【文档说明】高中数学课时作业（人教B版必修第三册）详解答案.docx，共(70)页，942.860 KB，由小赞的店铺上传

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课时作业(一)角的推广1．解析：A错，例如495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角；B错，例如α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；C错，例如α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条

直线上，则两角相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).答案：D2．解析：－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.答案：A3．解析：因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360

°＋52°，k∈Z，当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1132°；当k＝4时，β＝1492°.综上，选项A、C、D正确．答案：ACD4．解析：当k＝0时，45°≤α≤90°，即选项C中第一象限所表示的部

分；当k＝1时，225°≤α≤270°，即选项C中第三象限所表示的部分；当k＝2时，其所表示的角的范围与k＝0时表示的范围一致．综上可得，选项C正确．答案：C5．解析：由题意，α－β为180°的奇数倍，∴α－β＝(

2k－1)·180°(k∈Z).故答案为α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z).答案：α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)6．解析：顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－9

00°，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°.答案：－900°900°7．解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60

°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·36

0°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}8．解析：∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，∴90°＋k·180°<α2<135°＋k·180°(k∈Z)，若k为偶数，当k＝2n，n∈Z，则90°＋k·360°＜α2＜135°＋

k·360°(k∈Z)，为第二象限角，若k为奇数，当k＝2n＋1，n∈Z，则270°＋k·360°＜α2＜315°＋k·360°(k∈Z)，为第四象限角，则α2是第二象限或第四象限的角．9．解析：∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°

范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.10．解析：因为0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°

，k∈Z，则当k＝0时，90°<θ<135°.又因为14θ＝n·360°(n∈Z)，所以θ＝n·1807°，从而90°<n·1807°<135°，所以72<n<214，又因为n∈Z，所以n＝4或5.当n＝4时，θ＝

7207°；当n＝5时，θ＝9007°.课时作业(二)弧度制及其与角度制的换算1．解析：因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限角．答案：D2．解析：因为时针旋转

一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为16×(－2π)＝－π3.答案：B3．解析：对于A，67°30′＝67.5°×π180°＝3π8，正确；对于B，－10π3＝－10π3×180°π＝－600°

，正确；对于C，－150°＝－150°×π180°＝－5π6，错误；对于D，π12＝π12×180°π＝15°，错误．答案：AB4．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝12lr＝12|α|r2＝12×4×r2，

解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.答案：C5．解析：如图所示，所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].答案：[－4，－π]∪[0，π]6．解析：－570°＝－570×π180rad＝－196πrad，－19π6＝－4π＋5π6.答案：－4π＋5π67

．解析：设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r＋2α.又∵r＝2，∴α＝π6.答案：π68．解析：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10

，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·53＝12×10×53＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.9．解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则由题意得l＋2r＝40，1

2lr＝100，解得l＝20，r＝10，则α＝lr＝2(rad).故扇形的圆心角为2rad.(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r＞0⇒r＜20，故S＝12lr＝12(40－2r)·r(0＜r＜20)＝20r－r2＝－(r－1

0)2＋100，故r＝10时，扇形面积S取最大值100.10．解析：𝐴𝐴1̂所在的圆半径是2dm，圆心角为π2；𝐴1𝐴2̂所在的圆半径是1dm，圆心角为π2；𝐴2𝐴3̂所在的圆半径是3dm，圆心角为π3，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和

，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π6(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm2).答案：（9＋23）π6dm7π4dm2课时作业(三)三角函数的定义1．解析：∵90°<165°<180

°，∴sin165°>0；又270°<280°<360°，∴cos280°>0；又90°<170°<180°，∴tan170°<0；又270°<310°<360°，∴tan310°<0，故选C.答案：C2．解析：r＝（－3）2＋42＝5，∴sinα＝45，cos

α＝－35，∴sinα＋cosα＝45－35＝15.答案：C3．解析：设P(x，y)，则sinα＝yr，∴y＝rsinα，又cosα＝xr，x＝rcosα，∴P(rcosα，rsinα)，故选D.答案：D4．解析：因为角A，B的范围不确定，A不满足条件；因为B，C∈(0，π)

，所以B2，C2∈0，π2，所以B满足条件；因为角A的范围不确定，所以tanA不确定，所以C不满足条件；因为0<A<π，所以0<A2<π2，所以tanA2>0，又因为0<C<π，所以sinC>0，所以D满足条件．综上，BD满足题意．答案：BD5．解析：∵α为

第二象限角，∴cosα<0，sinα>0.答案：二6．解析：由题意可得x≠kπ＋π2，k∈Z，sinx>0，即x≠kπ＋π2，k∈Z，2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，解得2kπ<x<2kπ＋π2或2kπ＋π2<x<2kπ＋π，k∈Z.答案：(2k

π，2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋π)(k∈Z)7．解析：由sinα>0可知α的终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，由tanα<0可知α的终边在第二、四象限．综上可知α为第二象限角．答案：二8．解析：(1)

因为1|sinα|＝－1sinα，所以sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以角α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以352＋m2＝1，得m＝±45，又因为角α是第四象

限角，所以m<0，所以m＝－45，所以sinα＝m||OM＝－451＝－45.9．解析：∵α是第二象限角，∴x<0.∵|OP|＝x2＋（5）2＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5＝24x，∴x2＝3.又∵x<0，∴x＝－3，∴sinα＝5|OP|＝58＝104.10．解析：由题意知x不是终边

在坐标轴上的角，则有：x为第一象限角时：y＝sinxsinx＋cosxcosx＋tanxtanx＝3；x为第二象限角时：y＝sinxsinx＋cosx－cosx＋－tanxtanx＝－1；x为第三象限角时：y＝－sinxsinx＋cosx－cosx＋tanxt

anx＝－1；x为第四象限角时：y＝－sinxsinx＋cosxcosx＋－tanxtanx＝－1；综上知此函数值域为{－1，3}．答案：{－1，3}课时作业(四)单位圆与三角函数线1．解析：由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4.答案：C2．解析

：由图可得：OM→为余弦线，MP→为正弦线，AT→为正切线．A选项：当点P在𝐴𝐵̂上时，cosα＝x，sinα＝y，所以cosα>sinα，故A选项错误，符合题意；B选项：当点P在𝐶𝐷̂上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，所以tanα>sinα>cosα，故

B选项错误，符合题意；C选项：当点P在𝐸𝐹̂上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，所以sinα>cosα>tanα，故C选项正确，不符合题意；D选项：点P在𝐺𝐻̂上且𝐺𝐻̂在第三

象限，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D选项错误，符合题意．光速解题第一象限角的正切值恒大于该角的正弦值，第三象限角的正切值恒大于该角的正弦值，故不可能在第一和第三象限．答案：ABD3．解析：根据下列四个图形，容易判断正确的结

论有②④，故选B.答案：B4．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sinx≥12的取值范围是[π6，5π6].答案：B5．解析：∵π4<1<π3，∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin1>cos1.答案：sin1>cos16．解析：由图可知：co

s6π5<0，tan2π5>0，sin2π5>0.因为|MP→|<|AT→|，所以sin2π5<tan2π5.故cos6π5<sin2π5<tan2π5.答案：cos6π5<sin2π5<tan2π57．解析：由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是c

os5π6＝－32，纵坐标是sin5π6＝12，所以角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是－32，12.答案：－32，128．解析：如图，MP→，OM→，AT→分别为正弦线，余弦线和正切线．sin7π6＝－12，cos7π6＝－32，tan7π6＝33

.9．解析：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作直线x＝－12，x＝32.直线x＝－12与单位圆交于点P1，P2与x轴交于点M1；直线x＝32与单位圆交于点P3，P4，与x轴交于点M2.连接OP1，OP2

，OP3，OP4.在[－π，π)范围内，cos2π3＝cos－2π3＝－12，cosπ6＝cos－π6＝32，则点P1，P2，P3，P4分别在角2π3，－2π3，π6，－π6的终边上．又－12≤cosθ

<32，结合图形可知，当θ∈[－π，π)时，－2π3≤θ<－π6或π6<θ≤2π3，故θ的取值范围为2kπ－2π3≤θ<2kπ－π6，k∈Z或2kπ＋π6<θ≤2kπ＋2π3，k∈Z.10.解析：(1)如图所示，当x＝π4和x＝－3π4时，sinx＝

cosx，故使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是－3π4，π4.(2)根据三角函数线的定义可知，π6与5π6的正弦线相等，π3与4π3的正切线相等，π4与5π4的余弦线相反．(3)若θ∈3π4，π，则sinθ＞0，cosθ＜0，

sinθ＜|cosθ|，所以sinθ＋cosθ＜0.答案：(1)A(2)B(3)④课时作业(五)同角三角函数的基本关系式1．解析：由sinα＋sin2α＝1，得sinα＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sinα

＋sin2α＝1.答案：B2．解析：∵α是第三象限的角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－12132＝－513.答案：B3．解析：因为1－cos2α＋1－sin2α＝sinα－cosα，所以sinα≥0，cosα≤0，又α∈[0，2π)，

所以α∈π2，π，故选B.答案：B4．解析：∵()sinα＋cosα2＝1＋2sinαcosα＝54，∴2sinαcosα＝14，∵()cosα－sinα2＝1－2sinαcosα＝1－14＝34，∴cosα

－sinα＝±32，又∵α∈π4，π2，∴0<cosα<sinα，即cosα－sinα＝－32.故选B.答案：B5．解析：∵tanA＝－512，又A是三角形的内角，∴A是钝角．∵sinAcosA＝－512，∴－5cosA＝12sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝－1213

.答案：－12136．解析：1－sin23π5＝cos23π5＝cos3π5，因为π2<3π5<π，所以cos3π5<0，所以cos3π5＝－cos3π5，即1－sin23π5＝－cos3π5.答案：－cos3

π57．解析：由于sinαcosα＝－16，π4<α<3π4，所以sinα>0，cosα<0，故sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝()sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1＋13＝233.答案：2338．解析：(1)cosα－sinαcosα＋sinα＋

cosα＋sinαcosα－sinα＝1－tanα1＋tanα＋1＋tanα1－tanα＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)1sinαcosα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝tan2α＋1tanα＝136.(3)sin2α－2s

inαcosα＋4cos2α＝sin2α－2sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－2tanα＋4tan2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.9．解析：sinα＋cosα＝15⇒

(sinα＋cosα)2＝125⇒2sinαcosα＝－2425，又α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝4925＝75，解得sinα＝45，c

osα＝－35，tanα＝－43.答案：－4310．解析：(1)原式＝（1－cosα）21－cos2α＋（1＋cosα）21－cos2α＝1－cosα|sinα|＋1＋cosα||sinα＝2||sinα，因为π<α<3π2，所以原式＝－2sinα.(2)证明：1－ta

n2θ1＋tan2θ＝1－sinθcosθ21＋sinθcosθ2＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝cos2θ－sin2θ.课时作业(六)诱导公式一、二、三、四1．解析：因为sin600

°＝sin()720°－120°＝sin()－120°＝－sin120°＝－sin60°＝－32.答案：B2．解析：因为－π6＋α＋7π6－α＝π，所以7π6－α＝π－－π6＋α，所以cos7π6－α＝cos

π－－π6＋α＝－cos－π6＋α＝513.答案：B3．解析：由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC．答案：B4．解析：由诱导公式易知A正确

；B正确，sin（－α）tan（360°－α）＝－sinα－tanα＝cosα；C错误，cos（π－α）tan（－π－α）sin（2π－α）＝（－cosα）（－tanα）－sinα＝－1；D正确，1＋2sin（π＋θ）cos（2π－θ）＝1－2sinθc

osθ，＝（sinθ－cosθ）2＝|sinθ－cosθ|，因为θ∈π2，π，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ>0，所以1＋2sin（π＋θ）cos()2π－θ＝sinθ－cosθ.

答案：ABD5．解析：原式＝cosα·sin（－α）cosα·sin（－α）＝1.答案：16．解析：因为cosπ6－α＝－24，所以sinπ6－α＝±1－cos2π6－α＝±1－－242＝±144，因为α∈π2，π，所以－

α∈－π，－π2，所以π6－α∈－5π6，－π3，所以sinπ6－α＝－144，所以sinα＋5π6＝sinπ－π6－α＝sinπ6－α＝－144.答案：－1447．解析：∵cos(－α)－sin(－α)＝－15，∴co

sα＋sinα＝－15，∴1＋2sinαcosα＝125.∴2sinαcosα＝－2425<0.又α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－75.由cosα＋s

inα＝－15，cosα－sinα＝－75，解得cosα＝－45，sinα＝35．∴tanα＝sinαcosα＝35×－54＝－34.答案：－348．解析：(1)sin116π＋cos－203π＋tan294π

＝－sinπ6＋cos2π3＋tanπ4＝－12＋－12＋1＝0；(2)原式＝－tanαcosα（－sinα）－cosα（－sinα）＝tanα.9．解析：(1)f(α)＝－sinαcosα（－tanα）

（－tanα）sinα＝－cosα.(2)因为sin(α－π)＝－sinα＝15，所以sinα＝－15.又α是第三象限角，所以cosα＝－265.所以f(α)＝265.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f－31π3＝－cos－6×2π

＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.10．解析：f(2018)＝asin(2018π＋a)－bcos(2018π－b)＋ctan(2018π＋c)＝asina－bcosb＋ctanc，而f(2020)＝asin(2020π＋a)－bcos(2020π

－b)＋ctan(2020π＋c)＝asina－bcosb＋ctanc，所以f(2020)＝f(2018)＝－1.课时作业(七)诱导公式五、六、七、八1．解析：cosπ2＋x＝－sinx＝35，∴s

inx＝－35.答案：B2．解析：因为sinθ－π2＝－sinπ2－θ＝－cosθ，对于A，sinπ2＋θ＝cosθ；对于B，cosπ2＋θ＝－sinθ；对于C，cos3π2

－θ＝cosπ＋π2－θ＝－cosπ2－θ＝－sinθ；对于D，sin3π2＋θ＝sinπ＋π2＋θ＝－sinπ2＋θ＝－cosθ.答案：D3．解析

：A选项，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，不正确；B选项，cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝cos()－2C＝cos2C，正确；C选项，sinA＋B2＝sinπ－C2＝cosC2，不正确；D选项，sinA＋B

2＝sinπ－C2＝cosC2，正确．光速解题利用互补、互余关系求解．A＋B＋C＝π，A＋B＋C2＝π2，2A＋2B＋2C＝2π，这样更容易求解．答案：BD4．解析：cosπ4＋α＝cosα－π4＋π2＝－sinα－π4＝－13.故选

A.答案：A5．解析：cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.答案：cos50°6．解析：cosα＋π3＝cosπ2＋α－π6＝－sinα－π6＝－13.答案：－137．解析：由tan

(3π＋α)＝2，得tanα＝2，则原式＝sin（α－π）－cosα＋cosα＋2sinαsinα－cosα＝－sinα＋2sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.答案：28．解析：原式＝－sin(3×360°＋

120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan

(180°＋45°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.9．解析：(1)f(α)＝tan（π－α）·cos（2π－α）·sinπ2＋αcos（－

α－π）＝－tanα·cosα·cosα－cosα＝sinα.(2)由sinπ2－α＝－35，得cosα＝－35，又α是第二象限角，所以sinα＝1－cos2α＝45，则tanα＝sinαcosα＝－43.10．解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得si

nα＋cosα＝23，①将①两边平方，得1＋2sinαcosα＝29，故2sinαcosα＝－79.又π2＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169，∴sinα－cosα＝43.(2)

sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.课时作业(八)正弦函数的性质与图象1．解析：∵函数y＝sin|x|是偶函

数，且x≥0时，sin|x|＝sinx.故应选B.答案：B2．解析：根据同角三角函数关系式，化简可得y＝cos2x－sinx＋1＝1－sin2x－sinx＋1，令t＝sinx，t∈[]－1，1，则y＝－t2－t＋2＝－t＋122＋9

4，由二次函数性质可知，当t＝－12时，取得最大值94，当t＝1时，取得最小值0，所以值域为0，94.答案：D3．解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，而y＝sinx在0，π2上递增，∴sin11°<

sin168°<cos10°，故选C.答案：C4．解析：画出y＝sinx，x∈[0，2π]的草图如下：因为sinπ3＝32，所以sinπ＋π3＝－32，sin2π－π3＝－32.即在[0，2π]内，满足sinx＝－32的

是x＝4π3或x＝5π3.可知不等式sinx<－32的解集是4π3，5π3.答案：C5．解析：由函数y＝－sinx＋1与正弦函数图象的关系可知，函数y＝－sinx＋1的对称中心为(kπ，1)，k∈

Z，对称轴为x＝π2＋kπ，k∈Z.答案：(kπ，1)，k∈Zx＝π2＋kπ，k∈Z6．解析：－1≤sinx≤1，故当sinx＝1时，y＝2＋sinx有最大值为3.答案：37．解析：由sinx－m2＝0得sinx＝

m2.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinxx∈π3，4π3的图象与直线y＝m2，如图所示．由图知，当32≤m2<1，即3≤m<2时，两图象有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈[)3，2.设两个零点分别为x1，x2，由于两交点关于直线x＝π2对称，所以x1＋

x22＝π2，所以x1＋x2＝π.答案：[)3，2π8．解析：(1)f(x)＝（－cosx）（－sinx）tanx（－sinx）（－sinx）sinx＝sinx，f－22π3＝sin－22π3＝－sin6

π＋4π3＝－sin4π3＝32.(2)因为f(x)＝sinx，所以g(x)＝1－2sinx，x∈[－π6，2π3]，所以g(x)的减区间为－π6，π2，增区间为π2，2π3.因为－π6≤x≤2π3，所以－12≤sinx≤1，所以－1≤1－2sinx≤2，所

以g(x)的值域为[－1，2].9．解析：设t＝sinx，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1，1]，在闭区间[－1，1]上，当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.由t＝sinx＝－1，得x＝2kπ－π2(k

∈Z)，即当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数y＝(sinx－1)2＋2取得最大值6.在闭区间[－1，1]上，当t＝1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.由t＝sinx＝1，得x＝2kπ＋π2(k∈Z)，即当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝(sinx－1)2＋2取得最小

值2.10．解析：令f(x)＝sinx－x10＝0，即sinx＝x10，令y1＝sinx，y2＝x10，在同一坐标系内分别作出y1，y2的图象如图．由图可知两图象有7个交点，即函数有7个零点．答案：D课时作业(九)正弦型函数的性质与图象1．解析：y＝sin3x的图象向左平移π4个单位长度得y＝s

in3x＋π4＝sin3x＋3π4.故选D.答案：D2．解析：令f(x)＝y＝sin(ωx＋φ)，由图象得T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝2π|ω|＝π，解得|ω|＝2，故A项错误；将π6，0代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得2×π6＋φ＝kπ

(k∈Z)，得φ＝－π3＋kπ(k∈Z)，令k＝1，则φ＝2π3，所以f(x)＝sin2x＋2π3，即f(x)＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6，故C正确；由sinα＝sin(π－α)，得f(x)＝

sinπ3－2x，故B正确；由f(0)>0，排除D.故选BC.答案：BC3．解析：函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)＝sin2x＋π6－φ＝sin2x＋π3－2φ，又为偶函数，可得π3－2φ＝kπ＋

π2，k∈Z，即φ＝－kπ2－π12，k∈Z，由于φ>0，故φ的最小值为5π12.答案：B4．解析：f(x)＝4sin2x＋π3＝4cosπ2－2x＋π3＝4cos2x－π6(x∈R)，A正确；f()x的最小正周期

：T＝2π2＝π，B错误；f－π6＝4sin－π3＋π3＝0，则f(x)的图象关于点－π6，0对称，C正确；fπ3＝4sin2π3＋π3＝0，不是最值，D错误．答案：AC5．解析：由题意得T2＝2π－3π4，∴T＝5π2，ω＝

45.又由x＝3π4时y＝－1得－1＝sin3π5＋φ，－2π5<3π5＋φ<8π5，∴3π5＋φ＝3π2，∴φ＝9π10.答案：9π106．解析：当0≤x≤π3时，π6≤2x＋π6≤5π6，12≤sin2

x＋π6≤1，所以1＋a≤2sin2x＋π6＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.答案：27．解析：因为对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，所以f(x1)是最小值，f(x2)是最大值；所以|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，因为f(x)＝2

sinx4＋π6的周期T＝8π，所以|x1－x2|的最小值为4π.答案：4π8．解析：(1)f(x)＝2sin13x－π6，当13x－π6＝0时，可得x＝π2，f()x＝0，当13x－π6＝π2时，可得x＝2

π，f()x＝2，当13x－π6＝π时，可得x＝7π2，f()x＝0，当13x－π6＝3π2时，可得x＝5π，f()x＝－2，当13x－π6＝2π时，可得x＝13π2，f()x＝0，表格如下：13x－π60π2π3π22πxπ22π7π25π13π2f(x)020－20画出

图象，如图：(2)第一步：y＝sinx；第二步：y＝sinx－π6――→横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变可得y＝sin13x－π6；第三步：y＝sin13x－π6――→纵坐标伸长为原来的2倍，横坐

标不变f(x)＝2sin13x－π6.9．解析：(1)由2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝π3＋kπ2，k∈Z；由2x－π6＝kπ，k∈Z解得对称中心是π12＋kπ2，0，k∈Z；由

2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得单调递增区间是[－π6＋kπ，π3＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得单调递减区间是[π3＋kπ，5π6＋kπ]，

k∈Z.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6，∴当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取最大值为2.10．解析：(1)∵图象最高点坐标为π3，5，∴A＝5.∵T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π.∴ω＝2πT＝2.

∴y＝5sin(2x＋φ).代入点π3，5，得sin2π3＋φ＝1.∴2π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z.令k＝0，则φ＝－π6，∴y＝5sin2x－π6.(2)∵函数的增区间满足2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，∴2kπ－π3≤2x

≤2kπ＋2π3(k∈Z).∴kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z).∴增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z).(3)∵5sin2x－π6≤0，∴2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z).课时作业(十)余弦函数的性

质与图象1．解析：当0<x<π时，正弦函数与余弦函数的图象如图所示：因为cosπ3＝12，sin5π6＝12，所以由图象可知，使得sinx>12和cosx<12同时成立的x的取值范围为π3<x<5π6.答案

：B2．解析：化简所给函数的解析式，A．y＝sin2x＋π2＝cos2x，该函数周期为π，函数为偶函数，不合题意；B．y＝cos2x－π2＝sin2x，该函数周期为π，在π4，π2上递减，不合题意；C．y＝cos

2x＋π2＝－sin2x，该函数周期为π，在π4，π2上递增，函数是奇函数，符合题意；D．y＝sinx－π2＝－cosx，该函数周期为2π，不合题意．答案：C3．解析：由函数f(x)＝cosx＋π6，在A中，由余弦函数的周期性得f(x)的一个周

期为2π，故A正确；在B中，函数f(x)＝cosx＋π6的对称轴满足条件x＋π6＝kπ，即x＝kπ－π6，k∈Z，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称，故B正确；在C中，fx＋π3＝cos

x＋π2＝－sinx，－sinπ＝0，所以fx＋π3的一个零点为π，故C正确；在D中，函数f(x)＝cosx＋π6在2π3，π上先减后增，故D错误．答案：ABC4．解析：将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图

象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图).故选D.答案：D5．解析：y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，由2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z).所以函数的单调

减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z).答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)6．解析：∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.答案：±127．解析：因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－

π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0].答案：(－π，0]8．解析：由于y＝cosx的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，又由2x－π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)；由2x－π3＝kπ，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，

故y＝3－2cos2x－π3的对称中心坐标为kπ2＋5π12，3(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z).因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cosθ取得最小值，所以当2x－π3＝2kπ，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时，y＝3－2cos2x－π3取得最

小值1.同理可得当x＝kπ＋2π3(k∈Z)时，y＝3－2cos2x－π3取得最大值5.9．解析：y＝3cosx－232－13，因为x∈π3，2π3，所以cosx∈－1

2，12.当cosx＝12时，y取到最小值为ymin＝－14.10．解析：(1)∵f(x)的周期T＝π，故2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x，∴fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将y＝f(x)的图象向右平移π6个

单位后，得到y＝fx－π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝fx4－π6的图象，所以g(x)＝fx4－π6＝2cos(2x4－π6]＝2

cos(x2－π3).当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋2π3，4kπ＋8π3](k∈Z).课时作业(十一)正切函数的性质

与图象1．解析：由π4＋x≠kπ＋π2得x≠kπ＋π4(k∈Z)，故选D.答案：D2．解析：利用正切函数的周期性和单调性可得．答案：C3．解析：定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z∩{x|x≠kπ，k∈Z}＝xx≠kπ2，k∈Z.

又f(－x)＝tan(－x)＋1tan（－x）＝－tanx＋1tanx＝－f(x)，即函数y＝tanx＋1tanx是奇函数．答案：A4．解析：由函数y＝tanx的对称中心为kπ2，0，k∈Z，令3x＋π6＝kπ2，k∈Z，则x＝kπ6－π18(k∈Z)，∴y＝

tan3x＋π6对称中心为kπ6－π18，0，k∈Z.故选D.答案：D5．解析：因为y＝tanx与y＝－tanx的单调性相反，所以y＝－tanx的单调递减区间为(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z).答

案：(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)6．解析：∵f(5)＝asin5＋btan5＋1＝7，∴asin5＋btan5＝6，∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin5＋btan5)＋1＝－6＋1＝－5.答案：－57．解析：当tanx≤3

3时，－π2＋kπ<x≤π6＋kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤π6或π2<x≤7π6或32π<x≤2π.答案：0，π6∪π2，7π6∪3π2，2π8．解析：由3x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ3＋5π18，k∈Z，∴所求定义域为{x|x∈R，且

x≠kπ3＋5π18，k∈Z}．值域为R，周期T＝π3，是非奇非偶函数．在区间kπ3－π18，kπ3＋5π18(k∈Z)上是增函数．9．解析：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，∵x∈[－π3，π4]，∴tanx∈[－3，1]，∴

当tanx＝－1，即x＝－π4时，f(x)有最小值1；当tanx＝1，即x＝π4时，f(x)有最大值5.10．解析：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝5π6－π6＝2π3＝πω，所以ω＝32，得f(x)＝Atan32x＋φ，因为它的图象过点π6，

0，所以Atan32×π6＋φ＝0，即tanπ4＋φ＝0，所以π4＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－π4，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，于是f(x)＝Atan32x－π4，又它的图象过点(0，－3)，所以Atan－π4＝－3，得A＝3，所以f(x)＝3ta

n32x－π4.(2)由(1)得3tan32x－π4≥3，所以tan32x－π4≥33，得kπ＋π6≤32x－π4<kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ3＋5π18≤x<2kπ3＋π2(k∈Z)，所以满足f(x

)≥3的x的取值范围是2kπ3＋5π18，2kπ3＋π2(k∈Z).课时作业(十二)已知三角函数值求角1．解析：在－π2，π2上，当x＝－π3时，tanx＝－3.∴tanx＝－3的x的集合为{x|x＝kπ－π3，k∈Z}．答案：D2．解析：∵α是三角形内角，∴0°<α<180°.

∵sinα＝12，∴α＝30°或150°.答案：AB3．解析：因为x∈(π，2π)且cosx＝－32，∴x＝7π6.答案：B4．解析：∵tan2x＋π3＝33，∴2x＋π3＝kπ＋π6(k∈Z).即x＝kπ2－π12(k∈Z).∵x∈[0，2π]，∴k＝1，2，3，

4时，x分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B.答案：B5．解析：由已知得cosx2＝12.因此x2＝2kπ±π3，故x＝4kπ±2π3(k∈Z)，故x可以是±2π3，10π3.答案：BCD6．解析

：∵x∈[0，2π]，且sinx＝22＞0，∴x∈(0，π).当x∈0，π2时，y＝sinx递增且sinπ4＝22，∴x＝π4，又sinπ－π4＝sin3π4＝22，∴x＝3π4也满足题意．∴x的取值集合为π4，3π4.答案：π4，3π

47．解析：由条件可知2cosα＋π3＝1，即cosα＋π3＝12，∴α＋π3＝2kπ±π3(k∈Z).∵α∈(0，2π)，∴α＝4π3.答案：4π38．解析：由方程2sin2x3＝1，可得方程sin2x3＝12，所以2x3＝2kπ＋π6或2x3＝2kπ＋5

π6(k∈Z)，求得x＝3kπ＋π4或x＝3kπ＋5π4(k∈Z).答案：xx＝3kπ＋π4或x＝3kπ＋5π4（k∈Z）9．解析：∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角．又∵sinα2＝－32＜0，∴α2是第三象限角．又si

n4π3＝－32，∴α2＝2kπ＋43π(k∈Z)，∴α＝4kπ＋83π(k∈Z).10．解析：(1)因为cosx－22<0，所以cosx<22，利用余弦线或余弦曲线可知所求解集为{xπ4＋2kπ<x<7

π4＋2kπ，k∈Z}．(2)因为3tanx－3≥0，所以tanx≥33，利用正切线或正切曲线可知所求解集为{xπ6＋kπ≤x<π2＋kπ，k∈Z}．11．解析：首先作出y＝sinx在[0，2π]上的图象，如图所示，作直线y＝12，

根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为π6和5π6；作直线y＝32，该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0，2π]上，当π6<x≤π3或2π3≤x<5π6时，12<sinx≤32成立．所以12

<sinx≤32的解集为{x|π6＋2kπ<x≤π3＋2kπ或2π3＋2kπ≤x<5π6＋2kπ，k∈Z}．课时作业(十三)向量数量积的概念向量数量积的运算律1．解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，所以AB→∥CD→，A正确；因为对角线AC与BD互相垂

直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，所以AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；因为AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，又因为DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，所以(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝

0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，所以AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．答案：ABC2．解析：BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos120°＝5×8×－12＝－20.答案：B3．解析：设向量

a，b的夹角为θ.根据向量数量积的运算，|a·b|＝||a||b|cosθ|，若|a·b|＝|a||b|，即||a||b|cosθ|＝|a||b|，所以cosθ＝±1，即θ＝0°或180°，所以a∥b.若a∥b，则a与b的夹角为0

°或180°，所以|a·b|＝|a||b|cos0°＝|a||b|或|a·b|＝|a||b|cos180°＝－|a||b|，即|a·b|＝||a||b|cosθ|＝|a||b|.所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．答案：C4

．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B.答案：B5．解析：∵(3

a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴

λ＝16.答案：166．解析：因为a在e方向上的投影为－2，即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝－2|a|＝－12，又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.答案：120°7．解析：由题意cos〈a，b〉＝a·b|a|

|b|>0，即1－2λ>0，得λ<12.∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.∴λ∈(－∞，－2)∪(－2，12).答案：(－∞，－2)∪(－2，12)8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×

(－12)＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝419.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a

·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(23)2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－44×2＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9．解析：因为|AB→|＝5，|BC→|＝4，|AC→|＝3，所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.所以cosA＝ACAB＝35，cosB

＝BCAB＝45.(1)AB→·BC→＝－BA→·BC→＝－5×4×45＝－16.(2)|AC→|·cos〈AC→，AB→〉＝AC→·AB→|AB→|＝3×5×355＝95.10.解析：因为AB→·BC→＝|AB→||BC→|cosθ＝6>0，所以cosθ＞0，所以

θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sinθ.由题意知，AB→·BC→＝|AB→||BC→|cosθ＝6，①S＝12|AB||CD|＝12|AB→||BC→|sinθ.②由②÷①得S6＝12tanθ，即3tanθ＝S

.因为3≤S≤3，所以3≤3tanθ≤3，即33≤tanθ≤1.又因为θ为AB→与BC→的夹角，θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，π4].课时作业(十四)向量数量积的坐标运算1．解析：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝43.故选A项．答案

：A2．解析：∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝35.故选B项．答案：B3．解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝（1，3）·（－2，23）2

×4＝12，解得θ＝π3.故选C项．答案：C4．解析：因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0⇒x＝2，1×(－4)－2y＝0⇒y＝－2，从而a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝

32＋（－1）2＝10.答案：C5．解析：∵a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，∴|a－b|＝（－1）2＋12＝2.答案：26．解析：若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)，即1＝－2λ，y＝2λ，λ<0，解得y＝－1且λ＝－12，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1

；①若a与b夹角θ∈π2，π时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②由①②得y<－1或－1<y<1.答案：(－∞，－1)∪(－1，1)7．解析：设C

(x，y)，则AC→＝(x＋2，y－1)，BC→＝(x，y－2)，AB→＝(2，1).由AC→∥OB→，BC→⊥AB→，得2（x＋2）＝0，2x＋y－2＝0，解得x＝－2，y＝6，∴点C的坐标为(－2，6).答案：(－2，6)8．

解析：(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，

－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.9．解析：∵a＝(1，1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，1)＋(0，

－2)＝(1，－1).(1)∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线．(2)∵|ka－b|＝k2＋（k＋2）2，|a＋b|＝12＋（－1）2＝2，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2

＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝（ka－b）·（a＋b）|ka－b||a＋b|，即－12＝－22·k2＋（k＋2）2，化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±3.即当k＝－1±3时，ka－b与a＋b的夹角为120°.10．解

析：由题意得f(x)＝(a＋xb)·(xa－b)＝x|a|2－a·b＋x2a·b－x|b|2＝a·bx2＋(|a|2－|b|2)x－a·b，因为函数f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即3×(－1)＋2×(m＋72)＝0，解得m＝－2，

所以b＝(－1，32)，|b|＝（－1）2＋（32）2＝132.答案：A11.解析：取BC中点O，将△ABC放入平面直角坐标系中，如图所示，则A(0，23)，设P(x，y)，连接PO，则PB→＋PC→＝2PO→，所以PA→＝(－x，23－y)，PO→＝(－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)

＝2PA→·PO→＝2(x2－23y＋y2)＝2[x2＋(y－3)2－3]，易知当x＝0，y＝3时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值－6.答案：D课时作业(十五)两角和与差的余弦1．解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12.答案：A2．解析：∵sinAsi

nB<cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，∴cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝cosC<0，∴角C为钝角，∴△ABC一定为钝角三角形．答案：D3．解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°·sin15°＝cos(60°－15°

)＝cos45°＝22.答案：A4．解析：根据两角和与差的余弦公式，A，B，C均正确，cos(α＋π6)＝32cosα－12sinα，D选项错误．答案：ABC5．解析：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋s

in45°·sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.答案：6＋246．解析：因为cosB＝－1213，且0<B<π，所以π2<B<π，所以sinB＝1－cos2B＝1－（－1213）2＝513，且0<A<π2，所以cosA＝1－sin2A＝1－（45）

2＝35，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB，＝35×(－1213)＋45×513＝－1665.答案：－16657．解析：由于f(x)＝cos2xcosπ6＋sin2xsinπ6＝cos(2x－

π6)，所以T＝2π2＝π.答案：π8．解析：因为0<α<π2，－π2<β<0，且sinα＝55，cosβ＝31010，故cosα＝1－sin2α＝1－15＝255，sinβ＝－1－cos2β＝－1－910＝－1010，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsi

nβ＝255×31010＋55×－1010＝22.由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π，又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4.9．解析：(1)因为a＝(sinα，5cosα－sinα)，b＝(cosβ

－5sinβ，cosβ)，所以a·b＝sinα(cosβ－5sinβ)＋(5cosα－sinα)cosβ＝5cosαcosβ－5sinαsinβ＝5cos(α＋β)，因为a·b＝2，所以5cos(α＋β)＝2，即cos(α＋β)＝255.(

2)因为0<α<π2，sinα＝1010，所以cosα＝31010.因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.因为cos(α＋β)＝255，所以sin(α＋β)＝55，所以cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋

β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)＝22.因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<2α＋β<3π2，所以2α＋β＝π4.10．解析：(1)依题意得：f(0)＝Asinπ4＝22A＝1，所以A＝2.(2)由(1)得f(x)＝2sin(x＋π4)，由f

(α)＝－15，可得f(α)＝2sin(α＋π4)＝－15，所以sin(α＋π4)＝－210，因为α是第二象限角，所以2kπ＋π2<α<2kπ＋π，所以2kπ＋3π4<α＋π4<2kπ＋5π4，又因为sin(α＋π4)＝－210<0，所以α＋π4是第三象限角，所以cos(α

＋π4)＝－1－sin2（α＋π4）＝－7210，所以cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－7210×22－210×22＝－45.课时作业(十六)两角和与差的正弦1．解析：

sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D项．答案：D2．解析：在△ABC中，因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcos

C＋cosAsinC＝2sinAcosC，所以sinAcosC－cosAsinC＝0，即sin(A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B项．答案：B3．解析：∵π

4＜β＜π2，∴cosβ＝1－sin2β＝1－2232＝13，∴sinβ＋π3＝12sinβ＋32cosβ＝12×223＋32×13＝22＋36.答案：C4．解析：因为f(x)＝sinx－cos(x

＋π6)＝sinx－(32cosx－12sinx)＝32sinx－32cosx＝3(32sinx－12cosx)＝3sin(x－π6)，所以－3≤f(x)≤3，即函数f(x)＝sinx－cos(x＋π6)的值域为[－3，3].答案：B5．解析：y＝sin(x＋π4

)＋cos(π4－x)＝22sinx＋22cosx＋22cosx＋22sinx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋π4).因为－1≤sin(x＋π4)≤1，所以－2≤2sin(x＋π4)≤2，故函数的最大值为2.答案：26．解析：因为f(x)＝3sinx＋cosx＝

2sinx＋π6，所以f(x)的最大值为2.答案：27．解析：由题意，函数f(x)＝sin(2x－π3)＋sin(2x＋π3)＝12sin2x－32cos2x＋12sin2x＋32cos2x＝sin2x，所以函数的最小正周期为2π2＝π.答案：π8．解析：∵α，β均为锐角，

sinα＝55，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∵sinα<sinβ，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×1010－

255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.9．解析：(1)因为f(x)＝cos2x＋32sin2x－12cos2x＝32sin2x＋12cos2x＝sin(2x＋π6)，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.(2)由f(α

)＝13可得，sin(2α＋π6)＝13.因为α∈(0，π2)，所以2α＋π6∈(π6，7π6).又因为0<sin(2α＋π6)＝13<12，所以2α＋π6∈(5π6，π)，所以cos(2α＋π6)＝－223，所以cos2α＝cos[(

2α＋π6)－π6]＝cos(2α＋π6)cosπ6＋sin(2α＋π6)sinπ6＝1－266.10．解析：(1)f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3·sinxcosx·cosx＝cosx＋3sinx＝

212cosx＋32sinx＝2sinπ6cosx＋cosπ6sinx＝2sinx＋π60≤x<π2.(2)∵0≤x＜π2，∴f(x)在0，π3上是单调增函数，在π3，π2上是单调减函数．∴当x＝

π3时，f(x)有最大值为2.课时作业(十七)两角和与差的正切1．解析：tan105°－1tan105°＋1＝tan105°－tan45°1＋tan45°tan105°＝tan(105°－45°)＝tan60°＝3.答案：B2．解析：

∵1－tanα1＋tanα＝2＋3，∴tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα＝12＋3＝2－3.答案：C3．解析：原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°ta

n20°＋1－tan10°tan20°＝1.答案：B4．解析：因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以2(A＋B)＝C，所以tan(A＋B)＝3，所以选项A，B错误；因为tanA＋tanB＝3(1－tanA·tanB)＝233，所

以tanA·tanB＝13①，又tanA＋tanB＝233②，所以联立①②解得tanA＝tanB＝33，所以cosB＝3sinA，故选项C，D正确．答案：CD5．解析：因为tanα＝12，tan(α－β)＝－25，所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan（α－

β）1－tanαtan（α－β）＝112.答案：1126．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4.答案：π47．解析：tanB＝－tan(A＋C)＝－tanA＋tanC1－

tanAtanC＝－33－tanB1－tan2B，所以tan3B＝33，所以tanB＝3，又因为B为三角形的内角，所以B＝π3.答案：π38．解析：(1)tanα＋β－π4＝tanπ12＋α＋β－π3＝tanπ12＋α＋tanβ－π31－tan

π12＋α·tanβ－π3＝2＋221－2×22＝－2.(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4·tanπ4＝－2＋11－（－2）×1＝22－3.9．解析：由题意，有tanα

＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4，tanα＜0且tanβ＜0.又因为α，β∈－π2，π2，所以α，β∈－π2，0，α＋β∈(－π，0).又因为tan(α＋β)＝tanα＋tan

β1－tanαtanβ＝－331－4＝3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.10．解析：(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)]

…[(1＋tan22°)(1＋tan23°)](1＋tan45°)＝答案：223课时作业(十八)倍角公式1．解析：∵sinα－cosα＝2，∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝2，∴sin2α＝－1.答案：D2．解析：tan14°1－tan214°·cos28°sin28°＝1

2×2tan14°1－tan214°·cos28°sin28°＝12tan28°·cos28°sin28°＝12sin28°cos28°·cos28°sin28°＝12，故选A.答案：A3．解析：因为sinx·tanx<0

，所以x为第二、三象限角，所以cosx<0，所以1＋cos2x＝2cos2x＝2|cosx|＝－2cosx.答案：B4．解析：∵cos2x2cosx＋π4＝15，∴cos2x－sin2xcosx－sinx＝15，∴cosx＋sinx＝15，∴1＋sin

2x＝125，∴sin2x＝－2425.答案：A5．解析：因为tanα2＝2，所以tanα＝2tanα21－tan2α2＝2×21－22＝－43，tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－43＋11－（－43×1）＝－17.答

案：－43－176．解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x＋π4，∴1＋2sin2x＋π4＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝2，b＝1.答案：217．解析：f(x)＝sin2x－π4－22sin2x＝22sin2x－22cos

2x－22×1－cos2x2＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin2x＋π4－2，故该函数的最小正周期是2π2＝π.答案：π8．解析：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos（2x－π3）2＝12(

12cos2x＋32sin2x)－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin(2x－π6).所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，f(－π3)＝－14，f(－π6)＝

－12，f(π4)＝34，所以f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.9．解析：(1)因为(sinα＋cosα)2＝13，所以1＋2sinαcosα＝13，所以2sinαcosα＝

sin2α＝－23，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋23＝53.又π2<α<π，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα－cosα＝153，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(

cosα－sinα)＝33×(－153)＝－53，所以tan2α＝sin2αcos2α＝－23－53＝255.(2)因为sin(π4－α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α).所以sin(π4－

α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝12sin[2×(π4＋α)]＝12sin(π2＋2α)＝12cos2α＝26，所以cos2α＝23.又因为0<α<π2，所以0<2α<π，所

以sin2α＝73.10．解析：(1)由题得f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3·1－cos2x2＋12sin2x，所以f(x)＝sin2x＋3·1＋cos2x2－3·1－cos2x2，所以f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋

π3)，所以函数的最小正周期为π.令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，所以－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z.(2)由题得sin(2x＋π3)＝1，所以2x＋π3＝2kπ＋π2，k∈Z，所以x＝kπ

＋π12，k∈Z，因为x∈[0，2019]，当k＝0时，x＝π12，k＝1时，x＝1312π，…k＝642时，x＝642π＋π12≈2016，k＝643时，x>2019.所以方程f(x)＝2在x∈[0，2019]上解的个数为643.课时作业(十九)三角恒等变换的应用1．解析：因为α∈[7

π4，2π]，所以sinα<0，cosα>0，则1＋cos2α2－1－cos2α2＝cos2α－sin2α＝|cosα|－|sinα|＝cosα－(－sinα)＝cosα＋sinα.答案：B2．解析：因为α∈(0，π)，π4－α∈(－34π，π4)，sin(π4－

α)＝35>0，所以π4－α∈(0，π4)，cos(π4－α)＝45，cos2α＝cos[2(π4－α)－π2]＝sin[2(π4－α)]＝2sin(π4－α)cos(π4－α)＝2×35×45＝2425.答案：A3．解析：由sinAsinB＝

cos2C2，得12cos(A－B)－12cos(A＋B)＝1＋cosC2，∴12cos(A－B)＋12cosC＝12＋12cosC，即cos(A－B)＝1，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC是等腰三角形．答案：B4．解析：

∵cosα＝45，∴sin2α2＝1－cosα2＝110.又α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π，∴sinα2＝1010.答案：B5．解析：∵y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋1

2，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案：π6．解析：因为450°<α<540°，所以225°<α2<270°，所以cosα<0，sinα2<0，所以原式＝12＋121＋cos2α2＝12＋12cos2α＝12＋12|cosα|＝12－12cosα＝s

in2α2＝sinα2＝－sinα2.答案：－sinα27．解析：y＝2cos(x＋π6)cosπ6＝3cos(x＋π6)，所以ymax＝3.答案：38．解析：(1)求证：f(x)＝2cos2x2＝1＋cosx，g(x)＝(s

inx2＋cosx2)2＝1＋2sinx2cosx2＝1＋sinx.因为f(π2－x)＝1＋cos(π2－x)＝1＋sinx，所以f(π2－x)＝g(x)，命题得证．(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝2(22cosx－22sinx)＝2cos(x＋π

4).因为x∈[0，π]，所以π4≤x＋π4≤5π4，当π4≤x＋π4≤π，即0≤x≤3π4时，h(x)递减，当π≤x＋π4≤5π4，即3π4≤x≤π时，h(x)递增．所以函数h(x)的单调递减区间为[0，3π4]，单调递增区间为[3π4，π]，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝

3π4时，函数h(x)取到最小值．9．解析：cosAsinC＝12[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝14－12sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈－14，34.10．解析：f(x)＝1＋cos2ωx＋32sin2ωx－12co

s2ωx＋a＝sin2ωx＋π6＋a＋1.(1)由2ωx＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，得ωx＝kπ＋π6(k∈Z).又ω>0，∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝π6ω＝π6，故ω＝1.(2)由

(1)知f(x)＝sin2x＋π6＋a＋1，由π6≤x≤π3，得π3≤2x≤2π3，π2≤2x＋π6≤5π6，∴当2x＋π6＝5π6，即x＝π3时，f(x)取得最小值为12＋a＋1.由12＋a＋1＝3，得a＝3－32.章末质量检测(一)第七章三角函

数1．解析：∵4在第三象限，∴sin4<0，∵7在第一象限，∴tan7>0，∴sin4·tan7<0，故选B.答案：B2．解析：由题图可知，T＝47π12－π3＝π，即ω＝2πT＝2.因为sin7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝－π2＋2kπ，φ＝－5π3＋2kπ，k∈Z，又||φ

<π2，所以φ＝π3，故选C.答案：C3．解析：1＋sinθcosθ＝sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋1＋tanθtan2θ＋1＝22＋1＋222＋1＝75.答案：B4．解析：函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－

π2<φ<π2，A13，0为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，BC＝4，所以()232＋T22＝42，即12＋π2ω2＝16，得ω＝π2.再根据π2·13＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－π6，所以f(x)＝3sinπ2x－π6.令2kπ－π2≤

π2x－π6≤2kπ＋π2，求得4k－23≤x≤4k＋43，故f(x)的单调递增区间为4k－23，4k＋43，(k∈Z).答案：C5．解析：由图象知，函数f(x)＝sin2x的图象向右平移12×3π4－π

12＝π3个单位，得g(x)＝sin2x－π3＝sin2x－2π3的图象；又sin2x－2π3＝cosπ2－2x－2π3＝cos7π6－2x＝cos2x－7π6，所

以g(x)＝cos2x－7π6.答案：C6．解析：A，B中函数的周期为2π，不符合．C，D中函数的周期为π.y＝cos2x＋π2＝－sin2x在π4，π2上是增函数，y＝sin2x＋π2＝cos2x在

π4，π2上是减函数，故选D.答案：D7．解析：由已知可得2sinAcosA＝－120169，所以(cosA－sinA)2＝1－2sinAcosA＝289169.故cosA－sinA＝1713.又cosA＋sinA＝－713，所以cosA＝513，si

nA＝－1213.所以tanA＝－125.答案：C8．解析：由题可得A(cosα，sinα)，将OA绕坐标原点逆时针旋转π2至OB，可得Bcosα＋π2，sinα＋π2，即B(－sinα，cosα).因为线段BQ的长为y，所以函数y＝f(α)＝|cosα|.答案：B9．解

析：选项A：－7π6终边与5π6相同，为第二象限角，所以A不正确；选项B：设扇形的半径为r，πr3＝π，∴r＝3，扇形面积为12×3×π＝3π2，所以B正确；选项C：角α的终边过点P()－3，4，根据三角函数定义，cosα＝－35，所以C正确；选项D：角

α为锐角时，0<α<π2，0<2α<π，所以D不正确．故选BC.答案：BC10．解析：因为将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π2个单位，所得图象与原图象重合，所以π2是已知函数的周期的整数倍，即k·2πω＝π2(k∈N*)，解得ω＝4k(k∈

N*).答案：ACD11．解析：由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是53π，可得T4＝5π3，故2π4||ω＝5π3，所以ω＝±310.答案：AC12．解析：将函数f()x＝3cos2x＋π3

－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝3cos2x＋π3＋π3－1＝3cos()2x＋π－1＝－3cos2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g()x＝－3cos2x的图象，对于函数g()x，它的最大值为3，由于当x＝π12时，g(

)x＝－32，不是最值，故g()x的图象不关于直线x＝π12对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为2π2＝π，故C正确；当x＝π4时，g()x＝0，故函数g()x的图象关于点

π4，0对称，故D正确．答案：BCD13．解析：原式＝tan（－θ）sin（－θ）cos（－θ）（－cosθ）（－sinθ）＝（－tanθ）（－sinθ）cosθcosθsinθ＝tanθ.答案：tanθ14．解析：由x2＋π4≠

π2＋kπ，k∈Z，解得x≠π2＋2kπ，k∈Z，即函数y＝tanx2＋π4的定义域为xx≠π2＋2kπ，k∈Z.答案：xx≠π2＋2kπ，k∈Z15．解析：函数

f(x)＝－2tanx＋m有零点，即方程2tanx＝m有解．∵x∈－π4，π3，∴tanx∈[－1，3]，∴m∈[－2，23].答案：[－2，23]16．解析：f(x)＝atanx＋bcosx为偶函数，则有f(

－x)＝f(x)，即atan(－x)＋bcos(－x)＝atanx＋bcosx，即2atanx＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋π2，k∈Z时，y＝cos2kπ＋π2－π3＝cosπ6＝32，显然不是最大值，②不正确；当x＝－π12时，y＝4cos2×－π

12－5π6＝4cos(－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－π12是该函数的图象的一条对称轴，③正确；令－2x＋π3＝kπ2，k∈Z，得x＝π6－kπ4，k∈Z，故对称中心为π6－kπ4，1，k∈Z，④不正确．答案：①③17．解析：(1)因为0<α<π2，

sinα＝45，所以cosα＝35，故tanα＝43.(2)sin（α＋π）－2cosπ2＋α－sin（－α）＋cos（π＋α）＝－sinα＋2sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝4.18．解析：(1)由已知得π＝2πω，解得ω＝2.将点π

4，2代入解析式，2＝2sin2×π4＋φ，可知cosφ＝22，由0<φ<π可知φ＝π4，于是f(x)＝2sin2x＋π4.(2)令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ()k∈Z，解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ()k∈Z，于是

函数f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ()k∈Z.19．解析：(1)∵f(x)＝12cos(2x－φ)，且函数图象过点π6，12，∴12＝12cos2×π6－φ，即cosπ3－φ＝1，解得φ＝π3＋2kπ，k

∈Z.又0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝12cos4x－π3

的图象．∵x∈0，π4，∴4x－π3∈－π3，2π3，故－12≤cos4x－π3≤1.∴y＝g(x)在0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.20．解析：(1)由题意，A＝1，T4＝π12＋π6＝π4⇒

T＝π，则2πω＝π⇒ω＝2，所以f(x)＝sin()2x＋φ，又因为图象过点π12，1，所以2×π12＋φ＝π2＋2kπ()k∈Z⇒φ＝π3＋2kπ()k∈Z，而－π2<φ<π2，则φ＝π3，于是

f(x)＝sin2x＋π3.(2)结合图象可知，函数的对称轴为x＝π12＋kπ2()k∈Z，令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z⇒－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]()k∈Z.(3)f(x

)的图象向右平移π3个单位长度得到：y＝sin[2(x－π3)＋π3]＝sin2x－π3，于是g()x＝sinx－π3，如图所示：因为g()x＝a－1在x∈π2，3π2上有两个

解，所以12≤a－1<1⇒a∈32，2.21．解析：(1)由sin2x＋cos2x＝1得f(x)＝－2cos2x＋cosx，令f(x)＝0，解得cosx＝0或cosx＝12，当cosx＝0时，x＝π2＋kπ，k∈Z；当cosx＝12时，x＝2kπ±π3，k∈Z.所以函数f(x)

的零点为π2＋kπ，2kπ±π3，k∈Z.(2)因为f(x)＝－2cos2x＋cosx，令cosx＝t，t∈[]－1，1，则f(x)＝g()t＝－2t2＋t，因为f(x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1，

解得－12≤t≤1，即－12≤cosx≤1，因为x∈α，2π3，且cos2π3＝－12，即f2π3＝－1，由－12≤cosx≤1，且x∈α，2π3，可得－2π3≤α<2π3，所以α的取值范围为－

2π3，2π3.22．解析：(1)由题意，f(0)＝sinπ6＝12，f32＝sin32×π3＋π6＝cosπ6＝32，函数y＝f(t)＝sinπt3＋π6，t≥0.(2)根据题意列表如下；t

015241126πt3＋π6π6π2π3π22π13π6y1210－1012在直角坐标系中描点、连线，作出函数y＝f(t)在0≤t≤6的简图如图所示．(3)由函数的图象与性质知f13>f314>f315.章末质量检测(二)第八章向量的数量积与三角恒等变换1．

解析：由题设，a＋b＝(x＋1，2)，又a⊥(a＋b)，所以(x＋1)×1＋2×1＝x＋3＝0，即x＝－3.答案：D2．解析：∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cosθ>

0，∴θ是第四象限的角．答案：D3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±3.所以a＝(1，±3).所以|a|＝1＋（±3）2＝2.答案：C4．解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一或第三象限角．∵cosθ2＝－12，∴

θ2为第三象限角且sinθ2＝－32，∴1－sinθcosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝1.故选C.答案：C5．解析：cos2π3＋2α＝cosπ－2

π6－α＝－cos2π6－α＝2sin2π6－α－1＝－79.答案：A6．解析：在三角形ABC中，因为C>90°，所以A，B都为锐角．则有tanA>0，tanB>0，tanC<0，又因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋

tanB1－tanA·tanB<0，易知1－tanA·tanB>0，即tanA·tanB<1.答案：B7．解析：因为f(x)＝sinx＋π2＝cosx，g(x)＝cosx－π2＝sinx，所

以y＝f(x)g(x)＝sinx＋π2cosx－π2＝cosxsinx＝12sin2x，所以其周期T＝2π2＝π，最大值是12，故排除A，B；很明显，将f(x)的图象向右平移π2个单位长度后得到g(x)＝cos(x

－π2)的图象．答案：D8．解析：f(B)＝4sinBcos2(π4－B2)＋cos2B＝4sinB1＋cos（π2－B）2＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.因为f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．因

为0<B<π，所以0<sinB≤1.所以－1<2sinB－1≤1，故m>1.答案：D9．解析：对于选项A，2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1；对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－32；对于选项C，cos4π8－sin4π

8＝(cos2π8＋sin2π8)(cos2π8－sin2π8)＝cosπ4＝22；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.答案：ACD10．解析：在△ABC中，由BC→＝AC→－AB→＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，

A错误；又AB→＝2a且|AB→|＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|·cos120°＝－1，B，C错误；因为(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC→，D正确．答案：ABC1

1．解析：f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，即函数的单调递增区间为kπ

－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，当k＝0时，得－5π12，π12，当k＝1时，得7π12，13π12，当k＝2时，得19π12，25π12.故选ACD.答案：ACD12．解析：因为α为锐角，sinα－cosα＝16>0，所以π4<α<π2.又tan

α＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，所以α＋β＝π3，又α>π4，所以β<π4<α.答案：AB13．解析：由cosxcosy＋sinxsiny＝13，可知cos(x－y)＝13，则cos(2x－2y)＝2c

os2(x－y)－1＝2×132－1＝－79.答案：－7914．解析：因为向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，所以4a2＋b2－4a·b＝10，化为4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，化为|b|2－22|b|－6＝0，因为|b|≥0，解得|b|

＝32.答案：3215．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≤－12，又〈a，b〉∈[0，π]，∴θ＝〈a，b〉∈2π3，π.答案：2π3

，π16．解析：因为sin(α＋π8)＝55，且π2<α<π，所以cos(α＋π8)＝－255.因为cos(β＋3π8)＝－35，且0<β<π2，所以sin(β＋3π8)＝45.因为α＋π8＋β＋3π8＝α＋β＋π2，所以cos(α＋β)＝sin(α＋β＋π2)，即cos(α＋β)＝

sin（α＋π8）＋（β＋3π8）＝55×(－35)－255×45＝－11525.答案：－1152517.解析：如图，由AM＝3，且AP→＝2PM→，可知|AP→|＝2.∵M为BC的中点，∴PB→＋PC→＝2PM→＝AP→，∴PA→·(P

B→＋PC→)＝PA→·AP→＝－PA→2＝－|PA→|2＝－4.18．解析：(1)原式＝sin（80°－15°）＋sin15°sin10°sin（15°＋10°）－cos15°cos80°＝sin80°cos15°sin15°cos10°＝co

s15°sin15°＝2＋3.(2)由sinθ＋2cosθ＝0，得sinθ＝－2cosθ，又cosθ≠0，则tanθ＝－2，所以cos2θ－sin2θ1＋cos2θ＝cos2θ－sin2θ－2sinθcosθsin2θ＋2cos2θ＝1－tan2θ－2tanθ

tan2θ＋2＝1－（－2）2－2×（－2）（－2）2＋2＝16.19．解析：(1)因为c∥d，所以c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b).又a，b不共线，所以k＝λ，1＝k＝λ，1＝－λ.得λ＝－1，k＝－1.即c＝－d，故c与d反向．(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b

)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos60°，又c⊥d，故(k－1)a2＋1－k2a2＝0，即(k－1)＋1－k2＝0，解得k＝1.20．解析：f(x)＝a·b＝(2sinωx＋cosωx)sinωx＋(2sinωx－cosωx)cosωx＝2sin2

ωx＋3sinωxcosωx－cos2ωx＝1－cos2ωx＋32sin2ωx－12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx－cos2ωx)＋12＝322sin(2ωx－π4)＋12.(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距

离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.(2)f(x)＝322sin(2x－π4)＋12.因为x∈[0，π2]，所以(2x－π4)∈[－π4，3π4]，则当2x－π4＝－π4，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－π4＝π2，即x＝3π8时，f(x)取得

最大值32＋12.21．解析：(1)证明：因为BC→·CA→＝CA→·AB→，所以CA→·(BC→－AB→)＝0.又AB→＋BC→＋CA→＝0，则CA→＝－(AB→＋BC→)，所以－(AB→＋BC→)·(BC→－AB→)＝0.所

以AB→2－BC→2＝0.所以|AB→|2＝|BC→|2.即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．(2)因为B∈π3，2π3，则cosB∈－12，12.设|AB→|＝|BC→|＝a.又|BA→＋

BC→|＝2，所以|BA→＋BC→|2＝4.则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.所以a2＝21＋cosB，则BA→·BC→＝a2cosB＝2cosB1＋cosB＝2－21＋cosB.又cosB∈－12，12，所以BA→·BC→∈－2，23.22．解析：(1)f(x)＝2cos2

x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1.所以函数f(x)的最小正周期T＝π，在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π].(2)因为当x∈[0，π6]时，f(x)单调递增，所以当x＝π6时，f(x)的最大值等于m＋3.当x＝0时，f(x)的最小值等

于m＋2.由题设知m＋3<4，m＋2>－4，解得－6<m<1.必修三模块质量检测1．解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝32.答案：D2．解析：由题意得cos〈a，b〉＝a·

b|a||b|＝3×5＋4×125×13＝6365.答案：A3．解析：由|a＋b|＝7，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cosθ，所以cosθ＝12.答案：B4．解析：由题意，知cos2

α＋122＝22.∴cos2α＝14.∴cos2α＝2cos2α－1＝12－1＝－12.答案：B5．解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin22，从而原式化为3－3sin22，再开方即得结果．答案：D6．解析：由题意，函数f(x)＝tan

x2－π6，令－π2＋kπ<x2－π6<π2＋kπ，k∈Z，解得2kπ－2π3<x<2kπ＋4π3，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间是2kπ－2π3，2kπ＋4π3，k∈Z.答案：B7．解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足

函数y＝4sin(πx6＋φ)＋k，据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，所以k＝6，故这段时间水深(单位：m)的最大值为4＋k＝10.答案：A8．解析：OC→为OB→在OA→上的投影．故|

OC→|＝a·b|a|，∴OC→＝a·b|a|·a|a|＝a·b|a|2·a.答案：A9．解析：对于选项A，周期为T＝2π4＝π2；对于选项B，周期为T＝2π2＝π；对于选项C，周期为T＝2π14＝8π；对于选项D，周期为T＝2π12＝4π.故选BCD

.答案：BCD10．解析：因为f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1－1＝sin2x＋cos2x－1＝2sin(2x＋π4)－1，对A，因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，结论正确；对B，当x∈[π8，5π8]时，2x＋π4∈[π2，3π2]；则f(x)在

[π8，5π8]上是减函数，结论正确．对C，因为f(－π8)＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为－π8，－1，结论不正确；对D，函数f(x)的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移π8个单

位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．答案：AB11．解析：因为函数f(x)＝cosωx(ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f(x)＝cosωx(ω>0)的周期大于等于2π，即2πω≥2π，所以ω≤1.当ω＝13时，f(x)＝cos13x，x

∈(2π，3π)时，x3∈(2π3，π)，无最大值1和最小值－1，ω＝13成立，A正确；当ω＝12时，f(x)＝cos12x，x∈(2π，3π)时，x2∈(π，3π2)，无最大值1和最小值－1，ω＝12成立，B正确；当ω＝34时，f(x)＝co

s3x4，x∈(2π，3π)时，3x4∈(3π2，9π4)，有最大值1，不成立，C不正确；当ω＝1时，f(x)＝cosx，x∈(2π，3π)时，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，D正确．故选ABD.答案：ABD1

2．解析：由a·(b－a)＝2，得a·b－a2＝2，则a·b＝3，设向量a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cosα＝3，则cosα＝12，那么α＝π3，则A正确；由a2＋a·b＝32，得a·b＝12，设向量

a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cosα＝12，则cosα＝12，那么α＝π3，则B正确；由a＝(3，－1)，b＝(23，2)，则|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则cosα＝12，那么α＝π3，则C正确；由a＝(2，23

)，b＝(－3，0)，则|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则cosα＝－12，那么α＝2π3，则D不正确．答案：ABC13．解析：图象向右平移π8个单位，解析式应变为y＝sin3x－π8＋π4，即y＝sin3x－π8，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的

3倍，得y＝sinx－π8.答案：y＝sinx－π814．解析：设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则l＝2r,16＝2r＋2r，所以r＝4，则扇形面积为S＝12×2×r2＝16(cm2).答案：1615．解析：设β＝α＋π6，所以sinβ＝35，sin2β＝

2sinβcosβ＝2425，cos2β＝2cos2β－1＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝sin(2β－π4)＝sin2βcosπ4－cos2βsinπ4＝17250.答案：1725016．解析：要使函数f(x)＝s

inx＋1sinx有意义，则有sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝sin(－x)＋1sin（－x）＝－sinx－1sinx＝－sinx＋1si

nx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，∴①是假命题，②是真命题．对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝π2对称，只需证fπ2－x＝fπ2＋x.∵fπ2－x＝sinπ2－

x＋1sinπ2－x＝cosx＋1cosx，fπ2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝cosx＋1cosx，∴fπ2－x＝fπ2＋x，∴③是真命题．令sinx＝t，－1≤t≤1

且t≠0，∴g(t)＝t＋1t，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．综上所

述，所有真命题的序号是②③.答案：②③17．解析：(1)因为α，β是锐角，且A(45，35)，B(513，1213)在单位圆上，所以sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1213，cosβ＝513，所以co

s(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×513－35×1213＝－1665.(2)因为OA→·OB→＝31010，所以|OA→|·|OB→|cos(β－α)＝31010，且|OA→|＝|OB→|＝1，所以，cos(β－α)＝31010，可得sin(β－α)＝1010(

β>α)，且cosα＝45，sinα＝35，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝35×31010＋45×1010＝131050.18．解析：(1)a＋b＝(cosαcosβ－si

nαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ，sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαsinβ)＝(2cosαcosβ，2sinαcosβ)＝45，35.∴2cosαcosβ＝45，2sinαcosβ＝

35，∴tanα＝34.(2)2cos2α2－3sinα－12sinα＋π4＝cosα－3sinαsinα＋cosα＝1－3tanα1＋tanα＝－57.19．解析：(1)因为sinα＝35，α∈(0，π2)，所以cosα＝1－sin2α＝1－（35）2

＝45，所以sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝35×22＋45×22＝7210.(2)由(1)tanα＝34得tan2α＝2tanα1－tan2α＝321－916＝247，所以tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ

＝247－131＋247×13＝139.20．解析：y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1＝14cos2x＋34sin2x＋54＝12sin(2x＋π6)＋54.(1)y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1的振幅为A＝1

2，周期为T＝2π2＝π，初相为φ＝π6.(2)令x1＝2x＋π6，则y＝12sin(2x＋π6)＋54＝12sinx1＋54，列出下表，并描点得出的图象如图所示：x－π12π65π122π311π12x10π2π3π22πy＝sin

x1010－10y＝12sin(2x＋π6)＋545474543454(3)将函数图象依次经过如下变换：函数y＝sinx的图象．函数y＝sin(2x＋π6)的图象函数y＝12sin(2x＋π6)的图象函数y＝12sin(2x＋π6)＋54的图象，即得函数y＝

12cos2x＋32sinxcosx＋1的图象．21．解析：(1)由题图，得A＝3，2πω＝434π－π4＝5π，故ω＝25.由f(x)＝3sin2x5＋φ的图象过点π4，0，得sinπ10＋φ＝0.又|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f(x)＝3sin

2x5－π10.(2)设把f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f(x＋m)＝3sin25（x＋m）－π10＝3sin(2x5＋2m5－π10)为偶函数，知2m5－π10＝kπ＋π2(k∈Z)，解得m＝5kπ2＋3π2(k

∈Z).∵m>0，∴mmin＝3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．22．解析：(1)f(x)＝m·n＝3sinxcosx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝sin(2x－π6)，所以f(x)的最小正周期T＝2

π2＝π，由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，所以增区间为[－π6＋kπ，π3＋kπ]，k∈Z.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－π6)，将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位得到y＝sin[2(x＋π6)－π6]＝sin(2x＋

π6)的图象，因此g(x)＝sin(2x＋π6)，又x∈[0，π2]，所以2x＋π6∈[π6，7π6]，sin(2x＋π6)∈[－12，1]，故g(x)在[0，π2]上的值域为[－12，1].