【文档说明】广西北海市北海中学2021届高三上学期第十四周文科数学试卷（11月30日）.doc，共(11)页，764.500 KB，由管理员店铺上传

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北海中学高三11月30日第十四周文科数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2≤4}，则A∩B中元素的个数为A．4B．1C．2D．32．复数z＝5+12i，则|z|＝A．17B．5C．12D．133．

在等比数列{an}中，若满足a4·a6＝a3·a5，则数列{an}的公比为A．无法确定B．1C．-1D．1或-14．已知函数sin,0()ln,0xxfxxx，则f(0)+f(1)＝A．2B．0C．1D．-15．1750年，欧拉在给哥德巴

赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：V-E+F＝2．已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有多少条棱A．30B．14C．20D．266．双曲线C：22221(0

,0)xyabab，其中2ab，则双曲线C的离心率为A．63B．62C．2D．227．若实数x，y满足约束条件30,20,xyxy则12zxyA．既无最大值又无最小值B．有最大值无最小值C．有最小值无最大值D．既有最大值又有最

小值8．在平面直角坐标系xOy中，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，A1(1，0)，任取不同的两点Ai，Aj(i，j∈{1，2，3，4，5，6})，点P满足0ijOPOAOA，则点P落在第一象限或者第二象限的概率

为A．13B．12C．413D．4159．正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足22nnaSn，则a5＝A．8B．5C．6D．710．图1为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．(3105)πB．9πC．310πD．14π11．

在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A(1，0)，B(3，0)，(2,22)C，则△ABC的内切圆圆心到点O的距离为A．449B．322C．92D．211312．已知正实数a，b，c，则55113432accbbabcabac的最小值为A．5

2B．52C．826D．152二、填空题13．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________．14．若||2a，||3b，则ab的最大值为________．15．已知平行四边形ABCD，|

AB|＝3，|BC|＝5，则分别以对角线AC，BD为直径的两个圆的面积和为________．16．已知椭圆Г：22110xy，将Г绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆Г′，则椭圆Г与椭圆Г′的公切线方程（切点在第一象限）为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4+a2+c2＝2(abcosC+accosB+bccosA)．（1）求b的值；（2）若满足acosA＝bcosB，c＝3，求△ABC的面积．

18．某市模拟考试，共有15000名学生参加考试，随机抽取100名学生，将其成绩分为六段[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图2所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并利用样本估计全市分数

在[80，90)之间的人数；（2）利用样本估计该次考试的全市平均分．（每组数据用该组的区间中点值表示）19．如图3甲，已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝4，π2ABC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点F（

如图乙），且2π3FEB．（1）证明：DE⊥平面FEB；（2）求四棱锥F-BCDE的体积．20．已知函数f(x)＝aex+b，若f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝x+1．（1）求a，b；（2）证明：任取x∈[0，+∞)，f(x)＞2si

nx．21．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为4．（1）求p的值；（2）在抛物线C上有两点A，B，过A，B分别作C的切线，两条切线交于点Q，连接QF，AF，BF，求证：|QF

|2＝|AF|·|BF|．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知点π3,2A，B(1，π)，C(1，0)．（1）求A，B，C三点的直角坐标；（2）已知M是△ABC外接

圆上的任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（1）已知y＞2，2x+2y＝xy+4，求x的值；（2）若2x+2y＝xy，求x2+y2-4x-4y+1的最小值．文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题

号123456789101112答案CDDBABADBABC【解析】1．{12345}A，，，，，2422xx≤≤≤，{|22}Bxx≤≤，所以{12}AB，，AB中含有两个元素，故选C．2．512iz，22||512=13z，故选D．3．等比数

列{}na，且4635aaaa，264351aaqaa，所以公比为1，故选D．4．(0)(1)sin0ln10ff，故选B．5．由题可知22012230EVF，故选A．6．2ab，22233

cabbb，3622cbeab，故选B．7．由于20xy取不到该直线上的点，所以目标函数既无最大值也无最小值，故选A．8．1(10)A，，21322A，，31322A，

，4(10)A，，51322A，，61322A，，所以P点坐标可为3322，，1322，，3次(0)0，，1322

，，3322，，(0)3，，1322，，(10)，，3322，，(1)0，，3322，，1322，，(0)3，，共15种，其中满足条件的共4

种，所以415P，故选D．9．正项数列{}na，22nnaSn，当1n时，21112121aSa，2211121(1)0aaa，所以11a．当2n≥时，221122121nnnnnaaSSa，

222121(1)nnnnaaaa，所以11nnaa或者11nnaa．当11nnaa时，{}na是首项为1，公差为1的等差数列，所以nan，55a；当11nnaa时，20a与{

}na是正项数列矛盾，所以舍去，故选B．10．由三视图可得，该几何体为圆台，可求其母线长为10，上下底面半径分别为1r和2R，由圆台表面积公式可得22π()(3105)πSrlRlrR，故选A．11．设内切圆圆心为1O，3ACBC，2A

B，由等面积法可得内切圆半径2||||||ABCSrABBCCA△42282，1222O，，1132422OO，故选B．12．令32bcxabyacz，，，解得223523355xyzaxyzbxyzc

，，，551134432accbbaxyzbcabacx44223xyzxyzyz，44422348xyzxyzxyzyxzxyzxyx242826xzyzyz≥，当且仅当2xyz时取到最小值，故选C．二、填空题（本

大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案14617π11yx【解析】13．3()3fxaxx，2()33fxax，(2)1230fa，故14a，经验证当14a时，2x是()f

x的一个极值点．14．||||cos6cosabab，所以max()6ab．15．两个圆的面积和2222||||πππ(||||)224ACBDSACBD，由余弦定理可得222||||||2||||cos3430cosACAB

BCABBCBB，222||||||BDABAD2||||cos3430cos3430cosABADAAB，故17πS．16．：22110xy，：22110yx

，设公切线方程l：ykxm，与联立22110xyykxm，，可得222(110)2010100kxkmxm，22224004(110)(1010)0kmkm

，得22101km，与联立22110yxykxm，，可得222(10)2100kxkmxm，224km224(10)(10)0km，得2210km，可得1k，11m，由切点在第一象限可得公切线方程为11yx．三、解答题（共70

分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由余弦定理可得2cos2cos2cosabCacBbcA222222222222abcacbbcaabc，所以可得24b．由于0b

，所以2b.…………………………………………………（6分）（2）已知coscosaAbB，由正弦定理可得sincossincosAABB，由正弦二倍角公式可得sin2sin2AB，∵2(02π)A，，2(02π)B，，(0π)AB，，22(02π)AB，，所以22AB或者22

πAB，当22AB时，AB，2ab，2221cos28abcCab，37sin8C，137sin24ABCSabC△；当22πAB时，π2AB，π2C，225acb，152ABCSab△．……………………

……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）1(0.010.020.040.050.02)0.065a，全市分数在[8090)，之间的人数15000(0.040.06)57500人．……………

……………………………………（6分）（2）设全市平均分为x，72.50.01577.50.02582.50.04587.50.06592.50.055x97.50.02587．…………………………………………………（12分）19．（本小题满分1

2分）（1）证明：由于BECD，ABCD∥，π2ABC，所以DEAB，所以DEEB，DEEF，EBEFE，所以DE⊥平面FEB．…………………………………………………（6分）（2）解：过F作FGBE交BE的延长

线于点G，FGEB，FGDE，EBDEE，所以FG⊥平面BCDE，2πππ33FEG，2FE，π2sin33FG，4BCDES，所以14333FBCDEVSh．…………………………………………（12分）20．（本小题满

分12分）（1）解：()exfxa，(0)1fa，(0)1fab，解得1a，0b．…………………………………………………（4分）（2）证明：当1x≥时，ee22sinxx≥≥，故成立；当01x≤时，令2sin(

)exxgx，π22cos2(cossin)4()eexxxxxgx，当π04x，时，()0gx，()gx单调递增；当π14x，时，()0gx，()gx单调递减，maxπ14

2π222()142eegxg，故任取[0+)x，，()2sinfxx．…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：当过F的直线斜率不存在时，此时弦长为2p；当过F的直线斜率存在时，设直线方程为2pykx

，联立222ypxpykx，，可得22222(2)04pkkxpkx，弦长21222(2)222pkpxxppppkk，所以弦长最短24p，所以2p．………………………………………………………

………（5分）（2）证明：设2114yAy，，2224yBy，，设过A点且与抛物线相切的直线AQl：2114yykxy，联立221144yxyykxy，，可得2211044kykyyy

，211104kyky，解得12ky，可得AQl：21122yyyx，同理可得BQl：22222yyyx，联立得121242yyyyQ，，2212||

||1144yyAFBF，2222222221212121212()||111144164444yyyyyyyyyyQF，所以2||||||QFAFBF．………………………………………

……………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由cosx，siny，π32A，，π3cos02Ax，π3sin32Ay，(03)A，，(1π)B，，1cosπ1Bx，1sinπ0By，

(10)B，，(10)C，，1cos01Cx，1sin00Cy，(10)C，．…………………（5分）（2）ABC△是边长为2的等边三角形，故外接圆圆心坐标为1303O，，外接圆半径为223π32sin3r，所以外接圆的

参数方程为23cos3()323sin33xy，为参数，，所以2224cos4sin8sin4||3333MA，2224cos43cos4sin4sin1||133333MB，2224cos43cos4sin4sin1||133

333MC，所以222||||||8MAMBMC．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）已知224xyxy，可得(2)(2)0xy．由于2y，所以可得2x．………………

…………………………………（5分）（2）由题可得(2)(2)4xy，2222441(2)(2)72(2)(2)71xyxyxyxy≥，当且仅当222xy时取等号，故22441xyxy的最小值为1．…………………………………………………（10分

）