【文档说明】湖北省沙市中学2023-2024学年高一上学期11月期中考试+数学+含解析.docx，共(24)页，985.158 KB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年度上学期2023级期中考试数学试卷命题人：刘芳审题人：熊炜考试时间：2023年11月2日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合

2Z13,Z7100AxxBxxx==−+|<|<，则AB的子集的个数为（）A.2B.5C.6D.82.命题“1x，20xx−”的否定是（）A.01x，2000xx−B.01x，

2000xx−C.1x，20xx−D.1x，20xx−3.下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（）A.21xyx=+B.21xxyx+=+C.yx=D.1yxx=−4.命题“23x，230xa−”为真命题的一个必要不充分条件是（）A13aB.12

aC.8aD.6a5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()fx的部分图象如图所示

，则函数()fx的解析式可能为（）A.()21xfxx=−B.()221xfxx=+.的C.()221xfxx=−D.()2211xfxx+=−6.()fx是定义域为R上的奇函数，当0x时，()22(xfxxmm=+

+为常数），则()2f−=A.9B.7C.9−D.7−7.若函数()221++=+xxafxx()0x的值域为),a+，则实数a的取值范围是（）A.(,2−B.[]0,1C.(,1−D.1,28.定义在R上的函数()fx满足：对任意的)12,0,xx+（12xx）

，都有()()21210fxfxxx−−，且()30f=，函数(1)fx+关于直线=1x−对称，则不等式()()210xfx−的解集是（）A.13,2−B.()13,3,2−+C.()1,3,32−−D.()

(),33,−−+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若22acbc，则abB.若23a−，12b，则31ab−−C.若

0ab，0m，则mmabD.若ab，cd，则acbd10.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数()fx的定义域为22−,，则函数()1fx+的定义域为3,1−B.函数2yxx=+−的值域为

7,4+C.函数f（x）满足()()21fxfxx−−=−，则()213fxx=+D.若方程240xmx++=的两个不等实根都在区间()1,+内，则实数m的取值范围为()5,4−−11.已知4(0,0)ababab+=，

则下列结论正确的是（）A.ab的最小值为16B.ab+的最小值为9C.11ab+的最大值为1D.2241ab+的最小值为1512.若函数()fx满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式122212()()

1fxfxxx−−恒成立，则称()fx在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数()fx中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（）A.()41fxx=−B.21()fxxxx=++C.2()221fxxx=−+D.2()2

1fxxx=−+三.填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数)(),0,()2(2),,0xxfxfxx+=+−，则()1f−=__________.14.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()31fxxx=++，则()f

x在R上的解析式为______.15.已知函数()()22,131,1axxaxfxaxx−−=+−是R上的减函数，则实数a的取值范围是______.16.若函数()fx与()gx对于任意1

2,,xxcd，都有()()12fxgxm，则称函数()fx与()gx是区间,cd上的“m阶依附函数”．已知函数()31fxx=−与()24gxxaxa=−−+是区间1,2上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是______．四.解答

题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知集合2230Axxx=+−，11Bxaxa=−−−+.（1）若3a=，求()RABð；（2）

设命题:pxA，命题:qxB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.已知幂函数()()2139mfxmmx−=+−在()0,+上是减函数，Rm.（1）求()fx的解析式；（2）若()()3322221mmaa++−

−，求实数a的取值范围.19.已知函数2()(23)6(R)fxaxaxa=−++..（1）若()20fx+恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a=时，函数()(5)3fxmxm−++−在[0,2]有解，求实数m取值范围.

20.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知

生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本()Gx万元，且()2120,05049002012100,50100xxxGxxxx+=+−，由市场调研知，该

产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润()Wx万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入−成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？21.函数()fx对任意实数,xy恒有()()()fxfyfx

y=+−，且当0x时，()0fx.（1）判断()fx的奇偶性；（2）求证：()fx是R上的减函数；（3）若Ra，解关于x的不等式()()()()222faxfxfxfax++−.22.已知函数21()xfxaxb+=+是定义域上的奇函数，且(1)2f−=−

.（1）求函数()fx的解析式；（2）若方程()fxm=在(0,)+上有两个不同的根，求实数m的取值范围；（3）令221()2()(0)hxxtfxtx=+−，若对121,,22xx都有1215|()()|4h

xhx−，求实数t取值范围.的的2023—2024学年度上学期2023级期中考试数学试卷命题人：刘芳审题人：熊炜考试时间：2023年11月2日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.1.集合2Z13,Z7100AxxBxxx==−+|<|<，则AB的子集的个数为（）A2B.5C.6D.8【答案】D【解析】【分析】分别对集合A和集合B化简，然后求出AB

，从而确定子集个数.【详解】因为Z132,3Axx==|<，2Z|7100Z|2<<53,4Bxxxxx=−+==所以2,3,4AB=，所以AB的子集的个数为328=.故选：D.2.命题“1x，20xx−”的否定是（）A.01x

，2000xx−B.01x，2000xx−C.1x，20xx−D.1x，20xx−【答案】B【解析】【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.【详解】命题“1x，20xx−”的否定是：01x，2

000xx−.故选：B.3.下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（）A.21xyx=+B.21xxyx+=+.C.yx=D.1yxx=−【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的

单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A：函数定义域为R，且22()()1()1xxfxfxxx−−==−=−+−+，故为奇函数，当0x时1()1fxxx=+，而1yxx=+在(0,1)上递减，

(1,)+上递增，故()fx在(0,1)上递增，(1,)+上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合；B：函数定义域为{|1}xx−，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合；C：函数定义域为R，且()()fxxfx−=−=−，故为奇函数，函数单调递增，符合；D：函数定义域为{|0}

xx，且11()()()fxxxfxxx−=−−=−−=−−，故为奇函数，函数分别在(,0)−、(0,)+上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C4.命题“23x，230xa−”为真命题的一个必要不充分条

件是（）A.13aB.12aC.8aD.6a【答案】A【解析】【分析】根据条件，将问题转化成23xa在23x上恒成立，从而得到12a，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果.【详解】由“23x，230xa−”为

真命题，得23xa对于23x恒成立，令23yx=，易知，23x时，12y，所以，12a，故“13a”是命题“23x，230xa−”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A．5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结

合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()fx的部分图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A.()21xfxx=−B.()221xfxx=+C.()221xfxx=−D.()

2211xfxx+=−【答案】C【解析】【分析】根据图象函数奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据1x时函数值为正排除A；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函

数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；对于A，当1x时，0y，不满足图象；对于C，当1x时，0y，满足图象.故排除A，选C.故选：C6.()fx是定义域为R上的奇函数，当0x时，()22(xfxxmm=++为常数），则()2f−=A.9B.7

C.9−D.7−【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为()fx是定义域为R且()fx是奇函数，所以()()()0000fff=−=，所以()0022010fmm=++=+=，1m=−，()()22222217ff−=−=−+−=−，故选D.考点：1、函数的奇偶

性；2、分段函数的解析式.7.若函数()221++=+xxafxx()0x的值域为),a+，则实数a的取值范围是（）为A.(,2−B.[]0,1C.(,1−D.1,2【答案】A【解析】【分析】由()222(1)11(1)111xxaxaafxxxxx++++−

−===+++++，然后分10a−和1a判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出a的取值范围【详解】解：()222(1)11(1)111xxaxaafxxxxx++++−−===+++++，当1

0a−时，()fx在[0,)+上单调递增，所以min()(0)fxfa==，此时1a，当1a时，由1()(1)211afxxax−=++−+，当且仅当11xa+=−，即11xa=−−时取等号，因为()fx在(11,)a−−+上单调递增，(0)fa=若()fx的值域为)

,a+，则有110a−−，即2a，则12a，综上，2a，所以实数a的取值范围为(,2−故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为()222(1)11(1)111xxaxaafx

xxxx++++−−===+++++，然后分10a−和1a讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题8.定义在R上的函数()fx满足：对任意的)12,0,xx+（12xx），都有()()21210fxfxxx−−，且()30f=，函数(1)

fx+关于直线=1x−对称，则不等式()()210xfx−的解集是（）A.13,2−B.()13,3,2−+C.()1,3,32−−D.()(),33,−−+【答案】C【解析】【分

析】根据题意得到()fx在)0,+上单调递减，且()fx为偶函数，故()fx在(),0−上单调递增，分12x和12x，结合函数单调性求出解集.【详解】因为对任意的)12,0,xx+（12xx），都

有()()21210fxfxxx−−，所以()fx在)0,+上单调递减，因为(1)fx+关于直线=1x−对称，所以()fx关于y轴对称，即()fx为偶函数，所以()fx在(),0−上单调递增，因为()30

f=，所以()30f−=，当12x时，210x−，令()()210xfx−得()0fx，即()()3fxf，所以3x，所以132x，当12x时，210x−，令()()210xfx−得()0fx，即()()3fxf−，所以3x−，所以3x−，

综上，()()210xfx−的解集为()1,3,32−−.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列

说法中正确的是（）A.若22acbc，则abB.若23a−，12b，则31ab−−C.若0ab，0m，则mmabD.若ab，cd，则acbd【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性质，逐项判断即

可.【详解】对于A，由22acbc，得20c，则ab，A正确；对于B，由12b，得21b−−−，而23a−，则42ab−−，B错误；对于C，由0ab，得11ab，而0m，则mmab，C正确；对于D，由31,12

−−，知3(1)1(2)−−，D错误.故选：AC10.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数()fx的定义域为22−,，则函数()1fx+的定义域为3,1−B.函数2yxx=+−的值域为7,4+C.函数f（x）满足()()21fxfxx−−=−，则()213fxx=

+D.若方程240xmx++=的两个不等实根都在区间()1,+内，则实数m的取值范围为()5,4−−【答案】AD【解析】【分析】A.利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C.由()()21fxfxx−−=−得到()()21fxfxx−−=−−，联立求解判断

；D.令()24fxxmx=++，利用方程根的分布判断.【详解】A.因为函数()fx的定义域为22−,，所以212x−+，解得31x−，所以函数()1fx+的定义域为3,1−，故是真命题；B.函数2yxx=+−的定义域为)2,+，且在定义域上单调递

增，所以函数2yxx=+−的值域为)2,+，故不是真命题；C.由()()21fxfxx−−=−，得()()21fxfxx−−=−−，联立解得()113fxx=+，故不是真命题；D.令()24fxxm

x=++，因为240xmx++=的两个不等实根都在区间()1,+内，所以()212Δ160150mmfm−=−=+，即2445mmmm−−−或，解得54m−−，所以实数m的取值范围为()5,4−−，故是真命题；故选：AD11.已知4(0,0)ababa

b+=，则下列结论正确的是（）A.ab的最小值为16B.ab+的最小值为9C.11ab+的最大值为1D.2241ab+的最小值为15【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用消元法即可判断C；利

用消元法结合二次函数的性质即可判断D.【详解】对于A，因为44ababab=+，所以4ab（0ab舍去），所以16ab，当且仅当44ababab=+=，即48ab==时取等号，所以ab的最小值为16，故A正确；对于B，因为4(0,0)ababab+=，所以411a

b+=，则()41445529babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即26ab==时取等号，所以ab+的最小值为9，故B正确；对于C，由B得411ab+=，则141ba=−，则11311ab

a+=−，故C错误；对于D，22222414420811abaaaa+=+−=−+，当115a=，即5a=时，22081aa−+取得最小值15，所以当5ab==时，2241ab+的最小值为15，故D正确.故选：ABD.12.若函数()fx满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1

≠x2时，不等式122212()()1fxfxxx−−恒成立，则称()fx在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数()fx中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（）A.()41fxx=−B.21()fxxxx=++C.2()2

21fxxx=−+D.2()21fxxx=−+【答案】BC【解析】【分析】令2()()gxfxx=−，问题转化为判断()gx在(1,)+上是增函数，分别对各个选项判断即可．【详解】若函数()fx满足对1x，2(1,)x+，当12xx时，不等式

122212()()1fxfxxx−−恒成立，则2212112222121212()()[()][()]10()()fxfxfxxfxxxxxxxx−−−−−=−−+，令2()()gxfxx=−，则1212()()0gxgxxx−−，

1x，2(1,)x+，且12xx，()gx在(1,)+上是增函数，对于,()41Afxx=−，则22()()41gxfxxxx=−=−+−，对称轴是2x=，故()gx在(1,2)递增，在(2,)+递减，故A错误；对于21,()Bfxxxx=++，则21()()gx

fxxxx=−=+，是对勾函数，故()gx在(1,)+递增，故B正确；对于2,()221Cfxxx=−+，故22()()21gxfxxxx=−=−+，对称轴是1x=，故()gx在(1,)+递增，故C正确；对于2,()21Dfxx

x=−+，则2()()21gxfxxx=−=−+，故()gx在(1,)+递减，故D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于122212()()1fxfxxx−−恒成立可转化为新函数2()()

gxfxx=−满足1212()()0gxgxxx−−上恒成立，即()gx在(1,)+上是增函数，属于中档题．三.填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数)(),0,()2(2),,0xxfxfxx

+=+−，则()1f−=__________.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数性质可得()()121ff−=，又()11f=，即可得()12f−=.【详解】由分段函数解析式可知，将=1x−代入

可得()()121ff−=，再将1x=代入可得()11f=，即可计算出()12f−=.故答案为：214.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()31fxxx=++，则()fx在R上的解析式为______.【答案】()331,00,01,0xxxfxxxxx++

==+−【解析】【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.【详解】因为函数()fx是定义在R上奇函数，则()00f=，当0x时，则0x−，可得()()()()3311fxfxxxxx=−−=−−+−+=+−，的所以(

)331,00,01,0xxxfxxxxx++==+−.故答案为：()331,00,01,0xxxfxxxxx++==+−.15.已知函数()()22,131,1axxaxfxaxx−−=+

−是R上的减函数，则实数a的取值范围是______.【答案】43a−−【解析】【分析】利用分段函数是R上的减函数，直接建立a的不等关系，从而求出结果.【详解】因为函数()()22,131,1axxaxfxaxx−−=+−是R上的减函数，所以30011312aaaaaa+

+−−−，解得43a−−，故答案为：43a−−.16.若函数()fx与()gx对于任意12,,xxcd，都有()()12fxgxm，则称函数()fx与()gx是区间,cd上的“m阶依附函数”．已知函数()31

fxx=−与()24gxxaxa=−−+是区间1,2上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是______．【答案】(,2−【解析】【分析】由题意得()()minmin2fxgx在1,2上恒成立，又()min2f

x=，所以()1gx在1,2上恒成立，即231xax++在1,2上恒成立，令1xt+=，2,3t，设()42httt=+−，研究()ht的最小值即可．【详解】因为函数()31fxx=−与()24gxxaxa=−−+是区间1,2上的“2阶依附函数

”，所以()()minmin2fxgx在1,2上恒成立，又()31fxx=−在1,2上单调递增，则()()min12fxf==，所以()241gxxaxa=−−+在1,2上恒成立，即231xax+

+在1,2上恒成立，()221133412111xxxxxx+−++==++−+++，令1xt+=，2,3t，设()42httt=+−，()2224410thttt−=−=，则()ht在2,3

上单调递增，所以()()min22hth==，所以2a．故答案为：(,2−．四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合2230Axxx=+−，11Bx

axa=−−−+.（1）若3a=，求()RABð；（2）设命题:pxA，命题:qxB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）{|2xx−或1}x；（2）0,2.【解析】【分析】（1）化简集合A，求出RAð即得解；（2）由题意可得集合B是集合A

的真子集，列不等式组解不等式组即得解.【小问1详解】（1）223031Axxxxx=−−=−，当3a=时，13142Bxxxx=−+=−−，R{|3Axx=−ð或1}x，∴()RAB=

ð{|2xx−或1}x；【小问2详解】由题意可得集合B是集合A的真子集，∵11Bxaxa=−−−+，∴1311aa−−−−+或1311aa−−−−+，解得02a，∴实数a的取值范围是0,2.18.已知幂函数()()2139mfx

mmx−=+−在()0,+上是减函数，Rm.（1）求()fx的解析式；（2）若()()3322221mmaa++−−，求实数a取值范围.【答案】（1）()6fxx−=（2）1[,1)2【解析】【

分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案；（2）结合（1）中m的值，再结合幂函数12yx=的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案.【小问1详解】由于函数()()2139mfxmmx−=+−是幂函数，故2391mm+

−=，解得2m=或5m=−，当2m=时，()fxx=在()0,+上是增函数，不合题意；当5m=−时，()6fxx−=在()0,+上是减函数，符合题意，故()6fxx−=.【小问2详解】由（1）知5m=−，则()()1122221

aa−−，结合幂函数12yx=在[0,)+上为增函数，得20210221aaaa−−−−，解得112a，即1[,1)2a.19.已知函数2()(23)6(R)fxaxaxa=−++.的（1）若()20fx+恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a=时，函数()(5)3

fxmxm−++−在[0,2]有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）19,22（2）)3,−+【解析】【分析】（1）转化为2(23)80axax−++恒成立，分0a=与0a，得到不等式，求出实数a的取值范围；（2）转化为213mxx+−+在[0,2]上

有解，所以只需max213xmx−++，构造函数，由对勾函数性质得到a2mx331xx=++，从而得到实数a的取值范围.【小问1详解】()2()2(23)8gxfxaxax=+=−++，故2(23)80axax−++

恒成立，当0a=时，380x−+不恒成立，舍去，当0a时，要想2(23)80axax−++恒成立，则要满足()20Δ23320aaa=−+−，解得1922a，综上，实数a的取值范围为19,22；【小问2详解】当1a=时，函数()(5)3fx

mxm−++−在[0,2]有解，即()2103mxx+++在[0,2]上有解，所以213mxx+−+在[0,2]上有解，所以只需max213xmx−++，令()()()()2212143412111

xxxhxxxxx+−+++===++−+++，因为0,2x，所以11,3x+，由对勾函数性质可知，()()4121hxxx=++−+在11,2x+，即0,1x上单调递减，在12,3x+，即1,2x上单调递增，由于

()01423h=+−=，()4723233h=+−=，由于373，故a2mx331xx=++，故3m−，解得3m−，实数m的取值范围是)3,−+.20.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素

的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本()Gx万元，且()2120,05049002012100,50100xxxGxxxx+

=+−，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润()Wx万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入−成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大

利润是多少？【答案】（1）280200,05049001900,50100xxxWxxxx−+−=−++（）（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利

润是1760万元.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分050x，50100x两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】由题意可得：当050x

时，()()2220012020080200Wxxxxxx=−+−=−+−，当50100x时，()4900490020020121002001900Wxxxxxx−+−−−++＝＝，故()280

200,05049001900,50100xxxWxxxx−+−=−++．【小问2详解】当050x时，()()2280200401400Wxxxx=−+−=−−+，得40x=时()max1400Wx=万元；当50100x时，()

490049001900219001760Wxxxxx−++−+==，当且仅当4900xx=，即70x=时等号成立，此时()max1760Wx=万元.综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润

最大，最大利润是1760万元.21.函数()fx对任意实数,xy恒有()()()fxfyfxy=+−，且当0x时，()0fx.（1）判断()fx的奇偶性；（2）求证：()fx是R上的减函数；（3）若Ra，解关于x的不等式()()()()222faxfxfxfax++−.【答案】

（1）奇函数（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.【小问1详解】解：

由题意，函数()fx对任意实数,xy恒有()()()fxfyfxy=+−，令0xy==得(0)(0)(0)fff=+，解得：(0)0f=.取0x=，则由()()()fxfyfxy=+−得(0)()()0ffyfy=+−=，∴()()fyfy−=−，即()()fxfx−

=−，∴函数()fx是奇函数.【小问2详解】证明：任取12,Rxx，且12xx，则210xx−，∵当0x时，()0fx，∴()210fxx−，由()()()fxfyfxy=+−得()()()fxfyfxy−=−，∴(

)()()21210fxfxfxx−=−，∴()()12fxfx，∴()fx是R上的减函数.【小问3详解】解：由()()()fxfyfxy=+−得()()()2222++=++faxfxfaxx，

由()()()fxfyfxy=+−得()()()fxfyfxy−=−，则()()()22−=−fxfaxfxax，∴不等式()()()()222faxfxfxfax++−可化为()()222faxxfxax++−，∵()fx是R上的减函数，∴222axxxax++−，即()()21120

axax−+++………①.（i）当1a=时，不等式①式即为220x+，解得：1x−，即原不等式解集为()1,−+；（ii）当1a时，不等式①式化为()()21101axxa−++−，即()2101xxa++−，若3a=，上式不等式即()210x+

，解得：1x−，即原不等式解集为()(),11,−−−+；若3a，则211a−−−，原不等式解集为()2,1,1−−−+−a；若13a，则211a−−−，原不等式解集为()2,1,1−−−+−a；为（iii）当1a时，

不等式①式化为()()21101axxa−++−，即()2101xxa++−，∵此时211a−−−，∴原不等式解集为21,1−−−a；综上，当1a时，原不等式解集为21,1−−−a；当1a=时，原

不等式解集为()1,−+；当13a时，原不等式解集为()2,1,1−−−+−a；当3a=时，原不等式解集为()(),11,−−−+；当3a时，原不等式解集为()2,1,1−−−+−

a.【点睛】方法点睛：1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若Δ0，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边

的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.22.已知函数21()xfxaxb+=+是定义域上的奇

函数，且(1)2f−=−.（1）求函数()fx的解析式；（2）若方程()fxm=在(0,)+上有两个不同的根，求实数m的取值范围；（3）令221()2()(0)hxxtfxtx=+−，若对121,,22xx都有1215|()()|4h

xhx−，求实数t的取值范围.【答案】（1）1()fxxx=+（2）m>2（3）302t−【解析】【分析】（1）根据题意得到(1)2f−=−，(1)2f=，从而得到2222abab=−−+=+，再

解方程组即可.（2）根据题意得到210xmx−+=在(0,)+上有两个不相等的实数根，从而得到2400mm=−，再解不等式组即可.（3）根据题意得到2211()2()hxxtxxx=+−+，设1zxx=+，得到222yztz=−−，根

据52,2z，再利用二次函数的性质得到min()42hxt=−+，max17()54hxt=−+，从而得到17155(42)44tt−+−−+，解不等式即可.【小问1详解】∵(1)2f−=−，又()fx是奇函数，

∴(1)2f=，2222abab=−−+=+，∴解得10ab==，∴1()fxxx=+.经验证，函数满足定义域|0xx，()()1fxxfxx−=−+−=−成立，所以()1fxxx=+.【小问2详解】方程()fxm=在(0,)+上有两个不同的根，即21

0xmx−+=在(0,)+上有两个不相等的实数根，需满足2400mm=−，解得m>2.【小问3详解】有题意知2211()2()hxxtxxx=+−+，令21,22zxyztzx=+=−−因为函数1zxx=+在1,12

上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴52,2z∵函数222yztz=−−的对称轴为0zt=，∴函数222yztz=−−在52,2上单调递增.当2z=时，min42yt=−+；当52z=时，max1754yt=−+；即min()42hxt=

−+，max17()54hxt=−+又∵对121,,22xx都有1215|()()|4hxhx−恒成立，∴maxmin15()()4hxhx−，即17155(42)44tt−+−−+，解得32t−，又∵0t，∴t的取值范围是302t−.

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