【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.7 空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(12)页，1.246 MB，由小赞的店铺上传

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专题8.7空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）1．平面(1)平面的概念生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.(2)平面的画法①与画出直线的一部分来表示直线一

样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.(3)平面的表示方法平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的

平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．点、直线、平面的位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助集合中

的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)三个基本事实及其表示(2)三个基本事实

的作用基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.(2

)基本事实1和2的三个推论4．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面

衬托，如图所示.5．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：6．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：(2)两种位置关系平行平面的画法技巧画两个互相平行的平面时，要注意使表示

平面的两个平行四边形的对应边平行.7．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?(1)两个平面有两种情形：①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平

面有五种情形：①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；⑤当

三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【题型1平面的基本性质及推论】【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时

练习）下列命题中，正确命题的个数是（）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上

．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2022春·上海浦东新·高二期末）如图，𝛼∩𝛽=𝑙，𝐴,𝐵∈𝛼，𝐶∈𝛽，且𝐶∉𝑙，直线𝐴𝐵∩𝑙=𝑀，过𝐴,𝐵,𝐶三点的平面记作𝛾，则𝛾与𝛽的交线必通过（）A．点AB．点𝐵C．点𝐶但不

过点𝑀D．点𝐶和点𝑀【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知𝛼、𝛽为平面，𝐴、𝐵、𝑀、𝑁为点，𝑎为直线，下列推理中错误的是（）A．𝐴∈𝑎，𝐴∈𝛽，𝐵∈𝑎，𝐵∈𝛽，则𝑎⊂𝛽B．𝑀∈𝛼，𝑀∈𝛽，𝑁∈𝛼，𝑁∈𝛽，则直线𝑀𝑁

⊂𝛼，直线𝑀𝑁⊂𝛽C．𝐴∈𝛼，𝐴∈𝛽，则𝛼∩𝛽=𝐴D．𝐴、𝐵、𝑀∈𝛼，𝐴、𝐵、𝑀∈𝛽，且𝐴、𝐵、𝑀不共线，则𝛼、𝛽重合【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）下列命题中①空间中三个点可以确定一个

平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题

型2点共线、点线共面问题】【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再

证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.【例2】（2022秋·上海虹口·高二阶段练习）如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸、𝐹分别是𝐵1𝐶1和

𝐶1𝐷1的中点．(1)证明：𝐸、𝐹、𝐷、𝐵四点共面；(2)对角线𝐴1𝐶与平面𝐵𝐷𝐶1交于点𝑂，𝐴𝐶,𝐵𝐷交于点𝑀，求证：点𝐶1,𝑂,𝑀共线；(3)证明：𝐵𝐸、𝐷𝐹、𝐶𝐶1三线共点．【变式2-1】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）如

图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且𝐵𝐺:𝐺𝐶=𝐷𝐻:𝐻𝐶=1:2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.

【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别是𝐴𝐵，𝐴𝐴1的中点．(1)求证：𝐶𝐸，𝐷1𝐹，𝐷𝐴三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是𝐷1𝐸上一点，若FG交平面ABCD于

点H，求证：P，E，H三点共线．【变式2-3】（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，作截面𝑃𝑄𝑅，𝑃𝑄，𝐶𝐵的延长线交于点M，𝑅𝑄，𝐷𝐵的延长线交于点N，𝑅𝑃，𝐷𝐶的延长线交于点K．判断M，N，K三

点是否共线，并说明理由．【题型3直线与直线的位置关系】【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与

已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.【例3】（2022秋·上海静安·高二阶段练习）设𝐴、𝐵、𝐶、𝐷是某长方体四条棱的中点，则直线𝐴𝐵和直线𝐶𝐷的位置关系是（）.A．相交B．平行C

．异面D．无法确定【变式3-1】（2023秋·上海浦东新·高二期末）已知三条直线𝑙1，𝑙2，𝑙3满足𝑙1∥𝑙2且𝑙2⊥𝑙3，则𝑙1与𝑙3（）A．平行B．垂直C．共面D．异面【变式3-2】（2023·上海·统考模拟预测）如

图，P是正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1边𝐴1𝐶1上的动点，下列哪条边与边𝐵𝑃始终异面（）A．𝐷𝐷1B．𝐴𝐶C．𝐴𝐷1D．𝐵1𝐶【变式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下图是正

方体的平面展开图,在这个正方体中,下列判断不正确的是（）A．𝐵𝐹∥𝐷𝑁B．𝐶𝑀∥𝐵𝑁C．𝐷𝐹⊥𝐵𝑁D．直线𝐴𝐸与𝐷𝑁的夹角为60∘【题型4直线与平面的位置关系】【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直

观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.【例4】（2022春·浙江宁波·高二学业考试）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，直线𝐵𝐶与平面𝐴1𝐴𝐶1的位置关系为（）A．直线在平面内B．直线

与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直D．直线与平面平行【变式4-1】（2023·陕西榆林·统考一模）若𝑚,𝑛为两条不同的直线，𝛼,𝛽为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若𝑚//𝛼,𝛼//𝛽，

则𝑚//𝛽B．若𝑚⊥𝛼,𝛼⊥𝛽，则𝑚//𝛽C．若𝑚//𝑛,𝑛//𝛼，则𝑚//𝛼D．若𝑚⊥𝛼,𝛼//𝛽，则𝑚⊥𝛽【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）𝑙1、𝑙2是空间两条直

线，𝛼是平面，以下结论正确的是（）．A．如果𝑙1∥𝛼，𝑙2∥𝛼，则一定有𝑙1∥𝑙2．B．如果𝑙1⊥𝑙2，𝑙2⊥𝛼，则一定有𝑙1⊥𝛼．C．如果𝑙1⊥𝑙2，𝑙2⊥𝛼，则一定有𝑙1∥𝛼．D．如果�

�1⊥𝛼，𝑙2∥𝛼，则一定有𝑙1⊥𝑙2．【变式4-3】（2022春·广东广州·高一期中）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸，𝐹分别为𝐴1𝐵1，𝐵𝐶的中点，设过点𝐸，𝐹，𝐷1的平面为𝛼，则下列说法正确的是（）A．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷

−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，存在某条棱与平面𝛼平行B．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，存在某条面对角线与平面𝛼平行C．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，存在某条体对角线与平面𝛼平行D．平面𝛼截正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶

1𝐷1所得的截面为五边形【题型5平面与平面的位置关系】【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.【例5

】（2023·高一课时练习）平面𝛼上有三个不共线点到平面𝛽距离相等，则平面𝛼与平面𝛽的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行【变式5-1】（2022·全国·高一专题练习）在四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1与平面

𝐷𝐶𝐶1𝐷1的位置关系是（）A．相交B．平行C．不确定D．异面【变式5-2】（2022·黑龙江·高二学业考试）设l、m是不同的直线，𝛼、𝛽是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥𝛼，m⊥𝛽，l⊥m，则𝛼⊥𝛽B．若l∥𝛼，m⊥�

�，l⊥m，则𝛼∥𝛽C．若l∥𝛼，m⊥𝛽，l∥m，则𝛼⊥𝛽D．若l∥𝛼，m⊥𝛽，l∥m，则𝛼∥𝛽【变式5-3】（2022·高一课时练习）给出下列三个命题：①若平面𝛼/⁄平面𝛽，𝛽⊥平面𝛾，则𝛼⊥𝛾；②若平面�

�/⁄平面𝛽，𝛽/⁄平面𝛾，则𝛼//𝛾；③若平面𝛼⊥平面𝛽，𝛽⊥平面𝛾，则𝛼⊥𝛾．其中真命题的个数是．A．1B．2C．3D．4【题型6平面分空间问题】【方法点拨】掌握平面分空间的几种情况，根据题目条件，进行求解即

可.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二阶段练习）三个平面不可能将空间分成（）个部分A．5B．6C．7D．8【变式6-1】（2022·高一课时练习）空间中两个平面将空间分成的部分数为（）A．2B．3C．4D．3或4【变式6-2】（2022·高一课前预习）

空间的4个平面最多能将空间分成（）个区域．A．13B．14C．15D．16【变式6-3】（2022春·江西·高一阶段练习）三棱柱各面所在平面将空间分为（）A．14部分B．18部分C．21部分D．24部分