【文档说明】甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学 含解析.docx，共(19)页，1.352 MB，由管理员店铺上传

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高二阶段性检测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本

试卷上无效．3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．1.已知向量(3,0,1),(2,1,1)ab=−−=−，则2ba−=（）A.(5,

1,2)−−B.(5,1,2)−C.(8,1,3)−−D.(8,1,3)−2.双曲线22116yx−=的离心率为（）A.15B.3C.17D.43.若平面的一个法向量为(1,1,0)n=，平面的一个法向量为(1,0,1

)m=−，则与所成角的大小为（）Aπ6B.π3C.π4D.2π34.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）A.480种B.360种C.240种D.600种5.

若圆C与x轴相切且与圆224xy+=外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（）A.244xy=+B.244xy=−+C244xy=+D.244xy=−6.在长方体1111ABCDABCD−中，四边形11ADDA的周长为12,22(0)CDADxx

==，长方体1111ABCDABCD−的体积为(x)V．若2()6Vmm=，则(x)V在xm=处的瞬时变化率为（）A.18B.20C.24D.26..7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64B.72C.76D.808.已知定义在R上的奇函

数()fx的图象是一条连续不断的曲线，()fx是()fx的导函数，当x0时，()()30fxxfx+，且()22f=，则不等式()3(1)116xfx++的解集为（）A.()1,+B.()(),31,−−+C.(),1−D.()(),

11,−−+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD−中，E为PC的中点，则（）A.PAPBPDPC=+−B.PAPBPCPD=+−C.AB

ADAPAE++=D.2ABADAPAE++=10.若99019(2)xaaxax−=+++，则（）A.0256a=B.129511aaa+++=−C.12304a=−D.902468132aaaaa+++++=11.设()fx为函数()fx的

导函数，若()fx在D上单调递增，则称()fx为D上的凹函数；若()fx在D上单调递减，则称()fx为D上的凸函数．下列结论正确的是（）A.函数()2100fxxx=−为R上的凹函数B.函数()singxxx=为π,π2上的凸函数C.函数()

12xxhx=+为()0,4上的凸函数D.函数()()2521eexkxxx−=++为R上的凹函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某城市今年空气质量为“优”天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为___

___．的13.若函数()322fxxxax=−+存在极值，则a的取值范围是______．14.已知曲线()28131680mxmxym−−−++=恒过M点，且M在抛物线2:2Cypx=上．若P是C上的一点，点()6,3N，则点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小

值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列na前n项和为nS，已知151,35aS==．（1）求na的通项公式；（2）若22132nannnnbaa−++=+，求数列nb的前n项和

nT．16.如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平,3,4BCDABADBCCD====．（1）证明：ACBD⊥．（2）若42,BDE=为CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．17.已知3是函

数3221()313fxxaxaxb=−−+−的极小值点．（1）求a的值；（2）若0a，且()fx有3个零点，求b取值范围．18.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是棱1,BCDD的中点，直线1BD与平面1AE

F交于点P．（1）求11AEBD；的的（2）求1PDBP；（3）若点Q在棱BC上，且//PQ平面11BCD，求BQ的长．19.已知函数()()e1ln,.xafxxaxxa=+−R（1）若0,a=求曲线()

yfx=在点(1,(1))f处的切线方程．（2）若1,a=证明：()fx在(0,)+上单调递增．（3）当1x时，()lnfxax恒成立，求a的取值范围．高二阶段性检测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡

上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原

理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．1.已知向量(3,0,1),(2,1,1)ab=−−=−，则2ba−=（）A.(5,1,2)−−B.(5,1,2)−C.(8,1,3)−−D.(8,1,3)−【

答案】D【解析】【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为()3,0,1,a=−−所以()26,0,2,a=−−所以()28,1,3ba−=−．故选：D.2.双曲线22116yx−=的离心率为（）A.15B.3C.17D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定的双曲线方程，直接求出离心率即

可.【详解】双曲线22116yx−=中，221,16ab==，所以双曲线的离心率2222111617.abbeaa+==+=+=故选：C3.若平面的一个法向量为(1,1,0)n=，平面的一个法向量为(1,0,1)m=−，则

与所成角的大小为（）A.π6B.π3C.π4D.2π3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可【详解】11cos,,222nmnmnm−===−与所成角的余弦值为12，又与所成角为π0,2，\与所成角的大小为π.3故选：B

4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）A.480种B.360种C.240种D.600种【答案】A【解析】【分析】根据不相邻问题插空法即可求解.【详解】先

排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有4245480AA=种．故选：A5.若圆C与x轴相切且与圆224xy+=外切，则圆C圆心的轨迹方程为（）A.244xy=+B.244xy=−+C.244xy=+D.244xy=−【答案】C【解析】【分析

】设圆心坐标为(),xy，依题意可得222xyy+=+，化简整理即可得解.【详解】设圆心坐标为(),xy，依题意可得222xyy+=+，化简得244xy=+，即圆C的圆心的轨迹方程为244xy=+.故选：C的6.在长方体1111ABCDABCD−中，四边形11AD

DA的周长为12,22(0)CDADxx==，长方体1111ABCDABCD−的体积为(x)V．若2()6Vmm=，则(x)V在xm=处的瞬时变化率为（）A.18B.20C.24D.26【答案】A【解析】【

分析】由已知得出(x)V，结合2()6Vmm=解出m，结合()Vx即可求解．【详解】因为四边形11ADDA的周长为12，所以112222ADAAxAA+=+12=，所以16AAx=−，因为160,0AAxx=−，所以

06x，所以()()()232612206Vxxxxxxx=−=−，由2()6Vmm=得，()232122606mmmm−=，解得3m=，()2246Vxxx=−，则()32436918V=−=，所以在(

)Vx在xm=处的瞬时变化率为18，故选：A．7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64B.72C.76D.80【答案】D【解析】【分析】设nS是该等比数列的前n项和，依题意可知

714721142821,,,SSSSSSS−−−成等比数列，由等比数列的性质求解即可.【详解】设nS是该等比数列的前n项和，依题意可知71420,8,SS==则714721142821,,,SSSSSSS−−−成等比数列，即21282

12,6,8,SSS−−成等比数列，则212821818,183,SSS−=−=解得212826,542680.SS==+=故选：D.8.已知定义在R上的奇函数()fx的图象是一条连续不断的曲线，()fx是()

fx的导函数，当x0时，()()30fxxfx+，且()22f=，则不等式()3(1)116xfx++的解集为（）A.()1,+B.()(),31,−−+C.(),1−D.()(),1

1,−−+【答案】B【解析】【分析】根据()3(1)116xfx++构造函数()()3,gxxfx=通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知()()3gxxfx=在0x时是单调递增函数，再结合已知条件又可知()()3gxxfx=是偶函数，最后利用这些性质可解得

3x−或1.x【详解】令()()3,gxxfx=则()()()()()23233gxxfxxfxxfxxfx=+=+,因为当0x时，()()30,fxxfx+所以()gx在()0,+上单调递增,又()fx为奇函数，且图象连续不断，所以()gx为偶函数,由(

)()()331122,xfxf++得12,x+解得3x−或1.x故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9

.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD−中，E为PC的中点，则（）A.PAPBPDPC=+−B.PAPBPCPD=+−CABADAPAE++=D.2ABADAPAE++=.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计

算判断得解.【详解】在四棱锥PABCD−中，E为PC的中点，四边形ABCD是平行四边形，PAPBBAPBCDPBPDPC=+=+=+−，A正确，B错误；ABADAPACAP++=+2AE=，D正确，C错误.故选：AD10.若99019(2)xaaxax−=+++，则（）A.0256a=B.

129511aaa+++=−C.12304a=−D.902468132aaaaa+++++=【答案】BCD【解析】【分析】对A、B、D：分别借助赋值法令0x=、1x=及=1x−计算即可得；对C：借助二项式的展开式的通项公

式计算即可得.【详解】对A：令0x=，得902512a==，故A错误；对B：令1x=，得0101,aaa+++=则129aaa+++1512511=−=−，故B正确．对C：由题可得()919C2rrrrTx−+=−，则()1819C212304a=

−=−，故C正确．对D：令=1x−，得01aa−+9893,aa+−=则902168132aaaaa+++++=，故D正确．故选：BCD.11.设()fx为函数()fx的导函数，若()fx在D上单调递增，则称()fx为D上的凹函数；若()fx在D上单调递减，则

称()fx为D上的凸函数．下列结论正确的是（）A.函数()2100fxxx=−为R上的凹函数B.函数()singxxx=为π,π2上的凸函数C.函数()12xxhx=+为()0,4上的凸函数D.函数()()2521eexkxxx−=++为R上的凹函

数【答案】ABD【解析】【分析】对于A：求导，直接判断()fx的单调性即可；对于B：求导，令()()Gxgx=，利用导数判断()Gx的单调性即可；对于C：求导，取特指分析判断即可；对于D：求导，令()()Kxkx=，利用导数判断()Kx的单调性即可.【详解】对于选项A：因为()2100f

xx−=为R上的增函数，所以()2100fxxx=−为R上的凹函数，故A正确；对于选项B：因为()sincosgxxxx+=，设()()Gxgx=，则()coscossin2cossinGxxxxxxxx=+−=−，当π,π2x时，()0Gx，可知

()Gx为π,π2上的减函数，即()gx为π,π2上的减函数，所以()singxxx=为π,π2上的凸函数，故B正确；对于选项C：因为()1ln22xxhx−=，设()()H

xhx=，则()()ln2ln222xxHx−=，注意到()()ln23ln22302H−=，可知()Hx在()0,4内不是单调递减函数，即()hx在()0,4内不是单调递减函数，所以函数()12xxhx=+在()0,4上不为凸函数，故C错误；对于选项D：因为()()2

523e2exkxxx−=++，令()()Kxkx=，则()()2548e2exKxx−=++，设()()mxKx=，则()()2820exmxx=+，当52x−时，()0mx，当52x−时，()0mx，可知()mx在52−−,内单调递减，在5,2

−+内单调递增，则()502mxm−=，即()0Kx在R上恒成立，可知()Kx为R上的单调递增，所以()()2521eexkxxx−=++为R上的凹函数，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某城市今年空气质量为“优”的天

数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．【答案】13【解析】【分析】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为,q由题意可得()3128541,q=+解方程即可得出答案.【详解】设这个城市

空气质量为“优”的天数的年平均增长率为,q则()3128541,q=+解得：1.3q=故答案为：13.13.若函数()322fxxxax=−+存在极值，则a的取值范围是______．【答案】1,6−【解析】【分析】由极值的定义可知，

()fx有变号零点，即可得解.【详解】()262fxxxa=−+，则Δ4240a=−，解得1,6a−．故答案为：1,6−.14.已知曲线()28131680mxmxym−−−++=恒过M点，且

M在抛物线2:2Cypx=上．若P是C上一点，点()6,3N，则点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】将曲线()28131680mxmxym−−−++=可变形为()24380,mxxy−+−+=可得()4,4M，进而可得C的方程

为24yx=，设点P在准线l上的投影为D，抛物线的定义结合几何性质分析求解.【详解】曲线()28131680mxmxym−−−++=可变形为()24380,mxxy−+−+=的令()240380xxy−=−+=，解得44xy==，可知曲线()281

31680mxmxym−−−++=恒过点()4,4M，因为M在抛物线2:2Cypx=上，则168p=，解得2p=，所以C的方程为24yx=，可知C的焦点为()1,0F，准线为:1lx=−，又因为239

24=，可知点N在抛物线内，设点P在准线l上的投影为D，则PDPF=，因为617PFPNPDPN+=++=，当且仅当PN与C的准线垂直时，等号成立，所以点P到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为7．故答案为：7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤．15.设等差数列na的前n项和为nS，已知151,35aS==．（1）求na的通项公式；（2）若22132nannnnbaa−++=+，求数列nb前n项和nT．【答案】（1）32.nan=−（2）1

12131nnTn+=−−+【解析】【分析】（1）由151,35aS==及等差数列下标和定理求出3d=，根据等差数列通项公式即可求解；的（2）由分组求和，裂项相消及等比数列求和公式即可求得nT．【小问1详解】设na的公差为,d则()15535()5512352a

aSad+===+=，解得3d=，所以()13132nann=+−=−．【小问2详解】由（1）知()()3112232313231nnnbnnnn=+=+−−+−+，则122111111124473231nnTnn+−=+−+−

++−−−+1111221213131nnnn++=−+−=−−++．16.如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平,3,4BCDABADBCCD====．（1）证明：ACBD⊥．（2）若42,BDE=为CD的中点，求

直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】【分析】（1）取BD的中点O，连接,AOCO，通过说明,AOBDCOBD⊥⊥可得结论；（2）以O为坐标原点，OC的方向为x轴的正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【小问1详解】取BD的中点O，连接,AOCO，因为3,4ABADBCCD====，所以,AOBDCOBD⊥⊥，又AOCOO=，,AOCO面AOC，所以BD⊥平面AOC，因为AC平面AOC，所以AC

BD⊥；【小问2详解】以O为坐标原点，OC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,1,22,0,0,2,2,0,0,22,0ACEB−，则()()0,22,1,22,0,1,(2,2,1)ABACAE=−−=−=−，设平面ABC的法向量为(),,nx

yz=，则0nABnAC==，即220220yzxz−−=−=，令1x=得()1,1,22n=−．所以222cos,5510AEn==，所以直线AE与平面ABC所成角的正弦值为25.17.已知3是函数3221()313fxxaxaxb=−−+−的极小

值点．（1）求a的值；（2）若0a，且()fx有3个零点，求b的取值范围．【答案】（1）1a=或3a=−（2）2,103−【解析】【分析】（1）对函数()fx求导，令()0fx=，由于零点含参数a，需要对a进行分类讨

论，从而根据()fx的极小值点为3解得a的值；（2）根据（1）的结果可知()fx的零点，以及原函数()fx的单调区间，根据函数()fx要有三个零点，可知函数()fx的极大值大于0，极小值小于0，从而解得列出不等式组求解即可.【小问1详解】因为()

322131,3fxxaxaxb=−−+−所以()()()22233.fxxaxaxaxa=−−=−+令()0,fx=得3xa=或.xa=−当0,a则当()(),3,xaa−−+时，()0,fx当(),3xa

a−时，()0,fx故()fx在(),a−−和()3,a+上单调递增，在(),3aa−上单调递减．因为3是()fx的极小值点，所以33,a=即1,a=符合题意．当0,a=则()0fx恒成立，()fx

在(),−+上单调递增，无极值点，不符合题意．当0,a则当()(),3,xaa−−+时，()0,fx当()3,xaa−时，()0,fx故()fx在(),3a−和(),a−+上单调递增，在()3,aa−上单调递减．因为3是()fx的极小值点，所以3,

a−=即3,a=−符合题意．综上所述，1a=或3.a=−【小问2详解】因为0,a所以()()()()32131,31,3fxxxxbfxxx=−−−+−=+当()(),13,x−−+时，()0,fx当()1,3x−时，()0,fx所以()fx在(),

1−−和()3,+上单调递增，在()1,3−上单调递减．显然当x→−时，()fx→−，当x→+时，()fx→+，因为()fx有3个零点，所以当且仅当()()21033100fbfb−=+

=−，解得210,3b−故b的取值范围为2,103−.18.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是棱1,BCDD的中点，直线1BD与平面1AEF交于点P．（1）求11AEBD；（2）求1PDBP；（3）若点Q在棱BC上

，且//PQ平面11BCD，求BQ的长．【答案】（1）2（2）123PDBP=（3）45【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解11AEBD；（2）设()112,2,2BPBD==−−，求出面1AEF的法向量，通过10APn=列方程求出即可；

（3）设()02,,0Qy，则()100,,2BQy=−，可得1ACuuur是平面11BCD的一个法向量，通过10PQAC=求解0y即可.【小问1详解】如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,2,(2,1,0),0,2,1,2,0,2,0,2,

0AEFBD，所以()()()112,2,2,2,1,1,2,1,2BDEFAE=−−=−=−，所以114242AEBD=−++=；【小问2详解】设()112,2,2BPBD==−−，则1111(22,2,2).APAB

BP=+=−−设平面1AEF法向量为(),,nxyz=，的则122020nAExyznEFxyz=+−==−++=，令3x=得(3,2,4)n=，依题意可得166480APn=−+−=，解得

35=，所以123PDBP=；【小问3详解】设()()002,,0,02Qyy，则()100,,2BQy=−，由（2）知1666,,555BP=−−，则110664,,555PQBQBPy=−=−−，因为1111(2,2,2),(0,2,2),(2,

2,0)ACBCBD==−=−，所以111110ACBCACBD==，所以1ACuuur是平面11BCD的一个法向量．因为//PQ平面11BCD，所以101212820555PQACy=+−−=，解得045y=，所以BQ的长为45.19.已知函数()()e1

ln,.xafxxaxxa=+−R（1）若0,a=求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程．（2）若1,a=证明：()fx在(0,)+上单调递增．（3）当1x时，()lnfxax恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）(2e1

)x+−e0.y−=（2）证明见解析；（3）(,e].−【解析】【分析】（1）对()fx求导，求出(1),(1)ff，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；（2）对()fx求导，令()e1,()ln1,xgxxhxxx=

−−=−+证明()0fx在(0,)+上恒成立即可.（3）()lnfxax在(1,)+上恒成立等价于()()lne1lne1xxxax++，分类讨论0a和0a，令()()e1xxx=+求出()x的单调性可得lnxa

x，分离参数，令()(1),lnxHxxx=求出min()Hx即可得出答案.【小问1详解】因为0,a=所以()()e1,xfxx=+则()(1)e1.xfxx=++又(1)e1,(1)2e1,ff=+=+所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方

程为e1(2e1)(1),yx−−=+−即(2e1)x+−e0.y−=【小问2详解】证明：因为1,a=所以()()e1ln,xfxxxx=+−则()(1)eln.xfxxx=+−令()e1,()ln1

,xgxxhxxx=−−=−+则1()e1,().xxgxhxx−=−=当,()0x+时，()0,()gxgx单调递增，故()(0)0.gxg=当(0,1)x时，()0,()hxhx单调递增，当(1,)x+时，()0

,()hxhx单调递减，故()(1)0hxh=．从而22()(1)eln(1)10xfxxxxxxx=+−+−−=+在(0,)+上恒成立，则在()fx(0,)+上单调递增.【小问3详解】解：()l

nfxax在(1,)+上恒成立等价于()()()lne1lnlne1xaxxaxaxax++=+在(1,)+上恒成立．若0a则()lnlne10axax+，则()()lne1lne1xaxxax++显然恒成立．若0,a则ln0ax在(

1,)+上恒成立，令()()e1,xxx=+由（1）可知()0x在(0,)+上恒成立，故由()()lne1lne1xaxxax++得()(ln)xax则lnxax即lnxax．令()(1),lnxHxxx=则2ln1(),(ln)xHxx−=当(1,e)x

时，()0,()HxHx单调递减，当(e,)x+时，()0,()HxHx单调递增，则min()(e)e,HxH==则0ea．综上所述，a的取值范围为(,e].−【点睛】方法技巧：对于利

用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．