【文档说明】湘赣粤2020届高三（6月）大联考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.772 MB，由小赞的店铺上传

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2020届湘赣粤高三（6月）大联考理科数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2－x－2＞0}，集合N={x|2x-2>12），则MN=（）A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|x＞2或x＜－1}D.{x|x＞1或x＜－1}【答案】A【解析】【分析】分别解出集合M与集合N

，然后利用集合的基本运算，即可求解.【详解】由题意知M=(－∞,－1)∪(2,＋∞)，由2122x−−，得21,1xx−−,所以N=(1,＋∞)，∴M∩N=(2,＋∞)，故答案选：A【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2

.设i为虚数单位，复数z=41i−，则|z－i|=（）A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】先对复数进行化简，求出zi−的值，再利用复数zabi=+的模长计算公式22zab=+计算可得答案.【

详解】解：z=41i−=4(1)(1)(1)iii++−=2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=5.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.3.201

9年12月12日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强.下图是2020年1月26号到2月17号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图象下列判断错误的是（）A.该时段非湖北新增

感染确诊病例比湖北少B.全国新增感染确诊病例平均数先增后减C.2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的D.2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数【答案】B【解析】【分析】根据图象进行分析即可得解.【详解

】由图可知A、C正确，2.12之前平均数先增后减，但2.12新增病例数突然猛增，使得平均数也突然增大，但不会影响中位数，选项B错误，D正确.故选：B.【点睛】本题考查的是从统计图中收集信息，并对收集到的信息作分析，掌握信息的收集与分析是解题的关键，属于常考题.4

.已知()fx是R上的奇函数，满足(2)()fxfx+=−，且当)2,0x−时，22,101()11,212xxxfxxx−+=+−−，则92ff=（）A.12

6B.15C.34D.74【答案】A【解析】【分析】由已知可得函数的周期4T=，然后结合奇函数定义及已知函数解析式即可求解．【详解】解：因为(2)()fxfx+=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，9114222fff=+=，又因为()fx是

R上的奇函数，所以2211112225112ff−=−−=−=−+−，9125f=−.9112526fff=−=

，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用奇偶性及周期性及分段函数的性质求解函数值，属于基础题．5.若5(1)(12)axx++的展开式所有系数之和为3−，则此展开式中不含下列哪一项（）A.x项B.2x项C.3x项D.6x项【答案】C【解析】【分析】令1x=，结合展

开式中的所有项系数之和为3−求得a的值，再根据二项式展开式的通项可得含kx项的系数，然后分析可得答案.【详解】令1x=，得系数之和为53(1)3a+=−，所以2a=−，因555(12)(12)(12)2(12)xxxxx−+=−+−，则展开式

总含kx项的系数为1155(2)2(2)kkkkCC−−−+−（15k，*kN），其中3x的系数为3322551(2)2(2)0(8)21040CC=−+−−=+，故不含3x项.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是熟

记二项式展开式的通项公式，考查逻辑思维能力和分析能力，考查计算能力，属于常考题.6.已知数列na的前n项和为nS，24a=，*(1)()2nnnaSnN+=，则数列na的通项公式为（）A.*()2nannN=B.*2()n

nanN=C.*()2nannN=+D.2*()nannN=【答案】A【解析】【分析】先根据递推关系求出首项，利用排除法即可得到结论．【详解】解：因为数列{}na的前n项和为nS，24a=，*(1)()2nnnaSnN+=，当

2n=时，22121(21)22aSaaa+==+=；把1n=代入检验，只有答案AB成立，排除CD；当3n=时，331233(31)62aSaaaa+==++=；排除B；故选：A．【点睛】本题主要考查数列

递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用，属于基础题．7.已知向量(),2(31),,amb==，若向量a在向量b方向上的投影为2−，则向量a与向量b的夹角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m，然后根据向量夹角公式即

可求解．【详解】解：由数量积的定义知向量a在向量b方向上的投影为32||cos,22||abmaabb+===−，所以23m=−，所以621cos,422||||ababab−+===−，所以夹角,120ab

=.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题．8.由实数组成的等比数列na的前n项和为nS.则“10a”是“1110SS”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等比数列

na的公比为q，由1110SS得出110a，再结合10111aaq=以及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列na的公比为q，则11111001110SaSSS−=.充分性：0qQ，由10a可得101110aaq=，充分性成立；必要性：0qQ，由101110

aaq=可得10a，必要性成立.因此，“10a”是“1110SS”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查了等比数列定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.9.骰子，古代中国民间娱乐用来投掷的博具，早在战国时期就有.最常见的骰子是正六面

体，也有正十四面体、球形十八面体等形制的骰子，如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”，其中“骄”表示最大数十七，“酒来”表示最小数零，每投一次，出

现任何一个数字都是等可能的.现投掷铜茕三次观察向上的点数，则这三个数能构成公比不为1的等比数列的概率为（）A.181B.2729C.1324D.1972【答案】B【解析】【分析】先求所有的基本事件的总数，再通过列举法

可得三个数能构成公比不为1的等比数列的情况共有16种，从而可得所求的概率.【详解】投掷铜茕3次共有181818个基本事件，其中这三个数能构成公比不为1的等比数列的情况有（三个数由小到大排列）：1，2，4；1，3，9；1，4，16；2，4，8；4，6，9；3，6，12；4，8，16；9，12

，16，故这三个数能构成公比不为1的等比数列的情况共22816A=种，所以所求概率为162181818729P==.故选：B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），注

意有规律的枚举.10.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，实轴的两个端点分别为1A、2A，虚轴的两个端点分别为1B、2B.以坐标原点O为圆心，12||BB为直径的圆()Oba与双曲线

交于点M（位于第二象限），若过点M作圆的切线恰过左焦点1F，则双曲线的离心率是（）A.3B.2C.62D.72【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理得出1MFa=，利用双曲线的定义得出23MFa=，计算出1cosMFO，然后

在12MFF△中，利用余弦定理可得出关于a、c的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题意作出草图，如下：1FM与圆O切于M，1FMOM⊥，且1OFc=，OMb=，故2211MFOFOMa=−=.由双曲线的定义知2123MFMFaa=+=.在1RtFMO中，1c

osaMFOc=，在12MFF△中，由余弦定理，得()()2221223cos22acaaMFFacc+−==，即22412ca=，故离心率3e=.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用

双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数2()sincoscos=+fxxxx，xR，则下列命题中：①()fx的最小正周期是，最大值是212+；②()fx的单调增区问是3,()88kkkZ−+

+；③()()1sin22fxfxx+−=+；④将()fx的图象向右平移4个单位可得函数2sinsincosyxxx=+的图象；其中正确个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先将()fx化为21()sin2242fxx=++，利用周期公式和正

弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项.【详解】1121()sin2(1cos2)sin222242fxxxx=++=++，所以最小正周期为T=，最大值为212+，故①正确；令222242kxk

−++，kZ，则3+88kxk−，故单调增区间为3,()88kkkZ−++，所以②正确；22()sincoscossincoscos2222fxfxxxxxxx

+−=++−−+−222sincossincos1sin2xxxxx=++=+.故③正确；将()fx的图象向右平移4个单位后，所得图象对应的解析式为：2sincoscos444yxxx=−−+−，即cos2+1111

sin24sin2cos222222xxyxx−+=−+=−+()22112sincos12sinsincossin22xxxxxx+=−−+=+，故④正确.故选：D.【点睛】形如()22sinsincoscosfxAxBxxCx=++的

函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin2'fxAxB=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加

右减”（注意仅对x作变换）来帮助记忆.12.在三棱锥ABCD−中，7ABBCCDDA====，23BD=，二面角ABDC−−是钝角.若三棱锥ABCD−的体积为2.则三棱锥ABCD−的外接球的表面积是（）A.12B.373C.13D.534【答案】C【解析】【分析】取

BD的中点O，可得AOC为二面角ABDC−−的平面角且BD⊥平面AOC；利用三棱锥ABCD−体积可构造方程求得AC，将三棱锥ABCD−补为长方体BMDGHCFA−，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果

.【详解】如图（1），取BD的中点O，连接,AOCO，ABBCCDDA===，AOBD⊥，COBD⊥，AOC为二面角ABDC−−的平面角，BD⊥平面AOC.取AC的中点E，连接OE，设AC2a=，在AOC△中，732A

OOC==−=，OEAC⊥，则22224OEaa=−=−，21111232423326ABCDAOCVSBDACOEBDaa−===−=，化简得：42430aa−+=，解得：3a=或1a=，当1a=时，60AOC=，不合题意，舍去，23

=AC.如图（2），把三棱锥ABCD−补形成长方体BMDGHCFA−，使三棱锥ABCD−的各棱分别是长方体的面对角线，则三棱锥ABCD−的外接球即为长方体BMDGHCFA−的外接球.设,,BMxBGyBHz===，则()()()2222222222377xyxzyz+=+=

+=，解得：661xyz===，外接球的直径为22213AMxyz=++=，四面体ABCD外接球的表面积为134134S==.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用；解题关

键是能够通过将三棱锥补为长方体，通过求解长方体的外接球来求得结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共21分13.若点(),xy在不等式组326042030xyxyxy−+−++−所

表示的区域内，则目标成数zxy=−的最大值与最小值之和为_________.【答案】2−【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，设zxy=−得yxz=−，利用数形结合即可的得到结论．【详解】解：不等式组32604203

0xyxyxy−+−++−…„„，所表示的区域如图：由题意可知(0,3)A，(2,0)B−，(2,1)C，当xyz−=的平行线经过点A时，截距最大，z有最小值，最小值为：3−，经过C时，截距最小，此时z最大：1，所以目标函数zxy=−的最大值与最小值之和为：2−

．故答案为：2−．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引

发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488，ln1.50.4055，ln16007.3

778，ln160009.6803）.【答案】199【解析】【分析】设过x天能达到最初的16000倍，由题意列出方程：00(10.05)16000xNN+=，解方程求解即可得到答案.【详解】设过x天能达到最初的16000

倍，由已知00(10.05)16000xNN+=，ln16000198.4ln1.05x=，又xN，所以过199天能达到最初的16000倍.故答案为：199.【点睛】本题考查指数型函数的应用，考查逻辑思维能力和运

算求解能力，属于常考题.15.设抛物线22yx=的焦点为F，过焦点F作直线MNx⊥轴，交抛物线于M、N两点，再过F点作直线AB使得//ABOM其中O是坐标原点），交抛物线于A、B两点，则三角形ABN的面积是___________.【答案】54【解析】【分析】首先确定直线AB方程

，与抛物线方程联立后，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式可求得AB，利用点到直线距离公式求得ABN的高后，代入三角形面积公式可得结果.【详解】作图如下：由抛物线方程知：1p=，1,02F，则1,12M，1,12N−，2

ABOMkk==，则直线AB的方程为122yx=−，由2212yxyx=−=得：24610xx−+=，设()11,Axy，()22Bxy，由韦达定理知：1232xx+=.弦AB是焦点弦，1252ABxxp=++=

，又点N到直线AB的距离为221115521d+−==+，三角形ABN的面积为1155522254SABd===.故答案为：54.【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线焦点弦长公式的应用；解题关键是能够通过焦点弦长公式和点到直线距离公式求得三角

形的底和高，进而求得结果.16.函数()121xxfxeebx−=−−−在()0,1内有两个零点，则实数b的取值范围是________.【答案】()()1,,1eeee−−−【解析】【分析】设12tx=−，11,22t−，设()1122ttgtee+−=−，函数为

奇函数，()1122'0ttgtee+−=+，函数单调递增，()()'0221gee=−，画出简图，如图所示，根据()2221ebe−，解得答案.【详解】()1112122xxxxfxeebxeebx−−=−−−=−

−−，设12tx=−，11,22t−，则12xt=+.原函数等价于函数11222ttyeebt+−=−−，即11222tteebt+−−=有两个解.设()1122ttgtee+−=−，则()()1122ttgteegt−+−=−=−，

函数为奇函数.()1122'0ttgtee+−=+，函数单调递增，()00g=，112ge=−，112ge−=−.当0b=时，易知不成立；当0b时，根据对称性，考虑0x时的情况，()()'0221gee=−，画出简图，如图所示，根据图像知：

故()2221ebe−，即1ebe−，根据对称性知：()()1,,1beeee−−−.故答案为：()()1,,1eeee−−−.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.三、解答题：共70分，解答题

应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且57bc=，4cos5A=，ABC的面积21S=.（1）求边b和c；（2）求角

B.【答案】（1）52b=，72c=；（2）45（或4）.【解析】【分析】（1）计算出sinA的值，由57bc=，可设5bk=，()70ckk=，利用三角形的面积公式可求得k的值，进而可得出边b和c的值；（2）利用余弦定理求得a的值，利用正弦定理求得

sinB的值，再由bc可知B为锐角，由此可求得角B的值.【详解】（1）由4cos5A=，及0A，得23sin1cos5AA=−=.由57bc=，可设5bk=，()70ckk=，由2121sin2122SbcAk===，得2k=，故

52b=，72c=；（2）由余弦定理得2242cos50982527265abcbcA=+−=+−=，由正弦定理sinsinabAB=，得sin5232sin652bABa===，由bc，知B必为锐角，故45B=（或π4）.【点睛】本题考查利用正

弦定理、余弦定理与三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.18.如图，四棱锥PABCD−中，60,BADAC=平分BAD.ABBC⊥.ACCD⊥.（1）设E是PD的中点，求证：//CE平面PAB；（2）设PA⊥平面ABCD，若PD与平面ABCD所成的

角为45°，求二面角APCB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】【分析】（1）利用向量运算可知1122CEABAP=−+，即CE能被平面PAB内两个不共线的向量表示，而CE不在平面PAB内，即得证；（2）建立空间直角坐

标系，求出平面APC及平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】解：（1）证明：111()222CECAAECFFAAPADABAP=+=+++=−+，即CE能被平面PAB内两个不共线的向量表示，且CE平面PAB，//CE平面PAB；（2

）因为PA⊥平面ABCD，且PD平面ABCDD=，故PDA为PD与平面ABCD所成的角，故45PDA=，从而PAAD=.不妨设23AC=，由已知可得3BC=，3AB=，2CD=，4=AD，D到AB的距离为23.以A坐标原点，AB，AP分别为y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.(

0,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(23,2,0),(0,0,4)ABCDP.∵PA⊥平面ABCD，∴PACD⊥，又∵CDAC⊥，∴CD⊥平面PAC∴(3,1,0)CD=−是平面PAC的一个法向

量.设平面PCB的一个法向量为(,,)nxyz=，由0,0,nPBnBC==得(,,)(0,3,4)0,(,,)(3,0,0)0,xyzxyz−==即得(0,4,3)n=.设所求的角为，则

为锐角，则||42cos255||||CDnCDn===，即所求的二面角的余弦值为25.【点睛】本题考查空间向量在解决立体几何问题中的运用，考查了利用向量证明线面平行以及求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．19.已知椭圆的中心

在原点，焦点在x轴上，长轴的两个端点分别为1A、2A.短轴的两个端点分别为1B，2B.菱形1122ABAB的面积为23，离心率63e=.（1）求椭圆的标准方程；（2）设()11,0,0,2MN−−，经过点M作斜率不为0的直线l交椭圆C于A

、B两点，若0NAABNBAB+=，求直线l的方程.【答案】（1）2213xy+=；（2）10xy−+=或310xy−+=【解析】【分析】（1）由已知条件得出关于,,abc方程组求解即可；（2）方法一：先由已

知得出AB中垂线过N点，设出直线l的方程，,AB点坐标，联立直线方程和椭圆方程，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理得出,AB点坐标关系，最后利用AB中点在中垂线上得到关系式求解即可.方法二：先设出直线l

的方程，,AB点坐标，由已知向量关系式化简为坐标关系，利用点差法得出,AB点坐标关系，然后把直线l方程与椭圆方程联立得关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可得到等量关系，求解即可.【详解】解：（1）∵63

cea==，∴2223ca=.又因为菱形1122ABAB的面积为223ab=，即有223ab=，即()2223aac−=，所以23a=，从而222,1cb==，所以椭圆C的标准方程为2213xy+=.（2）由0NAABNBAB+=，知()0NANBAB+=

，设NANBNK+=，由向量加法的意义，知NK是线段AB的中垂线，设直线l的方程为1xmy=−，经过N且与l垂直的直线为12ymx=−−.设()()1122,,,AxyBxy，由221,{33xmyxy=−+=

消去x，得()223220mymy+−−=，于是有1212222226,2333mmyyxxmmmm+=+=−=−+++.关于A，B关于直线12ymx=−−对称，故点1212,22xxyy++必在此直线上，所以2231332mmmm=−−−++

，即2430mm−+=，所以1m=或3m=，故所求的直线l的方程为1xy=−或31xy=−，即10xy−+=或310xy−+=.解法二：设()()1122,,,AxyBxy，因为10,2N−，所以()1122212111,,,,,22NAxyNBxyABxxyy

=+=+=−−.由题得()1122212111,,,022xyxyxxyy+++−−=，即()()()22222121210xxyyyy−+−+−=.①因为A、B在椭圆C上，所以2211

33xy+=，所以222233xy+=.两式相减，得222212123()xxyy−=−−，②因为l的斜率不为0，所以12yy，将②代①，得()1221yy+=.③因直线l经过(1,0)M−，设直线l的方程为1x

my=−，由221,{33xmyxy=−+=消去x，得()223220mymy+−−=，于是有12223myym+=+，代入③得2413mm=+，解得1m=，或3m=.故所求直线l的方程为1xy=−或31xy=−，即10xy−+=.或310xy−+=.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线方程的求法，

是高考中的压轴题常考题型，关键考查推理论证和运算求解能力，属于难题.20.已知函数321()(1)()3xfxxexaRxa−−+=（1）当1a=−时，证明函数()fx在区间()2,2−上有三个极值点；（2）若

()1fx−对于xR恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2−+【解析】【分析】（1）求导()2()22xxfxxexxxex=−−=−−，令()2=−−xg

xex，用导数法得到其单调性，再结合零点存在定理得到()fx在区间(2,2)−有三个零点，然后用极值点的定义求解.（2）求导()()2()xfxxexaxR=−+，令()2xhxexa=−+，则()1xhxe=−，由（1）知mi

n()(0)12hxha==+，再分120a+…和12a−两种情况讨论求解.【详解】（1）当1a=−时，321()(1)()3xfxxexxxR=−−−，则()2()22xxfxxexxxex=−−=−−.令()2,(

)1xxgxexgxe=−−=−，当0x时，()0gx，当0x时，()0gx，故()gx在区间(,0)−上单调递减，在区间(0,)+上单调递增，所以min()(0)10gxg==−.又22(2)0,(2)40gege−

−==−，故()gx在区间(2,0)−及区间(0,2)内各有唯一零点.由此可知，()fx在区间(2,2)−有三个零点：123(2,0),(0,2),0xxx−=，当1(2),xx−时，()0fx，

当()1,0xx时，()0fx，当()20,xx时，()0fx，当()2,2xx时，()0fx，从而知()fx在(2,2)−上有三个极值点123,,xxx.（2）()()2()xfxxexaxR=−+，令()2xhxexa=−+，则()1xhxe=−，由（1）的证明过程知m

in()(0)12hxha==+.当120a+…时，即12a−…时，有(,0)x−时，()0fx；(0,)x+时，有()0fx，故()fx在区间(,0)−上单调递减，在区间(0,)+上单调递增，所以min()(0)1fxf==−，从而知

xR时，恒有()1fx−….当12a−时，min()(0)120hxha==+.但2(2)0ahae=，由()hx在(,0)−上单调递减，故()hx在(,0)−上有唯一零点0x，从而知()fx在(,0

)−上有唯一零点0x，且当()0,xx−时，()0fx，当()0,0xx时，()0fx，所以()fx在()0,x−上单调递减，在()0,0x上单调递增，故()0(0)1fxf=−，矛盾，舍去.综上，所求a的取值范围是1,2−+

.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，导数与不等式恒成立以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.21.时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城

市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行

方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一

个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件12AA相互对立并且()()01,2iPAi=，则对任一事件B有112212()()()()()()()PBPBAPAPBAPAPABPAB=+=+.设*()nPnN表示事件“第n天王先生上班

选择的是骑自行车出行方式”的概率.①用1np−表示()2npn；②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1511(2)1632nnppn−=+…；②有，理由见解析【解析】【分析】（1）根据二项分布计算出行方式与前一天相同的概

率，再计算X的可能取值对应的概率，得出分布列；（2）①根据全概率公式计算nP，②根据①判断1{}2nP−是等比数列，计算nP的通项，得出结论．【详解】解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，则1~6,2B，66660

1236666111121(4)222232PCCCC=+++=，11(4)1(4)32PP=−=….由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；1121231(1)(4)(4)32321024PXPP====…；2121

441(3)(4)(4)32321024PXPP====；352(2)1(1)(3)1024PXPXPX==−=−==或21111111352(2)(4)(4)(4)(4)323232321024PXPPPP==+=

+=厖?，所以随机变量X的分布列为X123P231102435210244411024（2）①设1nA−表示事件“第1n−天王先生选择的是骑自行车出行方式”，nA表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知()()()()1

111()nnnnnnnnpPAPAAPAPAAPA−−−−==+∣∣()111511(4)1(4)1632nnnpPpPp−−−=+−=+…，即1511(2)1632nnppn−=+….②由①知1151,22162nnppn−−=−…，又11p=，所以数列12n

p−是首项为12，公比为516的等比数列，所以11115151,22162162nnnnpp−−−==+.因为1151121622nnp−=+恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出行方式，从长期来看，王

先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，等比数列的判断，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.已知圆C的极坐标方程为()2cos3−=，直线l的参数方程为cos6sin6xatyt=+=（t为参数，aR），假设极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的非负半轴重合.（1）求圆C的直角坐

标的标准方程，并指出圆心和半径；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点且23AB=，求a的值.【答案】（1）圆C的标准方程为：()2214xy−+=，圆心()1,0C，半径2r=；（2）1−或3【解析】【分析】（1）根据极坐标化直角坐标原则，可

将圆C的坐标方程化为直角坐标方程，整理可得圆的标准方程、圆心和半径；（2）将直线l参数方程化为普通方程，根据垂径定理可利用弦长构造方程求得a的值.【详解】（1）由()2cos3−=得：22cos3−=，即2223xyx+−=，整理可得圆C的标准

方程为：()2214xy−+=，圆心()1,0C，半径2r=.（2）由直线l参数方程可知其普通方程为：()33yxa=−，即3330xya−−=，圆心C到直线l的距离331239aad−−==+，()2221224234aABrd−=−=−

=，解得：1a=−或3a=.【点睛】本题考查极坐标化直角坐标、参数方程化普通方程、直线被圆截得弦长问题的求解等知识，属于常考题型.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()225fxx=+−.（1）解不等式：()|1|fxx−；（2）当1m−时，函数()()||gxfxxm=+−的图

象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围.【答案】（1）(),82,−−+（2）3,412−【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其

所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m的值分为1m=−和1m−进行分类讨论，当1m=−时，函数()315gxx=+−不过原点，且最小值为5−，此时满足题意；当1m−时，函数()37,13,133,xmxgxxmxmxmxm−+−−=+−−−−

，再由函数()gx的单调性及值域，求出实数m的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m的范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251xxx−−−−−或112251xxx−+−−或12251xxx+−−，解得8x−

或或2x，综上所述，不等式()1fxx−的解集为(),82,−−+.（Ⅱ）当1m=−时，则()2251gxxx=+−++315x=+−，此时()gx的图象与x轴围成一个三角形，满足题意：当1m−时，()225gxxxm=+−+−37,13,133,xm

xxmxmxmxm−+−−=+−−−−，则函数()gx在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增.要使函数()gx的图象与x轴围成一个三角形，则()()140230gmgmm−=−=−，解得342m；综上所述，实数m的取值范围为3

,412−.