【文档说明】高二数学专题手册 专题05 直线的一般式方程【高考】.docx，共(9)页，308.087 KB，由管理员店铺上传

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1专题05直线的一般式方程要点直线的一般式方程1．定义：关于x，y的二元一次方程_Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当

B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．【方法技巧】解读直线方程的一般式：①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和

负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．【答疑解惑】在方程Ax＋By＋C＝0中，①当A＝0、BC≠0时，方程为y＝－CB，表示的直线平行于x轴．②当B＝0、AC≠0时，方程为x＝－CA，表示的直线平行于y轴．③当A＝C＝0，B≠0时，方

程为y＝0，表示x轴．④当B＝C＝0，A≠0时，方程为x＝0，表示y轴．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．()(2)任意一个关于x，y的二元

一次方程都表示一条直线．()(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.()(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．()【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√2．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是()A．30°B．60°C．150°D

．120°【答案】C2【解析】直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.3．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1＝0平行，则m的值为()A．4B．－4C．10D．

－10【答案】A【解析】∵kAB＝m－2－3－5－(－2m)，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－13，∴由题意得m－5－5＋2m＝－13，解得m＝4.故选A.4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．【答案】2x－y＋1＝0【解

析】由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.题型一求直线的一般式方程根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32、－

3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．【解析】选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距

式得x32＋y－3＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得y－(－2)－4－(－2)＝x－35－3，即x＋y－1＝0.【方法技巧】求直线一般式方程的策略1．当A≠0时，方程可化为x＋BAy＋CA＝0，只需求B

A，CA的值；若B≠0，则方程化为ABx＋y＋CB＝0，只需确定AB，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊3

形式之一求方程，然后可以转化为一般式．题型二直线一般式下的平行与垂直问题【例1】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－

a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【分析】注意考虑斜率不存在情况【解析】(1)方法一①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．②若m＋

1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－2m＋1，k2＝－m3，若l1∥l2时，k1＝k2，即－2m＋1＝－m3，解得m＝2或m＝－3，经验证，m＝2或－3符合条件，所以m的值为2或－3.方

法二令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，∴l1∥l2，

∴m的值为2或－3.(2)方法一由题意，直线l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线

l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a＋21－a，k2＝－a－12a＋3，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－a＋21－a)·(－a－12a＋3)＝－1，所以a＝

－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.方法二由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l

1⊥l2.【方法技巧】1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0

)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法4(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【

变式训练】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．【解析】方法一由题设l的方程可化为y＝－34x＋3，∴l的斜率为－34.(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－34.又∵l′过(－1,

3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1

,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.题型三由含参一般式求参数的值或取值范围【例2】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证

：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．【分析】(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.【解析】(

1)方法一将直线l的方程整理为y－35＝a(x－15)，∴直线l的斜率为a，且过定点A(15，35)，而点A(15，35)在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．方法二直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式

对任意的a总成立，必有5x－1＝0，5y－3＝0，即x＝15，y＝35.即l过定点A(15，35).以下同方法一．(2)直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.如图所示，要使l不经过第二

象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a5的取值范围为[3，＋∞)．【变式探究1】本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？【解析】由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.【变式探究2

】本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？【解析】①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝1a－1x－a＋2a－1

，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即1a－1≥0，a＋2a－1≥0，解得a＞1a≤－2或a＞1，所以a＞1.综上可知a≥1.【方法技巧】求直线过定点的策略1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；

2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．【变式训练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．【证明】整理直线l的方

程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以x＋y＝0，x－y－2＝0，解得x＝1，y＝－1.所以直线l经过定点M(1，－1)．【易错辨析】忽视斜率不存在的情况引发

错误【例3】已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________.【答案】0【解析】若m≠0时，kl1＝－m8，kl2＝－12m∵kl1·kl2＝(－m8)×(－12m)＝116≠－1，显然不成立，因此两条直线不

能垂直；若m＝0时，直线l1的方程为y＝54和x＝4，这两条直线垂直．综上m＝0.【易错提醒】易错原因纠错心得6率不存在，把直线的一般式化为斜截式得，kl1＝－m8，kl2＝－12m错.含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线在而斜率不存在，常常忽视而漏解.1.直线x-y

+2=0的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C

.AB<0,C=0D.AB>0,C=0【答案】D【解析】直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-𝐴𝐵x,直线过二、四象限,所以斜率k=-𝐴𝐵<0,∴AB>0.3.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与直线3x+2y+6=0垂直,则实数a的值为(

)A.-23B.-32C.23D.32【答案】B【解析】由题意知a≠0,直线l的斜率k=2-𝑎-2-𝑎+2=-1𝑎,所以-1𝑎·-32=-1,所以a=-32.4.已知点M(1,2)在直线l上的射

影是H(-1,4),则直线l的方程为()A.x-y+5=0B.x-y-3=0C.x+y-5=0D.x-y+1=0【答案】A【解析】∵kMH=4-2-1-1=-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.5.如图所示,直线l的方程为Ax+B

y+C=0,则()A.AB>0,BC<0B.AB<0,BC>07C.AB>0,BC>0D.AB<0,BC<0【答案】B【解析】由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=-𝐴𝐵>0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-𝐶𝐵<0,于是BC>0.6.

在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是()【答案】C【解析】由y=x+a知选项D错误.当a>0时,选项A,B,C错误,当a<0时,选项A,B错误,选项C正确,故选C.7.过点P(2,-1)且与直线y

+2x-5=0平行的直线方程是.【答案】D【解析】设要求的直线方程为2x+y+m=0,把P(2,-1)代入直线方程可得4-1+m=0,解得m=-3,∴要求的直线方程为2x+y-3=0.8.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a=.【答案】83【解析】令x=0,得

y=(a-1)×2+a=6,解得a=83.9.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是()8【答案】BC【解析】l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.在A中,

由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;在D中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象不符.10.已知线段AB的中垂线方程为x

-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为()A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,2)【答案】A【解析】设B的坐标为(a,b),由题意可知{𝑏-1𝑎+1×1=-1,𝑎-12-𝑏+12-1=0,解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A

.11.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是()A.-4B.-2C.2D.4【答案】B【解析】∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4

=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1,∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.12.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是.【答案】0≤t

≤32【解析】由题意知直线斜率k=3-2𝑡2≥0,且在y轴上的截距-𝑡2≤0,解得0≤t≤32.13.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是.【答案】2x+y+1=0【解析】∵点A(2,1)在直线

a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)的坐标满足2x+y+1=0.∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)的坐标也满足2x+y+1=0.∴过两点P1(a1,

b1),P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.14.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:(1)l1∥l2?(2)l1⊥l2?【答案】D【解析】(

1)由(m+2)(2m-1)=6(m+3),得m=4或m=-52.9当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合;当m=-52时,l1:-12x+12y-5=0,l2:6x-6y-5=0,即l1∥l2.故当m

=-52时,l1∥l2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-92.故当m=-1或m=-92时,l1⊥l2.15.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1)

.(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.【解析】(1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0.∴{𝑎=1,𝑏=0或{𝑎=4,𝑏=12.(

2)由题意可得:两条直线不可能都经过原点,当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0可知两条直线不平行.b≠0时两条直线分别化为:y=𝑎𝑏x+4𝑏,y=(1-a)x-b,∴𝑎𝑏=1-a,

4𝑏=b,解得{𝑏=2,𝑎=23,或{𝑏=-2,𝑎=2.