【文档说明】河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 含解析.doc，共(23)页，2.259 MB，由小赞的店铺上传

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1洛阳市2020—2021学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合*A2,nnxxN==，*2n,

nBxxN==，则（）A.ABB.BAC.AB=D.AB=2.已知是Rk，直线3(2)ykx−=+总经过点（）A.(2,3)−B.(2,3)−C.(2,0)−D.(0,3)3.已知2510ab==，则11ab+的值为（）A.1B.2C.

7D.104.已知圆C经过原点(0,0)O，()4,3A，(1,3)B−三点，则圆C的方程为（）A.22430xyxy+−−=B.2230xyxy+−+=C.22550xyx+−−=D.2270xyxy+−+=5.已知水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法得到的直观图是

边长为1的正方形，如图所示，则ABCD的周长为（）A.2B.6C.422+D.86.已知,ab为不同的直线，，为不同的平面，有下列四个命题：①////abab②abab⊥⊥③abba⊥=⊥⊥

④//aaa⊥⊥.2其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.47.已知点(2,0)A与()0,4B关于直线0axyb++=对称，则,ab的值分别为（）A1，3B.12−，32−C.-2，0D.12，52−8.已知函数2()2fxxxa=++在区

间(0,2)内有零点，则实数a的取值范围是（）A.(,1)−B.(8,1]−C.(8,0)−D.[8,0]−9.如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A.2B.5C.4D.2510.已知函数2()(2)fxxmxn=+−+为偶函数，那么函数()1lo

gmgxx=−的定义域为（）A.(,2]−B.(0,2]C.10,2D.1,2+11.已知圆221:64120Cxyxy+−++=，圆222:142340Cxyxy+−−+=，两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.412.已知ABCD是边长为2的正方

形，点E，F在平面ABCD的同侧，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，且2AEDF==.点Q为DF的中点，点P是CE上的动点，则PQ长的最小值为（）A.2B.2C.5D.23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每

小题5分，共20分.13.已知三角形的三个顶点是(0,0)O，(4,3)A，(2,1)B−，则此三角形AB边上的中线所在直线的方程为3______.14.四棱锥VABCD−中，底面ABCD是正方形，各条棱长均为2.

则异面直线VC与AB所成角的大小为______.15.已知定义在R上的函数()fx满足()(2)fxfx=−−，当1x时，2()logfxx=，则不等式()2fx的解集为______.16.在棱长为9的正方体AB

CDABCD−中，点E，F分别在棱AB，DD上，满足2AEDEDFBF==，点P是DD上一点，且//PB平面CEF，则四棱锥PABCD−外接球的表面积为______.三、解答题：本大题共6个小题，共70

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A−，(3,2)B到直线:10laxy++=的距离相等.（1）求实数a的值；（2）已知2a−，试求l上点C的坐标，使得A，B，C构成以C为直角顶点的直角三角形.18.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，O是底面A

BCD的中心.（1）求证:1BO//平面11DAC;（2）求点O到平面11DAC的距离.19.已知函数2320()10xxxxfxex−+=+.（1）若()1fa=，求实数a的值；（2）若关于x的方程()0fxm−

=恰有三个解，求实数m的取值范围.20.如图.在三棱锥PABC−中,PA⊥平面ABC,90ACB=,AEPB⊥于E点,AFPC⊥于F点,2PAAB==,30BPC=.4(1)求PBAF⊥；(2

)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.21.已知奇函数()fx与偶函数()gx满足：1()()2xfxgx+−=.（1）求函数()fx与()gx的解析式；（2）若对任意实数x，都有()()0fxmgx+恒成立，

求实数m的取值范围.22.点(4,0)A，圆22:(4)16Bxy++=，动点P在圆B上，Q为PA的中点，直线:2lykx=+.（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若直线l与曲线E交于不同的两点S，T，坐标原点为O，当△OST的面积为3，∠SOT为锐角时，求斜率

k的值；（3）若k=1，当过直线l上的点C能作曲线E的两条切线时，设切点分别为M，N，直线MN是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.洛阳市2020—2021学年第一学期期末考试高一数学试卷（解析）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合*A2,nnxxN==，*2n,nBxxN==，则（）A.ABB

.BAC.AB=D.AB=5【答案】A【解析】【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答.【详解】A.*n2,nN为偶数，故2nB，故ABB.6,6BA，故B错C.4,4BA，故AB=错D.6,6BA

,故D错故选：A2.已知是Rk，直线3(2)ykx−=+总经过点（）A.(2,3)−B.(2,3)−C.(2,0)−D.(0,3)【答案】B【解析】【分析】把3(2)ykx−=+整理成()3(2)0yk

x−−+=，根据方程特点可得答案.【详解】由3(2)ykx−=+得()3(2)0ykx−−+=，对于Rk总成立，3020yx−=+=，所以32yx==−，即总经过点是()2,3−.故选：B.3.已知2510ab==，则1

1ab+的值为（）A.1B.2C.7D.10【答案】A【解析】【分析】6由2510ab==求出a、b，表示出11ab、，进而求出11ab+的值.【详解】252510log10,log10abab====，,11lg2

,lg5ab==11lg2lg5lg101ab+=+==.故选：A【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质；.(3)有时会进行指、对数互

化.4.已知圆C经过原点(0,0)O，()4,3A，(1,3)B−三点，则圆C的方程为（）A.22430xyxy+−−=B.2230xyxy+−+=C.22550xyx+−−=D.2270xyxy+−+=【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为220xyDxEyF++++=()224

0DEF+−，解方程组16943019300DEFDEFF++++=++−+==即得解.【详解】设圆的方程为220xyDxEyF++++=()2240DEF+−，把点(0,0)O，(4,3)A，(1,3)B−代入

得16943019300DEFDEFF++++=++−+==，解得7D=−，1E=，0F=，所以圆的方程是2270xyxy+−+=．故选：D．7【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.5.已知水平放置的平面四边形ABCD，用斜二

测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD的周长为（）A.2B.6C.422+D.8【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.【详解】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法

可知，1ABCD==,22AC=在RtABC中,2222(22)13BCACAB=+=+=,又ADBC=,所以四边形ABCD的周长为23218+=,故选：D6.已知,ab为不同的直线，，为不同的平面，有下列四个

命题：①////abab②abab⊥⊥③abba⊥=⊥⊥④//aaa⊥⊥.8其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】

根据线面平行的判断定理判断①，根据线面垂直，面面垂直的性质定理判断②③④.【详解】①不成立，缺少a这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件b；④正确，根据面面垂直的性质定理判断.故选：A7.已知点(2,0)A与()0,4B关于直线0axyb++=对称，

则,ab的值分别为（）A.1，3B.12−，32−C.-2，0D.12，52−【答案】B【解析】【分析】点,AB关于直线0axyb++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线0axyb++=上，列式求解.【详解】40202ABk−==−−，若点(2,0)A与()0,4B关于

直线0axyb++=对称，则直线AB与直线0axyb++=垂直，直线0axyb++=的斜率是a−，所以()()21a−−=−，得12a=−.线段AB的中点()1,2在直线0axyb++=上，则20ab++=，得32b=−故选:B8.已知函数2()2fxxxa=++在区间(0,2)

内有零点，则实数a的取值范围是（）A.(,1)−B.(8,1]−C.(8,0)−D.[8,0]−【答案】C【解析】9【分析】由函数零点问题，转化为22axx=−−，()0,2x成立，求函数的值域.

【详解】220xxa++=在区间(0,2)内有解，转化为22axx=−−，()0,2x成立，()22211axxx=−−=−++，()0,2x时，()8,0a−.故选：C9.如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A.2B.5C.4D.

25【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体，计算体积即可.【详解】还原几何体如图，为四棱柱，底面积为11，高为2故体积为：2故选：A1010.已知函数2()(2)fxxmxn=+−+为偶函数，那么函数()1logmgxx=−的定义域为（）A.(,2]−B.(0,2]C.10,2

D.1,2+【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求出m，代入()1logmgxx=−中求解定义域即可【详解】2()(2)fxxmxn=+−+为偶函数，故对称轴为202mx−==，故2m=2()1loggxx=−则0

x且2log1x解之得02x故选：B11.已知圆221:64120Cxyxy+−++=，圆222:142340Cxyxy+−−+=，两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】首先判

断两圆的位置关系，再判断公切线条数.【详解】圆()()221:321Cxy−++=，圆心()13,2C−，半径11r=，圆()()222:7116Cxy−+−=，圆心()27,1C，半径24r=，圆心距()()2237215d=−+−−=，12drr=+，

所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C12.已知ABCD是边长为2的正方形，点E，F在平面ABCD的同侧，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，且2AEDF==.点Q为DF的中点，点P是CE上的动点，则PQ长的最小值为（）11A.2B.2C.5

D.23【答案】A【解析】【分析】根据题意，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ转化为2||365(02)PQxxx=−+，利用二次函数求最小

值.【详解】如图示，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）、D（2,0,0）、C（2,2,0）、E（0,0,2）、F（2,0,2）、Q（2

,0,1）、设P（x,y,z）,由点P是CE上的动点，知(01)CPCE=,即(2,2,)(2,2,2)xyz−−=−−，故P(x,x,2-x),所以2222||(2)(0)(1)365(02)PQx

xxxxx=−+−+−=−+当1x=时min||3652PQ=−+=故PQ长的最小值为2.故选：A【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法

证明或计算.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知三角形的三个顶点是(0,0)O，(4,3)A，(2,1)B−，则此三角形AB边上的中线所在直线的方程为12___

___.【答案】30xy−=【解析】【分析】先求线段AB的中点D的坐标，再求直线OD的方程.【详解】()4,3A，()2,1B−，线段AB的中点是()3142,22D+−+，即()3,1D，13ODk=，所以三角形AB边上的中线所在直线的方程为13yx=，即30

xy−=.故答案为：30xy−=14.四棱锥VABCD−中，底面ABCD是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC与AB所成角的大小为______.【答案】60°【解析】【分析】根据AB∥CD,得到异面直线VC与

AB所成角即为∠VCD,由△VCD为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD是正方形，所以AB∥CD,所以异面直线VC与AB所成角即为∠VCD.又各条棱长均为2，所以△VCD为等边三角形，所以∠VC

D=60°，异面直线VC与AB所成角的大小为60°.故答案为：60°【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；(2)认定：证明作出的角就

是所求异面直线所成的角；13(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15.已知定义在R上的函数()fx满足()(2)fxfx=−−，当1x时，2()lo

gfxx=，则不等式()2fx的解集为______.【答案】(,4]−【解析】【分析】可求出分段函数在1x时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.【详解】当1x时，2()logfxx=，2log2x，则14x

当1x时，21x−，故()2()(2)log2fxfxx=−−=−−，()2log22x−−，则()2log22x−−，则124x−，则74x，则此时1x综上有4x故答案为：(,4]−【点睛】利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：

①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设定在哪个区间.②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.③利用已知区间的解析式进行代入，解出()fx16.在棱长为9的正方体ABCDABCD−中，点E，F分别在棱AB，DD上，满

足2AEDEDFBF==，点P是DD上一点，且//PB平面CEF，则四棱锥PABCD−外接球的表面积为______.【答案】178【解析】【分析】以D为原点，DA，DC，DD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)Pt，由//PB平面CEF可得P点的坐标，根据

四棱锥PABCD−的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以D为原点，DA，DC，DD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，14(0,0,0)D，由2AEDEDFBF==，则(9,6,0),(0,9,0)EC，(0,0,

3)F，(9,9,0)B，设(0,0,)Pt，()9,3,0EC=−，()0,9,3CF=−，()9,9,PBt=−设平面FEC的法向量为(),,nxyz=，则·0·0nECnCF==，即930930xyyz−+=−+=，不妨令3z=，则11,3y

x==，得1,1,33n=，因为//PB平面CEF，所以0PBn=，即1919303t+−=，解得4t=，所以(0,0,4)P，由PD⊥平面ABCD，且底面是正方形，所以四棱锥PAB

CD−外接球的直径就是PB，由()9,9,4PB=−，得229916178PB=++=，所以外接球的表面积241782PBS==.故答案为：178.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角

坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A−，(3,2)B到直线:10laxy++=的距离相等.（1）求实数a的值；（2）已知

2a−，试求l上点C的坐标，使得A，B，C构成以C为直角顶点的直角三角形.15【答案】（1）12a=−或2a=−；（2）C点的坐标为(0,1)−或163,55.【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解a的值；（2）可求出以AB

为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得C点的坐标.【详解】（1）由点到直线的距离公式知：22|1||33|11aaaa−+=++，即133aa−=+，133aa−=+或1(33)aa−=−+，12a=−或2a=−.（2）()1

,0A−，(3,2)B的中点为(1,1)M()221115MA=++=，以AB为直径的圆的方程为22(1)(1)5xy−+−=，直角三角形ABC的直角顶点C是以AB为直径的圆与直线l的交点.设(),Cxy，故满足22(1)(1)5

xy−+−=由2a−知，12a=−，直线:220lxy−−=，又(),Cxy在:220lxy−−=上联立方程22220,(1)(1)5.xyxy−−=−+−=消去x得：25230yy+−=，1y\=-或35y=.0,1.xy=

=−或16,53.5xy==C点的坐标为(0,1)−或163,55.16【点睛】①A，B，C构成以C为直角顶点的直角三角形，等价于以AB为直径的圆过点C，且A，B，C三点不共线.②处理

圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.18.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，O是底面ABCD的中心.（1）求证:1BO//平面11

DAC;（2）求点O到平面11DAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）连接11BD，设11111BDACO=，连接1DO，证明11BODO是平行四边形，再利用线面平行的判定定

理即可证明.（2）由题意可得平面11DAC⊥平面11BDDB，过点O作1OHDO⊥于H，在矩形11BDDB中，连接1OO，可得1OODOHD∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解.【详解】（1）证明：连接11BD，设11111BDACO=，连接1DO.1711//OBD

O且11OBDO=，11BODO是平行四边形.11//BODO.又1DO平面11DAC，1BO平面11DAC，1//BO平面11DAC.（2）1111ACBD⊥，111ACBB⊥，且1111BBBDB=，11AC⊥平面11BDDB.

平面11DAC⊥平面11BDDB，且交线为1DO.在平面11BDDB内，过点O作1OHDO⊥于H，则OH⊥平面11DAC，即OH的长就是点O到平面11DAC的距离.在矩形11BDDB中，连接1OO，1OODOHD∽△△，则11OD

ODOOOH=，222336OH==.即点O到平面11DAC的距离为233.【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O作1OHDO⊥于H，得出OH的长就是点O到平面11DA

C的距离，考查了计算能力.1819.已知函数2320()10xxxxfxex−+=+.（1）若()1fa=，求实数a的值；（2）若关于x的方程()0fxm−=恰有三个解，求实数m的取值范围.【答案】（1）352a=；（2）()1,2.【

解析】【分析】（1）令()1fa=，分0a和0a两种情况解方程，求出a的值；（2）在同一坐标系内分别作出1()=yfx和2ym=的图像，观察交点的个数求出m的取值范围.【详解】（1）当0a，()1fa=即2321aa−+=，解得

352a=，均满足条件.当0a时，0ae，11ae+，()1fa=无解.故352a=.（2）如图示，在同一坐标系内分别作出1()=yfx和2ym=的图像，当0x时，()fx单调递增，()12fx；当0x时，()fx在30,2

上递减，19在3,2+上递增，3124f=−.故当12m时，方程()0fxm−=恰有三个解，即实数的取值范围是()1,2.【点睛】分离参数法求参数的范围：数形结合求零点个数的问题是转化为()fxk=，

分别做出1()=yfx和2yk=的图像，观察交点的个数即为零点的个数，根据交点个数求出m的取值范围.20.如图.在三棱锥PABC−中,PA⊥平面ABC,90ACB=,AEPB⊥于E点,AFPC⊥于F点,2PAAB==,30BPC=.(1)求PBAF⊥；(2)求直线AE与平面

PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)63.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定可证得BC⊥平面PAC,则平面PBC⊥平面PAC,由AFPC⊥,进而可得AF⊥平面PBC,即可证得结论.(2)由AF⊥平面PBC,则EF就是AE在平面PBC内的射影,AEF即为AE与平面PBC所成

的角,计算即可求得结果.【详解】(1)证明：PA⊥平面ABC,BC平面ABC.BCPA⊥.又BCAC⊥,PAACA=,BC⊥平面PAC.平面PBC⊥平面PAC.20又平面PBC平面PACPC=,AF平面PAC,AFPC⊥,AF⊥平

面PBC.又PB平面PBCAFPB⊥.(2)由(1)知AF⊥平面PBC,连结EF,则EF就是AE在平面PBC内的射影.AEF就是AE与平面PBC所成的角.22PB=,2BC=,2AC=,222336AF==.2AE=.在RtAFE中,6sin3AFAEFAE==.AE与

平面PBC所成角的正弦值为63.21.已知奇函数()fx与偶函数()gx满足：1()()2xfxgx+−=.（1）求函数()fx与()gx的解析式；（2）若对任意实数x，都有()()0fxmgx+恒成立，

求实数m的取值范围.【答案】（1）()22xxfx−=−，()()22xxgx−=−+；（2）(,1]−.【解析】【分析】（1）用x−代替x代入1()()2xfxgx+−=中，得到另外一个式子，用方程思想求解()fx与()gx的解

析式21即可.（2）化简不等式，分离参数，转化为22()121xhx=−+求值域的问题.【详解】（1）用x−代替x代入1()()2xfxgx+−=中，得1()()2xfxgx−−−−=，()fx是奇函数，(

)gx是偶函数，1()()2xfxgx−−−=，上式与1()()2xfxgx+−=联立，可得()22xxfx−=−，()()22xxgx−=−+.（2）()()0fxmgx−即()2222xxxxm−−−+，222121xxm−+.令2221()21xxhx−=

+，则22()121xhx=−+.xR，2211x+，210121x+，222021−−+x，2211121x−−+.1m−，即实数m的取值范围是(,1]−.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两

个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.22.点(4,0)A，圆22:(4)16Bxy++=，动点P在圆B上，Q为PA的中点，直线:2lykx=+.（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若

直线l与曲线E交于不同的两点S，T，坐标原点为O，当△OST的面积为3，∠SOT为锐角时，求斜率k的值；（3）若k=1，当过直线l上的点C能作曲线E的两条切线时，设切点分别为M，N，直线MN是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）224xy+=；

（2）33k=；（3）直线MN过定点(2,2)−.【解析】【分析】（1）由Q为PA的中点，得122OQPB==，点Q的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，直接写出圆的方程；（2）利用垂径定理，把△OST的面积表示出来，求出斜率k；22（3）先表示出MN的方程，在整理成点斜式002(2)2xyx

x−−=++，证明过定点（-2,2）.【详解】（1）由题意知122OQPB==，则点Q的轨迹E是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为224xy+=.（2）设O到直线l的距离为d，则224STd=−由△OST的面积为3，得212432dd−=，解得3d=或1.当1d=时，SOT为钝角，舍去，故

3d=.2231k=+，解得33k=.（3）当1k=时，:2lyx=+.CMOM⊥，CNON⊥，C，M，O，N四点在以OC为直径的圆上.设()00,2Cxx+，则以OC为直径的圆的方程为()2220002022224xxxxxy+++−+−=即()220

020xyxxxy+−−+=.()()2200002220,2404.xyxxxyxxxyxy+−−+=++−=+=.设()11,Mxy，()22,Nxy，则()0101240xxxy++−=，()0202240xxxy++−=.M，N的坐标都适合方程()00240xxxy

++−=，即直线MN的方程为()00240xxxy++−=，可整理为002(2)2xyxx−−=++，直线MN过定点(2,2)−.【点睛】（1）待定系数法、定义法是求二次曲线标准方程的常用方法；（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根

据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；②直线方程整理为点斜式y-yo=k(x-x0)，过定点(x0,

y0)．23