．【拓展训练10】（2021秋•郑州期中）

如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB上有P，Q两个动点，且2PQ=，已知，点(23,0)A，60AOC=，当CPQ周长最小时，点P的坐标为()A．333(,)22B．(23,2)C．(3,1)

D．535(,)22【分析】作//CDPQ，CDPQ=，连接DP，AC交OB于E，由平行四边形和菱形的性质得CQPD=，CPAP=，要使CPQ周长最小，只要APDP+的最小，即为A、D、P三点共线，然后利用含30角的直角三角形的性质求出点D的坐标即可解决问题．【解答】

解：如图，作//CDPQ，CDPQ=，连接DP，AC交OB于E，则四边形CQPD是平行四边形，CQPD=，四边形OABC是菱形，CPAP=，2CPCQPQAPDP++=++，则连接AD交OB于P，此时APDP+的最小值为A

D的长，60AOC=，四边形OABC是菱形，1302CBOABC==，60ACBABCAOC===，ACOB⊥，//CDOB，30DCBCBO==，过点B作BHx⊥轴于H，点(23,0)A，23OAAB==，3

BH=，30DCB=，点D的横坐标为3323+=，纵坐标为314+=，(23D，4)，//OBCD，点E为AC的中点，点P为AD的中点，(23P，2)，故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30角的直角三角形的性

质，平行四边形的性质，轴对称−最短路线问题，坐标与图形的性质等知识，找到周长最小时点P的位置是解题的关键．【拓展训练11】（2021•雨花区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BECF=，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点

，则MNPN+的最小值等于()A．101−B．5C．2102−D．92【分析】证明ABEBCF，可得90APB=（存在定角），而APB对的边为AB，因此是一题隐圆与将军饮马结合的题．【解答】解：ABBC=，90ABEBCF==，BECF=，()ABEBCF

SAS，BAPBCP=，90APBBCPPEBBAPPEB=+=+=，即为定角，而APB所对线段为AB，即为定弦．因为点P在以AB中点O为圆心，以OA为半径的圆弧上（如图），作点M关于DC的对称点M，则CMCM=，

连接OM交的应该是圆弧于点P，则MNPN+最小值即为MP的长，即OMOP−的值．而22222(42)210OMBOBM=+=++=，而半径122OPAB==，故OMOP−的值2102=−，故选：C．【点评】本题为圆

的综合题，牢记隐圆和将军饮马的知识点，此题即可迎刃而解．【拓展训练12】（2021秋•环江县期末）如图，直线m是ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若5AB=，4AC=，6BC=，则AP

C周长的最小值是9．【分析】直线m与AB的交点为P，此时APC的周长有最小值为ABAC+．【解答】解：直线m与AB的交点为P，直线m是BC边的垂直平分线，BPCP=，APPCBPAPAB+=+=，此时APPC+值最小，APC的周长APPCACABAC=++=+，此时APC的周

长有最小值为ABAC+，5AB=，4AC=，APC周长的最小值为9，故答案为：9．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．【拓展训练13】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，在正方形ABCD中，6AB=，点

P为射线CD上一动点，连接BP，取其中点M，连接DM，将线段DM沿CD翻折得到线段DN，连接AM，MN，BN，则AMMNBN++的最小值为656+．【分析】先通过中位线证明ADM为等腰三角形，从而得到四边形AMND为平行四边形，得到MN为定值，并将AMBN+

转化为DNBN+，从而应用将军饮马进行解答．【解答】解：过M点作直线QR平行CD，交AD于Q点，交BC于R点，如下图所示，在正方形ABCD中，//MNCD，M为BP中点，N，R分别为BC，AD中点，A

MD为等腰三角形，四边形AMND为平行四边形，6MNAD==，BNAMBNDN+=+，6MN=且//MNBC，M在AD中垂线上，N的轨迹为直线DC右侧3个单位的平行线l，作D关于直线l的对称点H，如下图所示，则BNDN+最小值为BH，即AM

MNBN++最小值226656BHMNAHAB=+=++=+，故答案为：656+【点评】本道题主要考查等腰三角形与平行四边形的判定，以及将军饮马的模型，证明ADM为等腰三角形是解答本题的关键．【拓展训练14】（2021秋•硚口区期末）在

等腰ABC中，ABACnBC==，点D和点E分别为AC和BC边上的点，ADCE=，AE与BD相交于点F．（1）当1n=时，①如图1，求证：AEBD=；②如图1，求AFD的度数；③如图2，若2AFBF=，作AGBD⊥，垂足为G点，连接CG，求证：GFGC=．（2）当32n=

时，如图3，若AEBD+取得最小值，直接写出BEEC的值．【分析】（1）①当1n=时，ABC时等边三角形，得到ABACBC==，60BADACE==，然后结合ADCE=得证BADACE，进而得到BDAE=；②由BADACE得到BDAAEC=，然后

结合120AECEAC+=得到120BDAEAC+=，从而得到60AFD=；③先由60AFG=、90AGF=得到30FAG=，进而得到2AFFG=，再结合2AFBF=得到BFFG=，即可得到AFB

G=，再结合BADACE得到ABDCAE=，进而得到CBGBAF=，最后结合ABBC=得证ABFBCG，从而得到BFCG=，进而得证FGCG=．（2）过点B作BPAC⊥于点P，过点A作AGBC⊥于点G，然后通过勾股定理求得B

P、AG的长，再设CEADm==，用含有m的式子表示AEBD+的长，然后利用两点间的距离公式和轴对称的性质求得AEBD+的最小值，最后求得:BEEC的值．【解答】（1）证明：①当1n=时，ABACBC==，ABC

是等边三角形，60CBAD==，ADCE=，ACBA=，()BADACESAS，AEBD=；②解：BADACE，ADBCEA=，CAECAE=，ADFAEC∽，60AFDACB==；③证明：60A

FD=，AGBD⊥，12FGAF=，12BFAF=，BGBFFGAF=+=，60BAFFADBAD+==，60CBGABGCBA+==，FADABG=，BAFCBG=，ABBC=，()AFBBGCS

AS，GCFB=，FGFB=，GCFG=，GFGC=；（2）解：如图3，过点B作BPAC⊥于点P，过点A作AGBC⊥于点G，则90AGCBPCBPA===，BGCG=，32n=，32ABAC

BC==，令3ABAC==，2BC=，则1BGCG==，设APx=，则3CPACAPx=−=−，在RtABP中，222BPABAP=−，在RtBCP中，222BPBCCP=−，2222ABAPBCCP−=−，即222232(3)xx−=−−，解得：73x=，

73AP=，72333CP=−=，22227423()33BPABAP=−=−=，22223122AGACCG=−=−=，ADCE=，02CE剟，点D始终在线段AP上，设(02)CEADmm==剟，则|1|GEm=−，73DPm=−，2228(1)AEAGEGm

=+=+−，222327()93BDBPDPm=+=+−，2222742(1)(022)()(0)33AEBDmm+=−+−+−+−，AEBD+的长为点(,0)m到点(1M，22)和点7(3N，42)3的距离之和，如图4，建立平面直角坐标系，作点N关于x轴对称的点7(3

N，42)3−，连接MN，此时()MNAEBD=+最小值，设直线MN的解析式为ykxb=+，则2274233kbkb+=+=−，解得：522922kb=−=，直线MN的解析式为529222y

x=−+，当0y=时，5292022x−+=，解得：95x=，95m=，即95CE=，912255BECE=−=−=，115995BECE==．【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、含30角的直角三角形三边关系、轴对称的性质、勾股

定理，解题的关键是熟练应用两点之间的距离公式建立平面直角坐标系结合轴对称的性质求得AEBD+的最小值．【拓展训练15】（2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线28yaxbx=+−的图象与x轴交于(2,0)A和(8,0)B−，与y轴交于点C．（1）求该抛

物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点(0,)Qm，使得

BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；（2）设(,8)Fnn−−，将BCF的面积用n的式子表示出来，根据二次函数的性质解出F点的坐标，再根据“将军饮马”模型确定P点的坐标即可；（3）分为①BF为

底边；②BF为腰：（Ⅰ）：当2BFBQ=时，（Ⅱ）：当4BFFQ=时，两种情况讨论，利用参数构建方程即可得解．【解答】解：（1）将(2,0)A、(8,0)B−代入抛物线的解析式，得428064880abab+−=−−=，解得：123ab==

，21382yxx=+−．（2）当0x=时，8y=−，(0,8)C−，设直线BC的解析式为ykxb=+，则808kbb−+==−，解得：18kb=−=−，直线BC的解析式为8yx=−−，设21(,

38)2Fnnn+−，如图1，作FG垂直于x轴交BC于G，则(,8)Gnn−−，2142GFFGyynn=−=−−，1()42BCFCBSFGxxFG=−=，当FG取得最大值时，BCFS取得最大值，当

4412()2n−=−=−−时，FG取得最大值8，BCFS取得最大值32，(4,12)F−−，作F关于对称轴8232x−+==−对称的点F，(2,12)F−−，当F、B、P共线时，PBPF+有最小值，此时BFPC有最小值，设BFyaxb=+，则

80212abab−+=−+=−，解得：216ab=−=−，216BFyx=−−，又3px=−，(3,10)P−−，综上所述，(4,12)F−−，(3,10).P−−（3）存在，理由如下，①如图2，以BF

为底边时，点1Q在BF的中垂线上，BF的中垂线与y轴交点即为所求，连接1BQ，1FQ，作FN垂直于y轴，11QBQF=，设1OQt=，则112QNt=−，4FN=，8BO=，222211FNQNBOOQ+=+，22224(12)8tt+−=+，解得：4t=，1(0,4)Q−；②以BF

为腰时，222()()160FBBFBFxxyy=−+−=，()i当2BFBQ=时，设2OQs=，则22222228BQBOQOs=+=+，221608s=+，解得：46s=，当46s=时，2(0,46)Q，当46s=−时，3(0,46)Q−；()ii当4BFFQ=

时：(8,0)B−，(4,12)F−−，(0,0)O，F在线段BO的中垂线上，FBFO=，4(0,0)Q；由4Q关于N点对称得5(0,24)Q−，FNy⊥轴，5FOBFFQ==，但此时B、F、5Q三点共线，不

合题意；综上所述，点Q的坐标为1(0,4)Q−或2(0,46)Q或3(0,46)Q−或4(0,0)Q．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，线段和最值问题，等腰三角形的

判定与性质；熟练地掌握二次函数的性质，会构建二次函数模型求最值，用参数构建方程，不重不漏的进行分类讨论是解决本题的关键；本题是常见中考压轴题，思维跨度较长，难度较大．【拓展训练16】（2021秋•九龙坡区期中）如图1，在ABC中，ABAC=，点E为边AB上一点，连接CE．（1）如图1，以CE

为边作等腰三角形DCE，DEDC=，连接AD，且满足条件ABAD⊥，BADE=，3ACDB=，求证：DEDC⊥．（2）如图2，120BAC=，过点A作直线AMBC⊥交BC于点M，点F为直线M上一点，BEAF=，连接CF，当CECF+最小时，直接写出ECF

的度数．【分析】（1）由3ACDB=，得2OCDB=，从而90290ADCBBB=+−=−，即可证明结论；（2）作GBABAM=，且BGAB=，连接BE，GA，CG，利用SAS证明GBECAF，得GECF=，则CECFGECE+=+，当C，G，E在一条

直线上时，CECF+最短，即点E与A重合，再由AFC是等边三角形，从而得出答案．【解答】（1）证明：设AD与BC交于点O，AOBCOD=，BBAOADCOCD+=+，ABAD⊥，90BAO=，ABAC=，BACB=，3ACDBACBOC

D==+，2OCDB=，90290ADCBBB=+−=−，ADEB=，90EDCADEADC=+=，DEDC⊥；（2）解：作GBABAM=，且BGAB=，连接BE，GA，CG，ABAC=，AMBC⊥，1602

BAMCAMBAC===，30ACBABC==，60GBEEAC==，BEAF=，BGACAB==，()GBECAFSAS，GECF=，CECFGECE+=+，当C，G

，E在一条直线上时，CECF+最短，60GBA=，ABBG=，GBA是等边三角形，60GAB=，120BAC=，C，G，A在一条直线上，当CECF+最小时，E与A重合，BEAFABAC===，60FAC=，

△AFC是等边三角形，60ACF=，即60ECF=．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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