【文档说明】信息必刷卷04-2023年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用） 含解析.docx，共(22)页，3.176 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fcdece0a6e4af93452707907217a16e9.html

以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷04新高考地区专用预计新高考地区考试题型仍与2022年试卷结构相同，为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题）。题型结构保持不变同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将

数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，例如本卷填空压轴题，考查以侏罗纪蜘蛛网为背景的正方形环绕图，视觉上直冲数学对称美，本题难度较大。另外解答题数列题采用探究式的方式考查了数列求和。

采用错位相减法求形如等差等比数列的前n项和；并探究采用裂项相消法求解等差等比数列的前n项和。考查学生信息分析和提取能力，同时也更注重学生学科素养的能力，注重考查学生的思维能力和创造能力。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）设集合1Mxx=或3x，2log1Nxx=，则集合MN=（）A．(,1−B．(0,1C．1,2D．

(,0−【答案】B【详解】由题知，2log102Nxxxx==，又1Mxx=或3x，则01MNxx=，即(0,1x.故选：B2．（2023·全国·模拟预测）若()3,1a−，则复数()31izaa=++−在复平面内对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】解法一：因为()3,1a−，所以30a+且10a−，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.解法二：取0a=，得3iz=−，其在复平面内对应的点为()3,1−，该点位于第四象限.

故选：D.3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知直角三角形ABC，90C=，4AC=，3BC=，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）A．12πB．16πC．48π5D．24π3【答案】C【详解】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成

的几何体的如图所示，1122ABCSBCACABOC==，125BCACOCAB==，()11113333VSOBSOASOAOBSAB=+=+=圆圆圆圆22111248πππ53355OCAB===，故选：C.4．（2023

·安徽蚌埠·统考二模）已知函数()fx的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．()|sin||cos|2sin2fxxxx=+−B．()|sin||cos|2sin2fxxxx=−+C．()|sin

||cos|2cos2fxxxx=−+D．()|sin||cos|2cos2fxxxx=++【答案】A【详解】由题可知，图像过点()0,1，取0x=，对于A：(0)sin0cos02sin00101f=+−=+−=；对于B：(0)sin0cos02sin00101f=−+

=−+=−；对于C：(0)sin0cos02cos00121f=−+=−+=；对于D：(0)sin0cos02cos03f=++=；故可排除B、D，又由图像可知，当2x=时，()0fx，取2x=，对于A：sincos

2sin2?100102222f=+−=+−=；对于C：sincos2cos2?102102222f=−+=−−=−；可排除C，故答案选：A.5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的左、右焦点分别为12,FF，一条渐近线为l，过点2F且与l平行的直线交双曲线C于点M，若123MFMF=，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．5D．3【答案】B【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为byxa=，因此直线2MF的倾斜角的正切值为ba，即sintansin

,cos(0)cosbbkakka====，所以有()()22111cosabkakckkcc+====，设21,3MFmMFm==，由双曲线定义可知：1222MFMFamam−===21,3MF

aMFa==，由余弦定理可知：()()22222322233aaacaccaec=+−==，故选：B6．（2023·河南南阳·统考二模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件,AB

存在如下关系：()()()()PAPBAPABPB=，2023贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，

那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（）A．第二天去甲影院的概率为0.44B．第二天去乙影院的概率为0.44C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为49D．第二天去了乙影院，则第一天去甲

影院的概率为823【答案】D【详解】设1A:第一天去甲影院，2A:第二天去甲影院，1B:第一天去乙影院，2B:第二天去乙影院，所以()10.4PA=，()10.6PB=，2121()0.6,()0.5PAAPAB==，因为212

212212111()()()()()0.6,()0.5()()PAPAAPAPBAPAAPABPAPB====，所以212212()()0.24,()()0.3PAPAAPAPBA==，所以有()()()()()21211210.40.60

.60.50.54PAPAPAAPBPAB=+=+=,因此选项A不正确；()()2210.46PBPA=−=，因此选项B不正确；()121122()()0.35()0.549PBPABPBAPA===，所以选项C不正确；

1211211222()()()[1()]0.4(10.6)8()()()0.4623PAPBAPAPAAPABPBPB−−====，所以选项D正确，故选：D7．（2023·山东潍坊·统考一模）单位圆:O221xy+=上有两定点()1,0A，()0,1B及两动点,CD，且12OCOD=

.则CACBDADB+的最大值是（）A．26+B．223+C．62−D．232−【答案】A【详解】设AB中点为E，CD中点为F，则2OAOBOE+=，2OCODOF+=.由已知12OCOD=，可知1coscos2OCODCODCOD==，所以π3COD=，所以

OCD为等边三角形，所以32OF=.同理可得，22OE=.()()()()OCOAOCOBCOAODOBODDACBADB=−+−+−−()()22242OAOBOCODOAOBOCODOEOF=++−++=−+.如图，当OE、OF方向相反时，42OEOF−+有

最大值为234cosπ2422622OEOF−+=+=+，即CACBDADB+的最大值是26+.故选：A.8．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数,xy满足225ln0xxy−−=，m

R，则222222xymxmym+−++的最小值为（）A．92B．322C．22D．12【答案】B【详解】()()22222222xymxmymxmym+−++=−++，又225lnyxx=−，222222xymxmym+−++表示点(),mm−与曲线225

lnyxx=−上的点之间的距离；点(),mm−的轨迹为yx=−，222222xymxmym+−++表示直线yx=−上的点与曲线225lnyxx=−上的点之间的距离；令()225lnfxxx=−，则()54fxxx=−，令()1fx=−，即541xx−=−，解得：1x=或54x=−（舍），

又()125ln12f=−=，222222xymxmym+−++的最小值即为点()1,2到直线yx=−的距离d123222d+==，222222xymxmym+−++的最小值为322.故选：B.二、多项选择

题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023秋·湖北·高一校联考期末）设函数3()2,[,],fxxxbxaab=−+−Z，若()fx的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A．4

与3B．5与3C．6与4D．8与4【答案】BCD【详解】令()32gxxx=−，()32gxxx−=−+，∴()()gxgx−=−，∴()gx为奇函数，设()gx的最大值为t，最小值为t−，∴Mbt=+，mbt=−，可得2M

mb+=，∵Zb，∴2b为偶数，故选：BCD10．（2023·广东湛江·统考一模）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345

678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l的方程为11ybxa=+，相关系数为1r，决定系数为21R；经过残差分析确定()

168,89为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l的方程为22ybxa=+，相关系数为2r，决定系数为22R．则以下结论中正确的有（）A．12aaB．12bbC．12rrD

．2212RR【答案】AC【详解】身高的平均数为165168170172173174175177179182173.510+++++++++=，因为离群点()168,89的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，

所以12aa，12bb，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以221212,rrRR，所以C正确，D错误．故选：AC．11．（2023·湖南张家界·统考二模）已知函数()

πsin4fxx=+，则下列说法正确的有（）A．若()()122fxfx−=，则12minπxx−=B．将()fx的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若()fx在0,π上有且仅有4个零点，则的取值范围为1519,44D．()fx是()fx的

导函数，令()()()gxfxfx=.则()gx在π0,4上的值域为()0,1【答案】ABC【详解】A选项，由()()122fxfx−=，故()1fx，()2fx必有一个最大值和一个最小值，则12minxx−为半个周期长度π2T=，正确；B选项，由题意ππsinc

os42fxxx+=+=的图象关于y轴对称，正确；C选项，()πsin4fxx=+，在0,πx上ππππ444x++,有且仅在4个零点，结合正弦函数的性质知：

π4ππ5π4+，则151944，正确；D选项，由题意()ππ1π1sincossin2cos244222gxxxxx=++=+=，则在π0,4x

时，20,2πx，故()gx值域为10,2，错误.故选：ABC.12．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P为11CD的中点，过A，P两点

的平面分别交棱1CC，11AD于点Q，R，则下列结论正确的是（）A．不存在点Q，使得1AQ与AP所成角的余弦值为24141B．1AR的长度取值范围是1,2C．记四边形AQPR，APR△，APQ△的面积分别为1S，2S，3S，则2321SSS的最大值为36D．当平面经过点C时，几何体1RD

PADC−的体积为73【答案】BD【详解】以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0A，()0,2,0C，()0,0,0D，()12,0,2A

，()10,2,2C，()10,0,2D，()0,1,2P，则()2,1,2AP=−，设点()0,2,Qa，(),0,2Rb，其中02a，02b，则()12,0,0ARb=−，()12,2,2AQa=−−，

()2,0,2ARb=−，()2,2,AQa=−，设(),ARmAPnAQmn=+R，即()()()2,0,22,1,22,2,bmna−=−+−，即2222022mnbmnman−−=−+=+=，可得424b

a=+−，对于A：若存在点Q，使得1AQ与AP所成角的余弦值为24141，则111cos,AQAPAQAPAQAP==22124141(2)83aa+=−+，解得12a=或6716a=−（舍去），当12a=时，

462[0,2]47ba=+=−，故存在点Q，使得1AQ与AP所成角的余弦值为24141，故A错误；对于B：因为02a，所以442a−−−，所以420,14ba=+−，所以21(2)2[1,2]ARbb=−=−，故B正确；对于C：点Q到直线AP的距离222

1524363APAQaadAQAP−+=−=，点R到直线AP的距离22225483ARAPbbdARAP−+=−=，因为424ba=+−，代入得，()2225243634aada−+=−，所以222311122142APdSdSdaAPd===−

，因为02a，所以21[,1]42a−，故()2223312232332242242SSSSSaSSSSSSa+−==++=++−2422442aa−+=−，当且仅当2442aa−=−，即2a=时等号成立，此时0[0,2]b=，故2

321SSS的最大值为14，故C错误；对于D：因为平面//ABCD平面1111DCBA，平面ABCDAC=，平面1111ABCDPR=，所以AC//PR，即点,,,ACPR四点共面，且R为11AD的中点，延长AR和CP交于点M，如图，因为MAR，

11ARAADD，且MCP，11CPAADD，且平面11AADD平面111CCDDDD=，所以1MDD，所以MACD−为三棱锥，又因为点1,,PRD平面1111DCBA，且平面1111//

ABCD平面ABCD，所以几何体1RDPADC−为三棱台，因为122ADCSADDC==，1111122RDPSDPDR==△，所以()1111117723323RDPADCADCRDPADCRDPVSSSSDD−=++=

=△△△△，故D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在()()5611xx++−展开式中，含4x的项的系数是__________．【答案】20【

详解】()51x+的展开式中4x的系数为45C5=，()61x−的展开式中4x的系数为46C15=，故在()()5611xx++−展开式中，含4x的项的系数为20．故答案为：2014．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线()22:101xyCmmm−=+的右焦点为F，点O为坐标原点

，点P是C的一条渐近线上的点，若POPF⊥，且5OP=，则m的值为______．【答案】4【详解】双曲线()22:101xyCmmm−=+的右焦点(21,0)Fm+，不妨令直线OP的方程为10mxmy−+=

，因为POPF⊥，则有()()22211mmPFmmm+==++，又222||||||OPPFOF+=,因此521mm+=+，解得4m=，所以m的值为4.故答案为：415．（2023·全国·模拟预测）已知函数()fx的定义域()(),00,D=−+，()fx在(),

0−上单调递减，且对任意的12,xxD，有()()()12121fxxfxfx=+−，若对任意的()0,x+，不等式()()()11xafefxf+−−恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案

】()1,−+【详解】令121xx==，得()11f=，令121xx==−，得()()1211ff=−−，则()11f−=，令()1xxxD=，21x=−，得()()fxfx−=，所以()fx是偶函数，因为()fx在(),0−上单调递减，所以()fx在()0,+上单调

递增.原不等式可化为()()()0xafefxx+.因为0xae+，0x，且()fx在()0,+上单调递增，所以()0xaexx+，即lnxax+，即lnaxx−.设()lnhxxx=−，则()1xhxx−=，当()0,1x时，()0hx，()hx单调递增，当()1,x

+时，()0hx，()hx单调递减，所以()()11hxh=−，所以1a−.故答案为：()1,−+16．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的

蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形1111DCBA的边长为1，往里第二个正方形为2222ABCD，…，往里第n个正方形为nnnnABCD．那么第7个正方

形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）．【答案】5007294【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点

上，且外围第一个正方形1111DCBA的边长为1，所以2123AB=，2113BB=,由勾股定理有：22222112215333ABABBB=+=+=，设第n个正方形nnnnABCD的边长为nl，

则11l=，222111215333llll=+=，……，22111215333nnnnllll−−−=+=，所以1115533nnnll−−==，所以第7个正方形的周长是6376551255004444337

29729l====，第n个正方形的面积为22125539nnnl−−==，则第1个正方形的面积为021519l==，则第2个正方形的面积为1225599l==，则

第3个正方形的面积为22359l=，……则第n个正方形的面积为1259nnl−=，前n个正方形的面积之和为115155959115994919nnnnS−−=+++==−

−，当1n=时，11951149S=−=，当2n=时，2295141499S=−=，当3n=时，339515114981S=−=，当4n=时，449514841249729S

=−=，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2023·广西南宁·统考一模）在ABC中，角AB

C､､的对边分别为abc､､，已知()()()sinsinsinsinbcBCaAC−+=−，(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，3b=，求22ac+的取值范围．【答案】(1)π3B=(2)(5,6【详解】（1）由()()()sinsinsinsinbcBCACa

−+=−,根据正弦定理可得()()()bcbcaca−+=−，所以222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==，()0,πB，π3B=．（2）由余弦定理，得222222cos,3bacacBacac=+−=+−，即223acac+=+，由正弦定理，

得32sinsinsin32acbACB====，即2sin,2sinaAcC==，又2π3CA=−，所以22π4sinsin4sinsin23sincos2sin3acACAAAAA==−=+π3sin2cos212sin216AAA=−+=−+，由ABC为锐

角三角形，故π022ππ032AA−，解得ππ62A，所以ππ5π2666A−，所以π1sin2,162A−，所以(2,3ac，所以(2235,6acac+=+．18．（12分）（2023·全国·模拟预测）对于数列()12nnan=

+，*nN，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么()11111nnnn=−++可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项

有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零②不妨将()12nnan=+，*nN也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得()()()121212nn

nnapnqpnqn+=+−++=+，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列()12nnan=+，*nN表示成()()1212nnnapnqpnq+=+−++形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意

识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)请你帮助小周同学，用“错位相减法”求na的前n项和nS；(2)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求na的前n项和nS．【答案】(1)12nnSn+=(2)12nnSn+=【详解】

（1）因为()12nnan=+所以123nnSaaaa=++++()12322324212nn=+++++①则()2341222324212nnSn+=+++++②所以①-②得：()()()21123111222

222212412212nnnnnnSnnn++++−−=++++−+=+−+=−−所以12nnSn+=；（2）因为()12nnan=+，设()()()121222nnnnapnqpnqpnqp+=+−++=−−−，比较系数得：121pqp−=−−=

，得11pq=−=，所以()()1122nnnann+=−+−−，所以()()()()()122311123021212221222nnnnnSaaaannn++=++++=−−+−−−++−+−−

=19．（12分）（2023·河南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等

关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B

考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800iix==，5013900iiy==，501462770iiixy==，()502128540iixx=−=，()

502118930iiyy=−=，其中,iixy分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i=，2，…，50，y与x的相关系数0.45r.(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r.试判断0r与r的大小关系（

不必说明理由）；(2)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）附：线性回归方程ˆˆˆyabx=+中：()(

)()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−.【答案】(1)0rr(2)0.366.4ˆ32yx=+，估计B考生的物理成绩约为81.2分【详解】（1）0rr理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度，②52个数据

点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④50个数据点更贴近其回归直线l，⑤52个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数

据可得：50501111116,785050iiiixxyy======，所以()()5050115010370iiiiiixxyyxyxy==−−=−=，所以()()()501502110370ˆ0.3628540iiiiixxyybxx==−−==−

，780.36ˆˆ11636.24aybx=−=−=，所以0.366.4ˆ32yx=+，将125x=代入，得0.3612536.2481.2481.2y=+=，所以估计B考生的物理成绩约为81.

2分.20．（12分）（2023·全国·模拟预测）如图1，在梯形ABCD中，BCAD∥，ABAD⊥，2AB=，3BC=，4=AD，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF

折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．(1)判断线段EH上是否存在点P，使得平面PAF∥平面BGH，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．(2)若22AH=，求平面ABH与平面BGH所成角

的正弦值．【答案】(1)存在，点P为线段EH的中点(2)12．【详解】（1）当点P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH．证明如下：由题易知2EH=，1GF=，EHGF∥，因为点P为线段EH的中点，所以1HPGF==，HPGF∥，所以四边形HPFG是平行四边形，所以H

GPF∥，因为PF平面PAF，HG平面PAF，所以HG∥平面PAF．连接PG，因为PEGF∥，1PEGF==，所以四边形PEFG是平行四边形，所以PGEF∥，且PGEF=，又EFAB∥，EFAB=，所以PGAB∥，P

GAB=，所以四边形ABGP是平行四边形，所以PABG∥，因为PA平面PAF，BG平面PAF，所以BG∥平面PAF．因为HG平面BGH，BG平面BGH，HGBGG=，所以平面PAF∥平面BGH．（2）因为22AH=，2AEEH==，所以222AEEHAH+=，所以AE

EH⊥，又EFEA⊥，EFEH⊥，所以EA，EF，EH两两垂直．故以点E为坐标原点，EA，EF，EH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()2,0,0A，()2,2,0B，()0,0,2H，()0,

2,1G，所以()0,2,0AB=，()2,2,2BH=−−，()2,0,1BG=−．设平面ABH的法向量为()111,,mxyz=，则00mABmBH==，即1111202220yxyz=−−+=，

得10y=，取11z=，得()1,0,1m=．设平面BGH的法向量为()222,,xnyz=，则00nBHnBG==，即22222222020xyzxz−−+=−+=，取21x=，得()1,1,2n=．设平面

ABH与平面BGH所成角为，则22222211011233cos212101112mnmn++====++++，所以231sin1cos142=−=−=，所以平面ABH与平面BGH所成角的正弦值为12．21．（12分

）（2023·四川成都·川大附中校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆2222:1(0)xyCabab+=，长轴12AA长为4，从一个焦点F发出的一条

光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且52PF=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点Q为直线4x=上一点，且Q不在x轴上，直线1QA，2QA与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设12QAA△，QMN的面积分别为1S，2S，求12SS的最大值.【答案】(1)2

2143xy+=(2)43【详解】（1）不妨设F、2F是椭圆的左焦点、右焦点，则2PFx⊥轴，又因为52PF=，24a=，所以2232PFaPF=−=，即232ba=，所以23b=，所以椭圆C的方程为22143xy+=.（2）设(

)()4,0Qtt，()11,Mxy，()22,Nxy则1QA：()26tyx=+，2QA：()22tyx=−联立()22263412tyxxy=++=，消去x得()2227180tyty+−=，解得121827tyt=+，同理，联立22223412xytxy=+

+=，消去x得()22360tyty++=，解得2263tyt−=+，所以121212121sin0021sin2QAQAQQAASttSQNtytyQMQNQQQM−−===−−()()()22222222731869273tttttttt

tt++==−+−−++.令299mt=+，则()()22122218612108111110812()1,09mmSmmSmmmmm+−+−===−++当且仅当()112110,2

108189m=−=−，即18m=，即3t=时，12SS取得最大值43.22．（12分）（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数()()22e2e22xxaxfxa=+−−，()fx为函数()fx的导函数.(1)讨论()fx的单调性；(2)若()1212,xxxx

为()fx的极值点，证明：()212ln3ln1xxaaa−−−+−.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）设2()()e(2)exxgxfxaax==+−−，则()()()2e1e1xxgxa=+−，注意

到2e1e0xx+，则有：①当0a时，则e10xa−，故()0gx对xR恒成立，故()gx的单调递减区间为(,)−+；②当0a时，令()0gx=，解得lnxa=−，当lnxa−时，()0gx；当lnxa−时，()0gx；故()gx的单调递增区间为(ln

,)a−+，单调递减区间(,ln)a−−；综上所述：①当0a时，()fx的单调递减区间为(,)−+；②当0a时，()fx的单调递增区间为(ln,)a−+，单调递减区间(,ln)a−−.（2）若()fx有

两个极值点，则()fx有两个变号的零点，由（1）可得：()011ln1ln0afaaa−=−−设()()1ln0uxxxx=−−，则()ux在()0,+上递减，且()10u=可得：()0ux，则1x，即11a，解得01a，即

()011ln1ln0afaaa−=−−，解得01a，当01a时，则有：①先证：213lnln1xaa−，设()()1ln0hxxxx=−−，则()111xhxxx−=−=令()0hx，解得1x；令()0hx，解得

01x，所以()hx在()0,1递减，在()1,+递增，所以()()10hxh=，故对0,1ln0xxx−−恒成立，()233333333ln1121ln11ln111ln10faaaaaaaaa

a−=−+−−−−=−−−−−−−，当01a时，则31210aaaa−−−=，即311aa−

，可得31ln1lnaa−，故()fx在13lnln1,aa−上存在唯一一个零点2x，即213lnln1xaa−；②再证：1211lnxaa−，当1lnxa时，即10e

xa，可得()22e0,2exxaaaa−−，则2221010afaaa−−+−−=，∵当01a时，则()11ln1ln0faaa−=−−，即111lnaa−，可得21111lnaaa−−，故1211lnxaa−

；综上所述：122131lnln1xxaaa−−.∴()21322ln11ln3ln1xxaaaaa−−−−=−−+−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com