【文档说明】2021高考数学（文）集训10　数列 .docx，共(9)页，97.963 KB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(十)数列1．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．[解](1

)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－

1)＝n2.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．

[解](1)由条件可得an＋1＝2(n＋1)nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.3．(2019·全国卷Ⅰ)记S

n为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解](1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a

1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝n(n－9)d2.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－1

1n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．4．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，S

n，Sn＋2是否成等差数列．[解](1)设{an}的公比为q.由题设可得a1(1＋q)＝2，a1(1＋q＋q2)＝－6.解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝a1(1－qn)1－q＝－23＋(－1)n2n

＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23＝2－23＋(－1)n2n＋13＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．1．(2020·安阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，

正项等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比

为q(q>0)，由a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34，得a2＋b2＝3＋d＋3q＝14，a3＋b3＝3＋2d＋3q2＝34，解得：d＝2，q＝3.∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3n.(2)∵an＋bn＝(2n＋1)＋3n，∴{an＋bn}的前n项和为(a1＋a2＋…＋

an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)＝(3＋2n＋1)n2＋3(1－3n)1－3＝n(n＋2)＋3(3n－1)2.2．(2020·潍坊模拟)已知等比数列{an}的首项a1＝2，且a2，a3＋2，a4成等差数列．(1)求{an}

的通项公式；(2)若bn＝log2an，求数列1bnbn＋1的前n项和Tn.[解](1)等比数列{an}的首项a1＝2，公比设为q，a2，a3＋2，a4成等差数列，可得a2＋a4＝2(a3＋2)，即有2q＋2q3＝2(2q2＋2)，解得q＝2.则an＝a1qn－1＝2n.(

2)bn＝log2an＝log22n＝n，则1bnbn＋1＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，前n项和Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.3．(2020·吉林二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝－3，S6＝0.(1)求数列{an}

的通项公式；(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝－3，S6＝0，∴a1＋d＝－3,6a1＋15d＝0.解得a1＝－5，d＝2.∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.(2)不等式Sn>an，即－5n＋n(n－

1)2×2>2n－7，等价于(n－1)(n－7)>0，解得n>7.∴使不等式Sn>an成立的n的最小值为8.4．(2020·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝32，且an＝an－12＋12n－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列

{2nan}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)证明：当n≥2时，由an＝an－12＋12n－1，两边同时乘以2n，可得2nan＝2n－1an－1＋2，即2nan－

2n－1an－1＝2(n≥2)．∵21a1＝2×32＝3，∴数列{2nan}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴2nan＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝2n＋12n，n∈N*.(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝321＋522＋723＋…＋2n－12n－1

＋2n＋12n，12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，两式相减，可得：12Sn＝32＋12＋122＋…＋12n－1－2n＋12n＋1＝32＋12－12n1－12－2n＋12n＋1＝52－2n＋52n＋1，∴Sn＝5－2n＋52n

.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为－9.(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.[解](1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因为k∈N*，则当n＝k

时，(Sn)min＝－k2＝－9，故k＝3.所以Sn＝n2－6n.因为Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]＝2n－7(n≥2)．当n＝1时，S1＝a1＝－5，满足an＝2n－7，综上，an＝2n－7.(2)依题意

，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，则T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5－…＋(－1)2n(4n－7)＋(－1)2n＋1[2(2n＋1)－7]＝5－2n.2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1

，b1＝12，2an＋1＝an＋12bn,2bn＋1＝12an＋bn.(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜103.[解](1)依题意得2

an＋1＝an＋12bn，2bn＋1＝12an＋bn，两式相加得：an＋1＋bn＋1＝34(an＋bn)，∴{an＋bn}为等比数列，两式相减得：an＋1－bn＋1＝14(an－bn)，∴{an－bn

}为等比数列．(2)由(1)可得：an＋bn＝3234n－1①，an－bn＝1214n－1②，两式相加得：an＝14n＋34n，Sn＝141－14n1－14＋341－3n4n1－34＜141－14＋341－34＝1

03.3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)证明：{an}为等比数列；(2)记bn＝log2an，数列λbnbn＋1的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．[解](1

)由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，当n≥2时，an＝Sn－1＋2，所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2)．又a2＝2a1，所以an＋1an＝2(n∈N

*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.则λbnbn＋1＝λn(n＋1)＝λ1n－1n＋1，Tn＝λ1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝λ1－1n＋1，因为Tn≥10，所以λnn＋1≥10，从而

λ≥10(n＋1)n，因为10(n＋1)n＝101＋1n≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞)．4．已知数列{an}的各项都为正数，a1＝2，且an＋1an＝2anan＋1＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝[lg(log2an)]，其中[x]表

示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1，求数列{bn}的前2020项和．[解](1)由题意，an＋1an＝2anan＋1＋1，即a2n＋1－an＋1an－2a2n＝0，整理，得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.∵数列{an}的各项都为正数，∴an＋1－

2an＝0，即an＋1＝2an.∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n.(2)由(1)知，bn＝[lg(log2an)]＝[lg(log22n)]＝[lgn]，故bn＝0，1≤n<10，1，10≤n<100，

2，100≤n<1000，3，1000≤n<2020，n∈N*.∴数列{bn}的前2020项的和为1×90＋2×900＋3×1021＝4953.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com